Prof. Dr. J. Rossbach Inst. f. Experimentalphysik Notizen zur Vorlesung Physik II WS 2006/07

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1 Pof. D. J. Rossbach Inst. f. Expeimentalphysik Notizen zu Volesung Physik II WS 6/7 Empfohlene Liteatu (mit Küzel): Gundsätzliches: Es gibt gute ode schlechte Büche, abe es gibt nicht DAS beste Lehbuch. Was einem am besten nützt, hängt nicht nu vom pesönlichen Geschmack ab (Aufmachung, Illustation) und von de bevozugten Methode, sich Dinge klazumachen (theoetisch vs. expeimentell/ phänomenologisch), sonden auch vom Kenntnisstand und von de Efahung. Es kann duchaus sein, dass Sie in 4 Jahes ein andees Lehbuch besse finden als Ih heutiges Lieblingsbuch. Totzdem lohnt die Anschaffung, zumal die Expeimentalphysik nicht (so schnell) vealtet und Sie die Gundlagen de Physik imme wiede nachschlagen weden und zwa am liebsten in dem Buch, aus dem Sie sie gelent haben. [Gia] D.C. Giancoli: Physik, Peason Studium, 3. Auflage (6). Peis ca. 7 Kommenta: Dies wid übe weite Stecken unsee Refeenz sein. Instuktive Dastellung, modene Beispiele, übesichtlich gegliedet, ameikanische Standad. Die ganze Physik konsistent in einem Buch dagestellt. Viele Abbildungen im Skipt stammen aus [Gia], mit feundliche Elaubnis des Velages. [You] Young, Fiedman: Univesity Physics with Moden Physics, 11th Edition, ca. 8 Kommenta: An meheen Stellen gündliche und klae als [Gia], abe insgesamt auch anspuchsvolle. Fü Physike eigentlich das bessee Buch abe leide auf Englisch und noch teue. [Kö] : R. Köge/R. Unbehauen: Elektodynamik Kommenta: Päzise, physikalisch kla und hineichend gündlich, saube dagestellt, mit Hinweisen zu Technik und Numeik. Seh gut fü Physike und Ingenieue, die etwas vestehen und dann auch ausechnen müssen. [Se] Seway/Beichne: Physics fo Scientists and Enginees with Moden Physics, Saundes College Publishing Kommenta: Vegleichba mit [Gia], abe auf englisch. Saube und instuktiv gemacht, abe inhaltlich noch etwas dünne ; Physike weden bald dauf kommen, dass ihnen etwas fehlt. Totzdem seh empfehlenswet. [Dem] W. Demtöde: Expeimentalphysik, Spinge Velag Kommenta: Klassisches deutsches Lehbuch mit allen Vo- und Nachteilen. [Jac] W.D. Jackson: Klassische Elektodynamik, de Guyte Velag Kommenta: DER Klassike fü die Theoie de Elektodynamik. Wenig Illustationen und kaum Bezug zum Expeiment. Fü diejenigen, die es nun wiklich genau wissen wollen. [Feyn] R. Feynman: Lectues on Physics, Bd. II, Addison Wesley Kommenta: Wundeschön und intellektuell billant. Feynman mischt die Themen gene, um die Quevebindungen zu zeigen. Seh zu empfehlen, wenn man den esten Duchgang hinte sich hat und die Zusammenhänge vestehen will. Hilft einem abe kaum, wenn man eine konkete Aufgabe zu lösen hat (sofen man nicht so schlau ist wie Feynman). Besse auf Englisch kaufen! [BS] Begmann/Schäfe: Expeimentalphysik Band, de Guyte Velag Kommenta: Hie steht alles nun wiklich genau eklät din. Didaktik ist nicht de Hauptanspuch, sonden Vollständigkeit und Detail. Schon wegen de Menge de Details nicht sondelich übesichtlich und als Lehbuch ungeeignet. Klasse zum Nachschlagen. 1

2 Elektostatik Elektizität wa schon in de Antike bekannt: elekton (giech.) = Benstein Totzdem beschänkte sich die Untesuchung und technische Anwendung de Physik bis zum 19. Jahhundet auf mechanische Phänomene und die Gavitation. Wi wissen heute, dass die elektische Kaft letztlich eine viel wichtigee Rolle als die Gavitation fü unse Leben spielt: Atome und Moleküle weden duch elektische Käfte zusammengehalten, so dass alle Eigenschaften de Festköpe und Flüssigkeiten sowie die chemischen und biologischen Pozesse duch elektische Käfte bestimmt sind. Außedem: Licht und Wämestahlung. Wenn dem so ist: Waum stolpen wi dann nicht pemanent übe makoskopische elektische Escheinungen? Das weden wi seh schnell vestehen! Heutige Sichtweise: Die stabile Mateie besteht aus u-quaks, d-quaks und Elektonen. Das Elekton hat die elektische Elementaladung q = 1e, mit: 19 1 e = C 1 C = 1 Coulomb, Ladungseinheit im MKSA-System. Im Intenationalen SI-System gibt es vie Einheiten: Zeit: Sekunde s Länge: Mete m Masse: Kilogamm kg Elektische Stomstäke Ampee A 1 C = 1 A s Quaks können imme nu zusammengesetzt aufteten, und zwa in de stabilen Mateie in Fom von Potonen und Neutonen, die jeweils 3 Quaks besitzen: e Poton: Elementaladung: Neuton: Elementaladung: 7 mp = kg 7 mn = kg 31 me = kg u u d u d d Quaks =1 Quaks + = Jede in de Natu auftetende feie Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches von e, d.h. die Ladung ist quantisiet. Zuest festgestellt duch Millikan.

3 Atome bestehen aus einem elektisch positiv geladenen Ken, an den duch elektische Anziehungskaft eine Hülle von (negativ geladenen) Elektonen gebunden sind. Auch die Atomkene, die eigentlich ein unübesichtliches Konglomeat von Quaks dastellen, kann man sich in gute Näheung aus Potonen und Neutonen zusammengesetzt vostellen. Nomaleweise: genauso viele Potonen wie Elektonen Atome sind i.a. elektisch neutal. Atome können abe duchaus auch Elektonen velieen ode hinzubekommen. Dann sind sie elektisch geladen und weden Ionen genannt. [Gia] Einige histoische Schlüsselexpeimente zu elektischen Kaft: Hatgummi mit Katzenfell eiben: negative Ladung entsteht auf dem Hatgummi. Glas mit Seide eiben: positive Ladung entsteht auf dem Glasstab. Viele ähnliche Expeimente mit veschiedenen Stoffpaaen. Resultat: 1. Es gibt (genau) zwei unteschiedliche Ladungssoten. Die Bezeichung positiv und negativ stammt von Lichtenbeg (1777) und ist ein willkülich, alledings insofen sinnvoll als sich gezeigt hat:. Ladungen sind additiv. Gesamtladung = Summe de positiven und negativen Ladungen. 3. Es gibt Käfte zwischen den Ladungen: Gleichatige Ladungen (d.h.: Ladungen mit gleichem Vozeichen) stoßen sich ab, ungleiche ziehen sich an. [Gia] Genauee Messung: Bei den o.a. Expeimenten mit Katzenfell auf Hatgummi etc. entsteht keine Ladung, sonden Ladungen weden getennt. Es gilt das Ehaltungsgesetz de elektischen Ladung: 4. Die Gesamtmenge de in einem Pozess ezeugten Ladung ist null. Diese Satz gilt ausnahmslos und ist ebenso fundamental wie de z.b. de Enegieode de Impulssatz. 5. Es gibt Stoffe, auf denen können sich Ladungen fei bewegen ( Leite vo allem alle Metalle) und andee Stoffe ( Nichtleite ), bei denen Ladungen otsfest bleiben. Beim Bau von elektischen (Mess)geäten sind diese Eigenschaften besondes wichtig, z.b. Elektomete: Ladung wid oben abgesteift und fließt in zwei leichte Metallblättchen, die sich dann abstoßen. Bei Metallen beobachtet man den Effekt de Influenz: Bei Annäheung eine Ladung an ein Metall (ohne Beühung!) weden im Metall die Ladungen getennt: Die gleichnamigen Ladungen entfenen sich, de metallische Köpe wid angezogen (obwohl e als Ganzes neutal bleibt!). 3 [Gia]

