Ein Stromfluss ist immer mit einem Magnetfeld verbunden und umgekehrt: Abb Verknüpfung von elektrischem Strom und Magnetfeld

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1 37 3 Transformatoren 3. Magnetfeldgleichungen 3.. Das Durchflutungsgesetz Ein Stromfluss ist immer mit einem Magnetfeld verbunden und umgekehrt: H I Abb Verknüpfung von elektrischem Strom und Magnetfeld Θ= Š Hdr = ni (3..-) mit Θ = Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung) H = Magnetische Feldstärke r = Radius n = Anzahl der Leiterschleifen I = elektrischer Strom für die einfache geometrische Anordnung gilt: Θ= H2π r = ni ni H = 2π r (3..-2 bis 3) Das Magnetfeld von Permanentmagneten hat seine Ursache in den Spins der Elektronen, ist also mit atomar kleinen Kreisströmen verbunden Die magnetische Flussdichte B B = µ H = µ µ H mit 0 r µ = Magnetische Permeabilität µ 0 = Magnetische Permeabilität im Vakuum µ 0 =, Vs/Am (3..2-)

2 38 3 Transformatoren 3..3 Der magnetische Fluss φ φ = BdA (3..3-) für konstante Flussdichte B durch eine senkrecht dazu stehende Fläche A (Flächenvektor parallel zur Richtung von B) gilt: φ = BA A B (3..3-2) Abb Der magnetische Widerstand R m Für homogene Flussdichten kann man auch einen magnetischen Widerstand definieren Rm l = (3..4-) µ A 3..5 Das Ohmsche Gesetz für Magnetkreise Für magnetische Kreise mit konstanter Flussdichte gilt: Θ= φ R m (3..5-) 3..6 Fremdinduktion Befindet sich eine Leiterschleife in einem sich ändernden Magnetfeld, so wird in der Leiterschleife eine elektrische Spannung induziert, die induzierte Spannung ist proportional zur zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses eines externen (fremden) Magnetfeldes. B u ind (t) Abb Externe Flussdichte und daraus resultierende induzierte Spannung in einer Spule

3 3. Magnetfeldgleichungen 39 dφ uind () t = dt φ = BdA (3..6-) (3..6-2) B = µh (3..6-3) mit φ = Magnetischer Fluss B = Magnetische Flussdichte µ = Magnetische Permeabilität Es wird auch eine Spannung in der Leiterschleife induziert, wenn diese im konstanten Magnetfeld mit konst. Winkelgeschwindigkeit rotiert. Die Leiterschleife sieht dabei eine zeitlich cosinusförmige (sinusförmige) Änderung des magnetischen Flusses. Bildet man dφ / dt, folgt eine sinusförmige (cosinusförmige) induzierte Spannung Selbstinduktion Ändert sich in einer Leiterschleife der Strom, so induziert diese Änderung ebenfalls eine Spannung: di() t uind () t = L (3..7-) dt Die induzierte Spannung ist proportional zur Induktivität L der Leiterschleife und zur Geschwindigkeit der Stromänderung. Den Vorgang der Selbstinduktion kann man sich durch ein Analogon mit einem Wasserstrom in einer Rohrleitung erklären: I W Überdruck Unterdruck p di W /dt p -di W /dt Abb Selbstinduzierter Überdruck in einer Wasserleitung, in der der Wasserstrom gesperrt wird Bremst man den Wasserstrom durch Einfügen eines Schiebers aus, so entsteht auf der einen Seite des Schiebers ein Überdruck und auf der anderen Seite ein Unterdruck, weil das Wasser wegen seiner Trägheit weiterfließen möchte.

