Lineare Algebra. Teil III. Inhaltsangabe

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1 Teil III Lineare Algebra Inhaltsangabe 3 Lineare Algebra Einführung Matrizen und Vektoren Spezielle Matrizen Die Spur einer Matrix Matrixdeterminanten Lineare Gleichungssysteme Lineare Unabhängigkeit Rang einer Matrix Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Inverse Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Beispiele Inverse einer Rechtecksmatrix Eigenwerte einer 3 3-Matrix

2 3 Lineare Algebra 3.1 Einführung Slide 42 Chemische Reaktionsgleichung Kaliumdichromat (K 2 Cr 2 O 7 ) zerfällt bei 500 C in Kaliumchromat (K 2 CrO 4 ), Chromoxid (Cr 2 O 3 ) und Sauerstoff O 2. x 1 K 2 Cr 2 O 7 x 2 K 2 CrO 4 + x 3 Cr 2 O 3 + x 4 O 2 wie findet man die Unbekannnten x i, außer durch Raten? Woran sieht man, dass die Lösung nicht eindeutig ist? (wie immer bei chemischen Reaktionsgleichungen) Slide 43 Bilanzierung x 1 K 2 Cr 2 O 7 x 2 K 2 CrO 4 + x 3 Cr 2 O 3 + x 4 O 2 K : 2x 1 = 2x 2 Cr : 2x 1 = x 2 + 2x 3 O : 7x 1 = 4x 2 + 3x 3 + 2x 4 (Ladung : 0 = 0) Normalform: 2x 1 2x 2 = 0 (1) 2x 1 x 2 2x 3 = 0 (2) 7x 1 4x 2 3x 3 2x 4 = 0 (3) Slide 44 22

3 Matrizen und Vektoren 2x 1 2x 2 = 0 2x 1 x 2 2x 3 = 0 7x 1 4x 2 3x 3 2x 4 = 0 = Man ersetzt die Gleichung durch drei Objekte A, a und x.[0.4cm] x A = a = 0 x = x 2 x x 4 Diese Objekte nennt man Matrizen a und x sind Spezialfälle und heißen auch noch Vektoren Man kann dann schreiben: A x = a Was bedeuten die Symbole und welche Rechenregeln gibt es? 3.2 Matrizen und Vektoren Slide 45 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und j=1...m a 11 a a 1m a 21 a a 2m A = A = a n1 a n2... a nm die a ij sind reelle oder komplexe Zahlen eine n 1-Matrix (Spaltenmatrix) heißt (Spalten)Vektor v 11 v 1 v = v = v = v 2... v n1 v n 23

4 Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn die Zahl der Zeilen in A und B gleich sind, die Zahl der Spalten in A und B gleich sind, und wenn gilt a ij = b ij i, j. Slide 46 Matrixoperationen Wenn A und B beides n m-matrizen sind, dann ist die Summe der Matrizen C = A + B definiert als c ij = a ij + b ij mit 1 i n und 1 j m Wenn A eine m l-matrix und B eine l n-matrix ist, dann ist das Matrixprodukt C = A B definiert als c ij = l a ik b kj k=1 mit 1 i m und 1 j n Die Zahl der Spalten von A muss gleich der Zahl der Zeilen von B sein!! skalare Multiplikation: B = ka bedeutet b ij = k a ij i, j k C Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ aber ia. nicht kommutativ. Für Addition und Multiplikation gilt das Distributivgesetz. A B B A A (B C) = (A B) C A (B + C) = (A B) + (A C) 3.3 Spezielle Matrizen Slide 47 24

