Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 12. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

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1 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester ARBEITSBLATT Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Die Begriffe Varianz und Standardabweichung sind uns bereits aus der Statistik bekannt (Es sind die Maßzahlen für die Streuung). Der Erwartungswert ist nichts anderes als der Durchschnittswert. Beispiel: Es wird mit Würfeln gewürfelt. Was kann im Mittel für die Augensumme X erwartet werden? Lösung: Zunächst einmal müssen wir uns wieder alle möglichen Ereignisse veranschaulichen (Wie groß kann also die Augensumme werden). Ω = {,,,..., } Nun berechnen wir uns die Wahrscheinlichkeiten mit der die einzelnen Ereignisse eintreten. Dazu eine Tabelle aller Möglichkeiten: 6 Ausfall des. Würfels Ausfall des. Würfels Da jedes einzelne Ergebnis gleichwahrscheinlich eintritt, können wir wieder unsere einfache Formel P = günstige/mögliche anwenden. In unserer Tabelle sieht man bereits, dass die Augensumme 7 am häufigsten auftritt. Eine vernünftige Formel sollte uns also diesen Wert liefern.

2 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester X X X X X X = ) = = ) = = 6) = = 8) = = 0) = = ) = X = ) = X = ) = 6 X = 7) = X = 9) = X = ) = Tragen Sie sich dies am Besten immer in einer Tabelle ein: X=xi=Augensumme X=xi) Wahrscheinlichkeit für diese Augensumme 6 Nun müssen wir uns nur noch den Mittelwert ausrechnen. Dazu interpretieren wir einfach die Wahrscheinlichkeiten wie folgt: Von Würfen ergibt die Augensumme. Wir rechnen also lediglich das gewogene arithmetische Mittel aus, welches wir mit "E" abkürzen.

3 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester 6 E ( X ) = = 7 Wir sehen also, für den Erwartungswert muss man lediglich jeden möglichen Ausfall mit seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren und diese Werte addieren. Für diese Summenbildung wurde einfachkeitshalber ein eigenes Symbol eingeführt. Als Erwartungswert der Gewinnfunktion g(x) bezeichnet man die Zahl n ( g( x) ) x = g( x ) X x ) E = i = i= Nun ist aber zusätzlich noch gefragt, wie viel dieser Wert nach oben und unten voraussichtlich abweicht. Diesen Wert nennt man in der Mathematik die Streuung (Siehe Arbeitsblatt ). Das übliche Maß dafür ist die Standardabweichung σ. Für die Standardabweichung müssen wir uns zunächst noch die Varianz σ berechnen. Dazu benötigen wir wieder die quadratischen Abweichungen der Ausfälle vom Erwartungswert µ. Wir arbeiten dazu einfach an unserer obigen Tabelle weiter. Wir fügen uns eine neue Spalte ein und berechnen die Abweichung jeder Augensumme vom Erwartungswert: i X=xi=Augensumme X=xi) Wahrscheinlichkeit für diese Augen- EMBED summe -7=- -7=- -7=- -7=- 6-7= =0 8-7= 9-7= 0-7=

4 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester -7= -7= Nun quadrieren wir diese Abweichungen: X=xi=Augensumme X=xi) Wahrscheinlichkeit für diese Augen- x i x ( x i x) summe -7=- -7=- 6-7=- 9-7= = = = 9 9-7= 0 0-7= 9-7= 6-7= Nun müssen wir nur noch das gewogene arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen bilden, um die Varianz zu erhalten. Wenn wir uns aber unserer Interpretation der Wahrscheinlichkeit beim Mittelwert erinnern, heißt dies, dass wir lediglich die quadratischen Abweichungen mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens multiplizieren müssen und davon die Summe bilden. V = =,8 Die Standardabweichung ist nun die Wurzel aus der Varianz: σ =,8 =, Was bedeutet diese Standardabweichung? Sie bedeutet, dass eine Abweichung von ±, vom Erwartungswert 7 als normal zu betrachten ist.

