Zählstatistik. h= 6, J s Plancksches Wirkungsquantum f

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1 A06 ählstatistik Mit eiem ählrohr solle die Null- ud die ählrate bei eiem radioaktive Präparat aufgeomme werde. Die gemessee ählstatistike werde mit der Poisso- ud der Normalverteilug vergliche.. Theoretische Grudlage. Radioaktive Strahlug Nebe stabile Atomkere trete i der Natur auch Atomkere auf, die ohe äußere Eifluss uter Emissio radioaktiver Strahlug spota zerfalle. Die am häufigste auftretede Strahlugsarte sid α-, β- ud γ-strahlug. Bei der α-strahlug emittiert der Atomker X eie He-Ker (α-teilche) ud wadelt sich damit i de Tochterker Y um (A: Massezahl, : Kerladugszahl): A 4 X Y+ He A 4 () Da Mutter ud Tochterkere ur diskrete Eergie aehme köe, habe auch die α-teilche ur diskrete kietische Eergie, die typisch zwische ud 0MeV liege (ev=, J). β-strahlug besteht aus schelle Elektroe, die beim erfall eies Neutros des Atomkers etstehe. Bei jedem erfall etsteht ebe eiem Elektro ud eiem Proto och ei Atieutrio: A A X + Y + e + ν () Die frei werdede kietische Eergie ka sich auf das Elektro ud auf das Atieutrio ν verteile. Demzufolge besitzt die β-strahlug ei kotiuierliches Eergiespektrum mit eier bestimmte Maimaleergie, die i der gleiche Größeordug wie die Eergie der α-strahle liegt. Oft bleibt der Tochterker ach eiem α- oder β-erfall zuächst i eiem ageregte ustad zurück ud gibt seie Eergie mehr oder weiger verzögert als eergiereiches Photo (Gammaquat) ab: A A + Y + Y + h f (3) h= 6, J s Placksches Wirkugsquatum f dem Photo zugeordete Frequez Wie bei der Gammastrahlug hadelt es sich auch bei der Rötgestrahlug um elektromagetische Strahlug. Die Uterscheidug zwische beide Strahlugsarte beruht lediglich auf der uterschiedliche Herkuft der beide Strahlugsarte. Rötgestrahlug etsteht i de iere Schale der Atomhülle, Gammastrahlug higege im Atomker. Auch im elektromagetische Spektrum köe sie icht scharf gegeeiader abgegrezt werde. Bei Rötgestrahlug liege die Photoeeergie etwa zwische kev ud 0,5MeV. Gammastrahlug besitzt Photoeeergie vo etwa 0,MeV bis 5MeV. Sowohl Gamma- als auch Rötgestrahle köe Materie ioisiere.. Nachweis ioisiereder Strahlug Als empfidliches Nachweisgerät wird das Geiger-Müller-ählrohr verwedet. Mit ihm ist der Nachweis eizeler ioisiereder Teilche bzw. Strahlug möglich. 05