5 Spezielle Matrizen Eine quadratische Matrix hat genauso viele Zeilen wie Spalten (n n- Matrix). n heißt die Ordnung der Matrix. Eine diagonale Matrix D besitzt lediglich auf der Hauptdiagonalen (i = j) von Null verschiedene Elemente. d d d ij = d ij δ ij = 0 0 d d nn mit dem Kronecker-δ-Symbol δ ij = 1, wenn i = j und δ ij = 0 wenn i j. Die spezielle diagonale Matrix E mit e ij = δ ij heißt Einheitsmatrix. Eine Obere Dreiecksmatrix hat die Form u 11 u 12 u u 1n 0 u 22 u u 2n u ij = 0 0 u u 3n u nn also u ij = 0 wenn i > j. Analog heißt L eine Untere Dreiecksmatrix, wenn Sie die folgende Form (l ij = 0 wenn i < j) besitzt: l l 21 l l ij = l 31 l 32 l l n1 l n2 l n3... l nn Die Matrix N mit n ij = 0 i, j heißt Nullmatrix. 25

6 Die Matrix T = S T heißt die Transponierte von S, wenn gilt t ij = s ji i, j Eine 1 n-matrix S heißt Zeilenvektor. S ist die Transponierte eines Spaltenvektors A, also. s 1n = a n1 oder S = A T Das Produkt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor n S V = s i v i heißt Skalarprodukt Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor V S = A i=1 mit a ij = v i s j heißt äußeres Produkt oder Tensorprodukt und ist eine quadratische Matrix. Die Matrix S heißt symmetrisch, wenn gilt s ij = s ji i, j Die Matrix A heißt antisymmetrisch, wenn gilt. Insbesondere gilt hier a ii = 0 a ij = a ji Die Matrix B = A ist die Adjungierte von A, wenn gilt b ij = (a ji ) Die Matrix H heißt hermitesch, wenn sie gleich Ihrer Adjungierten ist (wenn sie also selbstadjungiert ist). Dann gilt h ij = (h ji ) Insbesondere gilt, dass die Diagonalelemente reell sind, also h ii = (h ii ). Wenn alle Matrixelemente reell sind, ist die Matrix sowohl hermitesch als auch symmetrisch. i, j i, j 26

7 3.4 Die Spur einer Matrix Slide 48 Die Spur einer Matrix Die Summe der Diagonalelemente a ii einer Matrix A T r(a) = N i=1 a ii heißt die Spur der Matrix A. die Spur der n-dimensionalen Einheitsmatrix ist gleich n: T r(e n ) = n 3.5 Matrixdeterminanten Slide 49 Determinanten I Es gibt N! verschiedene Permutationen der Zahlen 1, 2,... N Die Determinante einer N N-Matrix A ist eine Zahl, berechnet nach a a 1N det(a) = A =.. a N1... a NN = N! i=1 ( 1) p i P i a 11 a a NN P i ist ein Permutationsoperator, der die Spaltenindizes vertauscht. Die Summe läuft über alle N! Permutationen. Slide 50 27

8 Determinanten II N! deta = ( 1) p i P i a 11 a a NN i=1 p i ist die Zahl der Transpositionen (Vertauschungen), die zur Wiederherstellung der Diagonalform notwendig sind. Es ist nur wichtig, ob die Zahl der Transpositionen gerade oder ungerade ist. Slide 51 Determinanten von 1 1 und 2 2-Matrizen ( ) a11 a Sei A = 12 a 21 a 22 Es gibt 2 Permutationen der Zeilenindizes 1 2 (p 1 = 0) 2 1 (p 1 = 1) Nach der Definition ist also a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1) 0 a 11 a 22 + ( 1) 1 a 12 a 21 = a 11 a 22 a 12 a 21 Die Determinante einer 1 1-Matrix ist das Matrixelement a 11 det(a 11 ) = a 11 Slide 52 28

