Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Thema 10 Gewöhnliche Differentialgleichungen Viele Naturgesetze stellen eine Beziehung zwischen einer physikalischen Größe und ihren Ableitungen (etwa als Funktion der Zeit dar: 1. ẍ = g (freier Fall; 2. m d2 x dt 2 = kx (Hookesches Gesetz; 3. mẍ + hẋ + kx = 0 (gedämpfte Schwingungen; da A 4. = V dt 1 k V 1 V (Mischung von Flüssigkeiten; 5. dp dt = P(a bp (logistische Gleichung; 6. L di + Ri = V (t (Schaltkreisgleichung. dt Daher die Aufgabe: Gegeben sei eine Beziehung zwischen einer Funktion f und ihren Ableitungen. Bestimme alle Funktionen, die diese Beziehung erfüllen. Solche Aufgaben heißen gewöhnliche Differentialgleichungen (gewöhnlich, weil es sich um Funktionen einer Variablen handelt. 1. d 2 f dt 2 = b oder d2 y dx 2 = b oder y = b; 2. a d2 f dx 2 + b df dx + cf = 0 (oder ay + by + cy = 0; 3. a d2 y dx 2 = kf (oder a d2 f dx = ky oder ay = ky; 4. y = a by; 5. y = y(a by; 6. ay + by = f(t. Man unterscheidet zwischen: a impliziten Gleichungen wie sin(y = y oder y y = (y 2 und b expliziten Gleichungen wie y = y 2 exp y. Die Ordnung der Gleichung ist der Index der höchsten Ableitung, die vorkommt: (y 2 xy + y = 0 (implizit, Ordnung 1; (2yy (y 2 ln(y x 2 + y 2 = 0 (implizit, Ordnung 2; y + (e 2y + x(y 2 = 0 (explizit, Ordnung 2. 1

2 Explizite Differenzialgleichungen erster Ordnung Solche Gleichungen haben die Gestalt: (f eine Funktion von zwei Variablen. y = f(x, y y = x (Lösung y = x2 2 + c; y = y 2 1 (Lösung (x c ; y = 4y x (Lösung y = cx 4. Im allgemeinen haben solche Gleichungen unendlich viele Lösungen genauer, eine Lösungsschar mit einem freien Parameter. Eindeutigkeit der Lösung wird durch die Festsetzung einer Anfangsbedingung erreicht. y = x, y = 0 für x = 0. Die eindeutige Lösung ist y = x2 2 ; y = y 2, y = 5 für x = 1. Die eindeutige Lösung ist y = 1 (x 4 5. Wir betrachten einige einfache Arten von Gleichungen, für die es möglich ist, explizite Lösungen anzugeben: I. Getrennte Variablen: Das sind Gleichungen der Gestalt: y = g(x h(y (h(y dy = g(x dx. Man bekommt eine (implizite Lösung der Gestalt: H(y = G(x + x (c R wobei H bzw. G eine Stammfunktionvon h bzw. g ist. y = x 4 1. Lösung y = x + ln + c x 3 x 3 y = y 2 4 y = ce4x 1 ce 4x. II. Lineare Gleichungen: Das sind Gleichungen der Gestalt: a 0 (xy + a 1 (xy = a 2 (x. Falls a 0 keine Nullstellen hat, dann kann man die Gleichung in der Gestalt y + a(xy = b(x schreiben. Die Lösung ist dann y = exp( A(x[c + b(x exp A(x dx], (wobei A = a(x dx. y + ((tanxy = sin x Lösung: xy 2y = x 2 2

