Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2. Statistik

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1 Dr. I. Fahrner WiSe 2016/17 Fakultät Grundlagen Hochschule Esslingen Übungsblatt 2 Statistik Stichworte: arithmetischer Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, empirischer Median, Spannweite, Histogramm, Streudiagramm, (lineare/quadratische) Regression, empirische Regressionsgerade, empirischer Korrelationskoeffizient, Bestimmtheitsmaß, Statistik und Taschenrechner, Skript: Kapitel Gegeben sind die 24 bereits sortierten Werte 0, 017 0, 054 0, 205 0, 313 0, 324 0, 334 0, 366 0, 372 0, 421 0, 457 0, 567 0, 583 0, 642 0, 658 0, 702 0, 721 0, 724 0, 741 0, 803 0, 867 0, 873 0, 884 0, 959 0, 99 (a) Wie viele Klassen sollten für ein Histogramm gebildet werden? (b) Wie sollte die Klassenbreite und die Klassen gebildet werden? (c) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und zeichnen Sie ein Histogramm. 10. Gegeben sei eine Messreihe 9, 13, 7, 5, 8, 20, wobei der Messwert 20 ein Ausreißer ist. (a) Berechnen Sie für die Messreihe ohne Ausreißer den arithmetischen Mittelwert, die empirische Varianz sowie empirische Standardabweichung. (b) Bestimmen Sie für die Messreihe mit und ohne Ausreißer jeweils den empirischen Median und die Spannweite. 11. Bei einem chemischen Prozess füllt eine Dosiermaschine eine Substanz ab. Folgende Messreihe wurde ermittelt: 105g, 103g, 103g, 107g, 108g, 106g (a) Zeigen Sie, dass für den arithmetischen Mittelwert x = 105, 3 g gilt. (b) Berechnen Sie die empirische Varianz s 2 für x = 105, 3 g bzw. x = 105, 3333 g mit der ersten und der zweiten Formel für s 2. Stellen Sie die Ergebnisse gegenüber und erklären Sie den Unterschied. Geben Sie die empirische Standardabweichung an. (c) Berechnen Sie den Median und die Spannweite. 12. Es liegt folgende Messreihe vor: Berechnen Sie 2 Werte 9, 97 mm 5 Werte 9, 98 mm 29 Werte 9, 99 mm 38 Werte 10, 00 mm 21 Werte 10, 01 mm 5 Werte 10, 02 mm (a) den arithmetischen Mittelwert (b) die empirische Standardabweichung 13. Im Rahmen der Qualitätskontrolle bei der Fertigung eines Bauteils ergaben sich folgende Messwerte: Berechnen Sie 2-mal 17, 0 mm 33-mal 17, 1 mm 270-mal 17, 2 mm 423-mal 17, 3 mm 234-mal 17, 4 mm 34-mal 17, 5 mm 4-mal 17, 6 mm 1

2 (a) den arithmetischen Mittelwert (b) die empirische Varianz 14. Bei einer Maschine, die Drahtstücke schneidet, wurden bei einer Stichprobe von 30 Drahtstücken folgende Werte festgestellt: Klasse Nr. Länge in mm im Intervall Anzahl 1 (491;495] 1 2 (495;499] 10 3 (499;503] 17 4 (503;507] 2 Berechnen Sie arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. 15. Zwei Maschinen füllen Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Aus der laufenden Produktion wurden je 20 Flaschen entnommen und die Füllmengen gemessen. Nach Klassenbildung ergaben sich unten stehende Häufigkeitstabellen. Berechnen Sie jeweils arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. Maschine A: Klasse i Füllmenge in ml im Intervall Anzahl 1 (699;700] 6 2 (700;701] 8 3 (701;702] 5 4 (702;703] 1 Maschine B: Klasse i Füllmenge in ml im Intervall Anzahl 1 (697;698] 2 2 (698;699] 3 3 (699;700] 3 4 (700;701] 4 5 (701;702] 4 6 (702;703] 3 7 (703;704] Die Lebensdauern (in Jahren) von 25 Kühlaggregaten wurden vom Hersteller gemessen. Es ergab sich folgende geordnete Messreihe: 0, 05; 0, 15; 0, 18; 0, 24; 0, 25; 0, 30; 0, 52; 0, 64; 1, 27; 1, 38; 2, 78; 3, 05; 3, 79; 4, 03; 4, 10; 4, 28; 4, 67; 5, 44; 5, 68; 6, 16; 6, 96; 7, 33; 7, 74; 8, 18; 11, 28 (a) Zeichnen Sie ein Histogramm. Verwenden Sie dabei eine Klassenbreite von 2,5 [Jahren], beginnend mit der Klasse [0;2,5). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den empirischen Median der Messreihe. Berechnen Sie Spannweite, empirische Varianz und empirische Standardabweichung der Messreihe. (b) Nehmen Sie an, Sie hätten nicht die oben angegebene ursprüngliche Messreihe vorliegen, sondern nur die in (a) bestimmte Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung. Berechnen Sie aus dieser Häufigkeitstabelle arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung 17. Versuchsergebnisse: Härte von Stahl bei Kaltverformung (K. Schimz, Industr. Organisation 26, 1957, 107) 2