4 Anmekung zu Ekläung dessen, was beim o.a. Reiben geschieht: Viele Stoffe untescheiden sich in ihem Vemögen, Elektonen aufzunehmen ode abzugeben. Wenn zwei solche unteschiedlichen Stoffe in engen Kontakt gebacht weden, weden Elektonen vom einen auf den andeen übegehen. Da es sich dabei um (nu quantenmechanisch zu vestehende) atomae Pozesse handelt, bedeutet eng einen Abstand kleine als Atomduchmesse. Wenn die Stoffe nach dem Elektonen-Übegang wiede getennt weden, können die Elektonen nicht meh zuück, weil Luft ein schlechte Leite ist. Die Ladungstennung ist also ein eine Obeflächeneffekt. Die Bewegung des Reibens hat einzig den Zweck, diesen kleinen Abstand an möglichst vielen Stellen hezustellen. Anschauliche Analogie: Zwei Schiffe A und B mit jeweils gleichviel Männen und Fauen begegnen sich auf hohe See. Aus igendeinem Gunde sei es nun so, dass die Fauen auf dem Schiff A wesentlich stäke an Männen inteessiet sind als die auf dem Schiff B. Das hat zunächst keine Auswikung, abe als sich die beiden Schiffe so nahe kommen, dass die Fauen übesteigen können, weden etliche Damen von A nach B wechseln, womit die Männe auf B duchaus einvestanden sind. Wenn die Schiffe jetzt wiede getennt weden, können die Damen nicht wiede zuück (Wasse=Nichtleite), auch wenn nach de Tennung de Fauenübeschuss zum Poblem wid und mit zunehmendem Abstand die Sehnsucht (= elektische Spannung) nach den alten, ausgeglichenen Vehältnissen zunimmt. Wenn das Schiff Land (=Leite) eeicht, geschieht folgendes: Die im Hafen anwesenden Damen weden angesichts des sich nähenden Fauenübeschusses ih Recht auf feie Otswahl (Metall!) nutzen und sich sofot ins Hinteland zuückziehen (= Influenz). De entstehende Fauenmangel im Hafen wid von den einteffenden Damen ausgeglichen. Das Coulomb sche-gesetz Chales Coulomb ( ) hat die Kaft zwischen zwei elektischen (punktfömigen) Ladungen Q1 und Q quantitativ untesucht. Egebnis: Q1 Q Das Coulomb sche Gesetz: F = k e Hie ist de Abstand zwischen den Ladungen und e ist de Einheitsvekto in Richtung de Vebindungslinie zwischen den Ladungen. k ist eine positive Popotionalitätskonstante. Man könnte im Pinzip die Ladungseinheit so wählen, dass k = 1 wid. Ein solches Einheitensystem wa (und ist) tatsächlich im Gebauch: das cgs-system. Es ist abe fü technische Anwendungen 1 unpaktisch. Im SI-System (Ladungseinheit: Coulomb, s.o.) gilt k =, wo 4 π 7 1 C 1 C = = die elektische Feldkonstante ode N m 4π c N s Dielektizitätskonstante ist. 1 Q1 Q Und damit also: F = e 4π Hinsichtlich de Kaftichtung ist es wichtig, welche de beiden Ladungen man als diejenige ansieht, die die Kaftwikung veusacht (z.b. Q ) und welche diejenige ist (z.b. ), von de wi wissen wollen, wie goß die auf sie einwikende Kaft ist. Q 1 4

5 Wenn die Ladungen gleiche Vozeichen haben, ist Q1 Q positiv und die Kaft auf Q1 zeigt von Q weg. Natülich kann man die Rollen auch vetauschen, abe dann deht sich wegen actio = eactio die Kaftichtung um. Vegleich zwischen de elektischen Kaft und de Gavitation zwischen Elekton und Poton: mm p e 11 N m FGav = G ( G = ) kg 1 e 4 Fel = F el 1 FGav!!! 4 π Die elektische Kaft ist also viel!! stäke als die Gavitationskaft. Waum sind dann die elektischen Käfte im Alltag nicht viel sichtbae? Antwot: Weil es positive und negative elektische Ladungen gibt! Daduch können sich elektische Ladungen in ihe Wikung gegenseitig weitgehend neutalisieen, und das ist bei de Gavitation nicht möglich. Nu auf atomae Skala sind die Objekte nicht elektisch neutal, und dot dominieen die elektischen Käfte auch bei weitem. Wenn ausnahmsweise mal makoskopische Objekte elektisch geladen sind, dominieen die el. Käfte in de Tat, s. Blitz. [Gia] Man beachte, dass Gavitation und Coulombkaft die gleiche mathematische Stuktu besitzen ( 1 ). Dass de Exponent nicht von abweicht, ist beim Coulombgesetz auf 1 16 expeimentell gepüft. Wie misst man das so genau? Z.B. duch eine Nullmessung: WENN F 1 gilt, muss die Kaft innehalb eine geladenen, metallischen Hohlkugel null sein (s. späte). Das kann man seh genau püfen. Supeposition Sind veschiedene Ladungen vohanden, gilt das Pinzip de Supeposition: Die Käfte de veschiedenen Ladungen auf eine de Ladungen ist die Vektosumme de Käfte alle übigen Ladungen. Beispiel: N im Raum veteilte Ladungen Q i (wo i die Ladungen von 1 bis N bezeichnen). Die Kaft de andeen Ladungen auf Ladung Q 1 : N Q1 Qi Ftot, Q = 1 e 1, i (1) 4π i= 1, i Wenn die Ote alle Ladungen bekannt sind, ist damit im Pinzip alles gesagt. De Rest de Elektostatik betifft nu noch zwei Dinge: Vefahen, diese Käfte zu beechnen und sie sich zu veanschaulichen. Diejenigen Fälle, bei denen die Veteilung de Ladungen unbekannt ist und sich aus gewissen Mateialeigenschaften egibt (z.b. hohe Leitfähigkeit). 5

6 Quick Quiz: 1. Angenommen, Q1=1 Q. Welche Kaft ist göße: Die auf Q1 wikende ode die auf Q wikende? Antwot: Beide Käfte sind betagsmäßig gleich, abe entgegengesetzt geichtet.. Wi wissen, dass Objekt B positiv geladen ist und beobachten, dass Objekt A von Objekt B angezogen wid. Was können wi übe A sagen: a) Es ist positiv geladen? b) Es ist negativ geladen? c) Es ist elektisch neutal? d) Wi haben nicht genug Infomation zu Beantwotung. Antwot: d)(es könnte auch Influenz sein!) Das elektische Feld Wie man aus Gl. (1) ekennt, ist die Kaft, die eine Ladung Q 1 duch igendeine gegebene äumliche Anodnung viele andee Ladungen efäht, imme popotional zu Q 1. Es macht also Sinn, die Vostellung zu haben, dass duch diese Ladungen übeall im Raum eine Eigenschaft entsteht, die unabhängig vom Vohandensein de Ladung Q 1 existiet. Diese Eigenschaft wid elektisches Kaftfeld ode einfach elektisches Feld genannt. Es wid definiet als Kaft auf eine infinitesimal kleine positive Testladung q am betachteten Ot, dividiet duch diese Ladung: Elektische Feld: F ( ) E ( ) = lim q q Einheit: N C = V () m Es ist ein Vektofeld, d.h. es wid an jedem Punkt im Raum duch einen Vekto beschieben. Die Bedingung q soll sichestellen, dass die Feldveteilung nicht duch die Anwesenheit de Testladung gestöt wid. Wenn also das elektische Feld E( ) voliegt, dann ist die elektische Kaft, die auf eine Ladung Q wikt, gegeben duch F ( ) = Q E ( ) Bemekung: Die Fage, ob das elektische Feld auch ohne Anwesenheit de Testladung existiet, könnte man als ein philosophisch abtun (ähnlich wie die Fage, ob unsee Umgebung existiet, wenn wi die Augen schließen). Es gibt abe Beobachtungen, die beweisen, dass das elektische Feld tatsächliche existiet, auch wenn wi seine Kaftwikung nicht duch eine Testladung unmittelba messen: Um das Feld zu ezeugen, muss nämlich Enegie aufgewendet weden! 6