2 Es besteht aus eiem Metallzylider, i dem isoliert ei düer Draht gespat ist. wische de Draht ud das Gehäuse wird eie Spaug vo eiige hudert bis taused Volt gelegt, so dass der Draht positiv gegeüber dem Gehäuse ist. Das ählrohr ist mit eiem Gas (Haloge) vo etwa 00mbar Druck gefüllt. A eiem Ede des Rohres befidet sich ei sehr dües Fester, durch das die Strahlug eitrete ka. Durch eidrigede Strahlug werde wie bei der Ioisatioskammer eiige Gasatome ioisiert. Wege der große Feldstärke i Drahtähe tritt jedoch Stoßioisatio auf. Durch diese Verstärkug, die je ach ählrohrspaug eiige eherpoteze beträgt, etsteht ei Stromstoß durch de hochohmige Widerstad R. Der Bild : Schaltug Geiger-Müller-ählrohr Spaugsabfall a R ka über eie geeigete Elektroik registriert werde. Wege der gleichzeitige Vermiderug der ählrohrspaug reicht die Feldstärke i Drahtähe für weitere Stoßioisatio icht mehr aus, ud die gezüdete Gasetladug verlöscht wieder. Währed der Etladug spricht das ählrohr auf weitere ioisierede Teilche icht a. Diese Totzeit des ählers ka verrigert werde, idem ma dem Füllgas eie gerige Mege Dampf mehratomiger Moleküle (z.b. Alkohol) zugibt. Wege der gerige Ioeproduktio im Gas ist für γ - Strahlug die Asprechwahrscheilichkeit eies ählrohres sehr gerig..3 ählstatistik selteer Ereigisse We ma mehrmals uter uveräderte Versuchsbediguge die Azahl der erfallsereigisse währed der eitdauer t bei eiem laglebige radioaktive Präparat bestimmt, so wird ma im allgemeie uterschiedliche Azahle erhalte, die um eie Mittelwert streue. Es soll u die Wahrscheilichkeit agegebe werde, mit der währed eies eititervalls t geau ählereigisse registriert werde. Dazu zerlege wir zuächst das eititervall t i m gleich große Teilitervalle dt. Die ahl m soll so groß sei, dass die Wahrscheilichkeit für zwei oder mehr erfallsereigisse währed dt verachlässigbar ist. Es geügt da, die Wahrscheilichkeit für eie eizele erfall währed des eititervalls dt zu betrachte. Diese hägt vo dt ud damit vo m ab ud wird mit p m bezeichet. Die Bestimmug der Azahl der ählereigisse währed t ka uter der geate Voraussetzug als ei m-stufiges Eperimet aufgefasst werde, bei dem i jeder Stufe etweder ei erfall stattfidet oder icht. Die Wahrscheilichkeit p(), bei diesem Eperimet geau ählereigisse zu registriere, ist durch die Biomialverteilug gegebe. ( ) ( p ) p m = p m m m (4) I Gleichug (4) tritt och die vo der Feiheit der Uterteilug abhägige Wahrscheilichkeit p m auf. Die vorgeommee Uterteilug war jedoch vollkomme willkürlich. Wir betrachte deshalb de Erwartugswert für die Azahl der ählereigisse im gesamte eititervall t: = m. (5) p m - -

3 Macht ma u die Uterteilug vo t immer feier, so wächst m gege uedlich, währed uverädert bleibt. Nach dem Poissosche Grezwertsatz folgt da, dass sich die Biomialverteilug (4) mit wachsedem m der Poissoverteilug p ( ) =! e (6) ähert. Wird also bei gleichbleibede eititervalle t mehrfach die Azahl der ählereigisse bestimmt, so sid die gemessee Werte poissoverteilt. Ma beachte, dass die Poissoverteilug icht symmetrisch zum Erwartugswert ist ud dass der wahrscheilichste Wert im allgemeie vo verschiede ist. Die Stadardabweichug σ eier Wahrscheilichkeitsverteilug ist defiiert als die positive Wurzel aus dem Erwartugswert der Abweichugsquadrate: σ = p ( )( ) (7) Bild : Poissoverteilug für = 5,0 Für die Stadardabweichug der Poissoverteilug ergibt sich: σ =. (8).4 Die Normalverteilug Ist größer als etwa 50, so ka ma die Poissoverteilug (6) gut durch die Normal- oder Gaußverteilug approimiere: F,σ ( ) = e σ π ( ) σ. (9) Die Poissoverteilug besitzt ur eie Parameter, ämlich de Erwartugs- oder Mittelwert. Bei der Normalverteilug higege trete zwei uabhägige Parameter auf, der Mittelwert ud die Stadardabweichug σ. Bei der Bestimmug der Azahl vo ählereigisse muss die Stadardabweichug uverädert bleibe, we ma vo der Poissoverteilug zur Normalverteilug übergeht. Die Aussage vo Gleichug (8) gilt deshalb auch, we ma die Normalverteilug zugrude legt. Damit wird aus der zweiparametrische Verteilug (9) die eiparametrische Verteilug: ( ) ( ) F = e π (0) - 3 -

