Kombinatorik. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M = {1;2;3;4;5} erstellen?

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1 1 Kombinatorik Aus einer Grundgesamtheit mit n Elementen wird eine Stichprobe k Elementen entnommen. Dabei kann die Stichprobe geordnet oder ungeordnet sein. "Geordnet" bedeutet, dass die Reihenfolge der Elemente wichtig ist, wie z.b. die Reihenfolge der Ziffern in einer dreistelligen Zahl. Werden die der Grundgesamtheit entnommenen Elemente zurückgelegt, so können Elemente mehrmals gezogen werden. Man spricht dann von Wiederholung. Umfasst die Stichprobe alle in einer Grundgesamtheit enthaltenen Elemente, wobei die Grundgesamtheit identische Elemente enthalten kann, dann ergibt sich nur eine Möglichkeit, wenn die Reihenfolge der Elemente unwichtig ist. Interessanter wird die Sache, falls die Reihenfolge eine Rolle spielt. Man spricht dann von einer Permutation. 1. Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen lassen sich aus den fünf Ziffern in M {1;2;3;4;5} erstellen? Lösung: Dies ist eine Permutation ohne Wiederholung mit n 5. Für diese gilt folgendes: P n n! Beim obigen Beispiel gibt es also 5! Zahlen, wobei 5! Beispiel: Wie viele Wörter (mit elf Buchstaben) lassen sich aus den Buchstaben im Wort "TITICACASEE" bilden? Lösung: Das Wort hat elf Buchstaben. Von diesen wiederholen sich jedoch alle ausser "S". Wir haben es mit einer Permutation mit Wiederholung zu tun für welche gilt P (k 1, k 2,..., k m ) n n! k 1! k 2! k m Die Grössen k 1, k 2,..., k m bedeuten die Anzahl identischer Elemente. Im obigen Beispiel haben wir sechs verschiedene Elemente wie folgt: Nr. Element k 1 T k I k C k A k S k E k 6 2 wobei k 1 + k k m n. Man erhält eine Anzahl Wörter wie folgt:

2 2 P (2,2,2,2,1,2) 11 11! 2! 2! 2! 2! 1! 2! P(2,2,2,2,2) 11 11! (2!) 5 1'274'400 Weil 1! 1 müssen Elemente ohne Wiederholung (in unserem Fall der Buchstabe "S") nicht berücksichtigt werden. Umfasst die Stichprobe nicht alle Elemente der Grundgesamtheit, dann haben wir es mit einer Kombination oder einer Variation zu tun. (Eine Permutation ohne Wiederholung ist eine spezielle Variation ohne Wiederholung mit k n). Stichprobe Geordnet (Variation) Ungeordnet (Kombination) Kombination mit Wiederholung: C w n + k - 1 Mit Zurücklegen. k Stichprobenumfang k. Ohne Zurücklegen. Stichprobenumfang k. Variation mit Wiederholung: V w n k Beispiel: Wie viele Wörter mit vier Buchstaben kann man aus den Buchstaben im Alphabet (mit 26 Buchstaben) bilden? Lösung: Wir haben n 26 und k 4. Somit gibt es '976 Wörter mit vier Buchstaben. Variation ohne n! Wiederholung: V (n - k)! Beispiel: Wie viele verschiedene Tipps gibt es bei eine Pferderennen mit 12 Rennpferden, wenn man auf die fünf Erstplazierten in richtiger Reihenfolge wetten soll? Lösung: n 12 und k 5 12! (12-5)! 12! 7! '040. Permutation ohne Wiederholung: P N! Beispiel: Wie viele verschiedene Würfe mit drei nicht unterscheidbaren Würfeln gibt es? Lösung: n 6 und k ! 5! 3! 56. Kombination ohne Wiederholung: C n k Beispiel: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es bei einem Zahlenlotto bei welchem von 12 Kugeln 5 gezogen werden? Lösung: n 12 und k ! 5! 7! 792. Grundaufgabe: Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben im Wort "ZIEL" erstellen? Antw.: P 4! 24. Permutation mit Wiederholung: P w N! N 1! N 2!...

