1 Grössen und Einheiten

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1 1/7 1 Grössen und Einheiten 1.1 S-Einheiten Das Système nternational d'nités definiert die sieben Basiseinheiten: Meter für die Länge, Kilogramm für die Masse, Sekunde für die Zeit, Ampère für die Stromstärke, Kelvin für die Temperatur, Mol für die Stoffmenge und Candela für die Lichtstärke. Gebiet (Lehre von) Grundgrösse Grundeinheit Zeichen Geometrie (Raum) Länge Meter m Kinematik (Bewegung) + Zeit Sekunde s Dynamik (Trägheit, mpuls) + Masse Kilogramm kg Elektromagnetismus + elektrische Stromstärke Ampère A Tabelle: Basisgrössen und einheiten Definition der Stromstärkeeinheit Die Einheit Ampère wird über die Kraftwirkung pro Leiterlänge die zwischen zwei stromdurchflossenen, unendlich langen, parallelen Leitern im Abstand r wirkt. Die Kraft treibt die Leiter auseinander, wenn die Ströme in den Leitern entgegengesetzt fliessen. Falls die Stromstärke in beiden Leitern gleich gross ist, lautet der allgemeine formelmässige Zusammenhang wie folgt: F L µ 0 π r wobei F Kraft in N (Newton) L Länge des Leiterabschnitts in m auf den die Kraft F wirkt Stromstärke in A in den Leitern r Leiterabstand in m µ 0 magnetische Feldkonstante Per Definition, fliesst in der Leitung eine Stromstärke von 1 A, wenn der Leiterabstand 1 m beträgt und die Kraft pro Meter Leiterlänge 0. µn beträgt. Daraus ergibt sich für die magnetische Feldkonstante: µ 0 4π 10 7 N A 1, V s A 1 m 1. Die Realisiergenauigkeit (Reproduzierbarkeit mittels einer Stromwaage) dieser Definition liegt bei einigen Millionstel (10 6 ), was beim heutigen Entwicklungsstand der elektrischen Messinstrumente kaum mehr genügt. Es ist in den nächsten Jahren zu erwarten, dass eine neue Definition der Stromstärkeeinheit indirekt über Quanteneffekte festgelegt wird. Referenzspannungen (Spannungsnormale) können über den Wechselstrom-Josephson-Effekt durch eine Freuenzmessung sehr genau festgelegt werden. Die Einheit Ohm wird über den uantisierten Hall-Effekt definiert (Von-Klitzing-Konstante: R K 5' Ω). Die erreichbare Realisiergenauigkeit könnte damit um den Faktor 100 auf 10 8 verbessert werden. Aus der Definition der Stromstärke ergibt sich für die Einheit der elektrischen Ladung Q: [Q] A s (Ampère-Sekunde), daraus die abgeleitete Einheit Coulomb: 1 As 1 C

2 1. Gleichungen Grössengleichung Elektrizitätslehre Kompendium, Anhang /7 Die Grössengleichung verknüpft physikalische Grössen miteinander, die jeweils aus Zahlenwert und Einheit bestehen. Die Grössen werden durch Symbole oder Formelzeichen dargestellt. Beispiel: R verknüpft die Grössen, R und : Spannung Widerstandswert mal Stromstärke 4 V 000 Ω 0,00 A (4 Volt 000 Ohm 0,00 Ampère) oder 4 V kω ma (4 Volt Kilo-Ohm Milli-Ampère) > Die symbolische Grössengleichung kann unabhängig von den verwendeten Einheiten angegeben werden. Einheitengleichung Setzt man die Einheiten der verknüpften Grössen in die Grössengleichung ein, so erhält man die sogenannte Einheitengleichung. m die Einheit einer physikalischen Grösse zu bezeichnen, verwendet man die eckigen Klammern: [] Volt liest sich: Die Einheit der Spannung ist Volt Für das Beispiel oben: [] [R] [] Einheit der Spannung Einheit des Widerstandswertes R mal Einheit der Stromstärke V Ω A bzw. V kω ma Bemerkung: Auch wenn die Verwendung von eckigen Klammern zum Hervorheben von Einheiten (wie z.b. [A] oder [m/s]) weit verbreitet ist, ist dies dennoch falsch und unzweckmässig! Zahlenwertgleichung Setzt man nur die Zahlenwerte der Grössen in eine Gleichung ein, so erhält man die Zahlenwertgleichung. Für das Beispiel oben: ,00 bzw. 4 Wert der Spannung in V Wert des Widerstandswertes R in Ω mal Wert der Stromstärke in A Wert der Spannung in V Wert von R in kω mal Wert von in ma Beispiel mit Symbolen und Zahlenwerten: Die Zahlenwertgleichung ϑ 18,5 th wobei ϑ Temperaturwert in C th Thermospannung in mv lautet als Grössengleichung ϑ 18,5 C/mV th. Eine weitere mögliche Schreibweise für dieselbe Zahlenwertgleichung: Δϑ C 18,5 th mv

