Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Teil V. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Experiment: Wurf eines Würfels

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1 Ziel der Wahrscheinlicheitsrechnung Teil V Wahrscheinlicheitsrechnung Aussagen über Experimente und Prozesse mit unsicherem Ausgang. Beispiele Würfeln Literatur: Ziehen von Losen aus einer Urne Glücsspiele (Lotto, Roulette,... Lebensdauer von technischen Bauteilen Genauigeit von Messungen U. Krengel. Einführung in die Wahrscheinlicheitstheorie und Statisti. Vieweg, / / 469 Experiment: Wurf eines Würfels Frage: Was ist die Wahrscheinlicheit für eine gerade Zahl als Ergebnis? Mögliche Ergebnisse: Zahlen, 2, 3, 4, 5, 6 Annahme: Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich Das bedeutet: Wenn man sehr oft würfelt, treten alle Ergebnisse gleich häufig auf, jedes Ergebnis tritt also in etwa /6 tel aller Fälle auf. Abstration des Experimentes: Menge der möglichen Ergebnisse: Ω {, 2, 3, 4, 5, 6} Zuordnung von Wahrscheinlicheiten: p({} p({2} p({3} p({4} p({5} p({6} /6 Das Ereignis gerade Zahl entspricht der Teilmenge M {2, 4, 6} Ω des Ergebnisraums. Wahrscheinlicheit: p(m /2 p({2} + p({4} + p({6}. > Zuordnung einer Wahrscheinlicheit zu allen Teilmengen von Ω. Interpretation der Wahrscheinlicheit: Wahrscheinlicheit p(m a bedeutet: Bei sehr häufiger Wiederholung des Experimentes tritt der Fall Ergebnis liegt in M etwa im a fachen aller Fälle auf. Bezeichnung: Die Menge P(Ω {M M Ω} aller Teilmengen von Ω heißt Potenzmenge von Ω. 359 / / 469

2 Definition Ein endlicher Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p besteht aus einer endlichen Menge Ω von möglichen Ergebnissen einer Abbildung p : P(Ω [0, ] mit folgenden Eigenschaften: p(ω M, M 2 Ω, M M 2 > p(m M 2 p(m + p(m 2 (Additivität Die Menge Ω heißt Ergebnismenge oder Ergebnisraum. Die Abbildung p : P(Ω [0, ] heißt Wahrscheinlicheitsverteilung oder Wahrscheinlicheitsmaß. Bemerungen Für die leere Menge gilt p( 0 denn wegen Ω folgt p(ω p(ω p(ω + p( + p( Analog folgt für jede Menge M Ω p(m p(ω \ M Bei einem endlichen Wahrscheinlicheitsraum ist p eindeutig definiert durch die Elementarwahrscheinlicheiten p({ω} für ω Ω. Für M Ω gilt: p(m ω M p({ω} 36 / / 469 Beispiel: Wurf zweier Würfel 2 Möglicheiten für die Ergebnismenge: Mit Berücsichtigung der Reihenfolge: Ω { (i, j i, j {,..., 6} } Die Ergebnisse {(, 2} und {(2, } sind verschieden Zuordnung von Elementarwahrscheinlicheiten: p ({(i, j} (36 gleich wahrscheinliche Ergebnisse 2 Ohne Berücsichtigung der Reihenfolge: Ω 2 { (i, j i, j {,..., 6}, i j } Elementarwahrscheinlicheiten:? Frage: Sind bei einem Wurf zweier Würfel die Ergebnisse und und und 2 (ohne Berücsichtigung der Reihenfolge gleich wahrscheinlich oder nicht? Antwort: Wir wählen als Ergebnisraum Ω, also den eines Wurfes zweier Würfel mit Berücsichtigung der Reihenfolge. und : p ({(, } 36 und 2 : p ({(, 2, (2, } / / 469

3 Laplacesches Zufallsexperiment Urnenexperimente Ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnismenge Ω aus einer endlichen Zahl von Elementen mit gleicher Wahrscheinlicheit besteht, heißt Laplacesches Zufallsexperiment. Der zugehörige Wahrscheinlicheitsraum heißt ein Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum Die zugehörige Wahrscheinlicheitsverteilung p heißt Gleichverteilung oder Laplace Verteilung oder urz L(Ω Verteilung. Dabei gilt: p(m #(M #(Ω wenn #(M die Anzahl der Elemente der Menge M bezeichnet. Der Wurf zweier Würfel ist ein Laplacesches Zufallsexperiment, wenn man als Ergebnismenge Ω wählt, also die Reihenfolge berücsichtigt. Aus einer Urne mit n durchnummerierten Kugeln / Losen zieht man suzessive m Kugeln / Lose. 2 Varianten: mit Zurüclegen: Nach jedem Zug wird die Nummer der gezogenen Kugel notiert und die Kugel zurücgelegt ohne Zurüclegen: Gezogene Kugeln werden nicht wieder zurücgelegt. Jede Zahl ann dann höchstens einmal auftreten und man ann maximal n mal ziehen. Für jede Variante ann man die Fälle mit Berücsichtigung der Reihenfolge ohne Berücsichtigung der Reihenfolge unterscheiden. 365 / / 469 Urnenexperiment mit Zurüclegen mit Reihenfolge Urnenexperiment ohne Zurüclegen mit Reihenfolge Experiment m aus n Ergebnismenge: Ω {, 2,..., n} m { (n, n 2,..., n m n j {,..., n} für j,..., m } Anzahl der Elemente: Elementarwahrscheinlicheiten: #(Ω n } n {{ n} n m m mal p({ω} n m (alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich Experiment m aus n Ergebnismenge Anzahl der Elemente: Ω { ω {,..., n} m ω i ω j für i j } #(Ω n(n (n 2 (n m + mit n! 2 n Elementarwahrscheinlicheiten: p({ω} (n m! n! n! (n m! 367 / / 469

4 Beispiel Beispiel 2 Anzahl der Permutationen (Vertauschungen einer Menge mit n Elementen Darstellung als Urnenexperiment: Suzessive Auswahl n aus n ohne Zurüclegen mit Reihenfolge > Es gibt n! Permutationen Satz Die Anzahl der Permutationen einer n elementigen Menge ist n!. Wahrscheinlicheit für 5 aufeinanderfolgende Zahlen beim Wurf von 5 Würfeln. Darstellung als Urnenexperiment: Statt einmal 5 Würfel ann man 5 mal einen Würfel werfen Jeder Wurf entspricht einem Zug einer Zahl aus einer Urne mit 6 Elementen > Urnenexperiment 5 aus / / 469 Beispiel 3 Ereignis 5 aufeinanderfolgende Zahlen bei Ergebnismenge Ω {, 2,..., 6} 5 (mit Berücsichtigung der Reihenfolge!: M { ω Ω {ω,..., ω 5 } {, 2, 3, 4, 5} oder {ω,..., ω 5 } {2, 3, 4, 5, 6} } Anzahl: #(M 2 5! Wahrscheinlicheit: P(M #(M #(Ω 2 5! ,0308 Ein Ereignis bezeichnet eine Teilmenge der Ergebnismenge Gewinnwahrscheinlicheit beim Lotto 6 aus 49 Urnenexperiment 6 aus 49 ohne Zurüclegen ohne Reihenfolge Vorhandener Tipp: {a, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6 } Ereignis 6 Richtige bei Ergebnisraum Ω { ω {,..., 49} 6 ω i ω j für i j } (also mit Berücsichtigung der Reihenfolge!: M { ω Ω {ω,..., ω 6 } {a, a 2,..., a 6 } } Anzahl: #(M 6! (Anzahl der Permutationen von {a, a 2,..., a 6 } Wahrscheinlicheit: p(m #(M #(Ω / / 469

