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1 WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF DR ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre Vorlesungsprogramm Datenlagen und Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen 1 Vorbemerkungen 2 Datenlage A: Urliste 3 Datenlage B: Merkmalsausprägungen und ihre Häufigkeit Häufigkeitstabellen Graphische Darstellung der einfachen Häufigkeit Graphische Darstellung der kumulierten Häufigkeit: Die empirische Verteilungsfunktion 4 : Klassenbildung Gruppierung, Information und Übersichtlichkeit Häufigkeitstabellen Histogramm Approximierende empirische Verteilungsfunktion 5 Grundtypen von Häufigkeitsverteilungen Literatur: Degen, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, München-Wien 2002, S von der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, Online-Ausgabe S Aufgaben: Abschlussklausuren WS 04/05, A1 a), b), e) WS 05/06, A1 c) WS 07/08 A2 c) bis e) WS 09/10, A1 a), b) SS 10, A3c) Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester 2013

2 Datenlage A Datenlage A Urliste der Beobachtungswerte jedes Merkmalsträgers i = 1,2,,n n Beobachtungswerte = x i = Urliste: Lfd Nr der Merkmalsträger Anzahl der Merkmalsträger, bei denen das Merkmal erhoben worden ist Beobachtungswert des Merkmals x beim Merkmalsträger i x 1, x 2,, x n Bei quantitativen Merkmalen können die Werte der Urliste entsprechend der Ordnung der reellen Zahlen, bei ordinal skalierten Merkmalen gemäß der größer/kleiner- Beziehung der (komparativen) Merkmale sortiert werden Man erhält dann die geordnete Urliste: x (1) x (2) x (n) Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

3 Datenlage A Zahlenbeispiel aus der Absolventenumfrage 2002 Statistische Masse: Diplom-Ökonomen des Examenstermins Frühjahr 2002 Merkmal: Lebensalter beim Examen Urliste ID-Nr i Lebensalter beim Examen x i Geordnete Urliste Lfd Nr (i) ID-Nr i Lebensalter beim Examen x (i) n = 39, Minimum = 23 Jahre, Maximum = 34 Jahre Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

4 Datenlage B Datenlage B: Häufigkeitstabellen Liste der voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen und deren Häufigkeit Gegeben sind: m Merkmalsausprägungen x 1,, x m m absolute Häufigkeiten h 1,, h m mit h i 0 und n = h i m i=1 n = Anzahl der Merkmalsträger, bei denen das Merkmal erhoben worden ist Definition: f i = h i n heißt relative Häufigkeit der i-ten Ausprägung x i Bei mindestens ordinal skalierten Merkmalen können auch kumulierte Häufigkeiten gebildet werden: Bezeichnung Definition Interpretation Absolute kumulierte Häufigkeit Relative kumulierte Häufigkeit H i : = F i i j=1 i j=1 h j f j = 1 n i j=1 h j = 1 n H i absolute Häufigkeit aller Beobachtungswerte mit einer Ausprägung kleiner oder gleich x i relative Häufigkeit aller Beobachtungswerte mit einer Ausprägung kleiner oder gleich x i Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

5 Datenlage B Dann kann folgende Häufigkeitstabelle aufgestellt werden: Nr Merkmalsausprägung einfache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ i x i h i f i H i F i 1 x 1 h 1 f 1 H 1 F 1 2 x 2 h 2 f 2 H 2 F 2 m x m h m f m H m = n F m =1 Summe n 1 Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

6 Datenlage B Zahlenbeispiel Absolventenumfrage, Merkmal Alter Kontrollfragen: Nr Merkmalsausprägung einfache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ i x i h i f i H i F i , ,0256 Wie viel Prozent der Absolventen sind 26 Jahre oder jünger? , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Summe 39 1 Wie viel Prozent der Absolventen sind jünger als 26 Jahre? Wie viel Prozent der Absolventen sind 29 Jahre oder älter? Wie viel Prozent der Absolventen sind zwischen 25 und 30 Jahre alt? Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

7 Datenlage B Graphische Darstellung der einfachen Häufigkeit a) nominal skalierte Daten Stabdiagramm, Balkendiagramm Kreisdiagramm Beispiel: Wahlen zum 17 Deutschen Bundestag Beliebige Platzierung der Merkmalsausprägungen auf der x-achse Höhe der Stäbe bzw Balken proportional zu den Häufigkeiten Flächen proportional zu den Häufigkeiten Gültige Zweitstimmen in % Sitzverteilung SPD 23,0 SPD 146 CDU/CSU 33,8 CDU 194 Grüne 10,7 CSU 45 FDP 14,6 FDP 93 Die Linke 11,9 GRÜNE 68 Sonstige 6,0 Die Linke 76 Summe 100,0 Summe 622 Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