3 3/7 Proportionalität Zwei Grössen sind einander proportional, wenn das Verhältnis ihrer Werte konstant ist. Graphisch äussert sich die Proportionalität dadurch, dass die Beziehung zwischen zwei Grössen eine Gerade durch den rsprung des Koordinatensystems bildet. Beispiel: Ohm'sches Gesetz: konst Die Spannung ist proportional zum Strom (bei gleichbleibender Temperatur). Zwei Grössen sind einander umgekehrt proportional, wenn das Produkt ihrer Werte konstant ist. Die umgekehrte Proportionalität ergibt graphisch dargestellt, eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten. Beispiel: elektrischer Widerstand: R ρ L A List die Länge und A die Querschnittfläche eines linearen homogenen Leiters ρ der spezifische Widerstand des Leitermaterials Der Widerstandswert R ist umgekehrt proportional zur Querschnittfläche A > R A konst Zudem ist R noch proportional zu L und zu ρ.

4 4/7 3 Bezugspfeilsysteme Das Bezugspfeilsystem legt die Bezugsrichtungen für die Grössen Spannung, Strom und Energiefluss an einem Tor (z.b.: Klemmen eines Zweipols) fest. st eine Grösse bezogen auf die gewählte Bezugsrichtung positiv, so deckt sich die Bezugsrichtung mit dem "wirklichen" Richtungssinn der betrachteten Grösse. Grundsätzlich sind zwei verschiedene Bezugspfeilsysteme denkbar. Welches davon angewendet wird ist willkürlich. 3.1 Verbraucherpfeilsystem Beim Verbraucherbezugspfeilsystem, kurz Verbraucherpfeilsystem 1 zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses (Leistung) in das Tor hinein. Dies bedeutet, dass bei einem positiven Vorzeichen des Energiestroms (Leistung) P Energie in elektrischer Form in den Zweipol hinein fliesst. P Das Verbraucherpfeilsystem, ist für energieaufnehmende (passiv wirkende) Zweipole anschaulich, da sich die Bezugsrichtung des Energieflusses mit seiner tatsächlichen Richtung deckt. > 0 > P > 0 Energie fliesst in das Tor hinein (Zweipol wirkt passiv) < 0 > P < 0 Energie fliesst aus dem Tor heraus (Zweipol wirkt aktiv) Die Bezugsrichtungen von Spannung und Strom sind beim Verbraucherpfeilsystem gleichgerichtet (parallel). -Charakteristik eines passiven linearen ZP -Charakteristik eines aktiven linearen ZP 1 Die Bezeichnung Verbraucher ist im Zusammenhang mit Energie irreführend, da Energie nicht "verbraucht", sondern nur umgeladen, bzw. umgeformt werden kann.

