Übungsaufgaben mit Lösungen

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1 Priv. Doz. Dr. A. Wagner Aachen, 9. September 6 S. Bleß, M. Sc. Analysis Übungsaufgaben mit Lösungen im Vorkurs Mathematik 6, RWTH Aachen University Intervalle, Supremum und Infimum Für a, b R, a < b nennen wir eine Menge der Form (a, b] := {x R : a < x b} bzw. [a, b := {x R : a x < b} ein nach links bzw. ein nach rechts offenes Intervall. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob es sich bei den angegebenen Mengen um Intervalle handelt. Geben Sie in diesem Fall bitte die Intervallschreibweise an. a [, ] (, ], b [, ] [, ] c [, ] (, 4, d (, 5] \ (4, 5], e (, 5] (, 6, f {x : x R}, g { n : n N}, h {, 7}, i {x R : x < }, j (, Q, k {x R : x < }, l {x R : x > 7}. a [, ], b kein Intervall, c (, ], d (, 4], e (, 5], f [,, g kein Intervall, h kein Intervall, i (,, j kein Intervall, k (,, l kein Intervall. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils, ob die angegebenen Mengen nach oben und/oder unten beschränkt sind. Geben Sie in den entsprechenden Fällen jeweils Supremum bzw. Infimum an. Handelt es sich hierbei auch um Maxima bzw. Minima? a [, ], b (,, c {, 7}, d {π, e} } e { + n : n N, f {}, g [, ] [, ], h {r Q : r < } i {r Q : r < 4}, j {r Q : r < }, k {, π, π, } l {p : p Primzahl}, m {( n n : n N}, n {x + : x R}, o {x R : x = x}, p { n : n N}. Die erste Zahl gibt das Infimum und die zweite Zahl das Supremum an. Falls das Infimum (bzw. Supremum nicht existiert, schreiben wir n. u. unb. (nach unten unbeschränkt bzw. n. o. unb., (nach oben unbeschränkt. Der Zusatz (min bzw. (max bedeutet, dass es sich bei dieser Zahl um das Minimum bzw. Maximum der Menge handelt. a (min, (max, b,, c (min, 7 (max, d e (min, π (max, e, (max, f (min, (max, g (min, (max, h n. u. unb., i,, j,, k (min, (max, l (min, n. o. unb., m n. u. unb., n. o. unb., n (min, n. o. unb., o (min, (max, p, (max. Aufgabe Sei S R nach oben beschränkt. Zeigen Sie: Falls sup(s S, so ist sup(s = max(s. Da sup(s eine obere Schranke für S ist, gilt s sup(s für alle s S. Aus sup(s S folgt die Behauptung sofort aus der Definition des Maximums. Aufgabe 4 ( Sei S R nicht leer und nach oben (bzw. unten beschränkt. Zeigen Sie, dass das Supremum (bzw. Infimum von S eindeutig bestimmt ist. Sei S R nach oben beschränkt. Seien M, M R Suprema von S. Da M ein Supremum von S ist, ist M inbesondere eine obere Schranke von S. Damit gilt M M, denn M ist eine kleinste obere Schranke von S. Vertauscht man die Rollen von M und M erhält man noch M M, also M = M. Der Beweis für den Fall S ist nach unten beschränkt kann analog geführt werden. Aufgabe 5 ( Sei S R nicht leer, nach oben beschränkt und S := { s : s S}. Zeigen Sie, dass inf( S = sup(s. Sei M = sup(s. Da M eine obere Schranke von S ist, gilt s M, also damit auch s M für alle s S. Inbesondere ist damit S nach unten beschränkt durch M. Wir zeigen nun, dass M die größte untere Schranke von S ist. Sei dazu α R eine beliebige untere Schranke von S, d.h. es gelte α s für alle s S. Dies ist aber äquivalent zu α s für alle s S. Damit ist α eine obere Schranke von S. Nach Definition von M ist damit M α oder anders ausgedrückt M α. Somit ist M die größte untere Schranke von S und folglich inf( S = M, was zu zeigen war.

2 Funktionen Aufgabe 6 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich von f /g. Untersuchen Sie, ob sich f /g in den Definitionslücken noch sinnvoll erklären lässt. Falls ja, mit welchem Funktionswert? a f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x 7x + b f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x x + c f : R R, f (x =, g : R R, g(x = x 5 d f : R R, f (x = x, g : R R, g(x = x a Es gilt x 7x + = (x (x 4. Also ist D = R \ {, 4}. Da die Nennerfunktion die Nullstellen x = und x = 4 besitzt, die Zählerfunktion allerdings nicht, kann die Funktion dort nicht sinnvoll fortgesetzt werden. b Es gilt x x + = (x (x 7. Also ist f g zunächst auf D = R \ {, 7} definiert. Allerdings gilt nach Kürzung f g (x = x 7 für alle x D. Damit kann f im Punkt x = noch sinnvoll erklärt werden mit f g ( := 4. c Es gilt x 5 = x { 5, 5}. Damit ist D = R \ { 5, 5}. d Es gilt x = (x (x + x +. Das Polynom x + x + ist auf R nullstellenfrei. Damit ist der Definitionsbereich D = R \ {}. Nach Kürzung erhält man f g (x = x + x + für alle x D. Dieser Ausdruck ist auch noch für x = definiert. Eine sinnvolle Fortsetzung ist damit f g ( :=. Aufgabe 7 Gegeben seien die Funktionen f : R R, f (x = x und g : R + R, g(x = x. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche D( f g und D(g f und geben Sie f g und g f explizit an. Es gilt D( f g = {x D(g : g(x D( f } = {x R + : x R} = R +. Für alle x R + gilt ( f g(x = f ( x = x = x. Offensichtlich kann x x auf ganz R erklärt werden. Der Definitionsbereich von g f bestimmt sich zu D(g f = {x D( f : f (x D(g} = {x R : x R + } = {x R : x } = [, ]. Für x [, ] gilt (g f (x = g( x = x. Im Allgemeinen müssen f g und g f also nicht übereinstimmen. Aufgabe 8 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich auf (strenge Monotonie. Bestimmen Sie die maximalen Monotoniebereiche ohne Zuhilfenahme von Methoden der Differentialrechnung. Versuchen Sie dabei möglichst die jeweils voranstehenden Aufgabenteile zu benutzen. a f : R R, f (x = x 5, b f : R \ {} R, f (x = x, c f : R R, f (x = x, d f : R + R, f (x = x, e f : R R, f (x = x, f f : R R, f (x = x + x +, g f : [, ] R, f (x = x, h f : R \ {, 4} R, f (x = (x 7x +. Hinweis: Benutzen Sie in Teil d die. Binomische Formel. a Diese Funktion ist streng monoton wachsend wachsend auf ganz R: Aus der Vorlesung wissen wir bereits, dass f : R R, f (x = x eine auf R streng monoton wachsende Funktion ist. Seien x, y R mit x < y. Wir verfahren wie dort und machen zunächst eine Fallunterscheidung: xy > : In diesem Fall sind x, y = und damit ist xy = : x 5 = x (x 4 x4 > < y (x 4 = xy (x VL < xy (y = x y 4 y4 > < y (y 4 = y 5. In diesem Fall ist x = oder y =. Aus x = folgt y > und damit x 5 = < y 5. Aus y = folgt x < und damit x 5 < = y 5. xy < : In diesem Fall gilt x < < y und damit x 5 < < y 5. 4