7 Beispiel: elektisches Feld eine Punktladung Q am Ot = : F 1 1 q Q 1 Q E ( ) = = e = e q q 4π 4π Entspechend de Definition () zeigt also das Feld eine positiven Punktladung von diese Ladung weg (a). Die Kaftwikung auf eine positive Ladung ist entspechend abstoßend. [Gia] Analog zu Supeposition de elektischen Käfte, weden auch die elektischen Felde viele, im Raum veteilte Ladungen vektoiell addiet. Das gesamte Feld, das duch die Ladungen ezeugt wid, die sich an den Oten i befinden, betägt also am Ot : qi 1 E ( ) = Ei( ) = i (3) i i 4π ( i) i i Hiebei bezeichnet de Ausduck den Einheitsvekto zwischen de i Pobeladung am Ot ( Aufpunkt genannt) und de Ladung qi am Ot i. q i Feldlinien Wie kann man ein Vektofeld veanschaulichen? Ein Weg besteht dain, an egelmäßigen angeodneten Raumpunkten Vektopfeile zu zeichnen, deen Länge popotional zum Betag des Vektos an de beteffenden Stelle ist. Dies kann u.u. seh unübesichtlich weden. Altenative: Die Richtung (nicht die Stäke!) des Feldes wid duch Feldlinien exemplaisch veanschaulicht. Exemplaisch heißt, dass die gewählten Ote de Feldlinien elativ willkülich gewählt weden, abe so, dass man ein hineichend klaes Bild von den Feldichtungen im Raum bekommt. Eine Feldlinie ist so definiet, dass die Tangente an jede Stelle de Feldlinie in Richtung des dotigen Feldes zeigt. Bei statischen (zeitunabhängigen) elektischen Felden haben die Feldlinien stets einen Anfang (positive Ladung, Quelle, und ein Ende (negative Ladung, Senke). Achtung: Bei zeitabhängigen Felden können die Feldlinien seh wohl geschlossene Kuven bilden! Die Stäke des elektischen Feldes egibt sich aus de Anzahl de Linien duch eine Einheitsfläche senkecht zu den Linien, d.h. aus de Liniendichte. Je enge die Linien beieinande liegen, desto stäke das Feld. Achtung: Dass diese Intepetation möglich ist, ist letztlich eine Folge des Gauß schen Satzes (s.u.), d.h. in 3D de Beispiel fü ein Vektofeld E1 + E 1 -Abhängigkeit des Feldes, wie man sich mit dem Feld eine Punktladung kla machen kann: Da die Obefläche eine Kugel um die Punktladung mit 7

8 wächst, sinkt die Dichte eine konstanten Zahl von Feldlinien mit 1, also genauso wie die Feldstäke. Feldlinien keuzen sich niemals. Wenn sie sich keuzen wüden, wäe die Richtung de Feldstäke an de Stelle de Keuzung nicht definiet, im Widespuch zu eindeutigen Beechnung nach Gl. (3). Quick Quiz: Eine Pobeladung von 3 nc befindet sich am Punkt P, wo das elektische Feld nach 6 N echts geichtet ist und 41 C betägt. Wie ändet sich das Feld, wenn die Pobeladung duch -3 nc esetzt wid? Einige Spezialfälle: homogenes Feld: Betag und Richtung von E sind konstant (s. Fig. (d)) Inhomogenes Feld: Betag und Richtung sind otsabhängig (Fig. (a) (c)) [Gia] Beispiele fü Anwendungen (mit typische Feldstäke in N = V ): C m Leuchtstofföhe: 1 Atmosphäe (gutes Wette) 1 Luftballon, auf Haa geieben 1 Atmosphäe (unte Gewitte) 1 Photokopiee 1 Feld de Wassestoffkens im Beeich des Elektons Beechnung des Feldes eine kontinuielichen Ladungsveteilung: Obwohl die Ladung quantisiet ist, kann/muss man oft annehmen, dass die Gesamtladung igendwie im Raum veschmiet voliegt, d.h. man definiet eine otsabhängige Ladungsdichte ρ( ): dq ρ ( ) = dv Zu Beechnung des elektischen Feldes diese Ladungsveteilung geht die Summe in Gl. (3) in ein Integal übe den Raum V übe: 1 ρ( ) E( ) = de( ) = dv 4π (4) ( ) V Hiebei bezeichnet de Ausduck den Einheitsvekto zwischen dem Ot de Pobeladung ( Aufpunkt genannt) und dem Volumenelement dv. 8

9 Beispiele: 1. Homogen geladene Scheibe mit Radius R: Hiebei handelt es sich um eine zweidimensionale Ladungsveteilung, man definiet also am besten eine Flächenladungsdichte σ, die nicht otsabhängig ist ( homogen ) so dass Gl. (4) lautet: 1 σ E ( ) = da π (5) ( ) 4 A Die Integation geht übe die Fläche A de gesamten Scheibe. Zu Veeinfachung wollen wi uns nu fü die Feldstäke auf de Symmetieachse z inteessieen, wi können also duch z e esetzen. Dot sind aus Symmetiegünden die z Vektokomponenten senkecht zu z-achse Null, das Feld hat also nu eine z- Komponente. Aus Gl. (5) wid (in Zylindekoodinaten): ( σ ) z σ z ez σ z ez π Ez( z) = da = dd ϕ= d π 4π 4π = ( z + ) ( z + ) ( z + ) A A A R σ z e z 1 σ z = = 1 e z + z + R z [Gia] Wenn de Scheibenadius viel göße als de Abstand de Aufpunktes z von de Scheibe ist ( R ), dann ist de zweite Tem venachlässigba, und wi ehalten das einfache Egebnis: σ Unbegenzte Ebene: E( z) ez. (6) Das Feld in de Nähe eine homogen geladenen Ebene ist also vom Ot unabhängig (homogen) und zeigt von de Ebene weg, wenn die Ladung positiv ist.. Paallele Platten: Mit diesem Egebnis kann man seh leicht das Feld zwischen zwei goßen, entgegengesetzt geladenen paallelen Platten beechnen: Die Feldbeitäge de einzelnen Platten addieen sich im Inneen und heben sich im Äußeen auf: σ E( z) paallele Platten, innen = e z (7) [Gia] 3. Homogen geladene Kugelschale (Gesamtladung Q): Fü eine homogen geladene Kugelschale (Rechnung etwas länge) egibt sich das wichtige Egebnis, dass das Feld innehalb de Kugelschale Null ist und das Feld außehalb identisch ist mit dem Feld eine Punktladung Q. Ein analoges Egebnis kannten wi schon vom Gavitationsfeld! 9