4 40 3 Transformatoren Überdruck Unterdruck Abb Wasserkreislauf mit Pumpe und Schieber Beim elektrischen Strom bremst man durch Öffnen eines Schalters Ladungsträger aus. Dadurch entsteht ein Ladungsträgerstau auf der einen Seite des Schalters, was eine Überspannung verursacht (induziert) und auf der anderen Seite des Schalters eine Unterspannung induziert. Überspannung Kontakt geschlossen Kontakt geöffnet Unterspannung i Überspannung = U 0 u ind Unterspannung Leitungsinduktivität Abb Entstehung der Selbstinduktionsspannung im elektrischen Stromkreis Das Vermögen, den Stromfluss aufrecht zu erhalten, wird durch die Leitungsinduktivität dargestellt.

5 3. Magnetfeldgleichungen 4 Beispiel: Der Strom beträgt vor Öffnen des Schalters 0 A und der Strom geht linear innerhalb einer Millisekunde beim Schalten auf Null. Die Leitungsinduktivität beträgt 0 mh. Die induzierte Spannung errechnet sich dann di() t 0A uind ( t) = L = 0mH = 00V dt ms Das lässt sich auch grafisch darstellen: I 0 i(t) U 0 ms t u ind Abb Selbstinduktionsspannung durch Stromänderung in einer Spule Wird zum Beispiel ein Strom im Bordnetz abgeschaltet, treten am Verbraucher hohe Spannungsspitzen auf! Misst man die Spannung (Abb ) vor dem Schalter (zwischen Punkt und Masse) kehrt die Induktionsspannung ihr Vorzeichen um: u ind I 0 i(t) u(t) U 0 ms Abb Induktionsspannung im Bordnetz t Das nachfolgende Scopebild zeigt die Messung von Strom (div = 00 A) und Spannung (div = 00 V) bei der Trennung eines Kurzschlussstroms durch einen pyrotechnischen Schalter am Pluspol einer Autobatterie.

6 42 3 Transformatoren Nach Gleichung kann man aus der Messung der Stromänderung I, der Schaltzeit t und der induzierten Spannungsspitze U ind die Induktivität eines Schaltkreises ermitteln. Schaltvorgang mit I 450 A exponentieller Stromanstieg 280 V Spannungspeak Abb Oszilloskopie eines Schaltvorgangs im KFZ-Bordnetz Aus dem Scopebild ergibt sich ein näherungsweise linearer Stromabfall von I = 450 A in einer Zeit t = 20 µs mit einem resultierenden Spannungspeak von 280 V. Daraus berechnet sich die Bordnetzinduktivität zu: Uind 280V 20µ s L = = = 2, 44µH I 450A t 3.2 Gekoppelte Spulen Ein Transformator besteht aus zwei Spulen, welche über ein magnetisches Wechselfeld miteinander gekoppelt sind. i w i 2 w 2 w = Windungszahl der Primärseite u u 2 w 2 = Windungszahl der Sekundärseite φ Abb Zwei über das Magnetfeld gekoppelte Spulen bilden einen Transformator

7 3.2 Gekoppelte Spulen 43 Eine Seite des Transformators wird von einem Wechselstrom gespeist, dieser Strom verursacht ein magnetisches Wechselfeld, welches wiederum die andere Spule durchdringt und dort eine Wechselspannung induziert. Wird ein Verbraucher angeschlossen, fließt ein entsprechender Strom Idealer Übertrager Ist die magnetische Kopplung perfekt und treten keinerlei Verluste auf, so spricht man vom idealen Übertrager. Beim idealen Übertrager werden Spannungen und Ströme gemäß u w = = ü (3.2.-) u w 2 2 i w2 = = (3.2.-2) i2 w ü transformiert Transformator mit Streufluss Bei einem realen Transformator wird ein Teil des Magnetfeldes gestreut. Man unterscheidet zwischen Streufluss und Hauptfluss. Der Hauptfluss durchdringt beide Spulen gleichermaßen, der Streufluss durchdringt nur eine Spule. u i Streufluss der Primärspule i 2 u 2 Hauptfluss Streufluss der Sekundärspule Abb Streufluss und Hauptfluss in einem Transformator Das Verhältnis von Streufluss zu Hauptfluss definiert die Streuziffer σ Streufluss σ = (3.2.2-) Hauptfluss