Gleichungen mit mehreren Unbekannten Kap. 2.5 Seite 124

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1 Gleichungen mit mehreren Unbekannten Kap. 2.5 Seite 24 Gleichungen mit mehreren Unbekannten kennen Sie bereits von den Funktionsgleichungen: y = 3x 4 oder y = x 2 2x + 5. Bereits diese beiden e zeigen, dass eine Unterteilung in lineare und nicht lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten sinnvoll ist. Wir beschränken uns hier vorläufig auf lineare Gleichungen. Zum Einstieg lösen Sie bitte die Aufgabe Nr. 382 Von den linearen Funktionen her wissen Sie, dass ihre Funktionsgleichungen beliebig viele Lösungen haben. Damals haben Sie die zugehörigen Zahlenpaare als Punkte in einem Koordinatensystem eingetragen. Die Menge aller Punkte ergab eine Gerade. Wenn wir nun zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten zusammenfassen, so sprechen wir von einem linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. y = 3x 4 Schreibweise: 2x + 3y = 5 Solche Gleichungssysteme beschäftigen die Menschheit seit mehreren tausend Jahren. Wir beginnen mit einer 4000 jährigen Aufgabe aus Mesopotamien: "Ein Viertel der Breite zur Länge addiert ergibt 7 Handbreiten, Länge und Breite addiert macht 0 Handbreiten." Von welcher Handbreite und welcher Länge ist wohl hier die Rede? Es ist nicht überliefert, wie die Mesopotamier dieses Problem lösten. Heute würden wir ein B + L = 7 Gleichungssystem aufstellen: 4 Sie werden sicher ohne Theorien diese Aufgabe lösen L + B = 0 können. Ein zweites stammt von Chang Ch'iu-chien (um 475 n.chr.) aus China. Es ist berühmt, weil zahlreiche Varianten bei den Indern, den Arabern und sogar bei Adam Riese ( ) bekannt sind: Ein Hahn kostet 5 sapek, eine Henne 3 sapek und drei Küken sapek. Wenn wir nun für 00 sapek 00 dieser Tiere einkaufen: Wie viele sind es dann von jeder Sorte?" Gelingt es Ihnen ein passendes Gleichungssystem aufzustellen? Haben Sie zwei Gleichungen mit drei Unbekannten gefunden? Auf die Lösung kommen wir später zurück. Wir fassen vorläufig zusammen: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus n linearen Gleichungen mit m Unbekannten. Beachten Sie, dass nicht unbedingt n = m gelten muss. Seite 2000

2 Lösungsmethoden Alle Lösungsmethoden verfolgen dasselbe Ziel: Die Anzahl der Unbekannten und die Anzahl der Gleichungen muss reduziert werden, solange bis noch eine Gleichung mit einer Unbekannten übrig bleibt. Durch Einsetzen gewinnt man auf dem Rückweg sämtliche Lösungen. Die Additionsmethode: x + y = 28 addieren wir beide Gleichungen so folgt: 2x = 38, also x = 9. Durch x y = 0 Einsetzen folgt y = 9. Die Lösungsmenge lautet also L = { (9;9) }. Wir sprechen von einem geordneten Zahlenpaar, denn (9;9) ist nicht gleich (9;9). 2a = 5b 7b 3 = 6a 2a + 5b = 6a + 7b = 3 zuerst müssen wir etwas ordnen: nun multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3 6a + 5b = 3 und subtrahieren die zweite von der ersten: 6a + 7b = 3 8b = 0, somit b = 0 und durch Einsetzen a = 0.5 also L = { (0.5;0) } Verwenden Sie möglichst die Additionsmethode. Die Einsetzungsmethode: x 3y = 9 Hier können wir entweder die erste Gleichung nach x auflösen 3x y = 23 und das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen, oder die zweite Gleichung nach y und in die erste einsetzen: x = 3y 9 eingesetzt: 3(3y 9) = 23, somit y = 0 und x =. L = {(;0)} Die Substitutionsmethode: 2 = x + p x + y q = 5 x + p x + y q 2a b = 3a + 2b = 5 = x + p = x + y q L = {( p;p + q )} umgeformt Hier substituieren wir a = und b = x + p x + y q jetzt Additionsmethode oder Einsetzungsmethode: a = und b =, das ergibt das folgende System: x + p = x + y = q und daraus x = p und y = p + q Nun sollten Sie einige Gleichungssysteme lösen gemäss Ihrem Semesterplan. Seite 000