10 4. Elektische Dipol Eine Anodnung mit zwei entgegengesetzt gleichen Ladungen Q in einem festen Abstand l voneinande spielt eine goße Rolle in de Physik/Chemie und vedient dahe eine etwas genauee Untesuchung. De Vekto p = Q l wid elektisches Dipolmoment genannt, wobei l de Vekto von de negativen zu positiven Ladung ist. a) Kaft auf einen Dipol im homogenen äußeen Feld. Wi fagen uns zunächst, wie die gesamte Kaft aussieht, die auf den Dipol wikt, wenn e sich in einem homogenen äußeen elektischen Feld befindet. Die Nettokaft auf den Massenschwepunkt S ist die Vektosumme alle äußeen Käfte, also Null. Hiebei ist zu beachten, dass die Massen de Ladungstäge duchaus unteschiedliche sein können, selbst wenn die Ladungen (betagsmäßig) gleich sind. De Massenschwepunkt S befindet sich dann nicht (wie de Punkt O im Bild) in de Mitte zwischen den Ladungen, sonden igendwo auf de Vebindungslinie, beispielsweise im Abstand al von de Ladung + Q (mit a <1). Das entstehende Dehmoment τ bezogen auf S betägt: τ = ( + al ) QE + a 1 l Q E= l QE = p E. (8) ( ) ( ) Es hängt offenba nicht von de Veteilung de Massen, sonden nu von de Ladungsveteilung ab! Das Dehmoment vesucht, den Dipol paallel zu E auszuichten: Dann ist p E =. Die Abeit, die das elektische Feld veichtet, um den Dipol um den Winkel θ zu dehen, ist Δ W = τ dθ. Im selben Maße veinget sich die potentielle Enegie des Dipols: θ Δ U = τ dθ = pe sin θdθ = pe(cosθ cos θ 1) θ 1 Wenn wi U= fü den Fall θ 1 = 9 setzen, dann gilt U = p E (potentielle Enegie eines Dipols) (9) Achtung: Wenn das Feld inhomogen ist, dann kompensieen sich die Käfte auf +Q und Q im Allgemeinen nicht, und es kann duchaus eine esultieende Nettokaft auf den Dipol wiken! Es ist diese Kaft auf die molekulaen Dipole im Papie, duch die Papieschnipsel von einem elektisch geladenen Plastikkamm angezogen weden. b) Elektische Feldstäke eines Dipols Das elektische Feld, das duch einen Dipol ezeugt wid, kann im Pinzip diekt aus dem Coulomb-Feld beechnet weden. In eine Entfenung, die goß gegen l ist ( Fenfeld ), kann es dagestellt weden duch 1 p p E ( ) = π. (1) Elektisches Feld eines Dipols 1

11 Wenn θ den Winkel zwischen de Beobachtungsichtung und dem Dipolvekto bezeichnet, dann kann man die Feldkomponente in Beobachtungsichtung E und die Komponente senkecht zu Beobachtungsichtung folgendemaßen ausdücken: E 1 p cosθ 1 p sinθ E (, θ) = ; E (, θ) = 4π π (11) Daaus sieht man noch leichte als aus Gl. (8), dass das Feld nicht wie das 1 Coulombfeld mit, sonden mit 1 abnimmt. Das ist nicht unbedingt 3 vewundelich, denn mit zunehmendem Abstand wid es imme bedeutsame, dass die Ladungen dicht beieinande liegen und sich gegenseitig neutalisieen. Bemekung: In Analogie zu Tayloentwickung kann man sich das Feld eine beliebigen Ladungsanodnung vostellen als zusammengesetzt aus dem Beitag de Gesamtladung (bei obigem Dipol: Null), dem Beitag des Dipolmoments und weiteen Beitägen höhee Momente (Quadupol, ). Diese Multipol-Entwicklung wid in de Theoetischen Physik nähe behandelt. Dipolmoment eine Ladungsveteilung: Mehee Ladungen Q1, Q Qn an den Oten 1, n bilden ein Gesamtn Diplomoment p = Q 11+ Q + Qnn= Q i i. Man beachte, dass in diese i= 1 Scheibweise de Koodinatenuspung beliebig ist, sich dot also keine Ladung befinden muss. Da die Gln. (8-11) linea in p sind, gelten sie unveändet weite! Polae Moleküle und induziete Dipole; Dielektika In vielen Molekülen besitzen die Elektonen auf eine bestimmten Seite des Moleküls eine ehöhte Aufenthaltswahscheinlichkeit. Moleküle mit eine solchen ungleichen Ladungsveteilung weden polae Moleküle genannt. Ein pominentes Beispiel ist 3 das Wassemolekül, dessen Dipolmoment C m betägt. Dipolmoment eines Wassemoleküls [Gia] Es gibt abe auch andee Stoffe, deen Moleküle est in Gegenwat eines extenen Feldes ein Dipolmoment entwickeln, weil sich die Elektonen etwas gegenübe den Kenen velagen, wenn ein Feld voliegt. Dies wid ein induzietes Dipolmoment genannt es ist im Pinzip das mikoskopische Analogon zu elektischen Induktion in einem elektisch neutalen Leite. Egal ob pola ode induziet, in diesen Stoffen oientieen sich die Moleküle gemäß Gl. (8) mit ihem Dipolmoment in Richtung eines angelegten Feldes und änden dabei häufig ihe makoskopischen Eigenschaften, zum Beispiel ih optisches Vehalten. Solche Stoffe weden Dielektika genannt. 11

12 Bewegung eines Elektons im elektischen Feld: Um zu vestehen, wie sich eine Ladung Q 1 mit de Masse m in einem beliebigen elektischen Feld E( ) bewegt, ist nicht meh zu tun, als die klassische dt () Bewegungsgleichung m = F( ) = Q 1 E( ) (1) dt nach t () aufzulösen. Das Besondee im Vegleich zu Mechanik ist im Wesentlichen, dass kleine, elektisch geladene Teilchen wie Elektonen ode Ionen in 8 m technisch leicht hestellbaen elektischen Felden auf Geschwindigkeiten > 1 s beschleunigt weden können, also in die Nähe de Lichtgeschwindigkeit. Zwei besondes pominente Beispiele: a) die Kathodenstahlöhe (ode Baun sche Röhe ) Bem.: Beim Oszilloskop und bei de Fensehöhe befindet sich zwischen den gezeigten hoizontalen und vetikalen Ablenkplatten ein zeitabhängiges Feld! b) de van-de-gaaf-beschleunige: Ladungen weden übe ein Föde- Band in das Innee eine metallischen Hohlkugel tanspotiet. Da dot das Elektische Feld Null ist (egal wieviel Ladung sich auf de Kugel befindet, s.o.!!), können seh hohe Ladungen auf die Kugel gebacht weden und V daduch Feldstäken > 1 m ezeugt weden. Dies ist ein seh vielseitige Typ von Teilchenbeschleunigen. Achtung: Es ist wichtig zu vestehen, dass die Bewegung von Teilchen im elektischen Feld nicht entlang de Feldlinien efolgt! Die Feldlinien geben nu die Richtung de beschleunigenden Kaft an jedem Punkt de Tajektoie an. 1

13 Das Gauß sche Gesetz Das Gauß sche Gesetz ist ein außeodentlich leistungsfähiges Hilfsmittel, um das von eine gegebenen Ladungsveteilung ezeugte elektische Feld zu beechnen. Es ist auch fü viele andee physikalische Pobleme (z.b. Stömungsfelde) von gößte Bedeutung, weil es ganz allgemein das, was im Inneen eine geschlossenen Obefläche vohanden ist, mit dem in Vebindung bingt, was man außehalb diese Obefläche sieht. De elektische Fluss Eine beliebige Fläche besitzt an jede Stelle einen Vekto, de senkecht zu lokalen Obefläche steht. De Einheitsvekto in diese Richtung wid Obeflächennomale u N genannt. Bei eine geschlossenen Obefläche zeigt u N nach außen. Wenn wi an deselben Stelle ein seh kleines Flächenelement Δ A betachten, dann können wi den Betag dieses Flächenelementes mit dem Nomalenvekto an de beteffenden Stelle kombinieen und ehalten ein vektoielles Flächenelement Δ A =ΔAu N. De elektische Fluss Φ eines Vektofeldes E( ) duch das Flächenelement ΔA ist definiet als das Skalapodukt Φ= E ΔA. Wenn wi E( ) als eine Scha von Feldlinien auffassen, dann sagt uns Φ also, wie viele Feldlinien duch das Flächeelement ΔA hinduch gehen ( E( ) kann man deshalb umgekeht auch als elektische Flussdichte bezeichnen). Wenn die Fläche A eine endliche Ausdehnung hat, müssen wi zu Beechnung des Flusses ein zweidimensionales Integal übe A beechnen: Elektische Fluss: Φ= E da A Paktische Beechnung: Angenommen, die Fläche ist duch die Gleichung z = f ( x, y) explizit bekannt. Dann beechnet sich de Fluss gemäß EdA = E dydz + E dxdz + E dxdy. x y z A Ayz Axz Axy Hiebei ist A die Pojektion de Fläche auf die y/z-ebene etc. yz Das Gauß sche Gesetz Das Gauß sche Gesetz sagt etwas übe den Fluss duch eine geschlossene Obefläche aus. Es besagt, dass diese Fluss nu duch die eingeschlossene Ladung bestimmt ist: Das Gauß sche Gesetz Q innen E da= (13) A 13

