Aufgabenblock 4. Da Körpergröße normalverteilt ist, erhalten wir aus der Tabelle der t-verteilung bei df = 19 und α = 0.05 den Wert t 19,97.

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1 Aufgabenblock 4 Aufgabe ) Da s = 8. cm nur eine Schätzung für die Streuung der Population ist, müssen wir den geschätzten Standardfehler verwenden. Dieser berechnet sich als n s s 8. ˆ = = =.88. ( n ) n n 9 Da Körpergröße normalverteilt ist, erhalten wir aus der Tabelle der t-verteilung bei df = 9 und α = 0.05 den Wert t 9,97.5 =.093. Das 95% Vertrauensintervall ist dann: ( , ) = (76.063, ) Ein 90% Vertrauensintervall würde kleiner sein. Der Grund dafür liegt darin, dass die Freiheitsgrade weiterhin df = 9 betragen und jetzt α = 0. ist und man somit einen kleineren t-wert t9,95.79 erhält. Wäre die wahre Streuung des Merkmals bekannt, gewinnt man einen Freiheitsgrad, und der Standardfehler ließe sich wie folgt berechnen: = n Für das Vertrauensintervall wäre der z-wert.96 zu verwenden. Es gälte: z α, + z α = ( 80.96, ) Da der z-wert für das 95% Vertrauensintervall kleiner ist als der entsprechende t-wert, wäre somit auch das Vertrauensintervall kleiner als im Falle unbekannter Streuung. Aufgabe ) Es ist in dieser Situation n = 0 >> 30. ach dem zentralen Grenzwertsatz ist es in diesem Falle unerheblich, wie das Merkmal selbst verteilt ist, die Kennwerteverteilung des Mittelwertes ist allein aufgrund der Stichprobengröße bereits normalverteilt. Wir können daher ein Vertrauensintervall berechnen, auch wenn die Verteilung des Merkmals Geld deutlich linkssteil ist. Es ist die Formel für Vertrauensintervalle bei geschätztem Standardfehler zu verwenden. Die Schätzung für den Standardfehler lautet: ˆ s 84 ˆ = = = = 8.4 n n 0 Aufgabenblock 4

2 Für große n (n>00) kann statt dem t-wert auch der z-wert der Standardnormalverteilung verwendet werden, da beide in diesem Falle beinahe übereinstimmen. Für das 95% Vertrauensintervall ergibt sich also: z ˆ ˆ α, + z α ( , ) = ( ,36.464). Aufgabe 3) Wir gehen davon aus, dass die Würfe unabhängig voneinander sind. Dann ist die Anzahl der Zahl-Würfe binomialverteilt. Wir formulieren die folgenden Hypothesen: H 0 : Die Wahrscheinlichkeit von Zahl bei einmaligem Wurf ist 0.5. H : Die Wahrscheinlichkeit von Zahl bei einmaligem Wurf ist nicht 0.5. Für Erwartungswert bzw. Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen gilt unter der ullhypothese: E(" Zahl Würfe") = n p = 0 = 5 Var(" Zahl Würfe") = n p p =.5 ( ) Für die möglichen Werte von Zahl-Würfe (im Folgenden mit k bezeichnet) berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten nach der Formel: n k Pk ( ) = p ( p) k Bei einem 95% iveau gilt für den unteren kritischen Wert k u, dass die Wahrscheinlichkeit, höchstens k u Zahlen zu werfen, kleiner als 0.05 ist. P P P 0 = = 0 0 = = 0 = = n k 0 0 (0) 0.5 ( 0.5) () 0.5 ( 0.5) () 0.5 ( 0.5) Der untere kritische Wert ist also k u =, da für k = die Summen der drei Wahrscheinlichkeiten P(0)+P()+P() bereits größer 0.05 ist. Da die Binomialverteilung symmetrisch ist, ist der obere kritische Wert 9. Unsere statistische Entscheidung wäre also: Bei höchstens einem Zahlwurf oder mindestens neun Zahlwürfen verwerfen wir die ullhypothese, andernfalls behalten wir sie bei. Aufgabenblock 4