3 Lösbarkeit Vielleicht glauben Sie aufgrund der bisherigen e und Aufgaben, dass jedes lineare Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten genau eine Lösung hat. Aber wenn Sie an die Verbindung zu den linearen Funktionen denken, sollten Sie drei Fälle erkennen: parallele Geraden schneidende Geraden zusammenfallende Geraden keine Lösung eindeutige Lösung beliebig viele Lösungen Eine sichere Methode zur Bestimmung der Lösbarkeit liefert die Die Cramer sche Regel: (Herleitung) ax + by = c dx + ey = f dax + bdy = cd dax + aey = af aex + bey = ce bdx + bey = bf Wir multiplizieren die erste Gleichung mit d und die zweite mit a af cd und subtrahieren aey bdy = af cd und erhalten y = ae bd Nun multiplizieren wir noch einmal mit e bzw. mit b ce bf und subtrahieren aex bdx = ce bf und erhalten x = ae bd Wie Sie sehen sind die Lösungen für x und y nur von den Zahlen a, b, c, d, e und d abhängig. Im Zahlenschema ab c lassen sich drei Gruppen bilden de f Die erste Gruppe besteht aus den vier Zahlen der linken Seiten der Gleichungen. Für die beiden andern Gruppen ersetzen Sie einmal die Koeffizienten von x und einmal jene von y mit den Konstanten der rechten Seite. Solche Zahlenschemata heissen Matrizen. Sie treten an verschiedenen Stellen der Mathematik auf, oft in Verbindung mit Determinanten. Eine Determinante entsteht aus einer Matrix dadurch, dass deren Wert nach einer bestimmten Regel berechnet wird. Die Regel lautet hier: übers Kreuz multiplizieren und subtrahieren: a b ergibt ae db = D dies ist die Hauptdeterminante d e c f a d b e c f ergibt ce fb = D x dies ist die erste Nebendeterminante ergibt af dc = D y dies ist die zweite Nebendeterminante D D Die Lösungen lauten also x = x y und y = oder ohne Nenner x D = D x und y D = D y D D In der Schreibweise mit Nennern erkennen Sie, dass D 0 sein muss damit wir eine eindeutige Lösung bekommen. Seite

4 Wenn jedoch D = 0 ist sehen Sie in der Schreibweise ohne Nenner weitere Fälle: D = 0 und sowohl D x 0 als auch D y 0. In diesem Fall gibt es keine Lösung. Schliesslich D = 0 und D x = 0 oder D y = 0. In diesem Fall gibt es beliebig viele Lösungen. Zusammengefasst: x = 3y 9 y = 3x 23 zuerst ordnen x 3y = 9 3x + y = 23 Jetzt die Determinanten: D = ()() (-3)(-3) = -8 D x = (-9)() (-23)(-3) = -88 D y = ()(-23) (-3)(-9) = -80 D Wegen D 0 gibt es eine eindeutige Lösung: x x = = = und y = = 0 D 8 8 Die Cramer sche Regel ist für die Berechnung von Hand nicht geeignet. Dafür lässt sie sich aber gut programmieren. Sie werden die Cramer sche Regel bei den singulären Gleichungssystemen wieder antreffen. Programmiert sind auch die modernen Taschenrechner HP 48 und TI 89. Sie arbeiten meist mit dem RREF-Verfahren. Die Abkürzung bedeutet Row Reduced Echelon Form. Dabei wird das Gleichungssystem mit der Additionsmethode so lange umgeformt, bis in jeder Gleichung nur noch eine Unbekannte steht und zwar in jeder Gleichung je eine. x + y = 3 x y = 5 Cramer sche Regel genau eine Lösung D 0 D x und D y beliebig D D x y x = y = D D D = 0 D x 0 und D y 0 keine Lösung D = 0 D x = 0 oder D y = 0 beliebig viele Lösungen einmal addiert und einmal subtrahiert ergibt noch durch 2 bleibt das Gleichungssystem x = 4 y = 2x = 8 2y = 2 teilen wir beide Gleichungen man könnte das System auch so darstellen x + 0 = 4 das ist die RREF. Es spielt überhaupt keine Rolle wie viele lineare Gleichungen mit wie 0 + y = vielen Unbekannten zu berechnen sind. Es gibt immer eine RREF. Sie finden dieses Verfahren auf Ihrem Rechner wie folgt: HP 48 MTH MATR FACTR RREF TI 89 CATALOG R bis rref scrollen Vorher müssen Sie natürlich die Matrix des Gleichungssystems eingeben. Das machen Sie beim HP 48 MATRIX Zahlen eingeben und mit ENTER abschliessen TI 89 APPS Matrix New, unter Type geben Sie Matrix ein und unter Variable z.b. matrix die Row dimension gibt die Anzahl Gleichungen an und die Col dimension die Anzahl Unbekannte Seite

