12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
|
|
- Gregor Feld
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 39 Divergenz Berechnen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder: xyz + 2xy F 1 (x, y, z) : x 2 y x 2 xy, F 2 (x, y, z) : e x, F 3 (x, y, z) : grad(xyz + e x ). z 3z 2 divf 1 yz + 2y x z, divf 2 y, yz + e x divf 3 div xz e x. xy Aufgabe 4 Satz von Gauß am Einheitswürfel Berechnen Sie für den Einheitswürfel W [, 1] 3 und das Vektorfeld F (X) (x 2, yz, y) T beide im Gauß schen Integralsatz auftretenden Integrale. Für den obigen Würfel ist der Satz von Gauß mit divf W W F T N gegeben. Für das Volumenintegral (die linke Seite) erhalten wir: 1 divf (x, y, z)dxdydz 1 1 2x + z dxdydz 2x + z dxdz 1 + z dz 3 2
2 Für das Integral über die Würfeloberfläche (die rechte Seite) erhalten wir, wie erwartet, das selbe Ergebnis: F T N F (1, y, z) T dydz + F (, y, z) T dydz W + F (x, 1, z) T dxdz + F (x,, z) T 1 dxdz + F (x, y, 1) T 1 1 dxdy + F (x, y, ) T dxdy dydz + z dxdz + y dxdy dydz dxdz y dxdy Aufgabe 41 Satz von Gauß am Zylinder Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes xz F (X) yz durch die Oberfläche des Zylinderausschnitts Z : {(x, y, z) : x 2 + y 2 a 2 und z b} von innen nach außen. Verwenden Sie den Satz von Gauß. Der Satz von Gauß besagt, dass der Fluss durch die geschlossene Oberfläche gleich dem Volumenintegral über der Divergenz des Feldes ist. Also: F T N divf. Z Für die Divergenz des Feldes erhalten wir: z 2 Z divf (X) 4z. Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten (x r, y r sin ϕ, z z, dv r dr dϕ dz) lässt sich der 2
3 Fluss durch die Oberfläche schnell bestimmen: F T N Z Z divf 4z dxdydz Z b a 8π b a 2πa 2 b 2. 4zr drdϕdz zr drdz 3
4 Hausübung Aufgabe H41 Laplace-Operator (1+3 Punkte) Berechnen Sie div(grad U) für die skalaren Felder im R 3. Die Zuordnung U div(grad U) heißt Laplace-Operator. Statt div(grad U) schreibt man auch U. a) U(X) ze x2 y b) U(X) P T X X 3, X (Dipolpotential mit Achsenrichtung P R 3 ) Hinweis: P T X ist das Skalarprodukt P, X (p x x + p y y + p z z). a) U x 2xyze x2y, U y x 2 ze x2y, U z e x2y, U xx 2yze x2y + 4x 2 y 2 ze x2y, U yy x 4 ze x2y, U zz, U U xx + U yy + U zz (2yz + 4x 2 y 2 z + x 4 z)e x2y. b) U(X) P X X 3 (p xx + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) Für die partiellen Ableitungen in x erhalten wir: U x p x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 3x(p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 p x X 3 2x P T X U xx 3p x x(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 3(p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 5 2 3p x x(x 2 + y 2 + z 2 ) x 2 (p x x + p y y + p z z)(x 2 + y 2 + z 2 ) 7 2 6p xx 3P T X + 15x2 P T X X 7. Die partiellen Ableitungen in y und z lassen sich ganz analog bestimmen und wir erhalten: U U xx + U yy + U zz 6(p xx + p y y + p z z) 15P T X 15P T X 9P T X + 15(x2 + y 2 + z 2 )P T X X P T X (x2 + y 2 + z 2 )P T X X 7 Aufgabe H42 Satz von Gauß in der Ebene Berechnen Sie für die Kreisscheibe K : x 2 + y 2 1 das Integral divf, wobei das Vektorfeld F gegeben ist mit xe sin(πr 2 ) F (x, y), r 2 x 2 + y 2. K ye cos(πr2 ) (4 Punkte) 4