5 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Generell ist für die Berechnung des Erwartungswertes also folgende Vorgangsweise angebracht: Fertige eine Tabelle an, in der du in der.spalte alle möglichen Ergebnisse einträgst. Berechne in der. Spalte die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis. Nun berechne den Durchschnittswert dieser Ergebnisse. Bilde also das Produkt aus Ergebnis mal zugehöriger Wahrscheinlichkeit und anschließend die Summe all dieser Produkte. Für die Standardabweichung ist folgendermaßen weiterzurechnen: Bilde die Differenz zwischen Ergebnis und Mittelwert. Quadriere diese Differenzen. Bilde nun den Durchschnittswert all dieser quadrierten Differenzen. Also zunächst das Produkt aus quadrierter Differenz mal zugehöriger Wahrscheinlichkeit und bilde dann die Summe all dieser Produkte. Dies nennt man die Varianz. Ziehe nun die Wurzel aus der Varianz. Nun definieren wir wieder diese Formeln in allgemeingültiger Form: Definition: Als Varianz der Zufallsvariablen X bezeichnet man die Zahl V ( X ) = σ = n i= ( x µ ) X = x ) µ Erwartungswert i i... σ heißt die Standardabweichung (Streuung) der Zufallsvariablen X. σ = V Sehen wir uns dazu noch ein Beispiel an: Beispiel: Es gibt 00 Lose zu je ; 7 Lose gewinnen: ein. Preis = 0, zwei.preise zu je 0, vier. Preise zu je. Bernhard kauft Lose. Welchen Gewinn mit welcher Streuung darf er erwarten? Lösung: Wir sollen also den Erwartungswert für den Gewinn und die Standardabweichung berechnen. Wir müssen zunächst wieder überlegen, welche Gewinne (da es um den zu erwartenden Gewinn geht) möglich sind. Dazu überlegen wir uns zunächst, welche Losziehungen möglich sind. Ich schreibe dabei für einen.preis, für einen.preis, für einen.preis und N für eine Niete: Ziehung N,N N,

6 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester N, N,,,,,, Nun tragen wir zu jeder möglichen Ziehung den Gewinn ein (Der Kaufpreis der beiden Lose muss dabei natürlich abgezogen werden): Ziehung Gewinn N,N - N, 8 N, 8 N,, 8,, 8,, 8 Nun müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis berechnen. Sehen wir uns die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis N,N an. Wir müssen also als. Los eine Niete ziehen und als. Los eine Niete ziehen. Beim Ziehen des.loses sind 00 Lose vorhanden, wovon 9 Nieten sind. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit eine Niete zu ziehen. Beim Ziehen des Loses sind noch 99 Lose vorhanden, wobei 9 davon Nieten sind. Die 9 Wahrscheinlichkeit jetzt eine niete zu ziehen ist also. Die Wahrscheinlichkeit, dass also beides Nieten sind, beträgt: = 0, Wenn wir die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis N, wollen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich in der. Ziehung eine Niete ziehe gleich 9 und in der. Ziehung den. Preis gleich. Aufpassen müssen wir jedoch, dass nun Wege dieses Ergebnis bringen. Wir können zuerst die Niete und dann den. Preis oder zuerst den. Preis und dann die Niete ziehen. Folglich müssen wir also die Wahrscheinlichkeit verdoppeln: Sie 9 beträgt also: = 0, 09. 6

7 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Berechnen Sie nun alle Wahrscheinlichkeiten und tragen Sie diese in ihrer Tabelle ein: Ziehung Gewinn Wahrscheinlichkeit N,N = 0,86 N, 8 9 = 0,09 N, 8 9 = 0,08 N, 9 = 0,07, 8 = 0,000, = 0,0008, 8 = 0,000, = 0,006, 8 = 0,00 Der Erwartungswert ist nun der Durchschnitt dieser Gewinne, d.h. wir multiplizieren jeden Gewinn mit seiner Wahrscheinlichkeit und bilden davon die Summe: E ( X ) = x = ( ) 0, , , ,00 = 0,0 Man kann also praktisch keinerlei Gewinn erwarten. Für die Standardabweichung berechnen wir nun die Differenz zwischen jedem Gewinn und dem Erwartungswert: 7