3 b Diese Funktion ist nicht monoton auf R \ {}. Es gilt f ( = < = f (, das heißt f ist nicht monoton fallend. Weiter ist f ( = < = f (, das heißt f ist auch nicht monoton wachsend. Damit ist f nicht (streng monoton auf seinem Definitionsbereich. Für < x < y gilt hingegen f (x = x > y = f (y. Damit ist f streng monoton fallend auf (,. Für x < y < hat man f (x = x = x > y = f (y. Damit ist f streng monoton fallend auf (,. c Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Es gilt f ( = > = f (, das heißt f ist nicht monoton wachsend. Weiter ist f ( = < = f (, das heißt f ist auch nicht monoton fallend. Für x < y gilt x < y und für x < y hat man x > y. Damit ist f streng monoton wachsend auf [, und streng monoton fallend auf (, ]. d Diese Funktion ist streng monoton wachsend auf ganz R + : Seien x, y R + mit x < y. Es gilt zunächst x + y >, da y >. Mit der. binomischen Formel erhalten wir ( y x ( y + x = y x > nach Voraussetzung an x und y. Also gilt y x = y x y+ x >, das heißt f (x = x < y = f (y. e Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Es gilt f ( = = < = = f (, das heißt f ist nicht monoton fallend. Umgekehrt ist f ( = = > = = f (, das heißt f ist nicht monoton wachsend. Für x gilt f (x = x. Also ist f streng monoton wachsend auf [,. Für x hat man f (x = x, also ist f streng monoton fallend auf (, ]. f Diese Funktion ist nicht monoton auf R. Wir schreiben f in Scheitelpunktform, also f (x = x + x + = x + x + + = (x + +. Für x < y gilt x + < y +. Weil x x auf [, streng monoton wachsend ist, folgt f (x = (x + + < (y + + = f (y. Damit ist f streng monoton wachsend auf [,. Für x < y gilt x + < y +, also auch f (x = (x + + > (y + + = f (y. Damit ist f streng monoton fallend auf (, ]. g Diese Funktion ist nicht monoton auf [, ]. Es gilt f ( = = > = = f (, das heißt f ist nicht monoton wachsend. Umgekehrt hat man f ( = < = f (, das heißt f ist auch nicht monoton fallend. Für x, y [, ] mit x < y hat man x, y R + sowie x > y, da die Funktion x x auf [, ] R + streng monoton fällt. Es folgt f (x = x > y = f (y, da x x auf R + streng monoton wächst. Damit ist f auf [, ] streng monoton fallend. Genauso zeigt man, dass f auf [, ] streng monoton wächst. h Diese Funktion ist nicht monoton auf R \ {, 4}. Wir bestimmen die Monotoniebereiche. Sei dazu zunächst g : R R, g(x = x 7x +. Mit quadratischer Ergänzung erhält man ( 7 ( 7 ( g(x = x 7x + + = x 7 4. Wie in Aufgabe f sieht man, dass g auf (, 7 ] [ streng monoton fallend, sowie auf 7, streng monoton wachsend ist. Weiter gilt g(x < genau dann, wenn x (, 4. Für x R \ (, 4 gilt g(x >. Seien jetzt also x, y R \ {, 4} mit x < y. Für x, y (, erhält man g(x > g(y >, also f (x = g(x < g(y = f (y, das heißt f ist streng monoton wachsend auf (,. Für x, y (, 7 ] ist > g(x > g(y und damit f (x = g(x < g(y = f (y, also ist f streng monoton wachsend auf (, 7 ]. Für x, y [ 7, 4 gilt g(x < g(y <, also f (x = g(x > = f (y. Damit ist f streng g(y monoton fallend auf [ 7, 4. Schließlich folgt für x, y (4, sofort < g(x < g(y und damit f (x = g(x > = f (y, das heißt f ist streng monoton fallend auf (4,. g(y Aufgabe 9 Seien D, E R nichtleere Teilmengen. Zeigen Sie: a Ist f : D R eine (streng monoton wachsende Funktion, so ist f : D R mit ( f (x := f (x (streng monoton fallend. b Seien f, g : D R monoton wachsende Funktionen mit f, g auf D, so ist auch f g : D R mit ( f g(x := f (x g(x monoton wachsend. c Seien f : D R und g : E R monoton mit g(e D. Zeigen Sie, dass dann auch f g : E R monoton ist. Welche Art von Monotonie liegt jeweils vor? d Sei f : D W streng monoton und bijektiv. Zeigen Sie, dass dann auch f : W D streng monoton ist. a Sei f monoton wachsend. Seien x, y D mit x < y. Dann gilt f (x f (y, also f (x f (y. Damit ist f monoton fallend. Analog zeigt man die Behauptung für streng monoton wachsendes f. b Seien f, g : D R monoton wachsend. Seien x, y D mit x < y. Dann gilt f (x g(x g mon., f c Wir zeigen exemplarisch die Aussage f (x g(y f mon.,g f (y g(y. f mon. fallend, g mon. wachsend f g mon. fallend. Seien dazu x, y E mit x < y. Dann gilt g(x g(y, da g monoton steigt. Da f monoton fällt, folgt ( f g(x = f (g(x f (g(y = ( f g(y. Analog formuliert und beweist man die übrigen Fälle f mon. fallend, g mon. fallend f g mon. wachsend, 5 6