5 Verallgemeinerung: Auswahl m aus n Ziel: Anzahl der Möglicheiten, m Elemente aus n Elementen ohne Berücsichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Mit Berücsichtigung der Reihenfolge: Urnenexperiment m aus n ohne Zurüclegen n! > (n m! Möglicheiten. Jedes Ergebnis ohne Berücsichtigung der Reihenfolge entspricht m! Ergebnissen mit Berücsichtigung der Reihenfolge Resultat: Es gibt ( n m n! (n m!m! Möglicheiten, m Elemente aus n Elementen ohne Berücsichtigung der Reihenfolge auszuwählen. Urnenexperiment ohne Zurüclegen ohne Reihenfolge Ergebnisraum für Urnenexperiment m aus n : Ω { ω (ω,..., ω m {,..., n} m ω < ω 2 < < ω m } (Anordnung der Ergebnisse in aufsteigender Reihenfolge Anzahl der Elemente: Entspricht der Anzahl der Möglicheiten, m Elemente aus n Elementen auszuwählen: ( n #(Ω m Elementarwahrscheinlicheiten: p({ω} ( n m (n m!m! n! 373 / / 469 Urnenexperiment mit Zurüclegen ohne Reihenfolge Mögliche Wahl der Ergebnismenge: Ω { ω (ω,..., ω m {,..., n} m ω ω 2 ω m } (Anordnen der Ergebnisse in aufsteigener Reihenfolge Anzahl der Elemente: Nicht diret ersichtlich. Man ann eine bijetive Abbildung Φ : Ω Ω { ω {,..., n + m } m ω < ω 2 < < ω m } Φ(ω ω mit ω j ω j + j für j,..., m onstruieren. Beispiel: Φ(,, 2, 3, 3, 5 (, 2, 4, 6, 7, 0 Es gilt: ( n + m #(Ω #( Ω m Die Elementarwahrscheinlicheiten sind hier nicht alle gleich, d.h. Ω ist ein Laplacescher Ergebnisraum: Z.B. haben für n 6, m 2 (Wurf zweier Würfel die Ergebnisse (, 2 und (, unterschiedliche Wahrscheinlicheiten p({(, 2} 8, p({(, } 36. Fazit: Es ist einfacher, als Ergebnismenge die eines Urnenexperimentes mit Zurüclegen mit Reihenfolge zu wählen und das Ereignis als Menge aller Permutationen der Elemente des Ereignisses ohne Berücsichtigung der Reihenfolge zu definieren. 375 / / 469

6 Hypergeometrische Verteilung Aus einer Urne mit n roten und m schwarzen Kugeln wählen wir zufällig Kugeln aus. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit für genau l rote Kugeln als Ergebnis? Mathematische Beschreibung: Nummerierung der Kugeln von bis n für rote und n + bis n + m für schwarze Kugeln. Urnenexperiment aus n + m ohne Zurüclegen ohne Reihenfolge. Ergebnisraum: Ω { ω {,..., n + m} } ω < ω 2 <... < ω ( n + m #(Ω Das Ereignis M l rote Kugeln setzt sich zusammen aus: Auswahl ( von l roten aus n roten Kugeln n > Möglicheiten l Auswahl ( von l schwarzen aus m schwarzen Kugeln m > Möglicheiten l ( ( n m Insgesamt: #(M l l Wahrscheinlicheit: ( ( n m p(m l l ( n + m (für 0 l min{, n} 377 / / 469 Das Galton Brett Direte Beschreibung: Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p mit Ω {0,..., n}, ω Ω Anzahl der roten Kugeln ( ( n m l l p({l} ( n + m Schräg / senrecht gestellte Platte mit n Reihen aus Hindernissen/Nägeln, an denen eine herunterfallende Kugel jeweils nach lins bzw. rechts abgelent wird. Nach den n Reihen befinden sich von 0 bis n durchnummerierte Behälter, in denen die Kugel aufgefangen wird. Diese Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung oder H(n, m, Verteilung / / 469

7 Interpretation als Urnenexperiment: Auswahl n aus 2 mit Zurüclegen, wobei eine Ziffer einer Ablenung nach lins und 2 einer Ablenung nach rechts entspricht. Urnenexperiment mit Reihenfolge > Ergebnisraum: Ω {, 2} n Anzahl Elemente: #(Ω 2 n Elementarwahrscheinlicheit: p({ω} 2 n Frage: Mit welcher Wahrscheinlicheit fällt die Kugel in den ten Behälter? ter Behälter bedeutet: Ablenungen nach rechts, n Ablenungen nach lins. Aufteilen der Ablenung nach rechts auf die n Stufen: Auswahl aus n (ohne Zurüclegen ohne Reihenfolge ( n > Möglicheiten. ( n > Wahrscheinlicheit für Behälter : 2 n Wenn man als Ergebnisse die Nummer des Behälters wählt, hat man die Ergebnismenge Ω {0,..., n} und die Elementarwahrscheinlicheiten p({} 2 n ( n 38 / / 469 Verallgemeinerung des Galton Bretts Unterschiedliche Wahrscheinlicheiten: Wahrscheinlicheit p für Ablenung nach rechts, q p für Ablenung nach lins. Ergebnisraum: Ω {, 2} n Einzelwahrscheinlicheit für Ereignis ω Ω mit mal 2 (Ablenung nach rechts und n mal (Ablenung nach lins: p({ω} p ( p n für ω Permutation von (,...,, 2,..., 2 }{{}}{{} n mal mal Wahrscheinlicheit für Kugel fällt in Behälter : ( n p({} p ( p n Direte Beschreibung: Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p mit Ω {0,.. (., n} (Menge der Behälternummern n p({} p ( p n Diese Verteilung heißt Binomialverteilung oder B(n, p Verteilung. Anwendung: Anzahl eingetretener Ereignisse bei mehrfacher Wiederholung eines Zufallsexperiments 383 / / 469