9 3 3-Determinanten Entwicklungssatz a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33 a a 21 a a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 +a 12 a 31 a 23 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 31 a 22 Die 2 2-Determinante, die sich durch Streichen der i. Reihe und j. Spalte einer Determinante ergibt, heißt Minore oder Unterdeterminante M ij Der Cofaktor C ij (oft auch ã ij ) ist definiert als C ij = ( 1) i+j M ij Slide 53 Determinanten gößerer Matrizen Verallgemeinerung: (n 1) (n 1)-Unterdeterminanten M ij entstehen durch Streichen der i. Reihe und j. Spalte einer n n-determinante Verallgemeinerung des Entwicklungssatzes a a 1N N det(a) =.. = a kl C kl = a N1... a NN l=1 N a lk C lk l=1 Entwicklung nach beliebigen Zeilen oder Spalten möglich jede der n verschiedenen (n 1) (n 1)-Determinanten kann dann (rekursiv) wieder nach dem Entwicklungssatz berechnet werden, bis zur Ordnung 2 (oder 1). Slide 54 29

10 Sarrussche Regel a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a = det(...) = +a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Die Sarrussche Regel gilt nur für 3 3-Determinanten. (denn, z.b N=4: 4 blaue + 4 rote Terme 4! = 24 Terme) Slide 55 Eigenschaften von Determinanten det(a T ) = det(a) det(a ) = det(a) det(a B) = det(a) det(b) det A = 0, wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich 0 sind Vertauschen von zwei Reihen (Spalten) ändert das Vorzeichen der Determinante det A = 0, wenn zwei Reihen (Spalten) identisch sind Der Wert der Determinante bleibt unverändert, wenn man ein beliebiges Vielfaches einer Reihe (Spalte) zu einer anderen Reihe (Spalte) addiert. die Determinanten einer Diagonalmatrix oder einer (oberen oder unteren) Dreiecksmatrix sind gleich dem Produkt der Diagonalelemente! 3.6 Lineare Gleichungssysteme Slide 56 30

11 Lösungsweg aus (1) = x 1 = x 2 in (2) = x 1 = 2x 3 = x 3 = x 1 2 in (3) = 3x x 1 = 3 2 x 1 = 2x 4 = x 4 = 3 4 x 1 x 1 = 4(Wahl!) x 2 = 4 x 3 = 2 x 4 = 3 algorithmische Lösung? 4K 2 Cr 2 O 7 4K 2 CrO 4 + 2Cr 2 O 3 + 3O 2 Slide 57 Gauß-Algorithmus allgemein sieht ein lineares Gleichungssystem (LGS) folgendermaßen aus: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m in Matrixschreibweise: A x = b Slide 58 Lösungsverfahren nach Gauß 1. Elimination ( von ) x 1 aus den unteren (m 1) Gleichungen. Dazu zieht ai1 man das fache der ersten Glg. von der i.ten Glg. ab,z.b. in der a Glg. ( a 21 a ) ( 21 a 11 x 1 + a 22 a ) 21 a 12 x = b 2 a 21 b 1 a 11 a 11 a Dies führt für die unteren (m 1) Gleichungen auf ein System mit (n 1) Variablen (ohne x 1 ). 3. Mit diesem neuen Gleichungssystemn aus (m 1) Gleichungen mit (n 1) Unbekannten führt man wieder Schritt 1 durch. 31

12 = System aus m-2 Gleichungen mit n-2 Variablen... Gaußsches Eliminationsverfahren Slide 59 Beispiel Slide 60 Beispiel 32

13 Slide 61 Beispiel 33

14 3.7 Lineare Unabhängigkeit Slide 62 Definition der Linearen Unabhängigkeit 34

15 Definition: Lineare Unabhängigkeit Die Spalten einer Matrix A = (a ij ) R m n heißen linear abhängig, wenn es Zahlen λ 1, λ 2,..., λ n gibt, die nicht alle gleich Null sind und die Gleichungen λ 1 a i1 + λ 2 a i λ m a im = 0 i = 1,..., n erfüllen. Dies kann man auch schreiben als A λ = 0 Slide 63 Slide 64 mit λ = (λ 1,..., λ n ) T R n und 0 = Nullvektor in R m. Wenn die n Spalten nicht linear abhängig sind, heißen sie linear unabhängig. Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Lineare Abhängigkeit: ein λ 0 existiert. [1cm] Lineare Unabhängigkeit: es existiert nur λ = 0 als Lösung des LGS. Quadratische Matrizen Satz über LU von Matrizen Die Elemente einer quadratischen Matrix A sind genau dann linear unabhängig, wenn deta = A Rang einer Matrix Slide 65 Rang 35