4 f mon. wachsend, g mon. wachsend f g mon. wachsend, f mon. wachsend, g mon. fallend f g mon. fallend. d Sei f zunächst streng monoton wachsend. Seien y, y W mit y < y. Seien x = f (y und x = f (y. Angenommen x x. Dann wäre auch y = f (x f (x = y im Widerspruch zur Annahme. Es folgt f (y = x < x = f (y. Ist f streng monoton fallend, so wendet man das eben Bewiesene auf ( f = f an. Aufgabe Bestimmen Sie den Wertebereich der folgenden Funktionen. a f : R \ {} R, f (x =, b f : [, ] R, f (x = x x c f : ( 4, ] R, f (x = x + x +, d f : [, ] R, f (x = x e f : R R, f (x = + x, f f : (, R, f (x = x g f : (4, 5] R, f (x = (x 7x +. a Sei R := R \ {}. Für x = gilt zunächst x = und damit f (R R. Zu y R wählen wir x = y. Dann gilt f (x = x = ( y = y. Es folgt f (R = R. Bemerkung: Schränken wir den Zielbereich von f auf R ein, so folgt f f = id R, das heißt, f ist bijektiv mit f = f. b Für x [, ] gilt x [ 4, ]. Mit Aufgabe 8 b sieht man damit, dass f auf D = [, ] streng monoton fällt, also = f ( f (x f ( = 4 für alle x D. Damit haben wir f ([, ] [, 4 ]. Sei umgekehrt y [, 4 ]. Es gilt f (x = y x = y +. Da y y + auf (, monoton fällt, folgt = + y + + =, 4 also x [, ]. Damit ist f (x = y und somit f ([, ] = [, 4 ]. c Die Funktion f ist auf ( 4, ] streng monoton fallend, das heißt es gilt = f ( 4 > f (x f ( =. Es folgt f (( 4, ] [,. Sei umgekehrt y [,. Für y = hat man f ( = = y. Sei also y (,. Wir machen den Ansatz y = f (x = x + x + = (x + +. strengen Monotonie von x x dann 4 = < x < =, also x ( 4, ]. Es gilt f (x = y. Im Übrigen gilt x / ( 4, ]. Insgesamt haben wir damit f (( 4, ] = [, gezeigt. d Die Funktion ist auf dem Bereich [, ] streng monoton wachsend und auf [, ] streng monoton fallend mit f ( = f ( = und f ( =. Es folgt f ([, ] [, ]. Sei y [, ]. Der Ansatz y = x liefert die notwendige Bedingung y = x. Dies ist eine quadratische Gleichung in x, welche wegen y die beiden Lösungen x, = ± y [, ] hat. Eine Probe zeigt f (x, = y = y = y = y, da y. Ingesamt haben wir damit f ([, ] = [, ] gezeigt. e Es gilt zunächst < + x für alle x R, wobei Gleichheit genau für x = besteht. Es folgt damit zunächst f (R (, ]. Sei nun umgekehrt y (,. Der Ansatz y = f (x = +x ist äquivalent zu x = y. Aus y (, folgt y >, das heißt die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind x, = ± y und es gilt f (x, = y. Damit haben wir f (R = (, ] gezeigt. f Wir betrachten zunächst h : (, R, h(x = x. Es gilt h(x = genau dann, wenn x = ±. Mit d erhält man also h((, = (, ]. Wir betrachten jetzt g : (, ] R, g(x = x. Wie in Teil a schließt man g((, ] = [,. Nun ist aber f = g h, also f ((, = g(h((, = g((, ] = [,. g Wir betrachten zunächst wieder g : R R, g(x = x 7x + und bestimmen g((4, 5]. Nach Aufgabe 8 h ist g streng monoton wachsend auf (4, 5], das heißt = g(4 < g(x g(5 = für alle x (4, 5] und damit g((4, 5] (, ]. Sei nun also umgekehrt y (, ]. Der Ansatz y = g(x = ( x 7 4 liefert eine quadratische Gleichung in x mit den beiden Lösungen x, = 7 ± y + 4. Wegen der strengen Monotonie von y y folgt 4 = < x = 7 + y = 5 und damit x (4, 5]. Wegen g(x = y folgt insgesamt g((4, 5] = (, ]. Abschließend betrachten wir nun h : (, ] R, h(x = x. Man zeigt leicht, dass h((, ] = [,. Für f = h g gilt folglich f ((4, 5] = h((, ] = [,. Wegen y hat die obige quadratische Gleichung in x über R die beiden Lösungen x = y und x = + y. Wegen < y < 9 hat man aufgrund der 7 8

5 Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : [, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x f (x := x, falls < x < x, falls x. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Wir bestimmen zunächst die Monotoniebereiche von f. Für x [, ] gilt f (x = x +, das heißt f ist streng monoton wachsend. Für x (, ist f (x = x, also ist f streng monoton fallend auf (, ] und streng monoton wachsend auf [,. Für x [, ] gilt f (x = x, das heißt f ist streng monoton wachsend auf [, ]. Da sich in lokalen Extrempunkten das Monotonieverhalten ändert, können lokale Extrema höchstens in den Randpunkten der Monotoniebereiche vorliegen, das heißt in x {,,,, }. Es genügt also diese Punkte zu untersuchen: Für x (, ] gilt f (x = f ( und für x [, ] gilt f (x f (, da f dort streng monoton steigt. Damit liegt in x = ein globales Minimum vor. Für x [, ] gilt f (x f ( = < = f ( und für x (, ] gilt f (x = f (. Damit liegt in x = ein globales Maximum vor. Für x [, ] gilt f (x = f ( = f (. Also liegen in x = und x = lokale Minima vor, welche nicht global sind. Für x (, gilt f (x = x > = f ( und für x [, hat man f (x = x + <. Damit kann in x = kein lokales Extremum vorliegen. Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : (, ] R, welche gegeben ist durch x +, falls x < f (x := x, falls x x, falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Man verfährt analog zu Aufgabe. In x {,, } besitzt f ein globales Maximum. In x = besitzt f ein lokales Minimum, welches nicht global ist. Die Funktion f hat kein globales Minimum. Aufgabe Betrachten Sie die Funktion f : (, R, welche gegeben ist durch x + falls x < f (x := x falls x x falls x >. Untersuchen Sie die Funktion auf lokale und globale Maxima und Minima. Man verfährt wieder analog zu Aufgabe. In x {, } besitzt f ein globales Maximum. In x = besitzt f ein lokales Minimum, welches nicht global ist. Die Funktion f hat kein globales Minimum. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Folgen (a n n N auf Monotonie und Beschränktheit. a a n = n, b a n = n + 5n, c a n = n n +, d a n = ( n n +, e a n = n n n, f a n = n n +, 5n g a n =, h a n = n n + n + n, i a n = n + n. a Es gilt a n+ a n = (n + n = n (n + n (n + = n + n < n N. (n + Also ist (a n n streng monoton fallend. (Alternativ: Die Funktion x x ist streng monoton fallend auf (,. Weiter ist < a n a = für alle n N und damit (a n n nach oben und unten beschränkt. b Es gilt a n = n+ 5n = 5 ( + n. Mit ( n n ist auch (a n n streng monoton fallend. Insbesondere ist damit a > a n > für alle n, das heißt die Folge ist nach oben und unten beschränkt. c Wir betrachten wieder a n+ a n. Es gilt a n+ a n = n + (n + + n n + = (n + (n + n((n + + (n + ((n + < + n + n + n + n(n + n + < (n + n <. Wegen n + n + = > ist dies für alle n eine wahre Aussage. Also ist (a n n streng monoton fallend. Wegen a > a n > für alle n ist damit (a n n nach oben und unten beschränkt. 9