3 3 Grundaufgabe: Wie viele verschiedene Buchstabenfolgen kann man aus den Buchstaben im Wort "HOCHSCHULE" erstellen? Antw.: P 10! 2! 3! 302'400. Variation der Klasse k ohne Wiederholung: V N! (N - k)! Grundaufgabe: Wie viele Wörter mit vier verschiedenen Buchstaben kann man aus den 26 Buchstaben des Alphabets bilden? Antw.: V 26! 22! '800. Variation der Klasse k mit Wiederholung: V w N k Grundaufgabe: Wie viele Wörter mit vier Buchstaben kann man aus den 26 Buchstaben des Alphabets bilden? Antw.: V w '976. Kombination der Klasse k ohne Wiederholung: C N k N! (N - k)! k! Grundaufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es, an einen Spieler von 36 Karten 6 auszuteilen? Antw.: C ! 30! 6! 1'947'792. Kombination der Klasse k mit Wiederholung: C w N + k 1 k (N + k 1)! (N 1)! k! Grundaufgabe: Wie viele verschiedene Würfe gibt es mit sieben nicht unterscheidbaren Würfeln? Antw.: C w ! 5! 7! 792. Verteilungen A. Binominalverteilung: Ein Bernoulli-Versuch besteht aus zwei Ergebnissen, einem Treffer und einem Fehlschlag. Die n-malige Wiederholung eines Bernoulli-Versuchs nennt man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Die Binominalverteilung ergibt sich als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl "Treffer" in einer Bernoulli-Kette. Zwei Beispiele von Bernoulli-Ketten sind 1. n-maliger Münzwurf: "Treffer" Kopf (mit Wahrscheinlichkeit p ½) und "Niete" Zahl (mit Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1 - p ½). 2. n-maliges Würfeln: "Treffer" Sechs (mit Wahrscheinlichkeit p 1 / 6) und "Niete" keine Sechs mit Wahrscheinlichkeit 1 - p 5 / 6).

4 4 Für die Binominalverteilung gilt folgendes: P n k pk (1 - p) n - k Beim ersten Beispiel erhält man z.b. für die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte von einem Dutzend Münzwürfen Köpfe seien folgendes: P 6 ½6 ½ 6 12! 6! 6! ,2256. Beim zweiten Beispiel erhält man für die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwölfmaligem Würfeln genau zwei Mal eine Sechs gewürfelt wird folgendes: P ! ! 10! ,2961. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit für sämtliche mögliche Ergebnisse gleich 1. Von dieser Tatsache lässt sich wie folgt Gebrauch machen: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwölfmaligem Würfeln mindestens eine Sechs gewürfelt wird? Antwort: P ! ! 11! ,6187. Hier wurden von der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 die Wahrscheinlichkeiten für keinen und einen Sechser subtrahiert. B. Geometrische Verteilung: Ein Bernoulli-Versuch wird so lange durchgeführt, bis sich ein Treffer einstellt. Die Wahrscheinlichkeit, dass beim n-ten Mal ein Treffer erscheint beträgt P(X n) (1 p) n 1 p Beispiel: Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Würfeln beim fünften Mal zum ersten Mal eine Sechs erscheint. Lösung: P(X 6) (5 / 6) 4 (1 / 6) C. Hypergeometrische Verteilung: Die hypergeometrische Verteilung der Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus einem Urnenmodell wie folgt: Eine Urne enthalte n Kugeln. Davon seien w weiss und n - w seien schwarz. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von m Kugeln genau k weisse Kugeln enthält ist gegeben durch die hypergeometrische Verteilung wie folgt: w P k n - w m - k n m Beispiel: Eine Warensendung enthält 80 Einheiten, wovon 3 defekt sind. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Entnahme einer Stichprobe von vier Einheiten zwei der entnommenen Einheiten defekt sind?