16 Definition: Rang einer Matrix Der Rang rg(a) einer Matrix A ist die maximale Zahl linear unabhängiger Spalten. Diese Zahl ist gleich der maximalen Anzahl unabhängiger Zeilen der Matrix. Es gilt also: Zeilenrang = Spaltenrang Slide 66 Beispiel A Offenbar kann der Rang höchstens 2 sein, da Zeilen- und Spaltenrang gleich sein müssen und nur 2 Spalten existieren.[0.3cm] rg(a) = 2, weil sich Spalte 1 nicht durch Spalte 2 oder ein Vielfaches davon ausdrücken lässt. [0.3cm] Andererseits gilt: = Zeilenrang = 2 (Zeile 3) = 4 (Zeile 1) 2 (Zeile 2). Slide 67 Rang einer quadratischen Matrix Offenbar gilt dann: Der Rang einer quadratischen Matrix A R n n ist genau dann gleich n, wenn det(a) 0. Slide Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Gegeben sei ein System aus n Unbekannten und m Gleichungen. A x = b A heißt Koeffizientenmatrix mit Matrixelementen (a) ij C. 36

17 x ist der Vektor der n Unbekannten x i und b ist ein Vector, der die rechten Seiten des LGS (die Inhomogenitäten ) b i, i = 1,..., m beschreibt. Die Matrix (A b) = a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m heißt erweiterte Koeffizientenmatrix. Sie entsteht, wenn man zur Matrix A den Spaltenvektor b hinzufügt. Slide 69 Lösbarkeit von LGSen Sei A R m n, b R m. Dann gilt: 1. Wenn rg(a) rg((a b)) : Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung. 2. Wenn rg(a) = rg((a b)) = n : Das Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung. 3. Wenn rg(a) = rg((a b)) < n : Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen und zwar n rg(a) linear unabhängige Lösungen Inverse Matrizen Slide 70 37

18 Inverse Matrix I Die Matrix B = A 1 heißt die Linksinverse von A, wenn gilt. A 1 A = E Analog heißt die Matrix C = A 1 die Rechtsinverse von A, wenn gilt. A A 1 = E Für quadratische Matrizen sind die Rechts- und die Linksinverse gleich und heißt die Inverse Matrix von A A A 1 = A 1 A = E Hermitesche Matrizen haben (i.d.r.) eine Inverse. Slide 71 Inverse Matrix II Für nichtquadratische Matrizen sind Rechtsinverse A R 1 und Linksinverse A L 1 nicht gleich. Wenn A eine n m-matrix ist, dann ist 1 A L A = E m Einheitsmatrix der Ordnung m 1 A A R = E n Einheitsmatrix der Ordnung n Beispiel Slide 72 38

19 Inverse einer 2 2-Matrix ( a11 a Gegeben sei eine 2 2-Matrix A mit A = 12 a 21 a 22 Dann ist die Inverse A 1 gegeben durch ( A 1 1 a22 a = 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 ) ) Die Inverse existiert also genau dann, wenn det(a) 0 ist. (Cramersche Regel) Dies kann auf beliebig große quadratische Matrizen verallgemeinert werden. Slide 73 Orthogonale und Unitäre Matrizen Eine Matrix O heißt orthogonal, wenn ihre Transponierte gleich ihrer Inversen O T = O 1 ist, also O O T = E Eine Matrix U heißt unitär, wenn ihre Adjungierte gleich ihrer Inversen U = U 1 ist, also U U = E Beachte: Aufgrund der Definition sind symmetrische, antisymmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen notwendigerweise quadratisch!. Slide 74 Slide 75 Verfahren zur Inversion von Matrizen Allgemeine Verfahren zur Berechnung der Inversen für größere Matrizen basieren auf einer Kombination der Erweiterung der matrix mit der Einheitsmatrix E und dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Konkret: Wende das Gaußsche Eliminationsverfahren auf die erweiterte Matrix (A E) an, bis alle Nebendiagonalelemente verschwinden und die Diagonalelemente = 1 sind, also (E A 1 ) erreicht ist. 39

