1 Übungsaufgaben. 1.1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1 1 ÜBUNGSAUFGABEN 0

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1 ÜBUNGSAUFGABEN Übungsaufgaben In diesem Kapitel sind Übungsaufgaben zusammengestellt, die den Stoff der Vorlesung vertiefen und die für Prüfungen erforderliche Praxis und Schnelligkeit vermitteln sollen. Dem Studierendem wird daher dringend empfohlen zumindest einige der Aufgaben selbstständig zu bearbeiten.. Übungsaufgaben zu Kapitel. Zum Vektor a soll ein Vielfaches des Vektors b addiert werden, so daß die Summe von a und λ b auf dem Vektor c senkrecht steht. Wie muß man λ a) allgemein b) für die Vektoren a = wählen? 2. Gegeben sei a = 2 6, b =, c = 2 5. Bestimmen Sie alle Vektoren v, für die a v = gilt.. Welchen Winkel schließen die beiden Vektoren a = und b = ein? 4. Seien u, v, w unabhängige Vektoren. Sind dann die drei Vektoren u + v, u v und u 2 v + w ebenfalls unabhängig? 5. Man prüfe auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit: a) 2,, b) 4 7,,,. 6. Seien a = 2, b =. a) Man berechne a b. b) Welchen Winkel bilden a und b? 7. Gegeben seien die Geraden g und g 2 durch die Punkte (,), (,) bzw. (,2), (2,). a) Ermitteln Sie die Parameterdarstellungen von g und g 2.

2 ÜBUNGSAUFGABEN b) Wie lauten die parameterfreien Gleichungen der Geraden? 8. Gegeben sei eine Ebene E durch die Punkte P = (,2, ), P = (,,) und P 2 = (2,, 2). a) Geben Sie die Parameterdarstellung von E an. b) Man stelle die implizite Gleichung der Ebene E auf. c) Wie lautet die Hesse-Normalform von E? 9. Gegeben seien die Matrizen A = ( ) 2, B = 4 D = (2 ) T. ( ) 4, C = 2 Man berechne, falls möglich, die folgenden Ausdrücke: , a)a 4B b)a+c c)ab d)ac e)ad f)bc g)bd h)cd i)a T j)a T C k)d T A T l)b T A m)d T D n)dd T o)b 2. B sei eine (2,2)-Matrix, die die Gleichung AB = BA für jede beliebige (2,2)-Matrix A erfüllt. Man zeige, daß B dann eine sog. Skalarmatrix ist, d.h. B = ( ) λ λ mit λ IR.. Ein Unternehmen benötigt zur Produktion der Mengen e und e 2 zweier Endprodukte E und E 2 zwei Zwischenprodukte Z und Z 2. Diese werden aus drei verschiedenen Rohstoffen R,R 2 und R hergestellt. Für eine ME e werden 2 ME Z und ME Z 2, für eine ME e 2 werden ME Z und 2 ME Z 2 benötigt. ME von Z entsteht aus ME R, ME R 2 und ME R. ME von Z 2 entsteht aus ME R, 2 ME R 2 und 2 ME R. a) Ermitteln Sie durch Aufstellung geeigneter Matrizen den Rohstoffbedarf für die Herstellung von e = 2 und e 2 = 5 Endprodukten. b) Stellen Sie eine Matrixgleichung auf, aus der man für beliebige Produktionsmengen sofort den Rohstoffbedarf ermitteln kann. c) Gegeben sei nun der Preisvektor p = (p,p 2,p ) = (.5,,.) T (eine ME von R i kostet p i GE). Wie hoch sind die Rohstoffkosten K für obigen Produktionsplan? 2. Gegeben sei eine Diagonalmatrix D n mit Diagonalelementen λ i (i =,...,n). Man beweise: D n ist positiv definit alle λ i >.

