MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur) Gruben)

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1 Musterlösung zum. Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (Autor: Gerrit (-Arthur Gruben. Wahrscheinlichkeiten I ( Punkte Die Seiten von zwei Würfeln sind mit den folgenden Zahlen beschriftet: Würfel : 6, 4,,,, Würfel : 5, 5, 5,,, (a Spieler würfelt mit dem ersten, Spieler mit dem zweiten Würfel. Wer die höhere Augenzahl erzielt, hat gewonnen. Entwerfen Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum und bestimmen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler. (b Das Spiel wird wie folgt modifiziert: Spieler zahlt einen Einsatz von 5 Euro und Spieler zahlt 4 Euro, der Gewinner erhält den gesamten Einsatz. Wie hoch ist der erwartete Gewinn/Verlust für Spieler? a Wir betrachten den sogenannten Produktraum (Ω, Pr zu den beiden diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen (Ω, Pr und (Ω, Pr der beiden Einzelwürfe. Für den Wurf des ersten Spielers ist Ω = {6, 4, } und Pr (6 = /6 = Pr (4 sowie Pr ( = /, analog für Spieler. Der Produktraum ist dann definiert als und dem Produktmaß Ω := {(ω, ω ω Ω, ω Ω } = Ω Ω Pr((ω, ω := Pr (ω Pr (ω ( (ω, ω Ω Das Ereignis A, dass der erste Spieler gewinnt, setzen wir als und es gilt nun: Pr(A = A := {(ω, ω Ω ω > ω } Ω ω >ω Pr (ω Pr (ω = Pr (6 ω <6 Pr (ω Pr (4 ω <4 Pr (ω Pr ( ω < Pr (ω = Pr (6(Pr (5 Pr ( Pr (4 Pr ( Pr ( Pr ( = 6 6 = 4 = 7 wobei das Ereignis disjunkt partioniert wurde. P Dass dies ein W-Maß ist, ist leicht nachzurechnen. ω Ω Pr(ω = P ω Ω Pr P (ω ( ω Ω Pr (ω = P ω Ω Pr (ω =.

2 b Da die Augenzahlen niemals übereinstimmen gewinnt immer genau einer der beiden Spieler. Also ist A := A c das Ereignis, dass der zweite Spieler gewinnt. Wir konstruieren uns nun eine Zufallsvariable X : Ω R, welches den Gewinn des zweiten Spielers angibt. Das Bild der ZV ist X(Ω = {5, 4} und X ({5} = A, sowie X ({ 4} = A. Und damit insgesamt: E[X] = x R Pr(X = xx = Pr(X = 5 5 Pr(X = 4 ( 4 =5 Pr(A 4 Pr(A =5( = 5 8 = 4 Der zweite Spieler wird also erwartete /4 Euro pro Wurf verlieren.. Wahrscheinlichkeiten II ( Punkte Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei fairem Würfel (a beim sechmaligen Würfeln mindestens eine Eins zu erzielen, bzw. (b beim zwölfmaligen Würfeln mindestens zwei Vieren zu erzielen? Hinweis: Es ist leichter, die jeweiligen Komplementärereignisse zu analysieren. Seien A die jeweiligen Ereignisse. Die betreffenden Wahrscheinlichkeitsräume sind die Gleichverteilung auf Ω k mit Ω = {,,, 4, 5, 6}, k = 6 in a und k = in b. a b Pr(A = Pr(A c = Pr({,..., 6} 6 ( 5 6 = 6 = Pr(A = Pr(A c = (Pr({ Es tritt keine vier auf. } Pr({Es tritt genau eine vier auf. } ( 5 ( = ( Pr({4} Pr({,,, 5, 6} 6 = ( Man beachte die Anwendung der Binomialverteilung. Z.B. ist die W-keit für einmaliges Auftreten der Augenzahl vier b(,, /6.

3 . Wahrscheinlichkeiten III (4 Punkte Ein fairer Würfel wird viermal geworfen. Es sei A das Ereignis, dass mindestens eine Eins gewürfelt wird. (a Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, unter der Voraussetzung B, dass im ersten Wurf eine Sechs fällt? Sind A und B unabhängig? (b Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A, unter der Voraussetzung C, dass mindestens einen Sechs geworfen wird? a Es ist Pr(A B Pr(A B = Pr(B 6 = ( ( 5 6 /6 = = Pr(A c = Pr(A Damit sind die Ereignisse A und B nicht unabhängig voneinander. b Wir benutzen Pr(A C = Pr((A C c : Pr(A C Pr(A C = Pr(C = Pr((A Cc 54 = Pr(Ac C c 54 = (Pr(Ac Pr(C c Pr(A c C c ( 44 6 = Asse (4 Punkte Sie mischen 5 Pokerkarten und geben 5 zufällige Karten ihrem Partner. Er sagt, dass er das Kreuz Ass hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein weiteres Ass hat? Nun sagt er, dass er ein Ass hat (nicht welches. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass er noch ein weiteres Ass hat?