20 Beispiel Slide 76 Beispiel Slide 77 Beispiel 40

21 Slide 78 Beispiel 3.11 Eigenwerte und Eigenvektoren Slide 79 Matrixeigenwertgleichungen I Multipliziert man einen Spaltenvektor von links mit einer quadratischen Matrix, so erhält man wieder einen Spaltenvektor. Multipliziert man einen Zeilenvektor von rechts mit einer quadratischen Matrix, so erhält man wieder einen Zeilenvektor. 41

22 a 11 a a 1n c 1 a 21 a a 2n c 2 A =.... und c = seien eine quadratische n n-matrix bzw. ein n-dimensionaler Spaltenvektor. λ sei ein... a n1 a n2... a nn c n Skalar (=Zahl). Slide 80 Slide 81 Matrixeigenwertgleichungen II Wenn c die Gleichung A c = λ c oder (A λe) c = 0 erfüllt, dann heißt c Eigenvektor von A, und λ heißt der dazugehörige Eigenwert von A. Eine solche Matrixeigenwertgleichung ist äquivalent zu einem gekoppelten homogenen linearen Gleichungssystem aus n Gleichungen (a 11 λ)c 1 +a 12 c a 1n c n = 0 a 21 c 1 +(a 22 λ)c a 2n c n = = 0 a n1 c 1 +a n2 c (a nn λ)c n = 0 Matrixeigenwertgleichungen III nichttriviale Lösungen der Matrixeigenwertgleichung existieren nur, wenn A c = λ c = λe c det(a λe) = 0 ( ) ( ) heißt die charakteristische Gleichung (oder das charakteristische Polynom) der Matrix A. Das charakteristische Polynom hat n Wurzeln für λ i. Einige der Wurzeln können gleich sein. Die Eigenwerte heißen dann entartet. Slide 82 42

23 Eigenwerte und Eigenvektoren Ist A diagonal, so sind die Wurzeln λ i = a ii, da det(a λe) = (a 11 λ) (a 22 λ)... (a nn λ) Eigenvektoren können durch Multiplikation mit einer Konstante normiert werden. Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix sind reell. Eigenvektoren zu zwei verschiedenen Eigenwerten λ 1 und λ 2 sind orthogonal, d.h. c 1 c 2 = 0 Für Eigenvektoren, die zu zwei entarteten Eigenwerten (also λ 1 = λ 2 ) gehören, lassen sich immer 2 zueinander orthogonale Linearkombinationen der Eigenvektoren konstruieren! Slide 83 Der n-dimensionale Vektorrraum eine hermitische n n-matrix hat also n Eigenvektoren, die alle zueinander orthogonal sind. Man sagt, dass die n Eigenvektoren einen n-dimensionalen (Vektor)Raum aufspannen. Jeder Vektor in diesem Raum kann durch eine Linearkombination der Eigenvektoren ausgedrückt werden. Die Eigenvektoren sind ein vollständiger Satz von Basisvektoren Beispiel 3.12 Beispiele Inverse einer Rechtecksmatrix Slide 84 43