3 III. Homogene Gleichungen: Das sind Gleichungen der Gestalt: y = f(x, y wobei f homogen ist (d.h. f(tx, ty = f(x, y. Mit Hilfe des Ansatzes y = vx bekommt man die Gleichung v (f(1, v v = x mit getrennten Variablen. Beispiel. y = x2 +y 2 Lösung: xe y xy x 2 x = c(y + x. IV. Exakte Gleichungen: Das sind Gleichungen der Gestalt: y = M(x, y N(x, y (Ndy + Mdx = 0 wobei M = N y Dann gibt es eine Funktion F von zwei Variablen, sodaß x. F x = M, F y = N (nämlich f(x, y = M(x, ydx+g(y. Die Lösungen sind dann implizit durch die Formel gegeben. Beispiel. y = 2xy 1 x 2 Lösung: y = c (x 2 1. f(x, y = c Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Das sind Gleichungen der Gestalt: y + a(xy + b(xy = g(x. Sie spielen eine zentrale Rolle in der klassischen angewandten Mathematik: y xy = 0 (Airysche Gleichung x 2 y + xy + (x 2 py = 0 (Besselsche Gleichung (1 x 2 y xy + p 2 y = 0 (Tschebyscheffsche Gleichung x(1 xy + (c (a + b + 1xy by = 0 (Hypergeometrische Gleichung y 2xy + 2py = 0 (Hermitesche Gleichung xy + (1 xy + py = 0 (Laguerresche Gleichung (1 x 2 y 2xy + p(p + 1 = 0 (Legendresche Gleichung Man unterscheidet zwischen homogenen Gleichungen (g = 0 und inhomogenen Gleichungen (g 0. Für homogene Gleichungen gilt das Superpositionsprinzip: y 1, y 2 Lösungen c 1 y 1 + c 2 y 2 eine Lösung. Im allgemeinen gibt es zwei unabhängige Lösungen y 1, y 2. Jede Lösung hat die Gestalt c 1 y 1 + c 2 y 2 (zwei Lösungen y 1, y 2 sind unabhängig, falls die Wronkische Determinate y 1 (xy 2 (x y 1 (xy 2(x 3

4 nicht verschwindet. Um die inhomogene Gleichung zu lösen, sucht man zunächst die allgemeine Lösung c 1 y 1 +c 2 y 2 der homogenen Gleichung, zusammen mit einer partikulären Lösung y 3 der inhomogenen Gleichung. Die allgemeine Lösung ist dann c 1 y 1 +c 2 y 2 +y 3 (eine zwei-parametrige Lösungsschar. Lösungsmethoden: I. Homogene Gleichungen mit konstanten Koeffizienten: y + ay + by = 0. Man bestimmt zunächst die Nullstellen des Polynom λ 2 +aλ+b. Es gibt drei Möglichkeiten: a zwei reelle Nullstellen λ 1 λ 2. Dann ist die allgemeine Lösung c 1 e λ 1x + c 2 e λ 2x b eine reelle Nullstelle λ 1 : Dann ist die allgemeine Lösung c 1 e λ 1x + c 2 xe λ 1x c zwei komplexe Nullstellen α + iβ, α iβ. Die allgemeine Lösung ist e αx (c 1 cos βx + c 2 sin βx. 2y 5y 3y = 0; Lösung: y = c 1 e x 2 + c 2 e 3x ; y 10y + 2y = 0; Lösung: y = c 1 ( e 5x + c 2 xe 5x ; y + y + y = 0; Lösung: y = e x/2 c 1 cos 3 x + c 2 2 sin 3. x 2 II. Unbestimmte Konstanten: Eine Methode zur Bestimmung von einer partikulären Lösung für eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten, wobei die rechte Seite aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. In gewissen Fällen kann man eine Lösung durch Einsetzen von geeigneten elementaren Funktionen und einem Koeffizientenvergleich bekommen siehe Tabelle (p n (x ist ein Polynom von Grad n. f(x y p p n (x a n x n + + a 1 x + a 0 e x p n (x e x (a n x n + + a 0 e αx sin βxp n (x oder a αx sin βx(a n x n + + a 0 e αx cosβxp n (x + e αx cos βx(b n x n + + b 0 (WARNUNG: Diese Methode funktioniert nur dann, wenn kein Term der rechten Seite eine Lösung der homogenen Gleichung ist. 4