5 2x + 3x 2 + 2x3 x 4 = 4 Ein 4x 6x 2 + x3 + 2x 4 = 4x + 8x 2 + 7x3 + 2 x 4 = 3 Geben Sie die Matrix nun in Ihren Rechner ein: 2x + 4x 2 + x3 4x 4 = 2 HP 48 GX TI 89 Das Ergebnis: Die Interpretation: x = 7., x 2 = -4.8, x 3 =.4, x 4 = -.4 u+ v + w = 2 Hier ein eines Gleichungssystems mit L = {} Das Ergebnis: u+ 2v + w = 6 2u 4v 2w = 6 Die letzte Zeile besagt: 0w =, das ist ein Widerspruch, also ist L = {} 2x 3y + z = 7 Hier ein Gleichungssystems mit beliebig vielen Lösungen: Das Ergebnis: x 4y 2z = 3x 2y + 4z = 3 Das bedeutet: x + 2z = 5 oder x = 5-2z y + z = oder y = z Anders ausgedrückt: Für z kann jede beliebige Zahl eingesetzt werden und für y = -z und für x = 5-2z. Nun können Sie sicher die historische Aufgabe von Seite lösen. Seite

6 Singuläre Gleichungssysteme Singuläre Gleichungssysteme haben entweder keine oder beliebig viele Lösungen. Beachten Sie dazu die Cramer sche Regel von Seite 4. 4x + 6y = 3 6x + 9y = c Die Lösungen dieses Systems sind vom Parameter c abhängig. Die Cramer sche Regel liefert: D = 0, D x = 27 6c und D y = 4c 8 D x = 0 falls c = 4.5 und D y = 0 falls c = 4.5. Das bedeutet, dass das System beliebig viele Lösungen hat, wenn c = 4.5 ist, die Lösungsmenge lautet dann L = { (x;y) 4x + 6y = 3 } Wenn c 4.5 ist gibt keine Lösungen, also L = {} 2x y = 3 mx y = q Dieses System ist von m und q abhängig. Die Cramer sche Regel liefert: D = -2 + m, D x = -3 + q, D y = 8 3m D = 0 für m = 2, D x = 0 für q = 3 und D y = 0 für m = 6 Wir haben folgende Fälle: ) eine eindeutige Lösung für m 2 2) keine Lösungen für m = 2 und q 3 und m 6 3) unendlich viele Lösungen für m = 2 und q = 3 oder m = 6 Letztes ax + (a + )y = (a 2)x + ay = a Die Cramer sche Regel liefert: D = a + 2, D x = a(a + 2), D y = -(a )(a + 2) D = 0 für a = -2, D x = 0 für a = 0 oder a = -2 und D y = 0 für a = oder a = -2 Wir haben folgende Fälle: ) eine eindeutige Lösung für a -2 2) keine Lösungen geht nicht, weil dazu a = -2 sein müsste, dann sind aber auch D x = 0 und D y = 0 3) unendlich viele Lösungen für a = -2 Systeme mit mehr als zwei Variabeln: 3x 5y + 4z = 5 I 7x + 2y 3z = 2 II Es ist empfehlenswert die Gleichungen zu nummerieren (hier mit I, II 4x + 3y z = 7 III und III). Wir eliminieren z.b. die Unbekannte z: 3x 5y + 4z = 5 7x + 2y 3z = 2 I + 4III 6x + 2y 4z = 28 + und II 3III 2x + 9y 3z = 2 Das gibt ein reduziertes 9x + 7y = 33 5x 7y = 9 9x + 7y = 33 System: 5x + 7y = 9 Somit x = und durch Einsetzen y = 2 und z = 3 L = {(;2;3)} 4x = 4 Jetzt sollten Sie nur noch üben, üben, üben... Auf der letzten Seite erfahren Sie eine moderne Anwendung von Gleichungssystemen: Seite