6 d Es gilt a n = n+ < für alle n. Damit ist (a n n nach oben und nach unten beschränkt. Wegen a n+ a n = ( n+ n + 4 ( n n + = ( n+ (n + ( n (n + 4 (n + (n + 4 = ( n+ n + 7. (n + (n + 4 }{{} > ist damit a n+ a n > für n ungerade und a n+ a n < für n gerade. Also ist die Folge (a n n nicht monoton. e Es gilt a n+ a n = (n + n + n n = n + n n + n n + n(n + = n((n + (n + (n n(n + = n + n + n(n + > für alle n N. Damit ist (a n n streng monoton wachsend. (Alternativ: Man schreibt a n = n n als Summe zweier streng monoton wachsender Funktionen. Weiter hat man a n für alle n N, das heißt (a n n ist nach unten beschränkt. Wegen n n ist (a n n nach oben unbeschränkt. f Es gilt a n+ a n = = n + }{{ n } > (n + (n + (n + + (n > n n n n + n N = ((n + (n + (n + (n n ((n + + ((n + + (n + n 7n + <. Wegen n + 7n + 7 = 9 > ist die letzte Ungleichung für alle n N erfüllt. Damit ist (a n n streng monoton fallend. Also ist (a n n nach oben beschränkt durch a. Schließlich folgt aus n n n + = n n n }{{ + } n + > n n > n N }{{ + } > < die Beschränktheit nach unten. < g Es gilt zunächst a n = 5 n = 5 n + n n + = 5 n +. ( Die Folge b n := 5 n+, n N ist streng monoton wachsend. Da x x auch streng monoton wächst, ist damit auch (a n n = ( b n n streng monoton wachsend. Desweiteren gilt a n 5 für alle n, woraus die Beschränktheit folgt. h Es gilt a n = n n + n = n n n + n = + n n. Die Folgen (b n n = ( n n und (c n n = ( n n sind streng monoton fallend. Damit ist auch (a n n streng monoton fallend mit a n a für alle n. i Mit der. binomischen Formel gilt zunächst also a n ( n + + n = ( n + n ( n + + n = n + n =, a n = n + n + n N. Die Funktionen n n bzw. n n + sind streng monoton wachsend. Es folgt, dass (a n n streng monoton fällt. Desweiteren gilt a n a für alle n, woraus die Beschränktheit folgt. Elementare Funktionen Aufgabe 5 Es seien a, u, v > und r R. Beweisen Sie die Logarithmengesetze: ( u a log a = log v a (u log a (v, b log a (u r = r log a (u. a Seien x = log a (u und y = log a (v. Nach Definition ist dann a x = u und a y = v. Mit den Potenzgesetzen folgt a x y = ax a y = u v, also ( u log a = x y = log v a (u log a (v. b Sei x = log a (u. Nach Definition ist dann a x = u. Mit den Potenzgesetzen folgt u r = (a x r = a xr, also log a (u r = rx = r log a (u.

7 Aufgabe 6 Bestimmen Sie die folgende Logarithmen. a log (4, b log 4 (64, c log ( 8, d log 4 (, e log 7 (7 x, x R. a, b, c, d, e x. a Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = R >. Es gilt log (x = log ( x =. b Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = R >. Es gilt ( 5 log (x = log (5 log (4 log (x = log x = c Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = (,. Es gilt Aufgabe 7 a Drücken Sie log (4 als Logarithmus einer einzigen Zahl aus. b Vereinfachen Sie ( ( ( 75 5 log log 6 + log 9. 4 c Vereinfachen Sie für a > den Ausdruck log a ( log a (7. a log (4 = log ( log (4 = log (9 log (4 = log ( 9 4 log (x = log (x = x = 9 x =. d Der Definitionsbereich der Gleichung ist D = (,. Es gilt ln(x = ln(x = x = e = e x = + e. e Der Definitionsbereich der Gleichung ist (,. Es gilt ( log 4 (x = log 4 (6 log 4 = log x 4 (6 x = 6 = x x =. f Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ [, ]. Es gilt b c ( ( ( ( log log 6 + log 9 = log log a ( log a (7 = log a ( log a ( = 6 = log ( = Aufgabe 8 Bestimmen Sie jeweils Definitionsbereich und Lösungsmenge der folgenden logarithmischen Gleichungen. a log (x = log (, b log (x = log (5 log (4, c log (x =, d ln(x =, e log 4 (x = log 4 (6, f log (x =, log (x = log (x = log ( x = x = x = ±. g Der Definitionsbereich der Gleichung ist (,. Es gilt ( x + log (x + log ( = log = x + h Der Definitionsbereich der Gleichung ist (,. Es gilt log (x = log (x = x = 99. ln(x ln( = ln(x ( ln(x = ln(xln( ln( ln( ln(x ln( =, ln( }{{} = also genau dann, wenn ln(x =, das heißt x =. i Der Definitionsbereich der Gleichung ist R. Es gilt log (x + = x + = x = 9 x = ±. g log (x + log ( =, h log (x = log (x, i log (x + =. 4

8 Aufgabe 9 Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich der folgenden Terme. Drücken Sie im Anschluss die Terme durch einen Logarithmus aus. a log a (x + log a ( x + log a (x, ( ( b log a x + log x+ a x. a Der Definitionsbereich des Ausdrucks ist (,. Es gilt log a (x + log a ( x + log a (x = log a ( (x + x ( x b Der Definitionsbereich des Ausdrucks ist R \ [, ]. Es gilt log a (x + ( x + log a = ( ( x + log x a (x + log a x = ( loga x + log a x + + log a x + log a x = log a x +. Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden Gleichungssysteme. a b c a Es ist x = y + und damit { x y = x y = 4 log (x + log (y = ( 5 log (x log (y = log, x, y > { 4 x = 5 y 4 x = 7 y } }.,. b Es gilt = log (x + log (y = log (xy xy =, ( ( 5 x log = log (x log (y = log 5 y = x y x = 5 y. Damit ist das Gleichungssystem äquivalent zu xy = und x = 5y. Einsetzen von x = y in die zweite Gleichung liefert = 5y, also y = ±. Es folgt x = ±5. Mit Hinblick auf den Definitionsbereich des Gleichungssystems ist damit (x, y = (5, die einzige Lösung. c Es gilt 7 y = 4 x = x = x+ x + = log (7 y = y log (7, 5 y = 4 x = x x = log (5 y = y log (5. Dies impliziert y log (7 = y log (5. Wir erhalten daher die Lösung y = log (7 log (5, x = log (5 (log (7 log (5. Aufgabe Beweisen Sie die Additionstheoreme für Tangens und Cotangens. Bestimmen Sie auch den Definitionsbereich der Gleichungen. a tan(α + β = tan(α + tan(β cot(α cot(β, b cot(α + β = tan(α tan(β cot(α + cot(β. a Die Gleichung ist definiert für α, β, α + β / π sin(α + Zπ. Mit tan(α = cos(α folgt b Die Rechnung verläuft analog. sin(α + β tan(α + β = cos(α + β sin(α cos(β + sin(β cos(α = cos(α cos(β sin(β sin(α tan(α cos(β + sin(β = cos(β tan(α sin(β tan(α + tan(β = tan(α tan(β. x y = 4 y+ y = 4 6 y = 4 y = log 6 (6 = log 6 (6 =. Es folgt x = y + =