3 ÜBUNGSAUFGABEN 2. Wir betrachten wieder das Unternehmen aus Aufgabe??. Es seien nun 9 ME von R sowie 85 ME von R 2 und R vorhanden. a) Welche Endproduktmengen e i, i =,2 (=Produktionsplan) muß der Unternehmer herstellen, um alle Rohstoffe zu verbrauchen? b) Gibt es mehrere Produktionspläne mit totalem Rohstoffverbrauch? (Begründung!) c) Der Unternehmer stellt fest, daß die Rohstoffe R 2 und R identischen Verbrauch haben. Er hält diese daher immer in gleichen Mengen r 2 = r vorrätig. Stellen Sie eine Matrixgleichung auf, aus der sich für beliebige Rohstoffvorräte r i, i =, 2 sofort der Produktionsplan für den Totalverbrauch der Rohstoffe ergibt! Gelten die einfachen Beziehungen e = r r 2 und e 2 = 5 (r 2 8e )? (Begründung!) 4. Man berechne die Inversen der Matrizen 2 a)a = 5 6 b)b = Gegeben seien folgende Matrizen und Vektoren: A = a) Berechnen Sie AB., B = 2.5 λ 2.5 λ 4λ λ, b =, x = b) Wählen Sie λ IR danach so, daß B = A. Lösen Sie (mit diesem λ) das System A x = b. c) Nunmehr sei λ = : Bestimmen Sie rang(b) und lösen Sie das System B x = b. 6. Ist im Aktienportfolio-Beispiel von S. 65 die Auszahlung w = (2,,2) T erreichbar? 7. Ein Wertpapiermarkt mit gegebener s n Auszahlungsmatrix D heißt vollständig, falls jede beliebige Auszahlung w IR s erreichbar ist. a) Welche formale Bedingung muß für D auf einem vollständigen Markt gelten? b) Ist der Markt mit der Matrix D T = vollständig? 2 2 c) Ist der Markt des Beispiels von Seite 65 vollständig? 8. Gegeben sei ein Wertpapiermarkt mit der Auszahlungsmatrix D = x x 2 x x 4 ( und dem Preissystem q T = (,48,8). Ist dann θ = (5, /2,) T ein Arbitrageportfolio? Interpretieren Sie das Ergebnis!. )

4 ÜBUNGSAUFGABEN 9. Gegeben sei ein Wertpapiermarkt mit der Auszahlungsmatrix D = dem Preissystem q T = (,2,7). a) Ist Arbitrage bzgl. der Auszahlung w = e = (,,,) T möglich? b) Ist Arbitrage mit der Auszahlung w = (,,,x) T mit x möglich? c) Ist der Markt vollständig? und.2 Übungsaufgaben zu Kapitel 2. Eine Bank lockt mit dem Angebot Wir verdoppeln ihr Kapital in 2 Jahren!!. a) Welche Verzinsung bietet Ihnen die Bank? b) Nach wievielen Jahren hat sich Ihr Kapital verdreifacht? 2. Beim Diskontieren von Wechseln wird die einfache, vorschüssige Verzinsung benutzt. Sie reichen bei Ihrer Bank einen Wechsel in Höhe von Euro 2 Tage vor Fälligkeit ein. Welchen Betrag erhalten Sie bei einer Verzinsung von 5%?. Gegeben sei ein Startkapital von 2 Euro. a) Welches Endkapital hat man bei stetiger Verzinsung mit % nach zwei Jahren? b) Wie groß müßte der Zins bei exponentieller Verzinsung sein, um nach einem Jahr den gleichen Zinsbetrag zu bekommen wie bei stetiger Verzinsung? 4. Sie haben bei einer Lotterie für 2 Euro ein Los gekauft. Das Los ist scheinbar ein Glückstreffer, denn Sie können zwischen drei Alternativen wählen: A: Sie erhalten Ihren Einsatz sofort zurück. A2: Sie erhalten in einem Jahr Euro, in zwei Jahren 2, Euro. A: Sie erhalten nach einem Jahr 5,5 Euro, nach zwei Jahren 6,5 Euro und, Euro nach drei Jahren. Für welche Alternative entscheiden Sie sich, wenn derzeit ein Marktzins von % herrscht? 5. Auf dem Kapitalmarkt liege das Zinsniveau bei 8,5%. Gegeben sei eine Anleihe mit 8% Zins und 4 Jahre Restlaufzeit, die zum Kurs von getilgt wird. a) Ermitteln Sie den Barwert dieser Anleihe? b) Ein Investor kauft für. Euro diese Anleihe. Über welches Endvermögen kann er verfügen? 6. Gegeben sind die Spot Rates 8%, 8,25% und 8,5% für -,2- und -jährige Fristigkeiten. Wir betrachten eine 9%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von Jahren, die zu getilgt wird.