7 Gleichunssysteme und Computertomographie Seit 973 kennt man die CT. Vereinfacht dargestellt geht es darum Röntgenstrahlen durch eine Körperschicht zu senden. Die Intensität des Röntgenstrahles ändert sich dabei und daraus lassen sich mit linearen Gleichungssystemen Rückschlüsse auf das Gewebe ziehen. Etwa nach folgendem Prinzip: Die Strahlenquelle SQ sendet mit einer Intensität von 20 Einheiten durch eine Gewebeprobe, welche hier durch 9 Quadrate symbolisiert wird. Bei der Durchdringung der ersten 3 Quadrate fällt die Intensität beim Strahlenempfänger SE ab auf 2 Einheiten. Bezeichnen wir die Abschwächung in den drei Quadraten mit x, x 2, und x 3 so haben wir die Gleichung 20 x x 2 x 3 =2 Oder vereinfacht x + x 2 + x 3 = 8 Dasselbe passiert mit den Quadraten 4 bis 9, also z.b. x4 + x5 + x6 = 4 und x7 + x8 + x9 = 8 Das gibt ein System mit 3 Gleichungen und 9 Unbekannten. Eine eindeutige Lösung ist noch nicht möglich. Die Messaparatur wird nun leicht gedreht: Das ergibt weitere 3 Gleichungen, schliesslich braucht es noch eine weitere leichte Drehung. Es stehen nun 9 Gleichungen mit 9 Unbekannten zur Verfügung, z.b: Dieses System hat genau eine Lösung: (6, 7, 5, 5, 2, 7, 6, 7, 5) Nun muss die Lösung noch interpretiert werden. Jede Zahl bedeutet eine Abschwächung des Röntgenstrahles, was man mit einer Grautonskala erfassen kann: Die 9 Quadrate ergeben dann folgendes Bild: Sie können sich vorstellen, dass der echte CT ein viel umfangreicheres Gleichungssystem produziert. Die Auflösung ist entsprechend feiner: Moderne Computer haben eine Rechenleistung von 0 0 Operationen pro Sekunde. Ein solcher Rechner kann ein System von 000 Gleichungen mit 000 Unbekannten in etwa 3 Hundertstelsekunden auflösen. Die obigen Angaben stammen aus dem Leitprogramm Lineare Gleichungssysteme der ETH. Seite

8 Textaufgaben Viele Textaufgaben lassen sich nach einem Schema lösen: Mischungsaufgaben: Es werden 0 l der Spiritussorte A mit 6 l der Sorte B und 7.4 l Wasser gemischt. Dabei entsteht 50%-iger Spiritus. Dasselbe Ergebnis hätte man auch mit 6 l der Sorte A und 0 l der Sorte B und 4.6 l Wasser erreicht. Wie viel %-ig sind die Sorten A und B? Annahmen Zahlenaufgaben: Annahmen Leistungsaufgaben: Sorte A x %-ig und Sorte B y %-ig Wir denken uns die Sorten aufgeteilt in reinen Spiritus und reines Wasser Wir können nun entweder Wassergleichungen oder Spiritusgleichungen machen: x 0 y ( ) = Spiritusgleichung. Mischung x 6 y ( ) = Spiritusgleichung 2. Mischung Resultat Sorte A: 55 l, Sorte B 70 l Zwei Ziffern bilden eine natürliche Zahl, die viermal so gross ist wie ihre Quersumme und um 9 kleiner als ihre Spiegelzahl. Zehnerziffer x und Einerziffer y Im Dezimalsystem lautet die Zahl also 0x + y und die Spiegelzahl 0y + x 0x + y = 4(x + y) Quersumme 0x + y = 0y + x 9 Spiegelzahl Resultat: x = y = 2 Zahl 2, Spiegelzahl 2 Ein Schwimmbad wird durch 3 Leitungen A, B und C gefüllt. A und B allein brauchen 60 Minuten, A und C allein brauchen 45 Minuten, B und C allein brauchen 36 Minuten. Wie lange braucht jede Leitung allein? Annahmen A allein füllt pro Minute a, B allein pro Minute b, C allein pro Minute c = a b = Die auf der rechten Seite bedeutet Füllung. a c = b c Resultate A braucht 80 Minuten, B 90 Minuten, C 60 Minuten Nichtlineare Gleichungssysteme a + b = 20 z.b. die zweite Gleichung nach a auflösen: a = 6 b und in die erste a + b = 6 einsetzen: (6 b) 2 + b 2 = 20. Diese quadratische Gleichung gibt die Lösungen b = 4 und b 2 = 2 und daraus a = 2 und a 2 = 4 Seite

9 8 m m 2 3 = 5 n+ 2 9 = 4 n + 2 x = und m 2 Hier empfiehlt sich eine Substitution y = Resultate m = 4.72 und n = 47 n+ 2 2m 3n = 6 z.b. die erste Gleichung nach m auflösen: m = 3m 2n = 9 in die zweite Gleichung einsetzen. Resultate (m;n) = (±3; ±2) x + xy + y = 28 x xy + y = n und Durch Subtraktion beider Gleichungen erhalten wir 2xy = 6 oder xy = 7 oder aufgelöst nach x = y 8 und wieder eingesetzt die Resultate (x;y) = (±4 ±2) Seite