14 Man beachte, dass de Fakto 1 aus dem Coulombgesetz veschwunden ist, 4π woduch nachtäglich kla wid, waum e dot eingefüht wude. Die Ladung Ladungsdichte Q innen egibt sich im allgemeinen aus eine kontinuielichen ρ( ): Q = ρ( ) dv, wobei Vol das von de Fläche innen Vol eingeschlossene Volumen ist. Mit diese Scheibweise lautet das 1 Gauß sche Gesetz E da = ρ( ) dv (14) Zusammenhang mit dem Gauß schen Satz: A Vol De Gauß sche Satz ist ein mathematische Satz aus de Vektoanalysis de die Divegenz eines Vektofeldes mit dem Fluss duch eine geschlossene Obefläche vebindet: Gauß sche Satz Vol dive = E da A Wobei das Obeflächenintegal übe die Obefläche des Volumens Vol geht. Man beachte, dass diese Satz (de von de Mathematik bewiesen weden muss), keine physikalische Aussage hat! Wenn man ihn jedoch mit dem Gauß schen Gesetz Gl. (14) kombiniet, ehält man eine wichtige physikalische Aussage übe die 1 Eigenschaft des Coulombfeldes: ρ( dv ) dive =, mithin Vol Vol ( ) dive = ρ. (15) Gln. (14) und (15) sind zwei Vesionen eine de vie Maxwell schen Gleichungen. Obwohl wi dieses Gesetz hie nu fü statische Ladungsveteilungen diskutiet haben, ist es auch fü beliebige zeitabhängige Ladungsveteilungen gültig!! In Woten sagt es: Die Quelle fü elektische Felde sind die elektischen Ladungen. In einem ladungsfeien Raum ist die Divegenz des elektische Feldes also Null. Quick Quiz: Duch eine geschlossene Obefläche sei de Gesamtfluss Null. Die folgenden Aussagen könnten alle wah sein. Abe: welche de Aussagen MUSS wah sein? 1. Es gibt keine Ladungen innehalb de Obefläche.. Die Nettoladung innehalb de Obefläche muss Null sein. 3. Das elektische Feld ist übeall auf de Obefläche Null 14

15 4. Die Zahl de Feldlinien, die in die Obefläche hineingehen ist gleich de Zahl dejenigen, die hinausgehen. Beispiele: 1. Homogen geladene Kugelschale mit Radius : Aus Symmetiegünden hat das elektische Feld nu eine Radialkomponente: E = E e. Daduch ist jedes Flächenelement da paallel zum Feld. De Fluss duch eine geschlossene Kugelobefläche mit dem Radius Betägt also: Φ () = E 4π. Innehalb de Kugelschale (d.h. fü < ) ist die eingeschlossene Ladung Offenba Null, so dass das Gauß sche Gesetz sagt: Qinnen Φ () = E 4π = =, also E =. Außehalb de Kugelschale (d.h. fü > ) gilt (die Gesamtladung sei Q): Φ Qinnen Q () = E 4π = =, also 1 Q E = 4π. Das gleiche Egebnis ehält man natülich, wenn man (auf viel mühsamee Weise!) die Beitäge zum Coulombfeld aufintegiet, siehe Gl. (4). Wenn wi gehen lassen, sehen wi also, dass das Gauß sche Gesetz eine 1 - Abhängigkeit fü eine punktfömige Ladung velangt, es ist also konsistent mit dem Coulomb-Gesetz. Wi sehen auch, dass die Feldfeiheit im Inneen de Kugel (die expeimentell seh genau gepüft weden kann) ebenso eine Folge diese 1 - Abhängigkeit ist! Paktische Anwendung: Löffeln von Ladung, van-de-gaaf-geneato. Homogen geladene Kugel mit Radius und Gesamtladung Q: Außehalb de Kugel (d.h. fü > ) gilt: Φ Qinnen Q () = E 4π = =, also 1 Q E = 4π, also das gleiche Egebnis wie unte 1). Man kann dem Feld also von außen nicht ansehen, von welche (otationssymmetischen!) Ladungsveteilung es ezeugt wude. Innehalb de Kugel (d.h. fü < ) gilt: 3 Φ Qinnen q () () = E 4π = =, mit 1 Q q () = Q. Also E 3 3 = 4π. 3. Unendlich ausgedehnte Ebene mit homogene Ladungsdichteσ : Als geschlossenes Volumen wählen wi einen kleinen Zylinde (s. Abb.) mit de Gundfläche A, de duch die Ebene hinduch läuft und auf beiden Seiten de Ebene die Höhe hat. 15

16 Aus Symmetiegünden hat das elektische Feld nu eine Komponente E z senkecht zu Ebene. Deshalb ist de Fluss duch die Seitenfläche Null. Außedem ist es spiegelsymmetisch zu Ebene. De Gesamtfluss ist also Qinnen σ πr σ Φ () = Ez π R = = E z = Wiede ist das Egebnis identisch mit de mühsamen Integation de Einzelladungen, s. Gl.(6). 4. Elektostatik von Metallen: In Metallen können sich Elektonen fei bewegen. Folglich muss das elektische Feld innehalb des Metalls Null sein: Andenfalls wüden sich die Elektonen so lange äumlich bewegen, bis sie kein Feld meh sehen. Wenn das Metallstück elektisch geladen ist, dann folgt aus dem Gauß sche Gesetz, dass die gesamte Ladung auf de Metallobefläche veteilt sein muss: nu dann ist das Feld übeall im Inneen Null. Das elektische Feld außehalb des Metalls muss senkecht auf de Obefläche stehen, weil sonst Obeflächenstöme so lange fließen wüden, bis sich die Ladung auf de Obefläche so veteilt hat, dass diese Bedingung efüllt ist. Aus diesen Regeln egibt sich auch das, was bei de Influenz geschieht: Wenn ein neutales Metallstück in ein extenes elektisches Feld gebacht wid, veteilen sich Elektonen so auf de Obefläche, dass a) im Inneen das Feld Null wid (das Feld wid abgeschimt ). b) das esultieende elektische Feld senkecht auf de Obefläche steht. Die entstehende lokale Obeflächendichte hängt mit dem lokalen elektischen Feld σ übe E z = zusammen. Heleitung analog zum Beispiel 3, mit dem Unteschied, dass auf de Seite de Ebene die im Metall liegt, das Feld Null ist. Deshalb fällt de Fakto weg. Paktische Anwendung: Faaday sche Käfig Spiegelladungen: Das eigentliche Poblem liegt nun abe dain, die Feldveteilung (bzw. Ladungsveteilung) auf de Obefläche zu emitteln. Fü viele Fälle eignet sich de Tick de Spiegelladungen: Man sucht nach eine Veteilung vituelle Ladungen auf de Rückseite de Obefläche, die gemeinsam mit de echten Ladung ein solches Feld egibt, das senkecht auf de Metallobefläche steht. Die vituelle Ladung existiet nicht wiklich, abe WENN es sie gäbe, wüde sie, gemeinsam mit de echten Ladung, im Vakuum das tatsächliche Feld ezeugen. In vielen Fällen ist die efodeliche Anodnung de Spiegelladungen seh einfach (s.skizze), so dass die Beechnung des Obeflächenfeldes dann ebenfalls seh einfach ist. 16