3 Versuch Einsenktiefe Brinellhärte i x i [mm] y i [kg/mm 2 ] x 2 i yi 2 x i y i Summe (a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden. (b) Mit welcher Stahlhärte muss man bei Einsenktiefe 16 mm rechnen? (c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und das Bestimmtheitsmaß (d) Interpretieren Sie den Zahlenwert aus (c). 18. Die nachstehende Tabelle zeigt Daten der 27 EU-Staaten zur Lebenserwartung von Männern und der Lebenserwartung von Frauen. Lebenserwartung Nr. Staat Männer Frauen i x i y i x 2 i x i y i yi 2 1 Schweden 78,8 83, , , ,61 2 Zypern 78,8 82, , , ,76 3 Italien 77,9 83, , , , Estland 67,4 78, , , ,96 26 Lettland 65,4 76, , , ,69 27 Litauen 65,3 77, , , ,00 Summe 2.006, , , , ,19 (a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden. (b) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression. (c) Bei der Durchführung einer quadratischen Regression zeigt Excel an: y = 0, 0123x 2 1, 2447x + 105, 0189, R 2 = 0, 8380 i. Ist die lineare Regression für diese Daten brauchbar? ii. Ist die quadratische Regression für diese Daten brauchbar? iii. Wenn man sich zwischen linearer und quadratischer Regression entscheiden muss, welche sollte man wählen? (d) Erklären Sie die Bedeutung des Parameters in der Regressionsgleichung in dieser konkreten Situation, d. h., geben Sie eine inhaltliche Interpretation des für berechneten Wertes. Begründen Sie Ihre Antworten bei c) und d). gewertet. Antworten ohne Begründung werden nicht 19. (a) Zeichnen Sie für den Datensatz aus Aufgabe 5 (alle 10 Filialen) ein Streudiagramm. 3

4 (b) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden, die die Abhängigkeit des Umsatzes von der Verkaufsfläche beschreibt. (c) Zeichnen Sie die Regressionsgerade in Ihr Streudiagramm ein. (d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Wie beurteilen Sie die Stärke des linearen Zusammenhangs? (e) Streichen Sie den Datensatz der Filiale 5. Wiederholen Sie die Aufgabenteile b) bis d) für die verbleibenden 9 Filialen. 4

5 20. Schätzen sie den Korrelationskoeffizienten aus den einzelnen Grafiken. 21. Machen Sie sich mit den Statistik-Funktionen Ihres Taschenrechners gut vertraut. Sie sollten z. B. folgende Fragen beantworten können: (a) Wie kommt man, falls erforderlich, in den Statistik-Modus? (b) Wie löscht man den statistischen Datenspeicher? (c) Wie berechnet man am bequemsten arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, wenn eine Messreihe gegeben ist (wie z. B. in Aufgabe 9)? (d) Wie berechnet man am bequemsten arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, wenn Messwerte mit Häufigkeiten gegeben sind (wie z. B. in Aufgabe 11)? (e) Kann man die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden berechnen? Wenn ja, wie? Und wie erhält man dann den empirischen Korrelationskoeffizienten? (Fragen und Antworten können je nach verwendetem Taschenrechner unterschiedlich ausfallen. Beachten Sie ggf. auch die bereitgestellten Bedienungsanleitungen.) 5

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1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43 1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, 31 2 35, 31, 46, 35, 31, 42, 51,

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