8 Beispiel Zufallsvariablen In einem Hörsaal sitzen 05 Personen. Die Zahl derer, die heute Geburtstag haben, ist B(n, p verteilt mit n 05, p 365. Die Wahrscheinlicheit, dass genau zwei Personen heute Geburtstag haben, ist p({2} ( 05 2 ( ( , % 365 Bei vielen Zufallsexperimenten ist nicht das genaue Ergebnis ω Ω von Interesse, sondern eine bestimmte Größe X X(ω, die von ω abhängt. Beispiel: Beim Galton Brett ist am Ende nicht der durch ω {, 2} n codierte Weg interessant, sondern die Nummer {0,..., n} des Behälters, in den die Kugel am Ende fällt. Definition Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum und X eine Menge. Dann heißt eine Funtion X : Ω X Zufallsvariable. Die durch p X (A : p({ω Ω X(ω A} definierte Funtion p X : P(X [0, ] heißt Verteilung der Zufallsvariablen. 385 / / 469 Beispiel : Wurf zweier Würfel Beispiel 2: Galton Brett Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p mit Ω {,..., 6} 2, p({(i, j} 36 (d.h. mit Reihenfolge Beispiele für Zufallsvariablen: X : Ω X : {ω (ω, ω 2 Ω ω ω 2 } { (i, j für i j X((i, j (j, i für j i (Abbildung des Ergebnisses mit Reihenfolge auf das Ergebnis ohne Reihenfolge X : Ω X : {2,..., 2}, X((i, j i + j (Summe der Augenzahlen Ω {, 2} n p({ω} p ( p n für ω Permutation von (,...,, 2,..., 2 }{{}}{{} n mal Zufallsvariable X : Ω {0,..., n}, X({ω} (Nummer des Behälters, in den die Kugel fällt ( n Verteilung von X: p X ({} p ( p n (Binomialverteilung mal n (ω j j 387 / / 469

9 Bedingte Wahrscheinlicheiten Bemerung Statt eine Zufallsvariable einzuführen, önnte man auch diret (X, p X als neuen Wahrscheinlicheitsraum definieren. Die Einführung von Zufallsvariablen ist trotzdem sinnvoll, weil man dadurch omplizierte Wahrscheinlicheitsräume durch Zufallsvariablen über einfache Wahrscheinlicheitsräume ersetzen ann 2 verschiedene Varianten eines Zufallsexperimentes durch verschiedene Zufallsvariablen über demselben Wahrscheinlicheitsraum beschreiben ann Häufig hat man die Aufgabe, aus der Kenntnis oder Annahme eines Ereignisses die Wahrscheinlicheit eines anderen Ereignisses abzuschätzen. Beispiel: Test für eine Kranheit. Von einer Kranheit ist beannt, dass sie bei % aller Personen auftritt. Ein Testverfahren für diese Kranheit liefert ein positives Ergebnis bei 98% aller ranen und 2% aller gesunden Personen Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass eine Person mit positivem Testergebnis wirlich ran ist? 389 / / 469 Ereignisraum Ω aller Personen Elementarwahrscheinlicheit: p({ω} #(Ω. Wahrscheinlicheitsverteilung: p(m #(M #(Ω für M Ω Teilmengen K Ω der ranen Personen G Ω der gesunden Personen P Ω der Personen mit positivem Testergebnis K P der Kranen mit positivem Testergebnis G P der Gesunden mit positivem Testergebnis Wahrscheinlicheit, dass eine Person mit positivem Testergebnis gesund ist: p(g P #(G P #(P #(G P #(Ω #(Ω p(g P #(P p(p Definition Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum, A, B Ω zwei Ereignisse. Dann ist p(a B p(a B p(b die bedingte Wahrscheinlicheit von A unter der Bedingung B Für unser Beispiel gilt 0,02 0,99 #(Ω p(g P 0,098 #(Ω p(p 0,02 0,99 + 0,98 0,0 0,0296 p(g P 0,098 0, 66 > /2! 0,0296 Das heißt, eine Person mit positivem Testergebnis ist (bei diesem Beispiel mit größerer Wahrscheinlicheit gesund als ran! 39 / / 469

10 Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlicheiten Satz Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum, B Ω. Dann gilt: (i p B (A : p(a B ist ein Wahrscheinlicheitsmaß auf Ω, d.h. p(ω B und für A, A 2 Ω mit A A 2 gilt p(a A 2 B p(a B + p(a 2 B (ii Formel von der totalen Wahrscheinlicheit: Für B, B 2 Ω mit B B 2 Ω und B B 2 sowie A Ω gilt: p(a p(a B p(b + p(a B 2 p(b 2 (iii Formel von Bayes: Für A Ω mit P(A 0 und B, B 2 wie in (ii folgt p(b A p(a B p(b p(a B p(b + p(a B 2 p(b 2 Beweis p(ω B Zu (i: Es gilt p(ω B p(b p(b p(b und für A, A 2 Ω, A A 2 : p(a A 2 B p((a A 2 B p((a B (A 2 B p(b p(b p(a B + p(a 2 B p(b p(a B + p(a 2 B p(a B p(b Zu (ii: Mit p(a B i p(b i P(A B i folgt + p(a 2 B p(b p(a B p(b + p(a B 2 p(b 2 p(a B + p(a B 2 p((a B (A B 2 p(a (B B 2 p(a Zu (iii: Mit (ii folgt p(a B p(b + p(a B 2 p(b 2 p(a und dann mit p(a B p(b p(a B p(a B p(b p(a B p(b + p(a B 2 p(b 2 p(a B p(b A p(a 393 / / 469 Beispiel Ziehen zweier Kugeln ohne Zurüclegen aus einer Urne mit zwei roten und drei schwarzen Kugeln Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? Definition von Ereignissen: A beide Kugeln haben dieselbe Farbe B die erste gezogene Kugel ist rot B 2 die erste gezogene Kugel ist schwarz Es gilt: B B 2, B B 2 Ω Wahrscheinlicheiten p(b 2/5, p(b 2 3/5 Bedingte Wahrscheinlicheiten: p(a B /4 (Auswahl einer roten Kugel aus einer Urne mit einer roten und drei schwarzen Kugeln p(a B 2 /2 (Auswahl einer schwarzen Kugel aus einer Urne mit zwei roten und zwei schwarzen Kugeln Formel von der totalen Wahrscheinlicheit > p(a p(a B p(b + p(a B 2 p(b / / 469