17 5. Ladung q innehalb eines metallischen Hohlaums, de die Ladung Q tägt: Was kann man übe die Ladungen auf de Innenfläche bzw. de Außenfläche des Metallköpes sagen? Damit übeall im Metall das Feld Null sein kann, muss lt. Gauß schem Gesetz die auf die Innenfläche influenziete Nettoladung q betagen. Da de Metallköpe die Gesamtladung +Q tägt, muss die Gesamtladung auf de Außenfläche Q+q betagen. Das elektische Potential Das elektische Potential V ist definiet duch die potentielle Enegie Pobeladung q im elektischen Feld: E = F ds = q E ds = q V pot S S elektisches Potential: V( ) = E ds Dies ist ein Linienintegal, welches entlang des Weges S von einem Anfangspunkt zum betachteten Ot veläuft. Die Einheit ist N m = J =V (Volt). C C Das elektische Potential ist nu als Diffeenz definiet, d.h. V( ) = V( ) E ds. 1 1 Achtung: Das elektische Potential ist keine potentielle Enegie: Die potentielle Enegie ist de Ladung ist: E = q V. S q pot E pot eine Definition: Fü atomae Pozesse ist das Joule eine viel zu goße Einheit. Deshalb: 1 ev ist die Abeit, die geleistet wid, wenn ein Teilchen mit de Elementaladung eine Potentialdiffeenz von 1 Volt duchläuft: 19 J 19 1 ev = C 1 = J C Unte Vewendung de elativistischen Beziehung E m c (16) q e = wid die Ruhemasse m von Elementateilchen häufig in ev angegeben.. Beispiel: Elekton: m e =.511MeV (Mega-eV) Das ist natülich nu ein Jagon: eigentlich müsste es m c =.511MeV heißen. Das c wid abe oft unteschlagen. e 17

18 Äquipotentialflächen Wenn man sich von einem beliebigen Statpunkt s aus in unteschiedliche Raumichtung bewegt, das Potential gemäß Gl. (16) beechnet, und dot anhält, wo die Potentialdiffeenz zu s eine bestimmten Wet hat, dann wid man eine Scha von Punkten finden, die eine bestimmte Fläche liegen. Diese Flächen weden Äquipotentialflächen genannt. Sie stehen senkecht auf dem E -Feld, da eine Ladung bei eine Bewegung senkecht zum Feld keine Abeit veichtet. Es ist eine besondes wichtige Eigenschaft des elektischen Feldes, dass es bei de Beechnung des Potentials gemäß Gl. (16) nicht auf den Weg, sonden nu auf den Anfangs- und Endpunkt ankommt. In de Vektoanalysis wid gezeigt, dass dies imme dann de Fall ist, wenn die Bedingung ote = E = (17) efüllt ist. Dies ist beim elektostatischen Feld de Fall. Dies hat eine Reihe wichtige Konsequenzen: 1) Wenn de Integationsweg eine geschlossene Kuve ist, dann ist die geleistete Abeit offenba Null. Potentielle Enegie kann nicht daduch ehöht weden, dass man im Felde im Keis läuft. Deshalb nennt man ein solches Feld konsevativ. ) Das Potential ist eine eindeutige Funktion des Otes bis auf eine übeall gleiche, willkülich wählbae Konstante. Da es jedem Ot genau eine Zahl zuodnet, ist es ein skalaes Feld. 3) Wenn das Potential im Raum bekannt ist, dann kann man die Feldstäke daaus beechen: V( ) x V( ) E( ) = V( ) = gad V( ) = y (18) V( ) z De Gadient steht imme senkecht auf den Äquipotentialflächen. Man könnte sich die Gleichung E( ) = gad V( ) als Umkehung de Beziehung V( ) = E ds vostellen. Dass diese Umkehung auf eindeutige Weise übehaupt möglich ist, hat ebenfalls damit zu tun, dass das E-Feld de Gl. (17) genügt. Das stellt eine goße Veeinfachung da: Man beechnet ein Vektofeld aus einem skalaen Feld! S 18

19 Quick Quiz: Wenn es bei de Beechnung de Potentialdiffeenz nicht auf den Weg ankommt: Waum beechnen wi sie dann nicht einfach aus Δ V = E l, wo l die geadlinige Distanz des Weges zwischen A und B ist? Das Potential eine Punktladung Q am Ot = Festlegung: V( = ) = Integationsweg von außen nach innen, um die Divegenz bei = zu vemeiden: 1 Q 1 Q 1 Q V() = E dl = d = = 4π 4π 4π Potential eine Punktladung: 1 Q V() = 4π (19) Meke: Vozeichen des Potentials = Vozeichen de Ladung Beechnung de Feldstäke: dv E = gadv =, da V nu von abhängt. d Potentielle Enegie de Testladung q im Potential de Ladung Q: qq Epot () = q V() = 4π V Das Potential kann im zweidimensionalen Fall (wie hie) duch eine deidimensionale Fläche dagestellt weden. Im allgemeinen, deidimensionalen Fall ist eine solche Veanschaulichung schwieige. Potential eine Ladungsveteilung: Potential eine Punktladung am Ot = : 1 Q Vi () = 4π Die Potentiale einzelne Ladungen übelagen sich additiv: V gesamt = V(). i i Beispiel: zwei ungleiche Ladungen, s. Bild echts: i i Die potentielle Enegie eine Testladung im Feld diese Ladungsveteilung ist also: E ( ) = q V = q V( ). pot gesamt i i Abe Achtung: Dies ist nicht die potentielle Enegie de gesamten Ladungsveteilung!! Um diese zu beechnen muss man die potentielle Enegie eines jeden Ladungstäges im Feld de andeen beücksichtigen und alle diese Beitäge addieen!! W 19

20 Die elektische Spannung U ist definiet als Potentialdiffeenz zwischen zwei Äquipotentialflächen. Metalle: Da das elektische Feld in Metallen Null sein muss, bedeutet dies, dass das Potential dot konstant ist. Diese Tatsache ist ein Schlüssel zu Beechnung de Feldveteilung in Gegenwat geladene Metallflächen (s.u.). Die Potential-Gleichung Wegen E( ) = V( ) kann die Maxwellgleichung weden als: ρ( ) V( ) = div gad V( ) =. ( ) E = ρ auch geschieben De Diffeenzialopeato = div gad = Δ wid Laplace-Opeato genannt. Die Potential-Gleichung lautet damit also: Potential-Gleichung ρ( ) Δ V( ) = Poisson-Gleichung () In Abwesenheit von Ladungen lautet dies: Laplace-Gleichung Δ V( ) = (1) Lösung de Potentialgleichung: Es gibt hiezu eine umfangeiche Theoie (patielle Diffenentialgleichungen ). In speziellen Fällen helfen auch Methoden de Funktionentheoie ( konfome Abbildungen ). In den meisten ealen Fällen müssen abe numeische Methoden vewendet weden. An diese Stelle soll kuz eine diese Methoden geschildet weden: Die Methode de finiten Diffeenzen; Relaxationsvefahen [Kö] Aus de Theoie de Patiellen Diffeentialgleichungen egeben sich die folgenden wichtigen Eigenschaften de Laplace-Gleichung: 1. Das Potential ist im gesamten Raum bestimmt, wenn es auf de Fläche bekannt ist, die diesen Raum umschließt ( Randwetpoblem ).. Die Maximalwete und Minimalwete des Potentials liegen imme auf dem Rand. Die Potentialwete nehmen im (ladungsfeien) Raum niemals Wete an, die höhe ode niedige liegen als auf dem Rand. 3. Genaue gesagt ist es soga so, dass de Wet des Potentials im Mittelpunkt eines beliebigen Wüfels genau de aithmetische Mittelwet de Wete an den acht Wüfelecken sein muss. Aus diese Regel egibt sich ein leistungsfähige Algoithmus, die Methode de finiten Diffeenzen:

21 Das Vefahen wid hie fü einen zwei-dimensionalen Fall eläutet: Wi untesuchen ein zweidimensionales Gebiet, in dem sich keine Ladungen befinden. Alle Das Feld ezeugenden Ladungen befinden sich außehalb bzw. auf dem Rand. Die Potentialveteilung auf dem Rand sei bekannt ( Randwetpoblem ). In dem (ladungsfeien!) Gebiet muss die Laplace-Gleichung (1) gelten: Δ V( ) =. In zwei Dimensionen x,y lautet das: V( ) + V( ) = () x y Entwickelt man V in eine Tayloeihe und bicht diese nach den Glieden zweite Odnung ab, so ehält man: V V 1 V 1 V V Vx ( +Δ xy, +Δ y) = Vxy (, ) + Δ x+ Δ y+ Δ x+ Δ y + ΔxΔy. x y x y x y Es seien nun fünf Punkte wie in de Skizze heausgegiffen. Dann egib die Anwendung diese Gl. auf die Punkte 1,,3,4 V 1 V V1 = V + h+ h x x V 1 V V = V + h+ h y y 3 1 V 1 V V1 = V h+ h x x V 1 V 4 V = V h+ h y y Dabei sind die Vi ( i =,1,,3,4) die Wete von V( x, y) in den entspechenden Punkten. Duch Addition obige Gleichungen egibt sich: V V V1+ V + V3+ V4 = 4V + + h x y und wegen Gl. () schließlich: 1 V = ( V1+ V + V3+ V 4 ) (3). 4 Das Potential im Mittelpunkt des Quadats ist also näheungsweise tatsächlich gleich dem Mittelwet de Potentialwete auf den Eckpunkten. Diese Eigenschaft macht man sich auf folgende Weise zunutze: Das Gebiet wid mit einem Gitte übezogen, auf dessen Keuzungsstellen die Potentialwete beechnet weden sollen. Daduch entsteht eine goße x Matix, deen Elemente zu bestimmen sind. Die Wete auf dem Rand sind bekannt, den andeen Weten wid ein beliebige Statwet zugewiesen (z.b. Null). Diese Statwete weden nun Schitt fü Schitt vebesset, indem Gl. (3) angewendet wid. Im esten Iteationsschitt weden natülich nu diejenigen Wete besse, die unmittelba neben den Randpunkten 1

22 liegen. Bei eine seh goßen Anzahl von Gittepunkten ist die Konvegenz deshalb seh langsam, und man muss numeische Ticks vewenden (z.b. sog. Übegitte ), um mit wenige Rechenaufwand zu einem befiedigenden Egebnis zu gelangen. Die Iteation wid nomaleweise dann abgebochen, wenn de Unteschied zwischen zwei aufeinande folgenden Schitten eine vogegebene Schwelle untescheitet. Nähees findet sich in [Kö]. Auf diese Weise kann man die Potentialveteilung bei beliebigen Randweten beechnen. Fühe wuden bei solchen Poblemen, die i.a. nicht analytisch lösba sind, expeimentelle Methoden vewendet, z.b. de Potentialtog. Heute weden duchgängig numeische Methode bevozugt, die genaue und schnelle sind. Ein fü die Paxis wichtiges Egebnis solche Beechnungen ist die Potentialveteilung in de Nähe metallische Spitzen. Die Äquipotentialflächen liegen dot besondes eng beieinande. Das bedeutet, dass dot das elektische Feld viel göße ist als in de Umgebung. Da viele Nichtleite bei Übescheitung eine bestimmten Feldstäke anfangen, (duch Ionisation) leitend zu weden, kommt es an solchen Spitzen vozugsweise zu sog. Spitzenentladung Konsequenz: Objekte, die eine hohe elektische Feldstäke an ihe Obefläche aushalten müssen, düfen keine Unebenheiten auf de Obefläche aufweisen, und de Kümmungsadius de Obeflächen muss möglichst goß sein. De Kondensato Wi haben beeits gesehen, dass das elektische Feld zwischen zwei goßen, entgegengesetzt geladenen paallelen Metallplatten konstant ist, siehe. Gl. (7): σ E( z) paallele Platten, innen = e z, und im Äußeen veschwindet. Da die Metallflächen Äquipotentialflächen sein müssen, Lässt sich die Potentialdiffeenz also die Spannung U zwischen den Platten leicht duch den Abstand d und die Feldstäke E im Inneen ausdücken: σ U = E d = d. (*) Wenn die Platten die Fläche von (jeweils) A haben, egibt sich außedem die Gesamtladung Q auf jede A Platte zu Q =σ A. Unte Vewendung von (*) wid daaus: : Q = U. Die d Popotionalitätskonstante zwischen de Ladung und de angelegten Spannung wid Kapazität genannt: Q = C U Q Kapazität : C = (4) U A Fü einen Plattenkondensato betägt die Kapazität demnach: C = (5) d

23 Die Einheit de Kapazität ist das Faad: 4 1C C A s 1 F = = = 1V Nm kg m (6) Die Kapazität bescheibt das Speichevemögen fü elektische Ladungen. Sie ist eine Eigenschaft des Bauelementes, im Wesentlichen seine Geometie, abe nicht de elektischen Gößen. Das Symbol fü einen Kondensato in Schaltplänen ist : Eine Batteie ebenfalls eine At Kondensato, bei dem abe duch elektochemische Vogänge eine konstante Spannung ezeugt wid. Das Symbol fü eine Batteie ist deshalb etwas andes: Die technisch elevante Göße ist beim Kondensato seh oft die angelegte Spannung (und nicht die im Kondensato ezeugte Feldstäke). Deshalb ist es günstig, die Fläche Goß und den Abstand möglichst klein zu machen, wenn man eine goße Kapazität ezielen will. Um dies mit möglichst geinge Baugöße zu eeichen, kann de Plattenkondensato aufgewickelt weden (Wickelkondensato). Beispiel: Wi wollen C = 1F μ bekommen, vewenden eine dünne Aluminiumfolie und schaffen es, mittels eine isolieenden Kunststofffolie d = 1μm zu ealisieen. Die 6 5 C d 1 F 1 m efodeliche Fläche betägt dann gemäß Gl. (5): A = = = 1 As 11. m Vm Eine Kapazität von 1 μf hezustellen, ist also offenba schon ga nicht so einfach! Abe diese Kondensato könnte bei 1 V angelegte Spannung auch immehin eine 13 Ladung von 1 μc speichen, das sind 61 Elementaladungen. Es lohnt sich abe doch, die im Inneen entstehende Feldstäke zu betachten: Wenn unse Kondensato mit 1 Volt betieben weden soll, dann entsteht die U 1V MV Feldstäke von E = = = 1, und das ist beeits meh als die 5 d 1 m m MV Duchschlagfestigkeit von Luft ( 3 )! m Enegie des elektischen Feldes Gedankenexpeiment: Wi betachten zwei mit de Ladung Q bzw. -Q geladene Kondensatoplatten A und B, die unendlich dicht aufeinande liegen. Effektiv neutalisieen sich dann die Ladungen und es gibt (im Genzwet) keine elektischen Effekte. Nun beginnen wi, die Platten voneinande zu tennen. Wi wollen die Abeit beechnen, die dafü nötig ist. Die Kaft, die die Ladungen auf Platte B duch die Platte A efahen, betägt F = ( Q) E A. 3

24 Achtung: Hie ist EA nu die Hälfte de zwischen den Platten heschenden Feldstäke E, weil wi die Abeit de Ladungen B im Feld de Ladungen A E betachten! Also: F = Q (**). Die Ladung Q können gemäß Gl. (7) mit de duch die Ladungen B ezeugten Feldstäke in Vebindung bingen: σ Q EB = =. Wiedeum ist EB nu die Hälfte von E, also Q = AEB = AE. A Dies in (**) eingesetzt egibt: F = E A. Wenn wi die Platten voneinande entfenen, ändet sich die Feldstäke nicht. Die geleistete Abeit bei de Sepaation um den Abstand d ist also: d W = Fdx = E Ad = E V. (7) Ad=V ist das von elektischen Feld efüllte Volumen. Bei diesem Vogang geschieht nichts andees, als in einem Volumen elektisches Feld aufzubauen, die Abeit wid also vollständig in Enegie des elektischen Feldes umgewandelt wi haben eine neue Escheinungsfom de Enegie gefunden. Gl. (7) legt es nahe, die Feldenegie auf das Volumen zu nomieen. Damit ehält man die W Enegiedichte des elektischen Feldes: w= = E (8) V Diese Ausduck gilt fü beliebige elektische Felde im Vakuum. Im Kondensato gespeichet Enegie Zum gleichen Egebnis gelangt man, wenn man einen festen Kondensato de Kapazität C betachtet und die Abeit beechnet, die aufzubingen ist, um ihn mit de Ladung Q aufzuladen. q Da zu jedem Zeitpunkt des Ladevogangs U = gilt (wo q die bishe aufgebachte C Ladung ist), betägt die aufzubingende Abeit: Q 1 1 Q W = Udq = q dq C = C Q Q 1 1 Wegen C = kann man stattdessen auch scheiben: W = QU = CU (9) U Man kann sich leicht davon übezeugen, dass diese Ausduck mit Gl. (7) identisch ist. Beispiel: Ein Kondensato ist also nicht nu ein Ladungsspeiche, sonden auch ein Enegiespeiche. Unse o.a. Beispiel-Kondensato mit C = 1F μ hat also bei U = 1 V 4 eine Enegie von W = QU = C 1V = 5mJ. Das höt sich noch elativ bescheiden an. Das Besondee an Kondensatoen ist abe, dass sie die gespeichete Enegie seh schnell feisetzen können. Daduch können seh hohe Spitzenleistungen ezeugt weden (z.b. im Blitzlicht). 4