5 Hinweis: Geben Sie zunächst das Vektorfeld F in Polarkoordinaten an. Verwenden Sie dann den Satz von Gauß. Das Vektorfeld in Polarkoordinaten (x r, y r sin ϕ, dxdy rdrdϕ): r e sin(πr 2 ) F (r, ϕ) r sin ϕe cos(πr2 ). Wir berechnen nun K divf mit dem Satz von Gauß. Das heißt, wir berechnen die rechte Seite von: divf F T N. K Durch überlegen kann man schnell die nach außen zeigende Normale N auf dem Kreisrand aufstellen: N(ϕ). sin ϕ Hier ist wichtig, dass N 1 gilt. Weiterhin ist r 1 auf dem Kreisrand. Somit erhalten wir: K divf K F (r 1, ϕ) T N K (e sin(π), sin ϕe cos(π) ) cos 2 ϕ + sin 2 ϕ e 1 dϕ cos 2 ϕ dϕ + 1 e ( 1 2 ϕ sin(2ϕ)) 2π π + π e. sin 2 ϕ dϕ dϕ sin ϕ + 1 e (1 2 ϕ 1 4 sin(2ϕ)) 2π Aufgabe H43 Fluss durch Zylinder Berechnen Sie den Fluss des Feldes (4 Punkte) durch die Oberfläche des Zylinderabschnitts von innen nach außen. V (xy 2, x 2 y, y) T B {(x, y, z) : x 2 + y 2 1 und 1 z 1} Hinweis: Nehmen Sie den Satz von Gauß zu Hilfe. xy2 Der Fluss des Feldes V x 2 y durch die Oberfläche des Zylinderabschnitts B lässt sich mit y dem Satz von Gauß berechnen: V T N divv (x 2 + y 2 )dxdydz. B B B 5
6 Mit Zylinderkoordinaten (x r, y r sin ϕ, z z, dxdydz r drdϕdz) erhalten wir 1 1 (x 2 + y 2 )dxdydz (r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ) r dzdϕdr 1 B 1 1 r 3 dzdϕdr π. 1 Alternativ hätten wir auch das Oberflächenintegral V T N bestimmen können: die Parametrisierung von B ist B Dann gilt B V T N dσ F (ϕ, z) sin ϕ z : [, 2π] [ 1, 1] R 3 }{{} D N F ϕ F z (, sin ϕ, ) T. V T Ndϕdz D 1 sin 2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ sin ϕ dϕdz 1 sin ϕ [ 2π cos 2 2 cos 2 ϕ sin 2 2 ϕ 1 2 ϕ dϕ mit (1 + ] cos2 ϕ) sin 2 ϕ 1 2 (1 cos2 ϕ) ( 1 ) 2 + cos 4ϕ dϕ π. Jetzt fehlt noch der Fluss durch den Boden und durch die Decke des Zylinders. Für den Fluss durch den Deckel (z 1) erhalten wir: 1 sin2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ r dϕdr. sin ϕ 1 Und für den Fluss durch den Boden erhalten wir ebenfalls Null: 1 sin2 ϕ cos 2 ϕ sin ϕ r dϕdr. sin ϕ 1 Für die Hausübungen dieses Übungsblattes ist kein Rücklauf mehr vorgesehen. Die Hausübungen von diesem Blatt werden aber ganz regulär bepunktet und fließen in die Gesamtpunktzahl mit ein. Das letzte Übungsblatt (Blatt 13) wird keine Hausübungen mehr enthalten. 6
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integralsätze
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4 Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen
MehrFluss durch einen Zylindermantel
Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Vektorfeldes F = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ) ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ.
MehrAnalysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 3/4 Dr. K. Rothe Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Anleitung zu Blatt 7 Anleitungsaufgaben 5-8 zu Analysis III, WS3/4, Dr. K.