5 III. Variation der Konstanten: Sei eine Gleichung mit Lösung y + ay + by = g(x c 1 y 1 + c 2 y 2 für die homogenen Gleichung. Wir suchen eine partikuläre Lösung der Gestalt y p = v 1 y 1 + v 2 y 2, wobei v 1, v 2 Funktionen sind. Wählen wir v 1, v 2, sodaß v 1y 1 + v 2y 2 = 0, v 1y 1 + v 2y 2 = g, so sehen wir, daß y p + ay p + by p = g. y y 2y = 4x 2. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist y = c 1 e 2x + c 2 e x. 1. Methode unbekannte Koeffizienten: Wir setzen y p = ax 2 + bx + c und bekommen das Gleichungssystem 2a b 2 = 0 2a 2b = 0 2a = 4 Daraus folgt: a = 2, b = 2, c = 3 und die allgemeine Lösung ist: c 1 e 2x + c 2 e x 2x 2 + 2x Methode Variation der Konstanten: Ansatz: y p = v 1 e 2x + v 2 e x, wobei Daraus folgt: v 1 (x = (4 3 v 1e 2x + v 2e x = 0 2v 1 e2x v 2 e x = 4x 2 x 2 e 2x, v 2 (x = ( 4 3 x 2 e x. Daher: also: y p = 2x 2 + 2x 3. v 1 (x = 1 3 e 2x (2x 2 + 2x + 1 v 2 (x = 4 3 ex (x 2 2x + 2 5

6 Potenzreihenmethoden Die klassische Methode, lineare Gleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten zu lösen, ist die des Potenzreihenansatzes: Beispiel. Wir lösen die AIRYsche Gleichung y xy = 0. Wir setzen voraus, daß die Lösung eine Taylorentwicklung a xn besitzt. Daraus folgt: Und daher: Es gilt (n + 2(n + 1a n+2 x n u a n 1 x n = 0. 2a 2 = 0, 2 3 a 3 a 0 = 0,...,(3n + 2(3n + 1a 3n+2 = a 3n 1. Die allgemeine Lösung ist daher: a 0 (1 + a 3n (3n 2(3n = (3n! a 3n+1 (3n 1(3n = (3n + 1! a 3n+2 = 0 (3n x 3n + a 1 (x + (3n! Ähnlicherweise zeigt man, daß die Legendre Gleichung die Lösung (1 x 2 y 2xy + p(p + 1y = 0 a 0 a 1 (3n x 3n+1. (3n + 1! y = a 0 (1 + ( 1 np(p 2...(p 2n + 2(p (p + 2n + 1 x 2n (2n + 1! + a 1 (x + ( 1 n(p 1(p 3...(p 2n + 1(p (p + 2n x 2n+1 (2n + 1! hat. (Für p N sind diese Lösungen Polynome: Für die Gleichungen der Gestalt p 0 = 1, p 1 (x = x, p 2 (x = 3 2 x2 1 2, p 3(x = 5 4 x3 3 2 x. a(xy + b(xy + c(x = 0 6

7 wobei a(x, b(x Polstellen der Ordnung 2 besitzt, verwendet man den Ansatz x ρ a n wobei ρ zu bestimmen ist. Beispiel. Betrachte die Gleichung x(1 xy + {γ (α + β + 1x}y αβγ = 0. Singulärstellen x = 0, 1. Ansatz: x ρ (a 0 + a 1 x + a 2 x führt zu der Gleichung ρ(ρ 1 + γa 0 x ρ 1 + u {(ρ + n + 1(ρ + n + γa n+1 (ρ + n + α(ρ + n + βa x }x ρ+n = 0. Aus ρ(ρ 1 + γ = 0 folgt ρ = 0 oder ρ = 1 γ. Dann gilt: a n+1 = (ρ + n + α(ρ + n + β (ρ + n + 1(ρ + n + γ ρ = 0 liefert die Lösung ( a αβ (α + 1(β + 1 αβ x + γ 2(γ + 1 γ x2 + + (α + 2(α + 1α(β + 2(β + 1β x (γ + 2(γ + 1γ. 7