4 ( ) Bei dem vorliegede Eperimet ist es selbstverstädlich ur sivoll, i (9) bzw. (0) für atürliche ahle eizusetze. Die Normalverteilug beschreibt jedoch icht ur die ählstatistik bei radioaktive Prozesse, soder ist praktisch auf jede ufallsvariable awedbar, dere Streuug durch voeiader uabhägige Ereigisse verursacht ist. Im Allgemeie sid (9) bzw. (0) also für de gaze Bereich der reelle ahle defiiert. Ka eie ufallsvariable beliebige reelle Werte aehme, so ist die Wahrscheilichkeit, dass ei gaz bestimmter Wert 0 auftritt, gleich ull. Es ist da ur sivoll, ach der Wahrscheilichkeit p(i) zu frage, mit der ei Versuchsergebis i eiem Itervall I = a,b liegt. Bei diskrete Wahrscheilichkeitsverteiluge müsse zur Beatwortug dieser Frage die Eizelwahrscheilichkeite der mögliche Ergebisse i I aufsummiert werde. Bei der kotiuierliche Normalverteilug erhält ma die gesuchte Wahrscheilichkeit p(i) durch Itegratio über I: [ ] p( I )= F ( ) d () I Die Gleichuge (9) ud (0) gebe also icht direkt eie Wahrscheilichkeit, soder vielmehr die Wahrscheilichkeit pro Eiheitsitervall, also eie Wahrscheilichkeitsdichte a. Geau wie ma die Masse eies ihomogee Körpers durch Itegratio der Dichtefuktio über das betrachtete Volume erhält, so erhält ma die Wahrscheilichkeit, dass der Wert eier ufallsvariable i eiem bestimmte Itervall liegt, durch Itegratio der Wahrscheilichkeitsdichte über dieses Itervall..5 Betrachtuge zur Messusicherheit Die umerische Berechug des Itegrals () liefert die Wahrscheilichkeit p, dass eie Eizelmessug höchstes um vom Mittelwert abweicht. Ma erhält die scho aus der Eiführug bekate Ergebisse: p σ 0.68 σ σ 0.99 p F ( ) 5 0,0000 0, ,0007 0, ,0054 0, ,05 0, ,0458 0, ,0563 0, ,04 0, ,00 0, ,0063 0, ,004 0, ,000 0,000 Tabelle : Vergleich zwische Poisso- ud Normalverteilug ( = = ) 50,σ. Die Wahrscheilichkeit, dass i eier Reihe vo ählergebisse ei Eizelergebis um mehr als σ vom Mittelwert abweicht, liegt demach bei 3%. Führt ma ur eie eizige Messug mit dem Ergebis aus, so ka ma umgekehrt schließe, dass ei Mittelwert, der sich i eier lägere Messreihe eistelle würde, mit 68% Wahrscheilichkeit um icht mehr als σ vom Eizelergebis abweiche würde. Da icht bekat ist, wählt ma als absolute Messabweichug bei der Bestimmug vo. Das Messergebis für de durch eie eizige Messug bestimmte Mittelwert ist da = ± () Die relative Abweichug bei () immt mit wachseder Azahl der gemessee Ereigisse ab:

5 =. (3) Werde k Eizelmessuge mit de Ergebisse i (i=,...,k) durchgeführt, ka der Mittelwert als Ergebis agegebe werde: = k k i i= (4) Die relative Abweichug dieses Mittelwertes wird u icht durch die Stadardabweichug der Eizelmessug bestimmt, soder ausschließlich vo der Gesamtzahl der registrierte ählereigisse: =. (5) k i= i Soll beispielsweise eie relative Abweichug vo % erreicht werde, so müsse isgesamt 0000 Ereigisse gezählt werde. Dabei spielt es keie Rolle, ob dies i mehrere Eizeleperimete oder i eiem eizige Eperimet geschieht. um Verstädis dieser Betrachtuge ist es uumgäglich, Kapitel 4 der Eiführug i das physikalische Praktikum bearbeitet zu habe..versuch. Vorbetrachtug Aufgabe: Mache Sie sich mit der Poisso- sowie mit der Normalverteilug vertraut. Wori bestehe die Uterschiede?. Versuchsdurchführug.. Verwedete Geräte Radioaktives Präparat: Radium (Ra-6), Aktivität 3,3kBq, Halbwertszeit 60a, α-, β-ud γ-strahler, ählrohr, Computer mit Messsystem ud Auswertugssoftware.. Versuchshiweise Für das Eperimet wird ei Computermesssystem verwedet, das auch die Betriebsspaug für das ählrohr liefert. Die Bedieugsaleitug für dieses Messsystem liegt am Praktikumsplatz. Bei der Darstellug ud de Berechuge im PC werde folgede Symbole ud Gleichuge verwedet: = H( ) N = H ( ) N = d ( ) H ( ) = σ σ = s=