MehrLösungshinweise zur Klausur
Höhere Mathematik 3 26. 2. 214 Lösungshinweise zur Klausur für Studierende der Fachrichtungen kyb,mecha,phys Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. (i)
Mehr) sei stückweise stetige differenzierbare Kurve in
. Integration.. urvenintegrale. Art Neben urvenintegralen. Art [9..] existieren auch urvenintegrale. Art. Def.. ( () = (), (), () x t x t x t x t Parameterdarstellung und v( x) v ( x) v ( x) v ( x) v:
MehrVektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes
Vektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes Themen des Tutoriums am 03.06.2015: Wiederholung: Ein glattes Flächenstück ist eine Menge M R 3, die eine reguläre Parametrisierung
MehrProf. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau
Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau Mathematische Grundlagen Mit den folgenden mathematischen Grundlagen sollten
MehrHöhere Mathematik III
Blatt 4 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math.. Sanei ashani 1.11.14 Vortragsübungen (Musterlösungen)
Mehr4. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 3. Wintersemester 2015/ , E 2 := (x, y, z) R 3 4z M := Z E 1 E 2.
Dr. F. Gaspoz, Dr. T. Jentsch, Dr. A. Langer, J. Neusser, J. Schmid. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik 3 Wintersemester 1/16 Apl. Prof. Dr. N. Knarr Lösungshinweise zu den Hausaufgaben: Aufgabe
MehrA1: Diplomvorprüfung HM II/III SS
A: Diplomvorprüfung HM II/III SS 8 378 Aufgabe 5 + 7 + 6 8 Punkte a Führen Sie für den Bruch x+x x+3 b Berechnen Sie den Wert der Reihe k3 eine Partialbruchzerlegung durch k+k k+3 c Untersuchen Sie die
MehrNormalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form
155 Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten
Mehr10. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. och SS 1 1.6.1 1. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 3 Arbeitsintegrale Berechnen Sie jeweils das Integral F dx für die Funktion F (x,
MehrHöhere Mathematik Vorlesung 7
Höhere Mathematik Vorlesung 7 Mai 2017 ii Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. Albert Einstein 7 Flächenintegrale Flächen Reguläre Flächen: ei D R 2 regulär. Unter einer Fläche
MehrAnleitungsaufgaben zu. Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 2011/12 Dr. K. Rothe Anleitungsaufgaben zu Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aufgabe 1: Für die folgenden Funktionen f : IR 2
Mehr2.3 Gekrümmte Oberflächen
2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben
Mehr1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) := xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie Symmetrien.
1. Integrieren Sie die Funktion f(x, y, z) : xyz über die Kugel mit Zentrum im Ursprung und Radius 1. (2 Punkte) inweis: Verwenden Sie Symmetrien. Lösung: Betrachte den Diffeomorphismus j : B 1 () B 1
MehrAnalysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld
Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann
MehrAnalog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.
142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition
MehrMusterlösungen Serie 6
D-MAVT D-MATL Analysis II FS 1 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Serie 6 1. Frage 1 [Analysis Prüfung Winter1] Ein Vektorfeld v(x,y,z) mit Definitionsbereich erfüllediv( v) =. Was folgt? Es gibt eine Funktionf(x,y,z)
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Lösungen zu Serie 8. F n ds = (0 + 0) dx dy = 0. (1 ( 1)) dx dy = 2
D-EDW, D-HET, D-UY Mathematik II F Dr. Ana annas Lösungen zu erie 8. a) Wir berechnen den Fluss von F mittels Green F n ds + ) dx dy und die Zirkulation F T ds )) dx dy wobei Vol ) den Flächeninhalt des
MehrMathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 35 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 21.11.28 2 / 35 Wiederholung Divergenz und Rotation Gradient und Laplace-Operator Merkregeln
MehrAnalysis IV. Gruppenübungen
Fachbereich Mathematik Prof. B. Farkas Martin Fuchssteiner Lisa Steiner TECHNISCHE UNIVESITÄT DAMSTADT ASS 6 7.7.26 Analysis IV 3. Übung mit Lösungshinweisen (G ) Berechnung einiger Volumina Gruppenübungen
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 7/8 W. Stannat, A. Gündel-vom ofe..8 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurwissenschaften Lösungsskizze Analysis II für Ingenieurwissenschaften
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik 1. Übungsblatt
1. Übungsblatt 1. In kartesischen Koordinaten gilt: grad Φ( r) = ( Φ x, Φ y, Φ ), div A x A = z x + A y y + A z z rot A = ( A z y A y z, A x z A z x, A y x A x ) y Berechnen Sie: (a) grad Φ( r) für Φ(
MehrSatz von Stokes. Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt. Satz von Stokes 1-1
Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer regulären Fläche S mit orientiertem Rand C gilt rot F ds = F d r. S C Satz von Stokes 1-1 Satz von Stokes Für ein stetig differenzierbares
MehrModulprüfung HM III (kyb, mech, phys)
Seite von 5 Modulprüfung HM III (kyb, mech, phys) Hinweise: Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt. Alle nicht in der Vorlesung behandelten Sachverhalte sind zu beweisen, Lösungsschritte
MehrÜbungsaufgaben zu Höherer Analysis, WS 2002/03. Aufgaben zu Doppelintegralen.