8 Anteil Zweitstimmen in Prozent Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B Wahlen zum 17 Deutschen Bundestag Stabdiagramm / Balkendiagramm: Zweitstimmenanteil Kreisdiagramm: Sitzverteilung 40,0 35,0 33,8 76 SPD 30,0 25,0 23, CDU CSU 20,0 15,0 10,0 5,0 10,7 14,6 11,9 6, FDP GRÜNE Die Linke 0,0 SPD CDU/CSU Grüne FDP Die Linke Sonstige Partei Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

9 relative Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B b) ordinal skalierte Daten Stabdiagramm Balkendiagramm Platzierung der Merkmalsausprägungen auf der x-achse nicht beliebig Höhe der Stäbe bzw Balken proportional zu den Häufigkeiten Beispiel: Klausurergebnisse Klausurergebnis Statistik I, Frühjahr % 32% 30% 25% 20% 25% 21% 15% 10% 5% 12% 10% 0% Note Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

10 absolute Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B c) kardinal skalierte Daten Betrifft bei Datenlage B praktisch nur diskrete Merkmale mit abzählbar wenigen voneinander verschiedenen Merkmalsausprägungen Stabdiagramm Balkendiagramm, Histogramm Balken unmittelbar nebeneinander Balken haben die Breite 1 Höhe der Balken proportional zu den Häufigkeiten Fläche der Balken ebenfalls proportional zu den Häufigkeiten Beispiel Klausurergebnis, Merkmal Punktzahl, Stabdiagramm: Klausurergebnis Statistik I, Frühjahr Punktzahl Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

11 Absolute Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B Beispiel Absolventenumfrage, Merkmal Alter : 12 Absolute Häufigkeit, Stabdiagramm Alter beim Examen Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

12 Relative Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B Beispiel Absolventenumfrage, Merkmal Alter : 0,30 Relative Häufigkeit, Histogramm 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0, Alter beim Examen Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

13 Datenlage B d) Graphische Darstellung der kumulierten Häufigkeiten bei Datenlage B: Die empirische Verteilungsfunktion Bei mindestens intervallskalierten Merkmalen heißt die Funktion: F x = 0 für x < x 1 F i für x i x < x i+1 und i = 1,, m 1 1 für x m x empirische Verteilungsfunktion des Merkmals X und besitzt die folgenden Eigenschaften: (1) x < y F x F y (2) 0 F x 1 (3) F ist von rechts stetig und besitzt von links einen Grenzwert (4) F ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen x 1,, x m und Sprunghöhen f 1,, f m Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

14 Kumulierte relarive Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Datenlage B Zahlenbeispiel Absolventenumfrage, Merkmal Alter Merkmalsausprägung kumulierte Häufigkeit absolut relativ Empirische Verteilungsfunktion x i H i F i , , , , , , , , , , , ,8 0,6 0,4 0, Lebensalter beim Examen Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

15 Gruppierte Daten: Die Merkmalsausprägungen werden in Klassen zusammengefasst Voraussetzung: mindestens intervallskalierte Merkmale Gegeben sind: k Klassen G 1,, G k mit den Mittelpunkten x 1,, x k und den Grenzen a i 1, a i ) mit der Klassenbreite i = a i a i 1 und den absoluten Häufigkeiten der Klasse G i, wobei h i i = 1,, k n = k i=1 h i ist dann wieder die Anzahl der Merkmalsträger, bei denen das Merkmal erhoben wurde Regelmäßig gilt k n Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

16 Gruppierung bedeutet Gewinn an Übersichtlichkeit aber Verlust an Information Anwendung vor allem bei stetigen oder quasistetigen Merkmalen Gefahr von Verzerrungen durch Wahl der Klassenanzahl und Klassenbreite Problematik offener Randklassen Faustregeln für die Anzahl der zu bildenden Klassen: n < 100 k n Regel von Sturges: k 1 + 3,3 log (n) DIN (Blatt 1): n k Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

17 Es kann folgende Häufigkeitstabelle aufgestellt werden: Klasse Grenzen Klassen- mitte Klassenbreite einfache Häufigkeit kumulierte Häufigkeit absolut relativ absolut relativ i a i 1, a i ) x i Δ i a i a i 1 h i f i H i F i 1 a 0, a 1 ) x 1 1 h 1 f 1 H 1 F 1 2 a 1, a 2 ) x 2 2 h 2 f 2 H 2 F 2 k a k 1, a k ) x k k h k f k H k = 1 F k = 1 Summe n 1 Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

18 Zahlenbeispiel: Absolventenumfrage, Merkmal Alter beim Examen Beispiel 1: 7 Klassen, identische Breite = 2 von bis unter Mitte Breite i a i-1 a i x i i h i f i H i F i , , , , , , , , , , , , , Summe 39 1 Interpretation der Klassenhäufigkeiten z B bei Klasse i = 3: 35,9 % der Absolventen sind 26 bis unter 28 Jahre alt 56,4 % der Absolventen sind jünger als 28 Jahre Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

19 Zahlenbeispiel 2: 3 Klassen, identische Breite D = 5 i a i-1 a i x i i h i f i H i F i , , , , , , , , Summe 39 1 Zahlenbeispiel 3: 7 Klassen, unterschiedliche Breiten i a i-1 a i x i i h i f i H i F i , , , , , , , , , , , , , , Summe 39 1 Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

