7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit

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1 Übungsmaterial 7 Unabhängigkeit von reignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit 7. Unabhängigkeit von reignissen Wir betrachten folgendes Beispiel: Zwei unterscheidbare Münzen werden geworfen. Man betrachtet die reignisse : Die erste Münze zeigt Zahl : Die zweite Münze zeigt Zahl. Wie wahrscheinlich ist das intreten von reignis, wenn die erste Münze Zahl anzeigt? s ist klar, dass das Auftreten von Zahl im zweiten Wurf nicht davon beeinusst wird, was beim vorherigen Wurf eintritt. Man sagt, die reignisse und sind (stochastisch) unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit für hat nichts mit dem rgebnis des ersten Wurfes, also auch nichts mit zu tun. Rechnerisch erhält man diese Lösung, wenn man im Baumdiagramm entlang der Äste multipliziert: P ( ) + Bei zwei unabhängigen reignissen A und B entspricht die Wahrscheinlichkeit für das intreten beider reignisse dem Produkt der inzelwahrscheinlichkeiten: A, B unabhängig P (A) P (B). () 7. Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel: in er und ein weiÿer Würfel werden geworfen und ihre Augensumme addiert. s gibt vier Möglichkeiten, die Augensumme 9 zu erhalten: (,6), (6,), (,5) und (5,). Die Wahrscheinlichkeit, dass die

2 Übungsmaterial Augensumme der beiden Würfel 9 ist, beträgt also 6 9. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme 9 ist, wenn der e Würfel drei anzeigt? Die reignisse A Augensumme beträgt 9 und B Der e Würfel zeigt an sind nicht unabhängig. Die Bedingung B reduziert die Anzahl der möglichen Fälle von 6 auf sechs: B {(,), (,), (,), (,), (,5), (,6)}. Hiervon ist einer für das reignis A günstig, nämlich (,6), der Fall, dass der weiÿe Würfel die Augenzahl 6 anzeigt. Die Wahrscheinlichkeit für das reignis A unter der Bedingung B ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P B (A) 6. Durch die Information über das intreten von B ist das reignis A wahrscheinlicher geworden, denn P(A) 9 < 6 P B(A). In diesem Beispiel ist A B {(,6)}, also P(A B) 6. Ferner ist B {(,), (,), (,), (,), (,5), (,6)}, also P(B) Man erkennt P (B) P B(A). Für die bedingte Wahrscheinlichkeit P B (A) gilt die Formel von Bayes: P B (A) P (B) + () Beispiel In einer Kugel benden sich zwei e und zwei e Kugeln. s werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Zug eine e Kugel zu erhalten, wenn wir die erste Kugel war? Wir betrachten folgendes Baumdiagramm: Start

3 Übungsmaterial Der rgebnisraum ist Ω {RR, RB, BR, BB}. Wir schreiben für das reignis rste Kugel ist und für das reignis Zweite Kugel ist ; {RR, RB}, {RB, BB}. dann P ( ). s ist und P ( ) P ( ) +. P ( ) P ( ) P ( ). Zum Vergleich: Hätten wir die Information über das intreten von nicht gehabt, würden wir für das reignis die Wahrscheinlichkeit erhalten. P ( ) + Durch das intreten von ist also das reignis wahrscheinlicher geworden. 7. Aufgabe ) in Würfel werde dreimal geworfen. Gib zwei unabhängige und zwei abhängige reignisse an. ) Von hundert Studenten sind vierzig Raucher. Nach einer Prüfung wurde der Zusammenhang Bestanden (Nicht-)Raucher untersucht. s ergab sich folgende Tabelle, wobei R : Student ist Raucher und B: Student hat bestanden bedeutet. R R a) Zeige: Die reignisse R und B sind stochastisch abhängig. b) Wie müsste die Tabelle verändert werden, damit die reignisse unabhängig sind?

4 Übungsmaterial Lösung ) Die reignisse A : Der erste Wurf zeigt die Augenzahl und A : Der zweite und der dritte Wurf zeigen dieselbe Augenzahl sind stochastisch unabhängig. Die reignisse B : Die Augensumme der drei Würfel ist und B : Der erste Wurf zeigt die Augenzahl 6 sind stochastig abhängig. ) Wir schreiben die Tabelle mit Wahrscheinlichkeiten auf: R 0, 0, 0, R 0,55 0,05 0,6 0,65 0,5 a) Die zu verwendenden Wahrscheinlichkeiten sind nun P (R B) 0,, P (R) 0, und P (B) 0, 5, also P (R) P (B) 0, 0, 5 0, P (R B) Die reignisse R und B sind stochastisch abhängig. b) Die Tabelle könnte folgendermaÿen verändert werden: R 0 R Aufgabe ) Aus vier gleichartigen Laplace-Münzen, von denen eine auf beiden Seiten Wappen, die anderen drei auf einer Seite Wappen und auf der anderen Seite Zahl tragen, wird eine ausgewählt und dreimal hintereinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde die Münze mit den zwei Wappen ausgewählt, wenn dreimal Wappen erschienen ist? ) Auf einer bestimmten U-Bahn-Strecke fahren besonders viele Schwarzfahrer. 0% davon sind Jugendliche. Zwei Kontrolleure sollen die Fahrgäste nacheinander kontrollieren. Der erste Kontrolleur entdeckt 0% der schwarzfahrenden Jugendlichen und 60% der rwachsenen ohne Fahrschein. Der zweite Kontrolleur entdeckt schwarzfahrende Jugendliche und rwachsene mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Wir groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein entdeckter Schwarzfahrer ein Jugendlicher ist?

5 Übungsmaterial 5 Lösung ) Wir wählen die Bezeichnungen W : Das gewählte Geldstück hat zwei Wappen und : s erscheint dreimal Wappen und erhalten folgendes Baumdiagramm: W 0 _ Start W 7 _ P (W ) P (W P () + 0, 7%. ) Wir betrachten die reignisse J: Schwarzfahrer ist Jugendlicher und : Schwarzfahrer wird erwischt. P (J) P (J ) 0, 0, + 0, 0, 6 0, 5 P () (0, 0, + 0, 0, 6 0, 5) + (0, 6 0, 6 + 0, 6 0, 0, 5) 0, 6, % 0, 76