5 ÜBUNGSAUFGABEN 4 a) Berechnen Sie den Barwert dieser Anleihe. b) Ermitteln Sie den Barwert der Anleihe aus den dazugehörigen Diskontierungsfaktoren. c) Ermitteln Sie den Barwert der Anleihe aus den äquivalenten Forward Rates. 7. Gegeben sei eine Anleihe A mit % Nominalzins, einem Preis von 5 und einer Restlaufzeit von 2 Jahren, die zum Kurs von T = getilgt wird. a) Berechnen Sie den Effektivzins der Anleihe A. b) Welche Kuponhöhe müßte bei halbjährlicher Zinszahlung die Anleihe A haben (d.h. zweimal pro Jahr die Hälfte des Zinses), so daß sich ihr ursprünglich berechneter Effektivzins nicht ändert? 8. Die Darlehenssumme beträgt Euro, jedoch behält der Darlehensgeber 5 Euro für Kreditwürdigkeitsprüfung- und Bearbeitungskosten ein, so daß sich der Auszahlungsbetrag des Darlehens auf 95 Euro beläuft. Die Rückzahlung erfolgt wie im ersten Vorlesungsbeispiel,5 Jahre nach der Darlehensaufnahme. Welcher Effektivzins ergibt sich? 9. Die Darlehenssumme S beträgt Euro. Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen: nach Monaten: 272 Euro, nach 6 Monaten: 272 Euro, nach 2 Monaten: 544 Euro. Stellen Sie die Gleichung zur Bestimmung des Effektivzinses auf.. Berechnen Sie die Duration folgender endfälliger Anleihen mit einem Nennwert von jeweils : a) Anleihe A: k=6%, n=, b) Anleihe B: k=2%, n=5,5. Das derzeitige Zinsniveau am Markt betrage 9%.. Ein Spekulationsgewinn in Höhe von 25. Euro wird zu 5% angelegt. Der Spekulant hebt Jahre lang jährlich nachschüssig jeweils Euro ab. Wie hoch ist das Kapital nach Jahren? 2. a) Jemand erbt eine jährlich vorschüssige, zehnmal zahlbare Rente von Euro. Wie hoch wäre bei einem Zinssatz von 5% seine heutige Abfindung? b) Auf welchen Endwert wachsen Sparraten von jeweils Euro, zahlbar am Anfang eines Jahres, an bei einem Zinssatz von 5%? c) Welcher Endwert ergibt sich, wenn die Sparraten am Ende des Jahres zu zahlen sind?

6 ÜBUNGSAUFGABEN 5. Ein Bankkunde hat ein Guthaben von. Euro. a) Welche jährliche Rentenzahlung könnte er bei einem Zinssatz von 6% p.a. bei ewiger Rente bekommen? b) Wieviele Jahre würde das Guthaben reichen, wenn er die doppelte Rente bekäme? Wie hoch ist dann die letzte Zahlung? 4. Für einen Ratenkredit in Höhe von 8. Euro erhebt die Bank % p.a. a) Wie hoch muß die jährliche Tilgungsrate sein, damit der Kredit in 5 Jahren zurückgezahlt ist? b) Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. c) Wie hoch ist der Barwert der Schuldnerbelastung bei einem Marktzins von 6%? 5. Formen Sie den Ratenkredit aus der vorherigen Aufgabe mit gleicher Anfangsschuld, gleichem Zinssatz und gleicher Laufzeit in ein Annuitätendarlehen um und geben Sie den Tilgungsplan an. Ist bei einem unterstellten Marktzins von 6% die Annuitätentilgung dem Ratenkredit vorzuziehen? 6. Bei Annuitätendarlehen wird aus steuerlichen Gründen häufig ein sog. Disagio (synonym: Damnum oder Abgeld) gewählt: man versteht darunter einen prozentualen Abzug vom nominellen Darlehensbetrag. Eine Bank bietet bei einem Disagio von 4,6% ein Annuitätendarlehen zu 5% p.a. Zins an. Bei anfänglicher Tilgung von % wird monatliche Zins- und Tilgungsverrechnung vereinbart. Ein Kreditnehmer benötigt. Euro. a) In welcher Höhe muß der Kredit aufgenommen werden? b) Ermitteln Sie die monatliche Annuität. c) Welche Restschuld ergibt sich nach 5 Jahren? d) Wie hoch ist die Tilgung nach 5 Jahren? e) Wann ist das Darlehen getilgt? 7. Eine Investition sei durch folgende Zahlungsreihe gekennzeichnet: Zeitpunkt t t t 2 t t 4 Einzahlungen Auszahlungen a) Handelt es sich um eine Normalinvestition? b) Ermitteln Sie den Kapitalwert bei einem Kalkulationszins von 8% bzw. 6%. c) Wann ist die Investition sinnvoll? 8. Gegeben sei eine Investition I = ( a,c,c,...,c) mit konstanten Überschüßen c t = c für t =,...,n. a) Vereinfachen Sie die Formel für den Kapitalwert C.