Übungsaufgaben zu Höherer Analysis, WS 2002/03 Aufgaben zu Doppelintegralen. (A) Bestimmen Sie den Schwerpunkt des Gebietes 0 x π 2, 0 y cos x. (Antwort: s = ( π 2, π 8 )) (A2) Berechnen Sie die folgenden
Mehr1. Juli F k x k (X), X D. k=1 (X) F. x 2 (X) F 3. x 1 F 2. F 1 (X). rot F (X) = F n (X) = F j x i. , 1 i, j 3
. Juli 28 3 9 Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n
MehrMusterlösungen Serie 3
-MAVT -MATL Analysis II FS 1 Prof. r. P. Biran Musterlösungen Serie 1. Frage 1 Berechnen Sie wobei [, 1] [, 1]. xe x+y df, e 1 1 e + 1 xe x+y df Mit einer partiellen Integration erhalten wir xe x+y dydx
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 9 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 28./30. April. 1. Berechnen
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 12/13 Prof. Dr. G. Bärwolff, Prof. Dr. F. Tröltzsch
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /3 Prof. Dr. G. Bärwolff, Prof. Dr. F. Tröltzsch 6.4.3 Rechenteil April Klausur Analysis II für Ingenieure. Aufgabe Punkte a Es gilt:
MehrMATHEMATIK II für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer)
TU DRESDEN Dresden,. Februar 4 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK II für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) Immatrikulationsjahrgang
Mehr11. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 8.6.. Übungsblatt zur Mathematik für MB Aufgabe 5 ntervall im R egeben sei das ntervall { (x, y, z) R : π x π, y, z π}. Berechnen Sie x
MehrD-MAVT/D-MATL FS 2017 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie18
D-MAVT/D-MATL FS 7 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie8. Klicken Sie die falsche Aussage an. a) Der Operator div ) ordnet einem Vektorfeld v ein Skalarfeld div v zu. v b) div v = x, v y, v )
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 3 8.6.3 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrZylinderkoordinaten 1 E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya
Zylinderkoordinaten E E E3 Berechnung in beliebigen krummlinigen Koordinaten Die Koordinaten sind durch die Beziehungen definiert: x x u, v, w, y y u, v, w, z z u, v, w Für sie sollen stetige partielle
Mehr, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3
Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 3 Institut für Analysis.6.3 Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick reuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik 9. Übungsblatt Ein Heißluftballon
MehrGrundzüge der Vektoranalysis
KAPITEL 7 Grundzüge der Vektoranalysis 7. Satz von Green................................... 2 7.2 Satz von Stokes................................... 22 7.2. Zirkulation und Wirbelstärke..........................