5 3. Erzeugerpfeilsystem Elektrizitätslehre Kompendium, Anhang 5/7 Beim Erzeugerbezugspfeilsystem, kurz Erzeugerpfeilsystem zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses (Leistung) aus dem Tor heraus. Dies bedeutet, dass bei einem positiven Vorzeichen des Energiestroms (Leistung) P Energie in elektrischer Form aus den Zweipol heraus fliesst. P Das Erzeugerpfeilsystem, ist für energieabgebende (aktiv wirkende) Zweipole anschaulich, da sich die Bezugsrichtung des Energieflusses mit seiner tatsächlichen Richtung deckt. > 0 > P > 0 < 0 > P < 0 Energie fliesst aus dem Tor heraus (Zweipol wirkt aktiv) Energie fliesst in das Tor hinein (Zweipol wirkt passiv) Die Bezugsrichtungen von Spannung und Strom sind beim Verbraucherpfeilsystem gerichtet (antiparallel). entgegengesetzt -Charakteristik eines passiven linearen ZP -Charakteristik eines aktiven linearen ZP Die Bezeichnung Erzeuger ist im Zusammenhang mit Energie schlichtweg falsch, da Energie mit Sicherheit nicht erzeugt werden kann.

6 4 Lineare Quellen 6/7 Lineare Quellen 3 sind eigentlich nichtlinear, da ihre Kennlinienfunktion eine affine und keine lineare Funktion ist. Der Überlagerungssatz gilt also nicht für die Klemmengrössen von linearen Quellen. Lineare Spannungsuelle Lineare Stromuelle + Ri RL + Gi GL Kennlinie (Charakteristik) c 0 c/ri 0/Gi - R i - G i mrechnung /G i R i 1/G i R L 1/G L /R i G i 1/R i G L 1/R L Nutzleistung P N R L R i + R L P N G L G i + G L maximale Nutzleistung (Anpassung) P Nmax für R L R i P 4R Nmax i 4G i für G L G i P Q Quellenleistung P R i + R Q L Wirkungsgrad G i + G L η P N P Q R i R L η P N P Q G i G L 3 und auch ideale Quellen

7 5 Linearität und lineare Zweipole 7/7 Linearität einer Funktion Eine Abbildung f : x y f( x) heisst linear falls die beiden folgenden Bedingungen gelten 1. Homogenität: f(α x) α f(x) (α beliebige Konstante). Additivität: f(x 1 +x ) f(x 1 ) + f(x ) Beispiele: 1) f(x) a x Die Proportionalität (y proportional zu x) ist linear. ) f(x) a x+b Die sogenannte affine Abbildung ist nichtlinear. 3) f t ( ) f ( t) df( t) dt Die Bildung der Ableitung einer Funktion f(t) nach t ist ebenfalls eine lineare Abbildung. Linearer Zweipol Ein Zweipol (Eintor) ist ein elektrisches Bauelement mit zwei Klemmen. Zweipol Ein linearer Zweipol ist ein Zweipol bei welchem die Beziehungen zwischen den Werten von Spannung und Strom linear sind. Also wenn die Funktion f () oder f () linear ist. n diesem Fall gilt das Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip): Wird am Zweipol die Spannung 1 beziehungsweise angelegt, so fliesst als Reaktion darauf der Strom 1 beziehungsweise. Das Überlagerungsprinzip sagt nun, dass falls am Zweipol die Spannung angelegt wird, so wird der Strom fliessen. Die selbe Aussage gilt auch für den Fall, dass der Strom als rsache und die Spannung als Wirkung betrachtet wird. Diese Aussage scheint auf den ersten Blick trivial zu sein, ist aber von zentraler Bedeutung für die Behandlung von linearen Netzwerken. Ein nichtlinearer Zweipol ist ein Zweipol bei welchem die Beziehungen zwischen den statischen Werten von Spannung und Strom nichtlinear sind. Bei nichtlinearen Zweipolen gilt der Überlagerungssatz nicht. Bemerkung: Eine lineare Quelle ist kein linearer Zweipol im obigen Sinne: die Bezeichnung lineare Quelle ist irreführend. Die entsprechende Zweipolgleichung ist eine affine Abbildung.