Lösung Übungsserie 7 (Bewegungen auf Bahnkurven in SIMULINK modellieren)

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1 Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösung Übungsserie 7 (Bewegungen auf Bahnkurven in SIMULINK modellieren) Dozent: R. Burkhardt (roger.burkhardt@fhnw.ch) Büro: Klasse: Systemtechnik Semester: 2 Datum: FS Aufgabe Eine Masse (m =10kg) gleitet reibungsfrei auf der horizontalen Unterlage p r1 (p) = p<0 0 mit der Schnelligkeit v 0 =8 m s. Zum Zeitpunkt t 0 =0kommt die Masse auf die Unterlage p r2 (p) = p 2 p 0 auf der sie mit Reibung (Reibungskoeffizient μ gleit =0.1). (a) Berechne den Krümmungsradius in Abhängigkeit vom Parameter p für p 0. d dp r2 (p) 3 ρ = d dp r2 (p) d2 dp 2 r2 (p) 1 3 2p = 1 0 2p 2 1+4p 2 3 = 2 (b) Skizziere die Bahnkurve für p 0. Bezeichne den Punkt auf der Bahnkurve für p =1und zeichne die Kräfte ein, welche auf die Masse wirken, wenn sich die Masse in diesem Punkt in der Aufwärts- bzw. in der Abwärtsbewegung ist. F R F N F N F G F R F G

2 Name: Seite: 2 (c) Erstelle ein SIMULINK Modell, mit dem sich die folgenden Fragen beantworten lassen: Zu welchem Zeitpunkt und an welchem Ort hat die Masse den höchsten Punkt erreicht? Wie schnell bewegt sich die Masse, wenn sie die krumme Bahn wieder verlässt? Hinweis: Es ist einfacher, das SIMULINK Modell nur für den Zeitabschnitt während dem die Masse auf der Bahn mit p 0 ist. Untersuchung Bahnkurve: Tangentenvektor: d 1 r (p) = dp 2p => Schnelligkeit (Parameterwechsel): d r (p) = 1+4p dp 2 => Richtung (Winkel): tan (ϕ) = y (p) x =2p ϕ = a tan (2p) (p) Kräfte: => Gewichtskraft: FG = mg F G,norm = FG cos (ϕ) =mg cos (ϕ) F G,tan g = FG sin (ϕ) =mg sin (ϕ) => Normalkraft: mv 2 F N = F G,norm + FZ = mg cos (ϕ)+ ρ => Reibkraft: FR = FN μg => resultierende Kraft (in Bewegungsrichtung): F res = dp F G,tan g sign FR = ma dt Modell: siehe Beilage (m_serie7_aufgabe1.mdl Modell uns s_serie7_aufgabe1.m Steuerungsskript ). Graphen:

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4 Name: Seite: 4 Antworten: => Umkehrpunkt: => Endpunkt: t umkehr = 0.795s s umkehr = 3.066m x umkehr = y umkehr = t end = 1.639s 2. Aufgabe Gegeben sei die folgende Bahnkurve: v end = m s r = u (a) Erstelle ein Simulink-Modell für die Bewegung der Masse (m =1kg, x 0 = 1m, y 0 =2.7183m, v 0 =0 m s ) wenn die Reibung vernachlässigt werden kann. Bestimme die Graphen für den zurückgelegten Weg, die Bahngeschwindigkeit und die Beschleunigung (in Bewegungsrichtung) in Abhängigkeit der Zeit. Geometrie der Bahnkurve: u r = Startwert Parameter: r (u0 )= u0 0 Tangentenvektor: = 1 e d 1 r = du u 0 = 1

5 Name: Seite: 5 => Schnelligkeit: d r = 1+e du 2u => Richtung (Winkel): tan (ϕ) = y (u) x (u) = e u ϕ = a tan Krümmungsradius: d du r (u) 3 ρ = d du r (u) d 2 du r (u) = e 2u 3 = = e u 1+e 2u 3 Physik (Kräfte und Bewegungsgleichung): => Gewichtskraft: FG = mg F G,norm = FG cos (ϕ) =mg cos (ϕ) F G,tan g = FG sin (ϕ) =mg sin (ϕ) => resultierende Kraft (in Bewegungsrichtung): F res = F G,tan g = mg sin (ϕ) =ma a = g sin (ϕ) Modell: siehe Beilage (m_serie7_aufgabe2a.mdl Modell uns s_serie7_aufgabe2a.m Steuerungsskript ): Graphen:

6 Name: Seite: 6 (b) Bestimme den Graphen für die Auflagekraft (Normalkraft). Siehe auch Beilage (m_serie7_aufgabe2b.mdl Modell uns s_serie7_aufgabe2b.m Steuerungsskript ) (c) Erweitere dein Modell, in dem du Reibung berücksichtigst (μ gleit =0.2). Bestimme wieder die Graphen für den zurückgelegten Weg, die Bahngeschwindigkeit und die Beschleunigung (in Bewegungsrichtung) in Abhängigkeit der Zeit. Siehe auch Beilage (m_serie7_aufgabe2c.mdl Modell uns s_serie7_aufgabe2c.m Steuerungsskript ):

7 Name: Seite: 7 (d) An welchem Punkt kommt die Masse zum stehen? t end = 3.895s x end = 9.529m y end = m