9 Aufgabe Zeigen Sie mit Hilfe der Addtionstheoreme: a sin ( α + π = cos(α, b cos ( α + π = sin(α, c tan ( α + π = cot(α, d cot ( α + π = tan(α. Man verwende sin ( π = und cos ( π =. Für c und d verwende man a und b. Bemerkung: Man beachte, dass Aufgabe für die Aufgabenteile c und d nicht anwendbar ist. Aufgabe Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der folgenden Gleichungen. Bestimmen Sie im Anschluß die Lösungsmenge. a tan(x = sin(x, b tan(x = cos(x, c sin(x = tan(x, d cos(x = 5 4 cos (x. Hinweis: Beweisen Sie für die Aufgabenteile c bzw. d zunächst die Identitäten sin(x = tan(x + tan (x, cos(x = 4 cos (x cos(x. ( π a Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ + Zπ. Dort gilt stets cos(x =. Es folgt tan(x = sin(x sin(x = ( sin(x cos(x sin(x cos(x =. Letzteres ist wiederum äquivalent zu sin(x = oder cos(x =, also zu x πz bzw. zu x ± π 4 + πz. ( π b Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ + Zπ. Dort gilt stets cos(x =. Es gilt zunächst tan(x = cos(x sin(x = cos (x = ( sin (x sin (x + sin(x =. Dies ist eine quadratische Gleichung in t = sin(x. Wir bestimmen also die Lösungen der Gleichung t + t =. Diese werden (z.b. mit p-q-formel gegeben durch t =, t = <. Wegen sin(x sind also alle x zu bestimmen mit t = Lösungsmenge durch ( π ( π + πz + πz gegeben. c Der Definitionsbereich der Gleichung ist R \ sin(x = sin(x + x = sin(x cos(x = Damit folgt die Äquivalenz sin(x = tan(x ( π + Zπ. Es gilt = sin(x. Damit ist die sin(x cos(x sin (x + cos (x = tan(x + tan (x. tan(x + tan (x = tan(x tan(x = tan(x tan(x(tan(x =. Also ist die Gleichung äquivalent zu tan(x = oder tan(x =. Damit wird die Lösungsmenge gegeben durch ( π πz 4 + πz ( π 4 + πz. d Es ist cos(x = cos (x sin (x. Es gilt Damit ist cos(x = cos(x + x = cos(x cos(x sin(x sin(x = cos (x sin (x cos(x sin (x cos(x = cos (x ( cos (x cos(x = 4 cos (x cos(x. cos(x = 5 4 cos (x 4 cos (x cos(x = 5 4 cos (x. Dies ist eine kubische Gleichung in t = cos(x. Wegen cos(x [, ] genügt es also die Lösungen der Gleichung 4t + 4t t 5 = im Intervall [, ] zu bestimmen. Durch Ausprobieren erhält man zunächst die Lösung t =. Polynomdivision durch t liefert ( 4t + 4t t 5 = (4t + 8t + 5(t = 4(t + + (t Nun ist 4(t + + > für alle t R. Damit ist t = die einzige Nullstelle in [, ]. Insgesamt ergibt sich damit als Lösungsmenge πz. 7 8

10 Aufgabe 4 Es seien α, β, γ R mit α + β + γ = π. Zeigen Sie: a sin(β cos(γ + cos(β sin(γ = sin(α, b sin(α sin(β cos(β cos(α = cos(γ. a Es gilt sin(β cos(γ + cos(β sin(γ = sin(β + γ = sin(π α wegen sin(π = und cos(π =. b Es gilt = sin(π cos(α cos(π sin(α = sin(α, sin(α sin(β cos(β cos(α = cos(α + β = cos(π γ wegen sin(π = und cos(π =. = (cos(π cos(γ + sin(π sin(γ = cos(γ, Aufgabe 5 In einiger Entfernung zu einer Antenne wird ein Lichstrahl vom Boden (Meßebene auf die Spitze der Antenne gerichtet. Der Winkel des Strahls zur Meßebene wird mit α bezeichnet. Nun geht man a Meter auf den Antennenmast zu und wiederholt die Messung. Man erhält nun einen Winkel β. Es ist insbesondere < α < β < π. Wie hoch ist der Mast? Bezeichnet man die unbekannte Höhe des Mastes mit h und die Entfernung des zweiten Messpunktes vom Mast mit b so gelten die Beziehungen tan(α = h a + b tan(β = h b. Dies ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Insbesondere folgt ( tan(α h = a tan(β. tan(β tan(α Konvexe Funktionen Aufgabe 6 Es sei I ein offenes Intervall in R. Zeigen Sie, dass eine Funktion f : I R genau dann konvex ist, wenn f konkav ist. Benutzen Sie nicht, dass f eine differenzierbare Funktion ist. Wir nehmen zunächst an, f sei konvex. Dann gilt für alle a, b I mit a b und λ [, ] f (( λa + λb ( λ f (a + λ f (b. Wir multiplizieren beide Seiten mit und erhalten oder Also ist f konkav. f (( λa + λb [( λ f (a + λ f (b], f (( λa + λb ( λ( f (a + λ( f (b. Wir nehmen nun an f sei konkav. Dann gilt f (( λa + λb ( λ( f (a + λ( f (b. Wir multiplizieren beide Seiten mit und erhalten also ist f konvex. f (( λa + λb ( λ f (a + λ f (b, Aufgabe 7 Die Funktionen f, g : I R seien beide konkave Funktionen. Keine der Funktionen ist notwendigerweise differenzierbar. Untersuchen Sie die Funktion h(x = f (x + g(x auf Konvexität und Konkavität. Untersuchen Sie die Funktion h(x = f (x g(x auf Konvexität und Konkavität. Es gilt für α [, ] h(αx + ( αy = f (αx + ( αy + g(αx + ( αy α f (x + ( α f (y + αg(x + ( αg(y (wegen der Konkavität von f und g = α( f (x + g(x + ( α( f (y + g(y = αh(x + ( αh(y. 9

11 Also ist h konkav. Die Funktion h ist im Allgemeinen weder konkav noch konvex: Falls f (x = x und g(x = x dann sind sowohl f als auch g konkave. Aber h ist konvex und nicht konkav. Also ist h nicht notwendigerweise konkav. Ist f (x = x und g(x = x dann sind sowohl f als auch g konkav, und h ist strikt konkave, und damit nicht konvex. Also ist h nicht notwendigerweise konvex. Aufgabe 8 Die Funktion f : I R sei konkav aber nicht notwendigerweise differenzierbar. Finden Sie alle Werte für die Konstanten a und b, so dass a f (x + b konkav ist. Argumentieren Sie ohne die Annahme der Differenzierbarkeit. Es sei g(x = a f (x + b. Da f konkav ist gilt Es ist und Also genau dann wenn f (( αx + αy ( α f (x + α f (y for all x, y, and α [, ]. g(( αx + αy = a f (( αx + αy + b ( αg(x + αg(y = a[( α f (x + α f (y] + b. g(( αx + αy ( αg(x + αg(y for all x, y, and α [, ] a f (( αx + αy a[( α f (x + α f (y], oder genau dann wenn a (unter Benutzung der Konkavität von f. Aufgabe 9 Die Funktion g : R R ist gegeben durch g(x = f (ax + b. Die Funktion f sei eine konkave Funktion, die nicht notwendigerweise differenzierbar ist. a und b sind Konstanten in R mit a =. Beweisen oder widerlegen Sie: g ist eine konkave Funktion. Wir haben g(αx + ( αx = f (a(αx + ( αx + b Also ist g eine konkave Funktion. = f (α(ax + b + ( α(ax + b α f (ax + b + ( α f (ax + b (by the concavity of f = αg(x + ( αg(x. Stetigkeit Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in den angegebenen Punkten. a f : R R, f (x = x in x =. b c d in x = in x = in x =. a Es gilt f : R R, f (x = f : R R, f (x = f : R R, f (x = { x, x =, x = { x x+ x, x =, x = { x, x x, x < lim f (x = lim x = lim x = und lim f (x = lim x = lim x =. x + x + x + x x x Also ist f stetig in x =. b Es gilt Also ist f unstetig in x =. lim f (x = lim x + x + x =. c Es gilt f (x = x x + (x = = x x x für alle x R, x =. Wegen f ( = = folgt dann f (x = x für alle x R. Also ist f stetig in x =. d Es gilt lim f (x = lim x = und lim f (x = lim x = =. x + x + x x Also ist f unstetig in x =.