6 Hiweis: H = e! Vergleiche Sie diese Darstellug mit de Abhadluge der Versuchsaleitug ud orde Sie die Größe zu, bevor Sie mit der Auswertug begie! Als Ergebis liefert das Computermesssystem: - Eie Häufigkeitsverteilug H() der ählimpulse als Histogramm, - die statistische Kedate etspreched eier Poissoverteilug. Aufgabe : Bestimmug der Nullrate Messe Sie mit eiem ählrohr 00mal die Nullrate 0 i eititervalle vo 0s ud utersuche Sie dere statistische Schwakug. Aufgabe : Bestimmug der ählrate Messe Sie mit eiem ählrohr die ählrate eies laglebige radioaktive Präparats, das etwa 00 ählereigisse je s ergibt ud utersuche Sie die statistische Schwakug der ählrate..3 Versuchsauswertug Aufgabe ud : Bestimmug der Null- ud der ählrate Nehme Sie ach Abschluss der Messuge zu Aufgabe ud eie statistische Auswertug ud eie Vergleich mit der theoretische Wahrscheilichkeitsverteilug vor. Beziehe Sie die mit dem Computer mögliche Auswertug der Messergebisse i de Vergleich mit ei. Trasformiere Sie die y-achse beider Darstelluge zu eier Darstellug der relative Häufigkeit h()/% (Eitragug i die vom PC gelieferte Diagramme). Bereche Sie die theoretische Poissoverteilug mit de aus der Aufgabe erhaltee Werte etspreched der Gleichug (6) ud trage Sie diese i das Diagramm der relative Häufigkeit mit ei. Vergleiche Sie die Ergebisse mit de vom Computermesssystem bestimmte theoretische Date. Gebe Sie die Nullrate eischließlich der absolute Abweichug a. Iterpretiere Sie das Ergebis. Bereche Sie die theoretische Normalverteilug ach Gleichug (0). Verwede Sie zur Vereifachug eie Schrittweite vo = 5 (Messwerte aus Aufgabe ). Trage Sie die berechete Werte i die Darstellug der relative Häufigkeit h()/% ei ud vergleiche Sie diese mit de vom Computermesssystem bestimmte theoretische Date. Bereche Sie die statistische Kedate des Mittelwertes ud der relative Abweichug. Gebe Sie die ählrate eischließlich der absolute Abweichug a. Stelle Sie auf eiem Wahrscheilichkeitspapier (am Versuchsplatz) die Fuktio Σh() = f() graphisch dar, trage sie die Regressiosgerade ei ud bestimme Sie die eifache bzw. die doppelte Stadardabweichug σ

7 3. Ergäzug Mit Hilfe vo Wahrscheilichkeitspapier ka geprüft werde, ob sich die Verteilug des utersuchte Merkmals uter eier Normalverteilug apasst ud wie groß außerdem der Mittelwert ud die Stadardabweichug σ sid. Das Wahrscheilichkeitsetz ist ei Koordiatepapier, desse Ordiate so eigestellt wurde, dass die Summeprozetkurve der Normalverteilug eie Gerade wird (Bild 3) Bild 3: Summeprozetkurve eier Häufigkeitsverteilug - 7 -