11 Stochastische Unabhängigeit Zwei Ereignisse A und B sollen stochastisch unabhängig heißen, wenn die Wahrscheinlicheit für das Eintreten von A unabhängig davon ist, ob (gleichzeitig B eintritt oder nicht. Konret muss dann gelten: p(a B p(a Dies ist äquivalent zu Definition p(a B p(b p(a bzw. p(a B p(a p(b Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum. Zwei Ereignisse A, B Ω heißen (stochastisch unabhängig p(a B p(a p(b Beispiel Eine Münze wird zweimal geworfen. Beschreibung als Urnenexperiment: Auswahl 2 aus 2 mit Zurüclegen und Reihenfolge. Ergebnisraum: Ω {, 2} 2, #(Ω Dabei bedeutet z.b. ω j Zahl und ω j 2 Bild beim j ten Wurf. Einzelwahrscheinlicheit: p({ω} /4. Ereignisse: A Zahl beim. Wurf, A {(,, (, 2} B Zahl beim 2. Wurf, B {(,, (2, } C dasselbe Ergebnis beim. und 2. Wurf, C {(,, (2, 2} Es gilt p(a p(b p(c /2 und p(a B /4, p(a C /4, p(b C /4 Die Ereignisse A, B, C sind also paarweise unabhängig. 397 / / 469 Frage: Gilt auch p(a B C p(a p(b p(c? Antwort: A B C {(, } p(a B C /4 p(a p(b p(c Definition Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum. Ereignisse A, A 2,..., A m Ω heißen (stochastisch unabhängig für jede Auswahl A i,..., A il mit i,..., i l {,..., m}, i j i für j, gilt p(a i A i2 A il p(a i p(a i2 p(a il Drei Ereignisse A, B, C sind also unabhängig, wenn p(a B p(a p(b, p(a C p(a p(c, p(b C p(b p(c, p(a B C p(a p(b p(c. Beim Beispiel des zweifachen Wurfes zweier Münzen sind die Ereignisse A {(,, (, 2}, B {(,, (2, } und C {(,, (2, 2} nicht stochastisch unabhängig. Disrete Wahrscheinlicheitsräume Bei vielen Anwendungen hat man abzählbar unendlich viele mögliche Ereignisse. Beispiel: Wir würfeln einen Würfel solange, bis zum ersten mal eine Sechs auftritt. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass das beim ten Wurf der Fall ist? Antwort: Bei den ersten Würfen darf jeweils eine 6 auftreten (das passiert jeweils mit Wahrscheinlicheit 5/6 beim ten Wurf muss eine 6 auftreten (das passiert mit Wahrscheinlicheit /6. Folgerung: p({} ( Die möglichen Ergebnisse sind hier nicht beschränt, der zugehörige Wahrscheinlicheitsraum ist (Ω, p mit Ω N. 399 / / 469

12 Definition Ein (unendlicher disreter Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p ist definiert durch eine abzählbare Ergebnismenge Ω {ω j j N} und eine Wahrscheinlicheitsverteilung p : P(Ω [0, ] mit den Eigenschaften p(ω M, M 2 Ω, M M 2 > p(m M 2 p(m + p(m 2 (Additivität Die Wahrscheinlicheitsverteilung p ist eindeutig definiert durch die Einzelwahrscheinlicheiten p({ω} für ω Ω. Dabei gilt p(a ω A p({ω} p(ω p({ω j } j Bemerungen Bei der Summe p({ω} ω A handelt es sich im Fall #(A um den Grenzwert einer absolut onvergenten Reihe. Bei absolut onvergenten Reihen hängt der Grenzwert nicht von der Reihenfolge der Summanden ab. Einen endlichen Wahrscheinlicheitsraum bezeichnet man ebenfalls als disreten Wahrscheinlicheitsraum. Die bisher eingeführten Begriffe wie bedingte Wahrscheinlicheit und unabhängige Ereignisse und deren Eigenschaften gelten auch für disrete Wahrscheinlicheitsräume 40 / / 469 Die Geometrische Verteilung Wir wiederholen ein Zufallsexperiment mit Erfolgswahrscheinlicheit q so lange, bis zum ersten Mal der Erfolg eintritt. Sei die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg. Es gilt: p({} ( q q Diese Verteilung heißt geometrische Verteilung oder G(q Verteilung. Der zugehörige Wahrscheinlicheitsraum ist Ω N. Anwendungen: Wartezeit bis zum Eintreten eines Ereignisses Lebensdauer von Geräten (d.h. Wartezeit bis zum Ausfall 403 / 469 Satz Die geometrische Verteilung hat ein Gedächtnis: Für das Ereignis A n {n +, n + 2, n + 3,...} dass mehr als n Versuche nötig sind, gilt: Beweis: p(a n und damit n+ ( q n q p(a n+m A n p(a m p({} l0 n+ p(a n+m A n p(a n+m A n p(a n ( q q ( q l ( qn q ( q p(a n+m p(a n ( qn ( qn+m ( q n ( q m p(a m 404 / 469

13 Die Poisson Verteilung Ein Zufallsexperiment mit Erfolgswahrscheinlicheit p werde n mal wiederholt. Die Zufallsvariable X misst die Anzahl der Erfolge. Dann ist X binomialverteilt, und zwar B(n, p verteilt. Sei nun n groß und p lein, p λ/n. Dann gilt: ( ( n λ ( p({x } λ n n n n (n (n + λ! n n! n n n λ λ e! n + n } {{ } für n + ( λ n n ( λ λ n n }{{} e λ für n ( λ n }{{} für n Für p({x } e λ λ! gilt: p({x } e λ 0 Damit definiert 0! λ e λ e λ λ λ p({x } e! eine Wahrscheinlicheitsverteilung auf Ω N {0} Diese Verteilung heißt Poisson Verteilung oder P(λ Verteilung. Die Poisson Verteilung mit Parameter λ ist eine Näherung für die Binomialverteilung B(n, p bei großem n und leinem p mit λ np. Sie ist anwendbar, wenn man die Anzahl des Auftretens von Ereignissen mit geringer Wahrscheinlicheit bei vielen Wiederholungen des Zufallsexperimentes abschätzen will. 405 / / 469 Beispiel In einem Hörsaal sitzen 05 Personen. Die Zahl derer, die heute Geburtstag haben, ist etwa P(λ verteilt mit λ n p, n 05, p /365, also λ 05/365. Die Wahrscheinlicheit, dass genau zwei Personen heute Geburtstag haben, ist etwa λ λ2 p({2} e 0,0303 3% 2! Das Ergebnis mit der Binomialverteilung ist (siehe S. 385 p({2} 0,03089 Ein Vorteil der Poisson Verteilung besteht darin, dass man nur einen Parameter λ hat, den man aus nur einer Information / Messung (näherungsweise bestimmen ann. Man muss nicht p und n wie bei der Binomialverteilung ennen, sondern nur λ p n. Der Erwartungswert Sei X : Ω R eine reellwertige Zufallsvariable. Wir betrachten den Mittelwert n X(ω j n j der Ergebnisse von vielen durch ω,..., ω n Ω beschriebenen Wiederholungen des Zufallsexperiments. Sei Ω ein disreter Wahrscheinlicheitsraum. Dann approximiert n p({ω} die Zahl der Ergebnisse ω bei n Versuchen. Es gilt also (für großes n bzw. n n X(ω j X(ω n p({ω} X(ω p({ω} n n ω Ω ω Ω j 407 / / 469

14 Erwartungswert der Binomialverteilung Definition Sei (Ω, p ein disreter Wahrscheinlicheitsraum und X : Ω R eine reellwertige Zufallsvariable. Dann heißt der Erwartungswert von X. E(X ω Ω X(ω p({ω} Sei X eine B(n, p verteilte Zufallsvariable. Dann gilt: n ( n E(X p ( p n n 0 n (n (n + p ( p n! n (n (n + n p ( p n (! n ( n np p ( p n ( n ( n np p ( p n np(p + ( p n np / / 469 Erwartungswert der geometrischen Verteilung Erwartungswert der Poisson Verteilung Sei X eine G(p verteilte Zufallsvariable. Dann gilt: E(X p( p p f ( p mit f (x : x Gliedweise Integration liefert f (x F (x mit F(x x x > und 0 f (x F (x E(X p f ( p ( x 2 0 p ( ( p 2 p p 2 p Für eine P(λ verteilte Zufallsvariable gilt λ λ E(X e! λ λ e λ (! λ e λ 0 λ e λ e λ λ 0 λ! 4 / / 469