3 Die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Entscheidung bei einer fairen Münze zu treffen, ist dann P(0) + P() + P(9) + P(0) = ( ) = Dies macht deutlich, dass mit dieser Entscheidungsstrategie tatsächlich nicht auf dem 5% iveau getestet wird, sondern auf einem höheren iveau von.5%. Bei 0 Teilnehmern an diesem Versuch sind 0*0.05 = 0.43 falsche Entscheidungen zu erwarten (Anzahl ist binomialverteilt mit n=0 und p=0.05). Ekurs: Wollte man 5% voll ausschöpfen, müsste man so genannte randomisierte Tests durchführen. Das bedeutet, dass im Falle von oder 8 Zahlwürfen die statistische Entscheidung ausgelost würde, und zwar derart, dass insgesamt die Wahrscheinlichkeit für eine falsche H -Entscheidung 5% beträgt. Aufgabe 4) i) H 0 : Durch eine Behandlung verändert sich das mittlere Angstniveau nicht. µ 0 = µ H : Durch eine Therapie sinkt das mittlere Angstniveau. µ 0 > µ. Schritt: Voraussetzungen überprüfen Voraussetzung: Das Merkmal ist in der Population normalverteilt, das heißt auch bei kleinem n (also kleiner als 30) sind die Vorraussetzungen erfüllt.. Schritt: Signifikanzniveau festlegen Signifikanzniveau festlegen: α = Schritt: Wahrscheinlichkeit berechnen, dass solche oder etremere Werte bei Gültigkeit der H 0 zustande kommen Standardfehler des Mittelwertes: = n = 0,4 0 Prüfgröße: Z = µ 0 Z = 5, F (-.8783) = - F (.8783) (mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung ) = = 0,0307 Aufgabenblock 4 3

4 4. Schritt: Statistische Entscheidung treffen Der p-wert p = 0,0307 liegt unter der vorher festgelegten Schranke von α = 0,05. Daher wird H 0 verworfen und H angenommen. Alternatives Vorgehen: Z < Z krit = (s.u.), daher H 0 verwerfen Berechnung des kritischen Wertes Von der Glocke der ormalverteilung werden links 5% einseitig abgeschnitten: F (-,645) = - F (,645) = - 0,95 = Der kritische Wert ist also Z krit = Für die Berechnung des β-fehlers ist es nützlich, diesen Wert zurück auf die Angstskala zu transformieren, also die z-transformation rückgängig zu machen: Z = µ 0 -,645 = ,69 (bis auf Rundungsfehler) ist der "kritische Mittelwert". Liegt ein Stichprobenmittelwert darunter, wird für H entschieden, liegt er darüber, wird für Beibehaltung der H 0 entschieden. Es soll die spezifische H mit µ =5.5 gelten. Dann sind die Stichprobenmittelwerte normalverteilt mit µ=5.5 und der Streuung = Berechnung des β- Fehlers: Ein β-fehler wird genau dann gemacht, wenn fälschlich für die Beibehaltung der H 0 entschieden wird. Dies geschieht in all den Fällen, wenn bei Gültigkeit der H der Stichprobenmittelwert größer als 5.69 ist. Zu berechnen ist also P> ( 5.69). Zur Berechnung muss wieder z-transformiert werden: Z = F (0.89) = 0,833 Fläche des β-fehlers: - 0,833 = 0,867 (mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung) Die Wahrscheinlichkeit für einen β-fehler ist in diesem Fall Es soll die spezifische H mit µ =5 gelten. Dann sind die Stichprobenmittelwerte normalverteilt mit µ=5 und der Streuung = Analog zu oben ist F (3.3) = Z = (mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung) Aufgabenblock 4 4

5 Fläche des β-fehlers: = Die Wahrscheinlichkeit für einen β-fehler beträgt in diesem Fall also Bei vierfacher Stichprobengröße n = 80 wird der Standardfehler kleiner = und somit der Z Wert wesentlich größer: Weiterhin wird Z = F (6.5) so groß (fast ), dass die Fläche bzw. die Wahrscheinlichkeit des β- Fehlers - F (6.5) praktisch ull wird. Vervierfachen wir also die Stichprobengröße, so wird die Wahrscheinlichkeit, einen β-fehler zu machen, sehr viel kleiner. Skizze,5 Funktionsdichte F() der Mittelwerte,5 0,5 Beta-Fehler Alpha-Fehler 0 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 kritischer Wert Mittelwerte Wahrer Mittelwert =5,6989 Wahrer Mittelwert Die Skizze zeigt die Flächen der beiden Fehler unter den Kurven der Verteilung der Mittelwerte bei H 0 und H An der Zeichnung kann man sehen: Je kleiner die Differenz von µ 0 und µ ist, desto größer wird der β- Fehler, da die Verteilungen dann dichter beieinander liegen und eine größere Schnittfläche entsteht. Je größer die Stichprobe ist, desto kleiner ist der Standardfehler. Dadurch wird die Verteilung schmaler und die Schnittfläche und der β- Fehler vermindern sich. Aufgabenblock 4 5

6 Aufgabe 5) Ob man einseitig oder zweiseitig testet, muss immer vor einer Datenerhebung festgelegt werden. Wenn man sich erst die Mittelwerte anschaut und dann, je nach dem, wie die Richtung der Unterschiede ausgefallen ist, einseitig testet, macht man einen Fehler. Konkret führt dieses Vorgehen dazu, dass man tatsächlich zum doppelten Signifikanzniveau α testet. Aufgabe 6) Hierzu gibt es keine Musterlösungen. Jeder Leser ist aufgerufen, eigene Beispiele zu finden. Abbildung 39 illustriert das Prinzip, um das das hier geht. Aufgabenblock 4 6

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