Mehr1 Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben
Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben. Lösungen zu den Aufgaben zum Kapitel.. Tutoraufgaben. Man stellt fest: fx, y x, y G. omit ist f beschränkt auf G a Da f auf G beschränkt, ist f auf G Riemann-Integrabel
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz
MehrKarlsruher Institut für Technologie (KIT) SS 2013 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning
Karlsruher Institut für Technologie KIT SS 203 Institut für Analysis 504203 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuning Aufgabe Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Übungsblatt Bestimmen Sie die
MehrHM III A. Höhere Mathematik III. WiSe 2016/2017. Variante A
Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 6/7 Variante A Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur
Mehr3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,
MehrRepetitorium C: Nabla, 2-, 3-dim. Integrale, Satz v. Gauß
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 6/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugler http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_6_7/r_ rechenmethoden_6_7/
MehrTeil 8. Vektoranalysis
Teil 8 Vektoranalysis 5 6 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele
MehrHöhere Mathematik 3 Herbst 2014
IMNG, Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Prof. Dr. K. Höllig Höhere Mathematik 3 Herbst 214 Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind. (i) rot(2
MehrDas entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. f (x) dx = F (b) F (a),
Kapitel Integralsätze.1 Einleitung und Übersicht Das entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung b a f (x) (b) (a), der es erlaubt,
MehrLösungsvorschläge zur Klausur
Prüfung in Höhere Mathematik 3 8. Februar Lösungsvorschläge zur Klausur für bau, ernen, fmt, IuI, mach, tema, umw, verf, geod und so weiter ; Aufgabe : (6 Punkte Die archimedische Spirale wird durch A
MehrKlausur zur Mathematik III
Fachbereich Mathematik SoSe 17 Prof. r. M. Hinze lausur zur Mathematik III (Modul: Analysis III) 1. September 17 Sie haben 6 Minuten Zeit zum Bearbeiten der lausur. Bitte kennzeichnen Sie jedes Blatt mit
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrWeitere Aufgaben zu Mathematik C
Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C PD Dr. Schuster Weitere Aufgaben zu Mathematik C A. Kurvenintegrale und Stammfunktionen. Das Vektorfeld F: R 3 R 3 sei gegeben durch F(x, y, z) = 2z(x + y)
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof. Dr. Simone Warzel Max Lein TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) Wintersemester 29/2 Lösungsblatt 2 (27..29) Zentralübung 4. Parametrisierung einer
MehrKlausur Mathematik III für Bauingenieure
TU Dresden 9. Juli 5 Institut für Analysis Doz. Dr. N. Koksch Klausur Mathematik III für Bauingenieure Name: Vorname: Jahrgang: Matrikel-Nr.: Studiengang: Übungsgruppe: Aufgabe 4 5 6 Ges. Punkte max. 6
MehrRepetitorium Analysis II für Physiker
Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrProf. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst. Fakultät Mathematik TU Dortmund
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst akultät athematik TU Dortmund usterlösung zum 5. Übungsblatt zur Höheren athematik II P/ET/AI/IT/IKT/P) SS Aufgabe Die läche R 3 sei der Teils des Paraboloids z +y,
MehrUNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz Dr P C Kunstmann Dipl-Math M Uhl Sommersemester 9 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie inklusive Komplexe
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller SS 2014
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller SS 14 P R A K T I S C H E M A T H E M A T I K I I F Ü R T P H, 13.58) Test 1 Gruppe C Mo, 8.4.14) mit Lösung ) Unterlagen: eigenes VO-Skriptum.
MehrKlausurberatung Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WIiSe 18/19 Dr. Hanna Peywand Kiani 28.01.2019 Klausurberatung Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Das ins Netz gestellte Material zur
MehrKLAUSUR. Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing) Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf
KLAUSUR Analysis (E-Technik/Mechatronik/W-Ing).9.7 Prof. Dr. Werner Seiler Dr. Matthias Fetzer, Dominik Wulf Name: Vorname: Matr. Nr./Studiengang: Versuch Nr.: Unterschrift: In der Klausur können Sie insgesamt
MehrInstitut für Analysis und Scientific Computing Dr. E. Weinmüller SS 2014
Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien Dr. E. Weinmüller SS 14 P R A K T I S C H E M A T H E M A T I K I I F Ü R T P H, (13.58) Test 1 Gruppe A (Mo, 8.4.14) (mit Lösung ) Unterlagen: eigenes
MehrMusterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Probeklausur Mathematik 4 für Physik (Analysis 3) I...