15 Anwendung Eigenschaften des Erwartungswerts Auf der Erde habe es in den letzten Jahren etwa 0 Einschläge von Meteoriten oberhalb einer bestimmten Größe gegeben. Wie wahrscheinlich ist das Auftreten mindestens eines entsprechenden Einschlags in den nächsten.000 Jahren? Modell: Die Anzahl der Einschläge in.000 Jahren ist Poisson verteilt mit Erwartungswert λ 0/00 0,. Wahrscheinlicheit für mindestens einen Meteoriteneinschlag: λ λ0 p({, 2,...} p({0} e 0! e λ 0,0956 9,5% Für eine onstante Zufallsvariable X(ω α gilt: E(X ω Ω X(ω p({ω} ω Ω α p({ω} α ω Ω p({ω} α Der Erwartungswert ist linear: Sind X, Y : Ω R zwei Zufallsvariablen und α, β R, so gilt E(α X + β Y ω Ω(α X + βy (ω p({ω} ω Ω ( α X(ω + βy (ω p({ω} α X(ω p({ω} + β Y (ω p({ω} ω Ω ω Ω α E(X + β E(Y 43 / / 469 Die Varianz Die Varianz ist ein Maß für die mittlere Abweichung vom Erwartungswert. Definition Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum und X : Ω R eine reellwertige Zufallsvariable. Dann heißt V (X E ( (X E(X 2 die Varianz von X. Die Wurzel σ X : V (X heißt Standardabweichung von X. Rechenregeln Satz Sei (Ω, p ein Wahrscheinlicheitsraum, X : Ω R eine Zufallsvariable und α, β R. Dann gilt: Beweis V (X E ( X 2 (E(X 2 V (αx + β α 2 V (X Zu (i: Mit der Linearität des Erwartungswerts folgt V (X E ( (X E(X 2 E ( X 2 2 E(X X + (E(X 2 E ( X 2 2 E(X E(X + (E(X 2 E ( X 2 (E(X 2 Zu (ii: V (αx + β E ( (αx + β E(αX + β 2 E ( (αx + β (αe(x + β 2 E ( α 2 (X E(X 2 α 2 E ( X E(X 2 α 2 V (X 45 / / 469

16 Varianz der Binomialverteilung B(n, p Verteilung: ( n p({x } p ( p n für 0,,..., n E ( X 2 n ( 2 n p ( p n 0 n ( ( n ( + p ( p n 0 n ( n n ( ( p ( p n n p ( p n } {{ } E(Xnp Mit folgt: ( n n(n (n + ( ( ( (n 2(n 3 (n 2 ( 2 + n(n ( 2( 3 ( n 2 n(n 2 n ( n ( p ( p n 2 n ( n 2 n(n p 2 p 2 ( p n 2 ( n 2 ( n(n p 2 n 2 p ( p n 2 0 n(n p 2 (p + ( p n 2 n(n p 2 47 / / 469 Varianz der geometrischen Verteilung Insgesamt erhält man: E ( X 2 n(n p 2 + np V (X E ( X 2 (E(X 2 n(n p 2 + np (np 2 np( p G(p Verteilung: p({x } p( p, N. E ( X 2 2 p( p ( p( p + p( p p( p } {{ } E(X/p ( ( p 2 + p 2 Weiter gilt: ( ( p 2 f ( p mit f (x 2 > f (x ( x 2, f (x 2 ( x 3 0 x x 49 / / 469

17 Überabzählbare Wahrscheinlicheitsräume > E ( X 2 2 p( p ( ( p 3 + p 2p p2 p 3 V (X E ( X 2 (E(X 2 p p2 p 3 p p 2 2p( p p 3 2p p2 p 3 p 2 + p2 p 3 Beispiel: Zwei Personen beschließen, sich zwischen 2 Uhr und 3 Uhr zum Mittagessen treffen. Jeder der beiden ommt zu einem zufällig ausgewählten Zeitpunt und soll genau 20 Minuten auf den anderen warten. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass sich beide treffen? Mathematische Beschreibung: Variable t [0, ] bedeutet: Anunft t Stunden nach 2 Uhr. Zwei Anunftszeiten t, t 2 [0, ] > Zufallsvariable ω (t, t 2 [0, ] 2 > Wahrscheinlicheitsraum Ω [0, ] 2 mit überabzählbar vielen Elementen. 42 / / 469 Ereignis beide Personen treffen sich : Menge A {(t, t 2 [0, ] 2 t t 2 /3} Ω t 2 Ω A Lösung: Betrachte Zerlegung von Ω in leine Rechtece der Form Q ij ((i h, ih] ((j h, jh], h /n, i, j,..., n. Zuordnung von Wahrscheinlicheiten: Jeder Zeitpunt t, t 2 soll gleichwahrscheinlich sein. Problem: Wir önnen nicht jedem ω Ω eine feste Wahrscheinlicheit zuordnen, da Ω unendlich viele Elemente hat, und damit p({ω} ( 0? sein müsste. t Insgesamt: n 2 Rechtece Wahrscheinlicheit für ω Q ij : p({t ((i h, ih]} n h p({t 2 ((j h, jh]} n h p(q ij n 2 h2 Q ij mit der Fläche Q ij von Q ij. 423 / / 469

18 Messbare Mengen Approximation für Menge A: A h : Wahrscheinlicheit p(a h i,j,...,n Q ij A Grenzübergang h 0: p(a A Q ij A Q ij Q ij A h Folgerung: p(a ist proportional zur Fläche von A. Lösung des Beispiels: p(a Sei Ω R n. Wir wollen auf Ω ein Wahrscheinlicheitsmaß definieren durch p(a A für A Ω Ω Frage: Kann man jeder beliebigen Teilmenge des R (bzw. R n eine Länge (bzw. eine Fläche, ein Volumen zuordnen? Antwort: Nein! Folgerung: Wir önnen p nicht auf der gesamten Potenzmenge P(Ω definieren. Eine Menge M R n, der wir ein n dimensionales Volumen M zuordnen önnen, heißt messbar. 425 / / 469 Beispiele für messbare Mengen Wahrscheinlicheitsraum,. Versuch Intervalle I (a, b (oder I (a, b] oder I [a, b] in R: I b a Quader Q (a, b {x R n a i < x i < b i für i,..., n}: n Q (b i a i i In Teil I der Vorlesung (Integration wurde eine Menge A als messbar bezeichnet, wenn das (Riemann- Integral { für x A dx χ A (x dx mit χ A (x A R n 0 für x / A existiert. Dann ist: A A dx 427 / 469 Ein Wahrscheinlicheitsraum (Ω, M, p besteht aus einer Ergebnismenge Ω, einem System messbarer Teilmengen M P(Ω und einer Abbildung p : M [0, ] mit folgenden Eigenschaften: (i p(ω (ii A j M für j N, A j A für j > ( p A j p(a j j N Damit man die Bedingungen (i (ii an p : M [0, ] formulieren ann, muss M folgende Bedingungen erfüllen: j (i Ω M (ii A M > Ω \ A M (iii A j M für j N > j N A j M Ein System M P(Ω mit diesen Eigenschaften heißt eine σ Algebra. 428 / 469