4 (Th. Notz Die Anzahl der möglichen Blätter mit einem Kreuz Ass ergibt sich, indem man noch 4 weitere Karten aus den 5 übrigen auswählt: ( 5 4. Um die Anzahl der Möglichkeiten noch mindestens ein weiteres Ass zu haben zu berechnen, addieren wir die Möglichkeiten genau, bzw. weitere Asse zu haben und erhalten ( 48 Die Wahrscheinlichkeit, dass er ein weiteres Ass hat unter der Bedingung, dass er das Kreuz Ass hat, ist also ( ( ( 5 0, 4 Die Anzahl der möglichen Blätter, durch die man sowohl Zähler als auch Nenner teilen musste, kürzt sich dabei wieder heraus. Um die Anzahl der Blätter mit einem Ass zu bestimmen, addieren wir wieder die Möglichkeiten für genau,, bzw. 4 Asse: 4 4 ( 48 Die Anzahl der Möglichkeiten zwei Asse zu haben ist entsprechend: ( ( ( ( ( ( Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass er (mindestens zwei Asse hat unter der Bedingung, dass er schon eins hat: ( 4 ( 4 4 ( 4 4 ( 4 ( 4 0, 4 5. Zufallsvariable (4 Punkte Wir betrachten den durch zwei unabhängige und gleichverteilte Würfel erzeugten diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, Pr, d.h. jedes (i, j Ω = {,,..., 6} {,,..., 6} hat die Wahrscheinlichkeit 6. Wir definieren die Zufallsvariablen X, Z wie folgt: X(i, j = 6i j Z(i, j = 6 max(i, j min(i, j Beschreiben Sie die diskreten Verteilungsfunktionen der zwei Variablen und bestimmen Sie die Erwartungswerte. Seien X und X die Zufallsvariablen, welche das Ergebnis des ersten bzw. zweiten Wurfs darstellen. Dann gilt X = 6X X. Wobei wir mit dieser Darstellung und der Linearität des Erwartungswertes sofort E[X] = E[6X X ] = 6E[X ] E[X ] =.5 = 4.5 Wir verknüpfen zwei Abbildungen f, g in dem wir punktweise verknüpfen: (f g(x := f(x g(x. Genauso gilt für Konstanten λ: (λ f(x := λ f(x.

5 erhalten. Sei X = i, dann ist der Wert von X aus 6i, 6i, 6i, 6i4, 6i5, 6i6 = 6(i 0. Man sieht so, dass die beiden Würfe bei X so kombiniert werden, dass wir die Gleichverteilung auf {7,..., 4} haben. Setzen wir X max := max(i, j und X min := min(i, j, so ist Z = 6X max X min. Es ist E[X max ] = 6 6 (siehe Skript. Die Verteilungsfunktion von X min gewinnt man aus folgender Dualität: Kehrt man die Wertigkeiten der Augenzahlen um (aus i wird 7 i so betrachte man das Maximum der beiden Würfe und kehre dies wieder um. So hat man das Minimum der Ausgangsverteilung. Mit dieser Herleitung gewinnen wir: E[X min ] = (7 6 (7 6 und abschliessend:... (7 6 6 = 7 E[X max] = = 9 6 E[Z] = 6E[X max ] E[X min ] = Zur Herleitung der Verteilungsfunktion iterieren wir wieder über das Maximum der beiden Zahlen und schreiben die möglichen Werte 6X max X min mit ihren dazugehörigen Würfelergebnissen hin: 6 (, 6 (,, (, 6 (, 6 (,, (, 6 (,, (, 6 (,. Und hoffentlich hat man nun das Muster eingesehen. Für n = 6 q r mit 0 r 5 4 ist dann: 6, r = q {,..., 5} oder q = 7, r = 0 P (Z = n = 8, r < q {,..., 6} 0, sonst 6. Schneebälle werfen (4 Punkte Alice und Bob werfen Schneebälle auf den kleinen Hans. Alice trifft mit Wahrscheinlichkeit /5 und Bob mit /4. Zuerst wirft Alice einmal und dann immer abwechselnd jeder zweimal, also A,BB,AA,BB,AA usw. Berechnen Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit, dass Alice zuerst trifft? Eine andere Methode wäre, dass E[X max X min] = E[X X ] = 7 sein muss, da wenn X max = X X = X min. Daher tritt jede der beiden Würfelaugenzahlen genau einmal in der Summe auf. 4 Damit sind q, r eindeutig bestimmt (Division mit Rest und der Ausdruck wohldefiniert.

6 Alice trifft beim allerersten Wurf mit Wahrscheinlichkeit /5. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass A beim ersten Doppelversuch trifft ist (/5(/4 (/5 /5 /5, denn damit es zu dem ersten Doppelversuch von A überhaupt kommt, darf vorher A beim ersten Wurf nicht treffen und danach muss B zweimal nicht treffen. Beim i ten Doppelversuch trifft A mit Wahrscheinlichkeit (/4 i (/5 i 6/5. Wir addieren über die Versuche von A und erhalten Pr( A trifft zuerst = /5 6/5 (/4 i (/5 i Elementares Umformen liefert unter Benutzung der Formel für die geometrische Reihe: Pr( A trifft zuerst = /5 7/5 (8/400 i = /5 7/5 ( 8 = 4/9 400 i=0 Hier ist ein etwas eleganterer Lösungsweg: Setze p A := /5 und p B := /4 als Hilfsvariablen für die Trefferwahrscheinlichkeiten von Alice bzw. Bob. Zuerst entfernen wir die Asymmetrie von ABBAABBAA... = A n N (BBAA über eine Fallunterscheidung: i= Pr({Alice trifft vor Bob in ABBAABBAA...} = p A ( p A Pr({Alice trifft vor Bob in BBAABBAA...} }{{} =:p Wir finden nun eine Rekursionsgleichung für p, indem wir ein BBAA abarbeiten und zwar: p = Pr({Alice trifft vor Bob in BBAA Pr({ Alice und Bob treffen nicht in BBAA}p =( p B (Pr({Alice trifft in AA ( p B ( p A p =( p B ( ( p A ( p B ( p A p Nach Umstellung der Gleichung muss bei Existenz von p gelten: Insgesamt errechnen wir: p = ( p B ( ( p A ( p B ( p A = 9 6 ( = 44 9 Pr(A = p A ( p A p = /5 / =