24 Inverse einer Rechtecksmatrix I Betrachte die 1 2 Matrix A = ( 1 2 ) Eine Rechtsinverse ist offensichtlich A R 1 = ( 1 0 denn A A R 1 = = 1 = E 1. Eine andere Rechtsinverse ist offensichtlich ( ) A R 1 0 = 0.5 ) denn A A R 1 = = 1 = E 1 Slide 85 Inverse einer Rechtecksmatrix II die Matrix A hat offensichtlich keine Linksinverse, denn es müsste gelten: (a 1 L ) 11 a 11 = (a 1 L ) 11 1 (a 1 L ) 21 a 11 = (a 1 L ) 21 1 (a 1 L ) 11 a 12 = (a 1 L ) 11 2 (a 1 L ) 21 a 12 = (a 1 L ) 21 2! = 1 = e 11! = 0 = e 21! = 0 = e 12! = 1 = e 22 Zurück 44

25 Eigenwerte einer 3 3-Matrix Slide 86 Eigenwerte einer 3 3-Matrix Beispielmatrix: A = Die Matrix ist diagonal. Die Eigenwertgleichung lautet: A c (i) = λ i c (i) für i = 1, 2, 3 Es gibt also 3 verschiedene Eigenwerte und Eigenvektoren. 1 λ 0 0 Die charakteristische Gleichung lautet 0 2 λ λ = 0 Die Wurzeln lauten: λ 1 = 1, λ 2 = 2 und λ 3 = 3. Wie erhält man nun aus den Eigenwerten die Eigenvektoren? Slide 87 Eigenvektoren einer 3 3-Matrix Man setzt für jeden Eigenvektor separat den entsprechenden Eigenwert in die Eigenwertgleichung ein. also, für i = c (1) = Das dazugehörige Gleichungssystem lautet: c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 1c (1) 1 +0c (1) 2 +0c (1) 3 = 1c (1) 1 0c (1) 1 +2c (1) 2 +0c (1) 3 = 1c (1) 2 0c (1) 1 +0c (1) 2 +3c (1) 3 = 1c (1) 3 = 1 c (1) 1 c (1) 2 c (1) 3 Die offensichtliche Lösung lautet: c (1) 1 ist beliebig, c (1) 2 = c (1) 3 = 0. Slide 88 45

26 Eigenvektoren Wählen wir c (1) 1 = 1, erhält man den normierten Eigenvektor c (1) = Analog erhält man für λ 2 = 2 den Eigenvektor c (2) = und für λ 3 = 3 erhält man c (3) = 0 1 Die drei Vektoren sind orthogonal und spannen den gesamten dreidimensionalen Raum auf! Zurück Slide 89 Slide 90 Beispiel ( ) 1 1 Gegeben sei 1 1 Charakteristisches Polynome = 0? 1 λ 1 λ 1 1 = 0 (1 λ) = 0 1 2λλ = 0 Eigenwerte: λ 1/2 = 1 ± 1 2 = 1 ± i Die Matrix war nicht hermitesch Die Eigenwerte müssen nicht reell sein. 46

27 1. Eigenvektor Setzen wir nun λ 1 = 1 + i in die Eigenwertgleichung ein: ( ) ( ) ( ) 1 1 x x = (1 + i) 1 1 y y Gleichungssystem x + y = (1 + i)x x + y = (1 + i)y 1. Gleichung y = (1 + i)x x = ix in 2. Gleichung: y = ((1+i)y ) +x ( = )(1+i)ix+x = ix+i 2 x+x = ix x x = Wahlfreiheit für x: = y ix Slide Eigenvektor = Wahlfreiheit für x: ( x y ) = ( x ix ) Normierung: x 2 + ix 2 = 1 = 2 x 2 = 1 = x = 1 2 Also: 1. Eigenvektor: e 1 = ( x y ) = 1 2 ( 1 i Bemerkung: Man hätte als Vorfaktor auch 1 2 oder sogar eiφ 2 mit beliebigem reellen φ wählen können! selbst nach Normierung besteht noch Wahlfreiheit! ) 47