12 Aufgabe Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit in ihrem Definitionsbereich. a f : R R, f (x = x + 4 b f : R \ {4} R, f (x = x 6 x 4 { x + 4, < x 4 c f : R R, f (x = x + 6, 4 < x < x 6 d f : R R, f (x = x 4, x = 4, x = 4 a Als lineares Polynom ist f stetig. b Als rationale Funktion auf ihrem Definitionsbereich ist f stetig. c Als lineare Funktion auf den Bereichen (, 4 und (4, ist f dort stetig. Wir betrachten also x = 4. Es gilt Damit ist f unstetig in x = 4. lim f (x = lim x + 6 = = = 8 = f (4. x 4+ x 4+ d Als rationale Funktion ist f stetig auf R \ {4}. Wir betrachten also x = 4. Es gilt Damit ist f unstetig in x = 4. x lim f (x = 6 lim x 4 x 4 x 4 = lim x + 4 = 8 = = f (4. x 4 Differentialrechnung Aufgabe Bestimmen Sie jeweils die Ableitung f der Funktionen f, welche auf geeigneten Definitionsbereichen durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind: a f (x = 5x + 7x 4x + 9, b f (x = x6 + x + x, c f (x = 4x 4 4x, d f (x = 8x x x 4, e f (x = x + x x 4, f f (x = x + x + x 5, g f (x = e x x + x 5, h f (x = 4x 4 4 x, i f (x = x ln(x + ln(x, j f (x = x 4 sin(x, k f (x = (e x + 4 x, l f (x = ln(x e x, m f (x = x + 4, n f (x = x + x, o f (x = 7x + x + x, p f (x = (5x 5 ( + x q f (x = x 4 4 x + 7, r f (x = (x + x 5. a f (x = 5x + 4x 4, b f (x = x x, c f (x = 6x, d f (x = 6x + 8 x, x e f (x = x 6x 4 + x 5, f f (x = x x 5 x 8, g f (x = e x x(x + + 5x 4, h f (x = 4x 4 x (4 + x ln(4, i f (x = ln(x + + x, j f (x = x (4 sin(x + x cos(x, ( 4 x k f (x = e x + ln(46 x + (ln(4, ( e l f (x = e x ln(x x + ln(x, m f (x = x, n f (x = x( + x, o f (x = 4x x (x + x, p f (x = 5(5x 4, q f (x = (48x + 8x ( x 4 x + 7, r f (x = (x + 5 (x + x. Aufgabe Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x 4

13 auf Differenzierbarkeit. Falls x >, also x R \ [, ], so gilt f (x = x. Falls x <, also x (,, so gilt f (x = x. In beiden Fällen ist f ein Polynom und damit differenzierbar. Es bleiben die Randpunkte x = und x = zu untersuchen. Für x > gilt Sei nun < x <. Dann ist f (x f ( x f (x f ( x = x x = x x = x + x +. = x x =. Also ist f in x = nicht differenzierbar. Genauso zeigt man, dass f auch in x = nicht differenzierbar ist. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f : R R, x x x auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Bestimmen Sie gegebenenfalls f (. Wir bestimmen wieder den Differenzenquotienten. Für x > gilt Für x < gilt f (x f ( x f (x f ( x = x x x = x ( x x Damit ist f in x = differenzierbar mit f ( =. = x x +. = x x. Aufgabe 5 Bestimmen Sie zunächst die Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie im Anschluss f. a f (x = x x + x, b f (x = + (x 4, c f (x = x (x 4x +. a Es ist D( f = R und f (x = x + x + (x +. b Es ist D( f = R \ {±} und c Es ist D( f = R \ {, } und f (x = 5x x (x 4 4. f (x = (x 6x + (x 4x +. Aufgabe 6 Bestimmen Sie die maximalen Definitionsbereiche der Funktionen f, welche durch die folgenden Abbildungsvorschriften gegeben sind. Bestimmen Sie in jedem Punkt, in welchem f differenzierbar ist, die Ableitung. (Randpunkte des Definitionsbereichs sind dabei zu vernachlässigen. a f (x = x + 4x 5, b x + 4 x + 5 x, c f (x = cos ( tan( + x. a Zunächst gilt x + 4x 5 = (x + x + 5(x. Die erste Faktor ist für alle x R positiv, der zweite genau für x. Also ist D( f = [,. Weiter ist f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (, differenzierbar mit f (x = ( x + 4x + 5 (x + 4. b Es gilt D( f = [, und f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (, differenzierbar mit f (x = ( x + 4 x + 5 x ( + 4 x x 4 5. c Es gilt D(tan = R \ ( π + Zπ, sowie Damit ist Die Ableitung bestimmt sich zu + x = π + kπ x = ± π + kπ, k N. D( f = R \ k N { } π ± + kπ. f (x = sin(tan( + x x cos ( + x. 5 6