19 Borelsche σ Algebra Die leinste σ Algebra in R n, in der alle Intervalle bzw. alle Quader enthalten sind, heißt Borelsche σ Algebra, sie wird mit B n bezeichnet. Sie besteht aus allen Mengen, die man durch Bilden von (möglicherweise unendlich vielen Schnitt- und Vereinigungsmengen aus Intervallen bzw. Quadern onstruieren ann. Problem: Die Borelsche σ Algebra ist größer als die Menge } {A R n das Riemann Integral χ A (x dx existiert R n Beispiel: A (0, Q (Q Menge der rationalen Zahlen: A B, aber χ A (x dx existiert nicht R Auf B n ann man in eindeutiger Weise eine Abbildung µ : B n [0, + ] definieren, die auf der Menge der Intervalle bzw. Quader die Länge bzw. das Volumen liefert, das sogenannte Lebesgue Maß. Damit ann man eine allgemeinere Definition des Integrals onstruieren, das sog. Lebesgue Integral, so dass R n χ A (x dx für alle A B n existiert Das Lebesgue Integral wird hier nicht näher beschrieben, da man (fast alle pratisch relevanten Fälle auch mit dem Riemann Integral lösen ann. 429 / / 469 Wahrscheinlicheitsraum, orrete Definition Beispiele für Wahrscheinlicheitsräume Definition Ein Wahrscheinlicheitsraum (Ω, M, p besteht aus einer Ergebnismenge Ω, einer σ Algebra M P(Ω und einer Abbildung p : M [0, ] mit folgenden Eigenschaften: (i p(ω (ii A j M für j N, A j A für j > ( p A j p(a j j N Die Abbildung p heißt Wahrscheinlicheitsverteilung oder Wahrscheinlicheitsmaß. j (i Jeder endliche oder disrete Wahrscheinlicheitsraum (Ω, p mit M P(Ω (ii Ω R n, Ω B n, M {A Ω A B n }, p(a A Ω Diese Wahrscheinlicheitsverteilung heißt Gleichverteilung (iii Ω, M wie in (ii, p(a A f (x dx mit einer integrierbaren Funtion f : A R mit den Eigenschaften f (x 0 für alle x Ω f (x dx Ω 43 / / 469

20 Eindimensionale Wahrscheinlicheitsverteilungen Definition Sei (Ω, M, p ein Wahrscheinlicheitsraum mit Ω R n. Die Wahrscheinlicheitsverteilung p habe die Dichte f : Ω R p(a f (x dx für alle A M Beispiel: A A Die Gleichverteilung p(a A hat die Dichte f (x Ω Ω, denn Ω dx dx A Ω Ω A Ziel: Beschreibung von Wahrscheinlicheitsverteilungen auf Ω R. Möglicheit: Dichte f : R R der W.-Verteilung p p(a f (x dx Problem: Nicht jede Verteilung hat eine Dichte. Beispiel: Fortsetzung der geometrischen Verteilung auf R { ( p p für x N p({x} 0 sonst Die Existenz einer Dichte bedeutet, dass die Wahrscheinlicheitsverteilung über ein Kontinuum verteilt ist, und die Einzelwahrscheinlicheiten p({ω} alle gleich Null sind. A 433 / / 469 Verteilungsfuntion Beispiel: Geometrische Verteilung Definition Sei p eine Wahrscheinlicheitsverteilung auf Ω R. Dann heißt F : R [0, ], F(x : p({y R y x} p((, x] die Verteilungsfuntion von p. Beispiel: Gleichverteilung auf [0, ]. Für A (a, b [0, ] gilt: p(a (b a Damit folgt: F(x p((, x] 0 für x < 0 x für x [0, ] für x > Sei p({x} { ( p p für x N 0 sonst Für x [n, n + mit n N gilt: n F(x p((, x] p({} n p 0 ( p p n ( p p ( pn ( p Mit [x] : max{n Z n x} folgt { ( p [x] für x F(x 0 für x < ( pn 435 / / 469

21 Eigenschaften der Verteilungsfuntion Verteilungsfuntion der Geometrischen Verteilung für p /2: Satz Für die Verteilungsfuntion F einer Wahrscheinlicheitsverteilung auf R gilt: (i F ist monoton steigend (ii lim F(x 0, lim F(x x x + (iii F ist rechtsseitig stetig, d.h. lim F(x + h F(x für alle x R. h 0 h>0 (iv Die Wahrscheinlicheitsverteilung hat eine Dichte f F ist differenzierbar In diesem Fall gilt f (x F (x Eigenschaft (iii bedeutet, dass die Verteilungsfuntion an Sprungstellen immer den rechtsseitigen Grenzwert annimmt 437 / / 469 Beweissizze Zu (i: Für x < y gilt wegen (, x] (, y]: F(x p((, x] p((, y] F(y Zu (ii: ( lim p((, n] p n n (, n] n p( 0 ( lim F(n lim p((, n] p (, n] p(r n n Zu (iii: lim n n n F(x + /n lim p((, x + /n] n ( p (, x + /n] p((, x] F(x Zu (iv: Falls F differenzierbar ist, gilt: x F(x p((, x] F (y dy (,x] F (y dy Die Wahrscheinlicheitsverteilung p hat eine Dichte f p(a f (y dy für alle A B A Jede Menge A B lässt sich durch (unendliche Schnitte und Vereinigungen aus Intervallen onstruieren. Jedes Intervall (a, b] hat die Form (a, b] (, b] \ (, a] > p hat eine Dichte p((, x] f (y dy (,x] x f (y dy für alle x R 439 / / 469