20 Graphische Darstellung der einfachen Häufigkeiten bei : Histogramm Darstellung der Häufigkeiten unter Beachtung der Flächenproportionalität der Balken Höhe des Rechtecks über der Klasse G i mit den Grenzen a i 1, a i )ist für absolute bzw relative Häufigkeiten wie folgt zu bestimmen: g i = h i Δ i = absolute Häufigkeitsdichte α i = f i Δ i = relative Häufigkeitsdichte Der Flächeninhalt (g i Δ i h i bzw α i Δ i f i ) ist dann proportional zu den Häufigkeiten Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

21 Relative Häufigkeitsdichte a Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Zahlenbeispiel 1: 7 Klassen, identische Breite = 2 Histogramm, Klassenbreite = 2 0,30 0,25 i a i-1 a i D i f i a i = f i / D i ,0256 0, ,1795 0, ,3590 0, ,2308 0, ,1538 0, ,0256 0, ,0256 0,0128 Summe 1 0,20 0,15 35,9 % 0,10 23,1 % 0,05 18,0 % 15,4 % 0,00 2,6 % 2,6 % 2,6 % Alter beim Examen (x) Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

22 Relative Häufigkeitsdichte a Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Zahlenbeispiel 2: 3 Klassen, identische Breite = 5 Histogramm, Klassenbreite D = 5 0,3 i a i-1 a i D i f i a i = f i / D i ,0513 0, ,7436 0, ,2051 0,0410 Summe 1 0,25 0,2 0,15 0,1 74,4 0,05 5,1 % 20, Alter beim Examen (x) Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

23 Relative Häufigkeitsdichte a Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Zahlenbeispiel 3: 7 Klassen, unterschiedliche Breiten 0,3 Histogramm, unterschiedliche Klassenbreiten i a i-1 a i D i f i a i = f i / D i ,0513 0, ,1538 0, ,2564 0, ,2308 0, ,2051 0, ,1026 0,0256 Summe 1 0,25 0,2 25,6 % 0,15 0,1 0,05 15,4 % 23,1 % 20,5 % 10,3 % 5,1 % Alter beim Examen (x) Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

24 Graphische Darstellung der kumulierten Häufigkeit bei : Die approximierende empirische Verteilungsfunktion 0 für x < a 0 Die Funktion F x = F i 1 + f i x a Δ i 1 i für a i 1 x < a i 1 für a k x mit i = 1,, k und F 0 = 0 heißt approximierende empirische Verteilungsfunktion des Merkmals X F x besitzt die folgenden Eigenschaften: (1) x < y F(x) F(y) (2) 0 F x 1 (3) F hat die Gestalt eines Polygonzuges Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

25 Kumulierte relative Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Beispiel Absolventenumfrage, Merkmal Lebensalter: 3 Klassen, identische Breite = 5 i a i-1 a i x i D i h i f i H i F i , , , , , , , , Summe ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Lebensalter beim Examen Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

26 Kumulierte relative Häufigkeit Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Beispiel Absolventenumfrage, Merkmal Lebensalter: 3 Klassen, identische Breite = 5 i a i-1 a i x i D i h i f i H i F i , , , , , , , , Summe ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Lebensalter beim Examen Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

27 F x = 0 für x < a 0 F i 1 + f i x a Δ i 1 i für a i 1 x < a i 1 für a k x mit i = 1,, k und F 0 = 0 i a i-1 a i x i D i h i f i H i F i , , , , , , , , Summe 39 1 Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

28 Kontrollfragen: F x = 0 für x < ,0513 x 20 5 für 20 x < 25 0, ,7436 x 25 5 für 25 x < 30 0, ,2051 x 30 5 für 30 x < 35 1 für 35 x Wie viel Prozent der Absolventen sind 26 Jahre oder jünger? Wie viel Prozent der Absolventen sind jünger als 26 Jahre? Wie viel Prozent der Absolventen sind 29 Jahre oder älter? Wie viel Prozent der Absolventen sind zwischen 26 und 30 Jahre? Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

29 Relative Häufigkeitsdichte Relative Häufigkeitsdichte Relative Häufigkeitsdichte Relative Häufigkeitsdichte Relative Häufigkeitsdichte Relative Häufigkeitsdichte Darstellung eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen Grundtypen empirischer Häufigkeitsverteilungen Grundtypen empirischer Häufigkeitsverteilungen Ein-Punkt-Verteilung Gleichverteilung Unimodal, symmetrisch 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0, ,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Merkmalsausprägung x Merkmalsausprägung x Merkmalsausprägung x Bimodal, symmetrisch Unimodal, linkssteil Unimodal, rechtssteil 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, ,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Merkmalsausprägung x Merkmalsausprägung x Merkmalsausprägung x Prof Dr Rolf Hüpen Modul Statistik I Sommersemester

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