14 Aufgabe 7 Bestimmen Sie die lokalen und globalen Maxima und Minima der Funktionen aus Aufgabe 5. a Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte in D( f = R. Es gilt f (x = x + x + = (x = x = ±. Um zu bestimmen, ob es sich dabei um lokale Extrema handelt, bestimmen wir zunächst die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f zu f > auf (, +, f < Sei zunächst x = +. Für ε > gilt also auf (, ( +,. f ( + ε > und f ( + + ε <. Also wechselt f in x sein Vorzeichen (monoton fallend und damit hat f in x ein lokales Maximum. Sei x =. Für < ε < gilt f ( ε < und f ( + ε >. Also wechselt f in x sein Vorzeichen (monoton wachsend und damit hat f in x ein lokales Minimum. Direktes Ausrechnen liefert f (x = ( > und f (x = ( + <. Wegen lim x f (x = = lim x f (x sind die Extrema sogar global. b Es gilt 5x x < für alle x R. Damit besitzt f keine kritischen Punkte und damit auch keine lokalen Extrema. c Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte in D( f = R \ {, }. Es gilt f (x = (x 6x + (x 4x + = x 6x + = x = ±. Wir verfahren wie in a und bestimmen zunächst die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f zu ( ( f < auf,, + (,, ( ( f > auf, +,. Setze nun x = und x = +. Für < ε gilt f (x ε < und f (x + ε >. Also besitzt f in x ein lokales Minimum. Weiter ist f (x ε < und f (x + ε >. Also besitzt f auch in x ein lokales Minimum. Desweiteren ist Folglich besitzt f keine globalen Maxima. Aufgabe 8 Betrachten Sie die Funktion lim f (x = und lim f (x =. x x f : R R, f (x = x 5 5x + 6x. a Bestimmen Sie die lokalen Maxima und Minima von f. b Bestimmen Sie die Wendepunkte von f. c Bestimmen Sie die größten Intervalle, auf denen f streng monoton wachsend ist. d Fertigen Sie eine Skizze von f an. a Es gilt f (x = 5x 4 75x + 6, f (x = 6x 5x, f (x = 8x 5. Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte von f. Es gilt f (x = 5x 4 75x + 6 = 5(x 4 5x + 4 = x {±, ±}. Explizit berechnet man f ( = 9, f ( = 9, f ( = 4, f ( = 4. Damit liegen in x = und x = lokale Minima, sowie in x = und x = lokale Maxima vor. 7 8

15 b Wir bestimmen zunächst die kritischen Punkte von f. Es gilt { } f 5 (x = 6x 5x = x(x 5 = x, ±. Weiter ist ( f ( =, f 5 =, f ( 5 =. Damit liegen in allen kritischen Punkten Wendestellen von f vor. c Es gilt f > auf (, (, (,. Die gesuchten Monotonieintervalle sind damit (, und (,. Aufgabe 9 Untersuchen Sie analog zu vorigen Aufgabe die Funktion f : R \ { } R, f (x = x (x. (x + Hinweis: Die einzige reelle Nullstelle von f ist x =. a Es gilt Weiter hat man f (x = 6 x (x + x 4 (x +. f (x = x {, 5, + } 5. Die Positivitäts- und Negativitätsbereiche von f bestimmen sich zu f < auf (, 5 (, + 5, f > Wie oben sei < ε. Für x = hat man auf ( 5, ( + 5,. f (x ε > und f (x + ε <. Damit hat f in x = ein lokales Maximum. Für x = 5 gilt f (x ε < und f (x + ε >. Damit hat f in x = 5 ein lokales Minimum. Für x = + 5 gilt f (x ε < und f (x + ε >. Damit hat f in x = + 5 ein lokales Minimum. b Die einzige reelle Nullstelle von f liegt in x = vor. Da f ( ε < und f ( + ε > für ε klein genug, handelt es sich hierbei um einen Wendepunkt. c Es ist f > auf ( 5 (, ( + 5,. Damit ist ( + 5, das gesuchte Intervall. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktionen a f : [, ] R, f (x = 4 x, b f : [, 4] R, f (x = x 5 5x 4 + 5x + 7 auf lokale und globale Maxima und Minima. Bestimmen Sie auch die entsprechenden Extremalwerte. a Es gilt f (x = x = genau für x =. Es gilt f (x = <. Damit liegt in x = ein lokales Maximum vor. Es ist f ( = und f ( = 5. Aus f ( = 4 folgt damit, dass f auf dem Intervall [, ] in x = ein globales Maximum und in x = ein globales Minimum besitzt. b Es ist ( f (x = 5x 4 x + 5x = 5x x 4x + = 5x (x (x, f (x = x 6x + x. Also sind x =, x = und x = die einzigen Nullstellen von f. Weiterhin gilt f ( = <, f ( = 9 >, f ( =. Im Punkt x = besitzt die Funktion also ein lokales Maximum, im Punkt x = ein lokales Minimum. Im Punkt x = ist keine Aussage möglich, da f in diesem Punkt keinen Vorzeichenwechsel hat. Schließlich müssen die inneren Extremwerte mit den Randwerten verglichen werden. Man berechnet Damit hat f ( = 4, f ( = 8, f ( =, f (4 = 7. f in x = ein lokales, aber kein globales Minimum, f in x = ein lokales, aber kein globales Maximum, 9

16 f in x = ein lokales und globales Minimum, f in x = 4 ein lokales und globales Maximum. Aufgabe 4 Entscheiden Sie ob die Funktion f (x = (/x + 8x konvex oder konkav ist. Die Funktion f ist zweimal differenzierbar, da es sich um ein Polynom handelt. Es ist Also ist f ist strikt konkav. f (x = x/ + 8 und f (x = / <. Aufgabe 4 Es sei f : (, R mit f (x = Ax α, wobei A > und α Parameter sind. Für welche Werte von α ist f monoton steigend und konkav auf dem Intervall (,? Es ist f (x = αax α und f (x = α(α Ax α. For jeden Wert von β gilt x β für alle x >. Damit f monoton steigend und und konkav ist benötigen wir α and α(α, oder was äquivalent ist α. Aufgabe 4 Finden Sie Zahlen a und b, so dass der Graph von f (x = ax + bx den Punkt (, enthält und einen Wendepunkt in x = / besitzt. Damit der Graph der Funktion den Punkt (, enthält, muss f ( = gelten. Das impliziert a + b =. Weiter gilt f (x = ax + bx und f (x = 6ax + b. Damit also f einen Wendepunkt in x = / besitzt muss f (/ = gelten. Dies impliziert a + b =. Wir lösen diese zwei Gleichungen nach a und b auf und erhalten a = /5 und b = /5. Aufgabe 44 Seien a R, m, n Z mit m = n und m, n =. a Die beiden Summanden sind x = y = a. b Die beiden Summanden sind x = ma m+n und y = na m+n. Aufgabe 45 Die Summe der Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt k. Wie groß müssen die einzelnen Kathetenlängen gewählt werden, damit die Hypothenusenlänge möglichst klein wird? Die beiden Katheten müssen die Länge k haben. Aufgabe 46 Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Sein Umfang sei U. Für welchen Halbkreisradius wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten? Es bezeichne r den Halbkreisradius, a die Höhe des Rechtecks und F die Fläche des Querschnitts. Dann ist Für die Fläche erhalten wir U = πr + a + r, also a = F = ar + πr. U ( + πr. Setzen wir a als Funktion von r ein, so ergibt dies F(r = r (U ( + πr + π ( r = + π r + Ur, ( F (r = + π r + U, ( F (r = + π. Die einzige Nullstelle von F wird durch r = π+4 U gegeben. Wegen F (r < handelt es sich hierbei um ein lokales Maximum. Wegen lim r F(r = ist das lokale Maximum sogar global. a Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass deren Produkt möglichst groß wird. b Zerlegen Sie a so in zwei Summanden, dass das Produkt der m-ten Potenz des einen Summanden und der n-ten Potenz des anderen Summanden möglichst groß wird.