22 Exponentialverteilung Ziel: Verteilung der Wartezeit t [0, + bis zum erstmaligen Eintreten eines bestimmten Ereignisses Ansatz: Unterteilung der ontinuierlichen Zeitachse [0, + in leine Intervalle I,h (( h, h] mit N, h > 0. I,h 0 h 2h 3h ( h h Wahrscheinlicheit für Eintreten des Ereignisses in I,h : q h h, q h λh mit λ > 0 Verteilung für Ereignis tritt erstmals im Intervall I,h ein : G(q h Verteilung, p h (I,h ( q h q h Verteilungsfuntion der G(q h Verteilung: p h ([0, h] p(i l,h ( q h (s. S. 436 l Grenzübergang h 0 bei q h λh und festem h x: F(x lim h 0 p h ([0, x] lim h 0 ( λh x/h }{{} x (( λh /h h 0 e λx e λx Das ist die Verteilungsfuntion der Exponentialverteilung für x [0, Die Dichte der Exponentialverteilung ist f (x F (x λ e λx Die Exponentialverteilung ist eine ontinuierliche Version der geometrischen Verteilung. 44 / / 469 Reellwertige Zufallsvariablen Definition Sei (Ω, M, p ein Wahrscheinlicheitsraum. Eine Abbildung X : Ω R heißt Zufallsvariable X ((, x] : { ω Ω X(ω x } M für alle x R Die Verteilung p X der Zufallsvariablen X ist gegeben durch p X (A : p({ω Ω X(ω A} p ( X (A für alle A B Die Verteilungsfuntion F X von p X heißt auch Verteilungsfuntion der Zufallsvariablen X. Falls p X eine Dichte f X hat, dann heißt f X auch Dichte der Zufallsvariablen X. Bemerung: Die Bedingung X ((, x] M für alle x R stellt sicher, dass X (A M für alle A B. Sie ist eine Voraussetzung für die Existenz der Verteilung p X von X. 443 / 469 Transformationsregeln für Verteilungsfuntionen Satz Sei F X die Verteilungsfuntion einer reellwertigen Zufallsvariablen X und Y αx + β mit α > 0, β R. Dann hat Y die Verteilungsfuntion ( x β F Y (x F X α Falls X eine Dichte f X hat, dann hat Y die Dichte f Y (x ( x β α f X α Beweis: Wegen Y αx + β x X x β F Y (x p({y x} p ({ X x β α α folgt } ( x β FX α Falls F X eine Dichte f X hat, dann gilt F X (x f X (x und F Y (x α F X ( x β α α f ( x β X α 444 / 469

23 Erwartungswert und Varianz Definition Sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit Dichte f : R [0, +. Dann sind Erwartungswert E(X und Varianz V (X definiert durch E(X V (X x f (x dx (x E(X 2 f (x dx Eigenschaften: Für Zufallsvariable X, Y und α, β R gilt V (X E ( X 2 (E(X 2 E(αX + βy α E(X + β E(Y V (αx + β α 2 V (X für α > / 469 Motivation: Rücführung auf Definition für disrete Zufallsvariable Für leines h (und stetige Dichte f gilt: f (x h x+h Mit x n nh, n Z, gilt x x f (x dx f (y dy p({x (x, x + h} n n x n f (x n (x n+ x n x n p({x (x n, x n+ } und analog (x E(X 2 f (x dx (x n E(X 2 p({x (x n, x n+ } n 446 / 469 Folgerung aus dieser Motivation: Satz Ist X eine reellwertige Zufallsvariable, Φ : R R und Y : Φ(X. dann gilt E(Y Φ(x f (x dx Beispiel: Exponentialverteilung Dichte der Exponentialverteilung: f (x Erwartungswert: E(X Varianz: E ( X 2 x f (x dx [ x e λx] { λ e λx für x > 0 0 für x 0 xλ e λx dx [ e λx dx ] λ e λx 0 λ [ x 2 λ e λx dx x 2 e λx] x e λx dx 2 λ 0 xλ e λx dx 2 λ 2 > V (X 2 λ 2 ( λ 2 λ / / 469

24 Die Standard Normalverteilung Die Normalverteilung (N(µ, σ 2 Verteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlicheitsverteilungen auf R. Sie wird häufig für die Beschreibung der Streuung von Daten um einen Mittelwert verwendet. Die Standard Normalverteilung (N(0, Verteilung ist gegeben durch die Dichte Sie hat die Verteilungsfuntion Φ(x ϕ(x 2π e x 2 /2 x 2π e y 2 /2 dy Für diese Funtion gibt es eine analytische Formel Graph der Dichte: Symmetrieeigenschaften: ϕ(x ϕ( x Φ( x Φ(x 449 / / 469 Erwartungswert: Varianz: E(X x ϕ(x dx V (X E ( X 2 (E(X 2 E ( X 2 x 2π x e x 2 /2 dx [ x e x 2 /2 2π ] Mit Substitution z x/ 2 und (siehe S. 28/282 folgt: V (X 2π x 2π e x 2 /2 dx 0 + 2π x 2 2π e x 2 /2 dx e x 2 /2 dx e z2 dy π e z2 2 dz π π Approximation der B(n, p Verteilung Wir betrachten n Zufallsexperimente mit Erfolgswahrscheinlicheit p Die Zufallsvariable X n misst die Anzahl der Erfolge > X n ist B(n, p verteilt Erwartungswert: E(X n np : µ n Varianz: V (X n np( p : σ 2 n mit σ n np( p Neue Zufallsvariable Y n α X n + β Wahl von α, β so, dass E(Y n 0, V (Y n : > E(Y n α E(X n + β αµ n + β! 0 V (Y n α 2 V (X n α 2 σn 2! > α /σ n β µ n /σ n Y n σ n X n µ n σ n 45 / / 469

25 Folgerung Satz (de Moivre Laplace Sei X n eine B(n, p verteilte Zufallsvariable Y n σ n X n µ n σ n mit µ n np, σ n np( p Dann gilt für die Verteilungsfuntion F Yn von Y n : F Yn (x : p({y n x} n Andere Formulierung des Satzes: x 2π e y 2 /2 dy Φ(x Ist X n eine B(n, p verteilte Zufallsvariable, dann onvergiert die Verteilungsfuntion von Y n σ n X n µn σ n mit µ n np, σ n np( p für n + gegen die Standard Normalverteilung. Sei X eine B(n, p verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert µ np und Standardabweichung σ np( p und Dann gilt Y σ X µ σ F Y (y Φ(y Aus dem Transformationssatz (S. 444 folgt für X σy + µ ( x µ ( x µ F X (x F Y Φ σ σ Satz Die Verteilungsfuntion der B(n, p Verteilung wird für großes n approximiert durch ( x µ F X (x Φ mit µ np, σ np( p σ 453 / / 469 Beispiel Definition (Normalverteilung Eine Wahrscheinlicheitsverteilung auf R mit der Verteilungsfuntion ( x µ Φ µ,σ (x Φ σ heißt Normalverteilung zu den Parametern µ (Erwartungswert und σ 2 (Varianz, oder urz N(µ, σ 2 Verteilung. Die Dichte der N(µ, σ 2 Verteilung ist ϕ µ,σ (x ( x µ σ ϕ σe (x µ2 /(2σ 2 σ 2π Wir wollen die Wahrscheinlicheit abschätzen, dass beim Wurf von 600 Würfeln die Anzahl der gewürfelten 6 en zwischen 90 und 0 liegt. Die Zufallsvariable X messe die Anzahl der 6 en > X ist B(600, /6 verteilt > gesucht ist p(90 X 0 p X ([90, 0] F X (0 F X (89 Mit µ , σ folgt: ( x µ ( 3 F X (x Φ Φ σ 250 (x 00 und damit ( ( 3 p(90 X 0 Φ Φ 0,757 76% / / 469