25 Potentielle Enegie eine homogen geladenen Kugel Als weitees Beispiel fü die Feldenegie betachten wi eine homogen geladene Kugel. Wiede können wi auf zweielei Weise vogehen: W 1. Wi beechnen die Enegiedichte w= = E des Feldes an jede Stelle des V Raumes und integieen übe den ganzen Raum. Das elektische Feld haben wi fü dieses Poblem beeits fühe beechnet (S.15 u). Deshalb bauchen wi nu die Volumenintegale in den beiden Beeichen > und < auszufühen. 1 Q Außehalb de Kugel ( > ) hatten wi beechnet E = 4π, also π π Q 1 Q 1 Q ϑ ϑ ϕ π 4 π π R R π > 1 W> R= w dv = sin d d d 4 (3) 4 = =+ 4 8 R Innehalb de Kugel ( ) hatten wi beechnet > E = 3 4π R. also π π R 5 5 ϑ ϑ ϕ R R R R < Q Q 4π 1 Q 1 R Q 1 W< R= sin d d d = =+ = (31) 4π 4π 5 8π 5 8π 5R Wenn wi die beiden Beitäge (3) und (31) addieen, bekommen wi die gesamte Feldenegie eine homogen geladenen Kugel: W 1 hom.kugel Q = 3 Q (3) 54π R. De Zweite Weg besteht dain wie zuvo-, die Abeit zu beechnen, die aufgebacht weden muss, um die homogene Ladungsdichte daduch aufzubauen, dass die gesamte Ladung Q in kleinen Häppchen aus dem Unendlichen heangefüht wid. Das Egebnis ist identisch mit Gl. (3) und kann als Übung gesehen weden. De klassische Elektonenadius Wenn bei konstante Gesamtladung R imme kleine gemacht wid, dann wächst laut Gl. (3) die potentielle Enegie unbegenzt an. Wenn man die Elementaladung qe = 1e betachtet, kann man sich fagen, bei welchem Radius die Feldenegie so goß wid wie die Ruheenegie me c =.511MeV des Elektons? Das Egebnis egibt sich Gleichsetzen mit (3) zu: 3 e 3 R = =. 54π mc 5 e e ist de klassische Elektonenadius e e 15 e = =.8 1 m (33) 4π mc e Bemekung: De Fakto 3 5 wid fotgelassen, weil e von de genauen At de Ladungsveteilung innehalb de Kugel abhängt, es ist ein sogenannte Fomfakto. 5

26 Da diese Fakto sowieso unkla ist, kann man ihn bei de Definition e auch gleich fotlassen. Achtung: Die Expeimente de Teilchenphysik haben gezeigt, dass das Elekton sich als pefekt punktfömig vehält, und zwa mindestens bis hinunte zu Radien von 18 1 m! De klassische Elektonenadius hat also mit dem wiklichen Radius des Elektons nichts zu tun! Diese Diskepanz zeigt abe, dass wi etwas ganz fundamentales am Elekton nicht vestanden haben. Jedenfalls scheint die klassische Elektodynamik im Beeich von Abständen e und daunte nicht meh zu stimmen. Kondensatoanodnungen Kondensatoen können auf unteschiedliche Weise miteinande kombiniet weden. In elektischen Schaltkeisen weden die Kondensatoen duch leitende Dähte miteinande vebunden. Diese Vebindungen weden in Schaltplänen duch Stiche gekennzeichnet und als ideal leitend angenommen. Daduch liegen alle mit einem Daht (Stich) miteinande vebundenen Stellen auf demselben Potential. Dabei gibt es zwei pinzipiell unteschiedliche Vebindungen: a) Paallelschaltung: Alle Platten auf eine Seite sind miteinande vebunden und liegen auf demselben Potential. Die Spannung U ist also in jedem Kondensato dieselbe. Die gespeichete Ladung Q i ist also in jedem Kondensato C i : Qi = Ci U. Damit ist die gespeichete Gesamtladung Q: Qges = Qi = Ci U = U Ci = U Cges. Die paallel geschalteten Kondensatoen wiken also genauso Wie ein einzelne mit de Gesamtkapazität C Paallelschaltung: Cges = C1 + C + C3 + (34) b) Reihenschaltung: Bei de Reihenschaltung sind nu die beiden äußesten Platten leitend mit de Batteie vebunden. Sie weden auf die Ladung + Q bzw. Q aufgeladen. Die Abschnitte A und B zwischen den Kondensatoen (s. Skizze) waen uspünglich neutal, und ihe Nettoladung muss Null bleiben. Abe die echte Platte des linken Kondensatos C 1 wid sich duch Influenz auf Q aufladen (Das Agument hie muss genaue lauten: Dies ist de Zustand mit de niedigsten potentiellen Enegie: in jedem andeen Falle wäe nämlich die Nettoladung des Kondensatos C 1 nicht Null und damit müsste wg. des Gauß schen Gesetzes außehalb des Kondensato ein Feld existieen.). Analog gilt dasselbe fü alle andeen Kondensatoen: sie ges 6

27 weden also alle auf die gleiche Ladung ± Q aufgeladen. Die gesamte Potentialdiffeenz U zwischen a und b muss die Summe de Spannungen U 13,, übe die Einzelkondensatoen sein: U = U1 + U + U 3 (*) Außedem gilt Q = CU 1 1 = CU = CU 3 3 Wenn wi also den effektiven Gesamtkondensato duch Q = U definieen, ehalten wi aus (*): Reihenschaltung: Q Q Q Q = + +, folglich: C C C C ges C ges = (35) C C C C ges (auch Seienschaltung genannt) Die Gesamtkapazität ist also kleine als die kleinste beteiligt Einzelkapazität. Quick Quiz: Sie haben eine Batteie und dei Kapazitäten. Wie müssen Sie die Kapazitäten in einem Schaltkeis kombinieen, um die maximale Enegie zu speichen? 1 Antwot: Die Paallelschaltung ehöht die Kapazität, also wegen W = CU bei konstante Spannung auch die gespeichete Enegie. Bei Reihenschaltung wüde sich die Gesamtkapazität gegenübe den einzelnen Kapazitäten soga veingen. Dielektika Wenn zwischen die beiden Platten eines Kondensatos ein Isolato gesteckt wid, dann ehöht sich je nach dem Isolatomateial die Ladung, die bei eine bestimmten angelegten Spannung gespeichet wid, betächtlich. Das ist zunächst estaunlich, denn es handelt sich ja schließlich um einen Isolato! Die Usache liegt dain, dass die meisten Nichtleite zwa keine feien Ladungen besitzen, abe seh wohl ein molekulaes Dipolmoment (dahe de Name Dielektika). Diese Dipolmomente weden sich beim Anlegen eines äußeen Feldes in Richtung dieses Feldes oientieen: Sie weden polaisiet, siehe Skizze (b). Dabei untescheidet man zwei Typen: Oientieungspolaisation: Die Moleküle haben ein pemanentes Dipolmoment (z.b. Wasse). Ohne Feld sind diese Dipolmomente egellos veteilt, abe im Feld ichten sie sich aus. 7