5 5 3 Antwort: P , D. Verallgemeinerte hypergeometrische Verteilung: Diese Verteilung gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass einer Grundgesamtheit von N Elementen x 1 Elemente mit der Eigenschaft A 1, x 2 Elemente mit der Eigenschaft A 2... und x k Elemente mit der Eigenschaft A k entnommen werden, wenn besagte Grundgesamtheit N 1 Elemente mit der Eigenschaft A 1, N 2 Elemente mit der Eigenschaft A 2... und N k Elemente mit der Eigenschaft A k enthält. Es gilt dann folgendes: N 1 P x 1 N 2 x 2 N 3 x... N k 3 x k N n wobei x 1 + x 2 + x x k n und N 1 + N 2 + N N k N. Beispiel: In einer Urne befinden sich fünf rote, acht grüne, zehn blaue und dreizehn gelbe Kugeln. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe von 14 Kugeln zwei rote, drei grüne, vier blaue und fünf gelbe Kugeln enthält? Antwort: 5 P , Wenn die Elemente zurückgelegt werden gilt folgendes: x n! P x 1! x 2! x 3! x k! N 1 x 1 N N 2 x 2 N N 3 3 N N k N Beim obigen Beispiel erhält man folgendes: P 14! 2! 3! 4! 5! , Ein Auswahlverfahren lässt sich mit Hilfe eines Ereignisbaums anschaulich darstellen. Die Verwendung eines Ereignisbaums als Hilfsmittel soll mit folgendem Beispiel veranschaulicht werden. In einer Urne befinden sich 3 weisse, 2 graue und eine schwarze Kugel. Es sei die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass man bei der Entnahme von drei Kugeln ohne Zurücklegen eine weisse, eine graue und eine schwarze Kugel zieht. x k

6 6 Ausgehend vom Punkt A werden alle möglichen Ergebnisse und Zwischenergebnisse beim Ziehen von drei Kugeln dargestellt. Wenn die Kugeln nacheinander gezogen werden bestehen sechs Möglichkeiten wie folgt: weiss grau schwarz, weiss schwarz grau, grau weiss schwarz, grau schwarz weiss, schwarz weiss grau und schwarz grau weiss. Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine weisse, eine graue und eine schwarze Kugel zieht erhält man als Summe von Wahrscheinlichkeiten wie folgt: P 0.5 [ ] [ ] [ ] 0.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter der Bedingung, dass ein Ereignis B eintritt ist gleich dem Quotient aus der Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch A eintritt und der Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt. P(A B) P(A B) P(B) 1. Beispiel: Zwei gleiche Urnen U 1 und U 2 enthalten Kugeln wie folgt: Urne U 1 : Drei schwarze und zwei weisse Kugeln. Urne U 2 : Drei schwarze und vier weisse Kugeln. Man greift blind in eine der beiden Urnen und zieht eine Kugel. Die gezogene Kugel sei schwarz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus Urne U 1? Lösung: P(Aus U 1 Schwarze Kugel) Schwarze Kugel aus U 1 Schwarze Kugel

7 7 2. Beispiel: Einer von tausend Menschen hat eine bestimmte Krankheit. Bei einem Prozent der gesunden Patienten fällt der Test fälschlicherweise positiv aus. Jemand lässt diesen Test machen und er fällt positiv aus, d.h. der Test ergab, dass die Person erkrankt ist. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Person tatsächlich krank ist? P(Erkrankt Positiv) P(Positiv und erkrankt) P(Positiv) Die Wahrscheinlichkeit tatsächlich erkrankt zu sein beträgt also lediglich 9.1%. Sind zwei Ereignisse A und B voneinander unabhängig, dann muss P(A B) P(A), P(B A) P(B) und P(A B) P(A) P(B)