26 Beispiel 2 Ein Meinungsforschungsinstitut wird von Partei A beauftragt, durch eine Meinungsumfrage das Wahlergebnis der Partei in einer bevorstehenden Wahl zu schätzen. Es sollen so viele Personen befragt werden, dass das Ergebnis mit einer Wahrscheinlicheit von mindestens 95% bis auf einen Fehler von höchstens % genau ist. Wieviele Personen müssen dafür befragt werden? Daten: Anteil p der Wähler von Partei A (unbeannt Anzahl n der zu befragenden Personen (zu bestimmen Die Zufallsvariable X n misst die Anzahl der befragten Personen, die angeben, für Partei A zu stimmen. Schätzer für p: p n X n n Der Fehler ist leiner als % p n p 0,0 X n np 0, 0n Aufgabenstellung: Ermittle n so, dass p({ X n np 0,0n} 0,95 X n ist B(n, p verteilt > Verteilungsfuntion F Xn (x p({x n x} Φ ( np( p x np { X n np 0,0n} {np 0,0n X n np + 0,0n} > p({ X n np 0,0 n} F Xn (n(p + 0, 0 F Xn (n(p 0,0 Φ ( 0,0n np( p Φ( np( p 0,0n 2 Φ( p( p 0,0 n! 0, / / 469 > Mit Φ (0,975,96 folgt: (! Φ p( p 0,0 n 0,975 0,0 n!,96 n! 00 p( p,96 p( p Wegen p( p /4 folgt, dass es sicher ausreicht, zu wählen. n (50, / 469 Mehrdimensionale Wahrscheinlicheitsräume Eine n dimensionale Wahrscheinlicheitsverteilung ist eine Wahrscheinlicheitsverteilungen auf Ω R n, oder die W. Verteilung einer Zufallsvariablen X : Ω R n Eine n dimensionale W.-Verteilung ann man beschreiben mit einer Dichte f : R n [0,, p(a f (x dx für alle A B n A (falls eine Dichte existiert, oder mit einer Verteilungsfuntion F : R n R, F(x p({ω Ω ω j x j für j,..., n} p((, x ] (, x n ] Beispiel: Die Gleichverteilung auf A R n hat die Dichte { / A für x A f (x 0 sonst 460 / 469

27 Eine Zufallsvariable X : Ω R n ann man auffassen als Vetor (X,..., X n von eindimensionalen Zufallsvariablen X j : Ω R. Definition Zufallsvariablen X,..., X n : Ω R heißen unabhängig Die Ereignisse {X j M j }, j,..., n, sind stochastisch unabhängig für alle M,..., M n B. Erinnerung: Ereignisse A,..., A n sind stochastisch unabhängig p(a i A il p(a i p(a il für alle i,..., i l {,..., n} mit i j i für j Satz Seien X,..., X n : Ω R unabhängige Zufallsvariable und X (X,..., X n : Ω R n. Sei F j die Verteilungsfuntion von X j, j,..., n. Dann ist F(x F (x F 2 (x 2 F n (x n die Verteilungsfuntion von X. Wenn X j die Dichte f j hat, j,..., n, dann hat X die Dichte f (x f (x f 2 (x 2 f n (x n Umgeehrt gilt: Hat X eine W.-Verteilung F oder eine Dichte f der oben angegebenen Form, dann sind X,..., X n unabhängig und haben die W. Verteilungen F j bzw. die Dichten f j, j,..., n. 46 / / 469 Beweis: Der Einfachheit halber sei n 2. Es gilt: F(x p({ω Ω X (ω (, x ], X 2 (ω (, x 2 ]} p({x (, x ]} p({x 2 (, x 2 ]} F (x F 2 (x 2 Sind f und f 2 Dichten von X und X 2, dann folgt: x x2 F(x F (x F 2 (x 2 f (y dy f 2 (y 2 dy 2 f (y f 2 (y 2 d(y, y 2 (,x ] (,x 2 ] (,x ] (,x 2 ] f (y dy mit f (y f (y, y 2 f (y f 2 (y 2. Dies genügt, da sich jedes A B 2 durch (unendliche Schnitte und Vereinigungen von Mengen der Form (, x ] (, x 2 ] erzeugen lässt. Beispiel: n dimensionale Normalverteilung Sei X j eine N(µ j, σ 2 j verteilte Zufallsvariable für j,..., n, und seien X,..., X n unabhängig. Dann hat X (X,..., X n die Dichte f (x f (x f n (x n e (x µ 2 /(2σ 2 e (xn µn2 /(2σn 2 2πσ 2πσn (2π n/2 σ σ n e (x µ 2 /(2σ 2 (xn µn2 /(2σ 2 n Im Fall gleicher Varianzen σ 2 j f (x mit µ (µ,..., µ n. σ 2 für alle j folgt (2π n/2 σ n e x µ 2 /(2σ 2 Das ist die Dichte der n dimensionalen Normalverteilung. 463 / / 469

28 Satz Seien X, X 2 : Ω R unabhängige Zufallsvariablen mit Dichten f und f 2. Dann hat Y X + X 2 die Dichte f Y (y Den Ausdruc f f 2, (f f 2 (y f (x f 2 (y x dx : (f f 2 (y f (x f 2 (y x dx nennt man Faltung von f und f 2. f (y x f 2 (x dx Beweis: F Y (y p({y y} p({x + X 2 y} p X ({x R 2 x + x 2 y} f (x f 2 (x 2 d(x, x 2 {x R 2 x +x 2 y} y x f (x f 2 (x 2 dx 2 dx Mit Substitution z z(x 2 x + x 2 folgt: F Y (y wobei f (z y y x 2 f (x f 2 (z x dz dx f (x f 2 (z x dx dz f (x f 2 (z x dx y x +x y 2 f (z dz x 465 / / 469 Beispiel Seien X und X 2 unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parametern λ und λ 2. Gesucht: Dichte f Y von Y X + X 2 Dichte der Exponentialverteilung: f Xj (x Dichte von Y : f Y (y Für y < 0 gilt f Y (y 0. Sei y 0. Dann folgt: f Y (y y 0 f X (x f X2 (y x dx λ e λ x λ 2 e λ 2(y x dy λ λ 2 e λ 2y y 0 { λ j e λ j x für x > 0 e (λ 2 λ x dx 0 für x / 469 Dichte f Y (y λ λ 2 e λ 2y y 0 e (λ 2 λ x dx Für λ λ 2 folgt [ ] y [ ] f Y (y λ λ 2 e λ e 2y (λ 2 λ x λ λ 2 e λ e 2y (λ 2 λ y λ 2 λ λ 2 λ 0 λ λ 2 ( e λ y e λ 2y λ 2 λ Für λ λ 2 λ gilt: y f Y (y λ 2 e λy dx λ 2 y e λy / 469

29 Zusammenfassung: Verteilungen Disrete Verteilungen: Name Ω ( p({} E V n Binomial V. {0,..., n} p ( p n np np( p Geometr. V. N p p λ λ Poisson V. N {0} e! Verteilungen auf Ω R: Name { Dichte E V λ e λx für x > 0 Exponential V. Normalverteilung 0 für x 0 e (x µ2 /(2σ 2 2πσ p λ λ λ 2 µ σ p p 2 λ 469 / 469