................ Note I II Name Vorname Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Mehr1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 1. Juni 13 *Aufgabe 1. erechnen Sie durch Übergang zu Polar-, Kugel- oder Zylinderkoordinaten die Fläche bzw. das Volumen (a) der von der Lemniskate x y (x + y ) = umschlossenen
MehrHöhere Mathematik III. Variante A
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III WiSe 04/05 Variante A Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zehn handbeschriebene DinA4-Blätter Vorder- und Rückseite
MehrKlausur zur Höheren Mathematik 3
Prof. Dr. Ch. Hesse 3.09.202 Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Bearbeitungszeit: 80 Minuten Klausur zur Höheren Mathematik 3 für kyb, mecha, phys, Dipl el Erlaubte Hilfsmittel: 20 Blätter DIN
MehrIst C eine Kurve mit Anfangspunkt a und Endpunkt b und f eine stetig differenzierbare Funktion, grad f( r ) d r = f( b) f( a).
KAPITEL 5. MEHRDIMENSIONALE INTERATION. Berechnung Integralsätze in R Hauptsatz für Kurvenintegrale wegunabhängig radientenfeld Integrabilitätsbedingung Hauptsatz für Kurvenintegrale a b Ist eine Kurve
Mehr1. Übung Analysis II für Ingenieure (Topologie und Konvergenz im R n )
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Dozenten: Bärwolff/Neitzel/Penn-Karras Assistent: Stephan www.isis.tu-berlin.de Abgabe: 26.04.
MehrDer metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 07 Institut für Mathematik Stand: 3. Juli 007 Ferus / Garcke Lösungsskizzen zur Klausur vom 6.07.07 Analysis II. Aufgabe (5 Punkte Der metrische Raum (X, d ist gegeben.
MehrÜbungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19
9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 8: Satz von Green und Oberflächenintegrale Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 8 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom./3. April.. Den Satz
MehrHöhere Mathematik III. Musterlösung
Lehrstuhl II für Mathematik Prof. Dr. E. Triesch Höhere Mathematik III SoSe 3 Musterlösung Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DinA4-Blättern.
MehrPrüfung Modul A, Teil 2 (Mathematik 2) (Fernstudium Bauingenieurwesen)
Name: Vorname: Matrikelnummer: TU Dresden, Fachrichtung Mathematik, Dr. N. Koksch 6. Februar 8 Prüfung Modul A, Teil (Mathematik ) (Fernstudium auingenieurwesen) ewertet werden nur solche Lösungsschritte,
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 13 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik SS 3 G. Bärwolff, C. Mehl, G. Penn-Karras 9..3 Oktober Klausur Analysis II für Ingenieure Rechenteil. Aufgabe Punkte i) Wir berechnen zunächst
MehrPrüfungsklausur Höhere Mathematik II (22. Juli 2006) - Lösungen zum Theorieteil - für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM
Prüfungsklausur Höhere Mathematik II (. Juli 6) für MB, EC, TeM, FWK, VT, KGB, BGi, WiW, GtB, Ma, WWT, ESM - Lösungen zum Theorieteil - Aufgabe 1: In der x-y-ebene seien die Mengen A {(x, y) : x } und
MehrFelder und Wellen WS 2017/2018
Felder und Wellen WS 17/18 Musterlösung zum 1. Tutorium 1. Aufgabe (*) Zur Einleitung etwas Grundsätzliches über Flächen-, Volumen-, und Linienintegrale. Die Integration ist am einfachsten, wenn das gewählte
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
Mehrf(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y
7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem
MehrImplizite Funktionen. Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n. so lässt sich das Gleichungssystem
Implizite Funktionen Ist für eine stetig differenzierbare Funktion f : R n R m R n f (x, y ) = (0,..., 0) t, det f x (x, y ) 0, so lässt sich das Gleichungssystem f k (x 1,..., x n, y 1,..., y m ) = 0,
MehrÜbungen zu Höhere Analysis und Differentialgeometrie
Übungen zu Höhere Analysis und Differentialgeometrie F. Haslinger Wiederholung der Aufgaben 80-93 vom vorigen Semester. 1.) Man berechne das Volumen des Körpers zwischen der Ebene z = x + y und dem Rechteck
MehrVorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 2018/2019 Übung 8
Prof. Dr. J. Pannek Dynamics in Logistics Vorkurs Mathematik für Ingenieur Innen WS 8/9 Übung 8 Aufgabe : Integration a) Berechnen Sie die folgenden Integrale: i) 4x + ) dx ii) 8 3 x dx iii) 3 x3 ) dx
Mehr3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
MehrD-BAUG Analysis I/II Winter 2015 Dr. Meike Akveld
D-BAUG Analysis I/II Winter 5 Dr. Meike Akveld Lösung. [ Punkte] Es sei das Gebiet B {z C } z + Im(z) gegeben. a) Skizzieren Sie das Gebiet B in der komplexen Ebene. Für z x + iy gilt z + Im(z) x + y +
Mehr1. Übungsblatt zur Höheren Mathematik III (P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 2012/13
Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmund. Übungsblatt zur Höheren Mathematik III (P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS /3 Keine Abgabe. Aufgabe Es seien die folgenden Vektorfelder in R 3
MehrSerie 9: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum
: Der Satz von Green und Parametrisierungen von Flächen im Raum Bemerkung: Die Aufgaben der sind der Fokus der Übungsstunden vom 6./8. April.. Überprüfung des Satzes von Green Der Satz von Green besagt
MehrFerienkurs in Vektoranalysis
Zentrum athematik echnische Universität ünchen Dipl. ath. Wolfgang Erb WS 9/ Übungsblatt Ferienkurs in Vektoranalysis Aufgabe. Sei U R n offen und f : U R m stetig differenzierbar. Zeige dass der Graph
Mehr1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis Studiengang: PT/LOT Analysis III Serie 3 Semester: WS 1/11 1. Aufgabe Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
MehrSatz von Gauß. Satz von Gauß 1-1
atz von Gauß Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einem regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellen Flächenelement d berandet wird, gilt
MehrAnalysis II für M, LaG/M, Ph 12. Übungsblatt
Analysis II für M, La/M, Ph. Übungsblatt Fachbereich Mathematik WS / Prof. Dr. Christian Herrmann 8.. Vassilis regoriades Horst Heck ruppenübung Aufgabe. erechnen Sie das ebietsintegral sin (x y) d, wobei
MehrSerie 11. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS Überprüfen Sie die Gültigkeit des Satzes von Gauss
Analysis -BAUG r. Cornelia Busch F 6 erie. Überprüfen ie die Gültigkeit des atzes von Gauss F d div F dv, () anhand des Beispiels F(x, y, z) (3x, xy, xz), [, ] [, ] [, ] (Einheitswürfel im R 3 ). Wir berechnen
MehrFerienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- ten
Ferienkurs Analysis 3 Lösung Vektoranalysis 19. März 1 Die Einheitssphäre werde parametrisiert mithilfe von Kugelkoordina- Lösung 1. ten Ψ(θ, φ) sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ Dann gilt 1 Ψ(θ, φ) cos θ
MehrParametrisierung und Integralsätze
Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene
Mehr1 Das Prinzip von Cavalieri
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann SS 14 11.6.14 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik 5. Saalübung 11.6.14 1 Das Prinzip von
MehrD-MAVT/D-MATL FS 2018 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie19. sind weder parallel noch stehen sie senkrecht aufeinander.
-MAVT/-MATL FS 8 r. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie9. ie Fläche S sei einerseits durch die Parameterdarstellung (u, v) r(u, v) und andererseits durch die Gleichung f(x, y, z) = gegeben. Wir betrachten
MehrAufgabe 2 Auf dem Bildschirm eines Oszillographen durchlaufe ein Elektronenstrahl eine Bahn mit dem zeitabhängigen Ortsvektor
Thema: Vektoranalysis PT/LOT WS 13/14 Analysis III Serie 3 www.fh-jena.de/~puhl Aufgabe 1 Ein Massepunkt bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf einer Kreisbahn mit dem Radius R 1 und dem Mittelpunkt
MehrOnline Zwischentest - Serie 5
D-MAVT, D-MATL Analysis II FS 213 Prof. Dr. P. Biran Online Zwischentest - Serie 5 Willkommen zum 1. Online-Test, welcher die Serie 5 ersetzt. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen bis Dienstag, den 9.4.213
Mehr