7 ÜBUNGSAUFGABEN 6 b) Wie lautet eine einfache Formel für die Kapitalwertannuität c? c) Gegeben sei nun die Investition Ĩ = ( 2.,.,.,.) und ein Kalkulationszins von 8% p.a. Berechnen Sie C und c mit den in (a) und (b) gefundenen Formeln. d) Welchen durchschnittlichen Übergewinn hat Ĩ? 9. Ein Unternehmer hat die Wahl eine Maschine bei der Firma A zu 75. Euro oder bei der Firma B zu 2. Euro zu kaufen. Voraussichtlich entstehen ihm während der dreijährigen Nutzungsdauer jährliche Wartungskosten von 5. Euro (Firma A) bzw. 25. Euro (Firma B). Die jährlichen Einnahmen belaufen sich auf 8. Euro (Firma A) bzw. 26. Euro (Firma B). Der Unternehmer benutzt zur Beurteilung der potentiellen Investitionen die Annuitätenmethode. Für welche Firma entscheidet er sich bei einem Kalkulationszinssatz von 8%? 2. Eine Investition I von. Euro erbringt nach dem ersten Jahr 2.6 Euro und kostet nach dem zweiten Jahr.65 Euro. Bestimmen Sie den internen Zinsfuß von I. 2. Bestimmen Sie möglichst einfache Formeln für die internen Zinsfüße der folgenden Spezialfälle: a) Investition mit Auszahlung a und einmaligem Einzahlungsüberschuß c n nach n Jahren. b) Investiton I = ( a,c = c,c 2 = c,...,c n = c) mit konstanten Einzahlungsüberschüßen c. Vereinfacht sich die Formel, wenn am Ende (nach n) Jahren noch zusätzlich ein Verkaufserlös von a anfällt, d.h. c n = c+a? c) Investition I = ( a,c,c 2 ). 22. Zeigen Sie, daß bei einer Normalinvestition, bei der zu Beginn lediglich eine einzige Auszahlung auftritt, nur ein positiver interner Zinsfuß existiert.. Übungsaufgaben zu Kapitel. Gegeben sei die Fläche z = x 2 y 2. Skizzieren Sie die Schnittkurven mit den Koordinatenebenen. Wie lautet die Gleichung der Niveaulinie? Skizzieren Sie die Fläche. 2. Existieren die folgenden Grenzwerte? a) lim (x,y) (,) x 2 x2 +y 2 b) lim (x,y) (,) x 2 y x 2 +y 2 x 2 y 2 c) lim (x,y) (,) x 2 +y 2. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen.Ordnung der Funktion z = f(x, y) für a)z = e x2 +xy b)z = x y c)z = ln(tan( x y )) d)z = { xy x 2 +y 2 für (x,y) (,) für (x,y) = (,).

8 ÜBUNGSAUFGABEN 7 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (2,,) an die Fläche z = x 2 +2y Wie groß ist der Anstiegswinkel α der Tangente parallel zur y, z-ebene an die Fläche z = 9 x 2 y 2 im Punkt (2,,z )? 6. Gegeben seien die Funktion f(x,y) = 2 x2 + xy, sowie die Punkte P = (,2) und P = (.,.9). a) Wo ist f(x, y) differenzierbar? b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im Punkt P. c) Berechnen Sie in P das totale Differential von f(x,y). Welchen Wert hat das totale Differential für die Zuwächse dx =. und dy =.? Vergleichen Sie diesen Wert mit der Differenz f(p) f(p ). 7. Gegeben sei die Funktion f(x,y) = x 2 + y 2 sowie der Punkt x = (, 8) T und der Richtungsvektor v = (, 8) T. a) Man berechne die Richtungsableitung f T ( x) v. b) Man setze h(t) = f( x+t v) und berechne h (). c) Man zeige, daß jeder Vektor, der die Tangente an die Niveaulinie von f in x repräsentiert, senkrecht zu f( x) ist. d) Man zeichne die Niveaulinien von f und trage alle in a), b) und c) berechneten Größen in die Skizze ein. 8. Berechnen Sie die relativen Minima und Maxima von a) f(x,y) = x +y x 2y+2, b) f(x,y) = x 6xy +y.

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