17 Integralrechnung Aufgabe 47 Bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a f (x = 4x + x +, b f (x = 5 x, c f (x = e x, d f (x = 4 4 x, e f (x = 5x x +, f f (x =, x x g f (x = (x, h f (x = 4 x. a F(x = x 4 + x + x, b F(x = 5 8 x 5 x, c F(x = e x, d F(x = 4 x, e F(x = x 5 + 4x + 6 ln x, f F(x = 4 x x + 6 x, g F(x = x x + 4x, h F(x = 4x ln(4. Aufgabe 48 Bestimmen Sie: a d f i 4 (x + dx, b x 4 dx ( x 4 + x 5 5 x 4 dx + x 4 dx, e dx, g 5 x dx, j 4 4 ( x + x dx, c 7 x(x + x dx x dx, h 4 x dx. 4 (x + x dx ( x dx + 7 (x dx, (x + x dx, ( e x + x dx, a 8, b 7 6, c, d 65, e, ( f 9, g 6 4, h e +, i e 4 ln(5, j 4 ln(. Aufgabe 49 Bestimmen Sie mit Hilfe der Substitutionsmethode jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a f (x = (x +, b f (x = ex + e x, c f (x = x x +, d f (x = 9x + x(x +, e f (x = x ln(x + x, f f (x = (x + ln(x +. a ϕ(t = t + und F(x = 8 (x + 4, D f = R, b ϕ(t = + e t und F(x = ln( + e x, D f = R, c ϕ(t = t + und F(x = x +, D f = R, d ϕ(t = t(t + und F(x = ln( x + x, D f = R \ {}, e ϕ(t = ln(t + und F(x = ln( ln(x +, D f = (,, f ϕ(t = ln(t + und F(x = ln( ln(x +, D f = (,. Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Wert I der folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. a (x + 4 dx, b 5 ( + x x dx, c x + 4 x + 4x dx, x d dx, e (6x + 5 e x +5x dx, f 4x 4 x + 4 dx. x + 5 a ϕ(t = t +, I = 88, b ϕ(t = + t, I = 7, c ϕ(t = t + 4t, I = ln 5 7, d ϕ(t = t + 5, I = 4, e ϕ(t = t + 5t, I = e 8, f ϕ(t = t + 4, I = Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe der partiellen Integration jeweils eine Stammfunktion F der Funktionen f, welche durch folgende Abbildungsvorschriften gegeben sind. a f (x = x e x, b f (x = e x (x + x, c f (x = ln(x, 4 d f (x = x ln(x, e f (x = log (x, f f (x = ln(x. 4

18 a f (x = x, g (x = e x, F(x = (x e x, b f (x = x + x, g (x = e x, F(x = e x ( x + x, c f (x = ln(x, g (x =, F(x = x(ln(x, d f (x = ln(x, g (x = x, F(x = x ( ln(x, 9 e f (x = log (x, g(x =, F(x = x (ln(x, ln( f f (x = ln(x, g (x = ln(x, F(x = x ln(x x ln(x + x. d Es folgt 6 x x 5 dx = x + dx x 5 dx = 8 (ln(6 ln(4 + ln(9 = ( ln( ln(7. 8 x x 5 dx = (ln( ln(5 ln(. 8 Aufgabe 5 Bestimmen Sie die folgenden Integrale unter Benutzung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. a d g / dx, b + 7x x dx, e x 5 π/ a b sin(x dx, h + cos(x / 7 + 7x dx = / / x dx = 4 / dx, c 4 + 9x 6 x x 5 dx, 8x 5 4x dx, f 5x + 4x 5x + dx, π/6 cos(x + 4 sin(x dx. + 7 x dx = / x dx = 4 [ ( 7 ] 7 7 arctan x = π 6. [ ( ] / arctan x = π 8. c Es gilt x x 5 = (x + (x 5. Damit erhalten wir die Partialbruchzerlegung (x + (x 5 = 8(x + + 8(x 5. e Es gilt 4x 5x + = (x (4x. Damit erhalten wir die Partialbruchzerlegung Es folgt 4x 5x + = (x 4 (4x. 4x 5x + dx = (ln( ln( + ln(7. f Aus d ( dx 4x 5x + = 8x 5 folgt mit der Substitutionsmethode 8x 5 [ ] 4x 5x + dx = ln(4x 5x + = ln( ln(7. g Aus d dx ( + cos(x = sin(x folgt mit der Substitutionsmethode π/ sin(x + cos(x dx = [ ] π/ ln( + cos(x = (ln( + ln(5. h Aus d dx ( + 4 sin(x = 4 cos(x folgt mit der Substitutionsmethode π/6 cos(x + 4 sin(x dx = 4 [ ] π/6 ln( + 4 sin(x = (ln(5 ln(. 4 Aufgabe 5 Bestimmen Sie mit Hilfe partieller Integration die folgenden Integrale. 5 6

19 a π/4 π/6 c cos(x ln(sin(x dx, b π x 5 ln(x + dx, d a Aus d dx sin(x = cos(x folgt mit partieller Integration π/4 π/6 cos(x ln(sin(x dx = = x sin(x dx, x e x dx. [ ] π/4 sin(x ln(sin(x [ sin(x b Aus d dx cos(x = sin(x folgt mit partieller Integration π/4 π/6 π/6 ] π/4 = π/6 sin(x cos(x sin(x dx + =. d [ x e x dx = x e x] = e = e = 4 e + x ex dx x e x dx [ x e x] [ xex] + x ex dx ex dx = 8 (e +. Aufgabe 54 Bestimmen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsmethode. c = Es folgt π [ ] π π x sin(x dx = x cos(x + x cos(x dx [ ] π π = π + x sin(x sin(x dx = π 4. [ ( ] (x + ln(x + (x + = ( ln( = ( ln( x 5 ln(x + dx = x 5 ln(x + dx x x ln(x + dx x (x + ln(x + x (x + dx x ln(x + dx + x 5 + x dx x 5 ln(x + dx ( ln( +. x 5 ln(x + dx =. sinh( a cosh( c 9 + x dx, b x 9 dx, d a Wir substituieren x(t = sinh(t und erhalten sinh( 9 + x dx = = sinh( = 9 7 ( x + 9 x dx, x x + dx. + sinh (t cosh(t dt cosh(t cosh(t dt [ ] = 9 sinh(t cosh(t 9 = 9 sinh( cosh( 9 sinh (t dt cosh (t dt + 9 dt. 7 8

20 Es folgt sinh( 9 + x dx = 9 cosh(t cosh(tdt = 9 sinh( cosh( + 9. b Wir substituieren x(t = sin(t und erhalten 9 x dx = π ( x dx = 9 π cos (t dt = 9 π. c Wir substituieren x(t = cosh(t und erhalten cosh( x 9 dx = cosh( ( x dx = 9 sinh (t dt = 9 (sinh( cosh(. d Wir substituieren x(t = t + und erhalten 7 x x + dx = = = 8 8 (t t dt t7 t 4 + t dt [ t 6 t7 + t = ( 6 7 (7 + 4 (4 = 9 4. ] 8 9