8 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Ziehung Gewinn Wahrscheinlichkeit Gewinn-E N,N ,0 =,0 = 0,86 N, ,0 = 7,98 = 0,09 N, ,0 = 7,98 = 0,08 N, 9 0,0 =,98 = 0,07, 8 8 0,0 = 7,98 = 0,000, 0,0 =,98 = 0,0008, 8 8 0,0 = 7,98 = 0,000, 0,0 =,98 = 0,006, 8 8 0,0 = 7,98 = 0,00 Nun quadrieren wir diese Abweichungen: Ziehung Gewinn Wahrscheinlichkeit Gewinn-E Quadrat N,N ,0 =,0,0 = 0,86 =, 06 N, ,0 = 7,98,86 = 0,09 N, ,0 = 7,98,6 = 0,08 N, 9 0,0 =,98 8,9 = 0,07, 8 8 0,0 = 7,98,6 = 0,000, 0,0 =,98 87,7 = 0,0008, 8 8 0,0 = 7,98,86 = 0,000, 0,0 =,98 8, = 0,006, 8 8 0,0 = 7,98 6,76 = 0,00 Nun bilden wir wieder den Durchschnittswert dieser quadratischen Abweichungen.: V =,06 0,86 +,86 0,09 +,6 0, ,76 0,00 = 7,9. Die Wurzel daraus ist nun die Standardabweichung: σ = V = 6, 9 8

9 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Die Binomialverteilung Ein aus einer Folge von n Versuchen bestehendes Experiment, bei dem ) jeder Versuch genau zwei mögliche Versuchsausgänge besitzt und ) jeder Versuch unter genau den gleichen Vorraussetzungen abläuft (Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten bei jeder Ziehung gleich bleiben), heißt BERNOULLI-Experiment. Ein für diese Verteilung typisches Beispiel ist das Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen. Beispiel: In einer Urne befinden sich 00 Kugeln. 60 Kugeln sind weiß, 0 schwarz. Dreimal wird je eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und die Kugel wieder zurückgelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zwei weiße Kugeln zu ziehen? Lösung: Es handelt sich hier um eine Binomialverteilung, da pro Versuch nur zwei mögliche Ergebnisse vorliegen (Eine schwarze oder eine weiße Kugel wird gezogen) und die Wahrscheinlichkeiten pro Versuch gleich bleiben (Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel ist gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel in der. Ziehung). Das typische an diesen Experimenten: Jeder einzelne günstige Weg tritt mit derselben Wahrscheinlichkeit auf. Weg)=WWS) Weg)=WSW) Weg)=SWW) Man muss sich also lediglich die Wahrscheinlichkeit für einen Weg ausrechnen und diese mit der Anzahl der günstigen Wege multiplizieren. Mit p bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen. Mit q bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen. 9

10 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester 60 p = = 00 0 q = = 00 Beachte: q=-p Nun rechnen wir uns die Wahrscheinlichkeit für einen Weg aus. Weg)=*WEISZ und *SCHWARZ P ( Weg) = = P Weg = p q Allgemein: ( ) Wir müssen jetzt also nur noch die Anzahl der günstigen Wege feststellen. Aus unserem Schaubild ersieht man, dass es drei günstige Wege gibt. Wir möchten dies aber etwas allgemeiner betrachten: Eigentlich müssen wir uns lediglich fragen, wie man zweimal weiß und einmal schwarz anordnen kann. WWS, WSW, SWW Als gibt es drei Möglichkeiten. Es ist jedoch leicht ersichtlich, dass dieses Auflisten bei 00 maligen Ziehen etwas mühsam wäre. Deshalb gibt es hierfür eine sehr praktische Formel, um deren Herleitung wir uns weiter nicht kümmern. Die Anzahl der günstigen Wege, man nennt sie die Kombinationen, berechnet man mittels des Binomialkoeffizienten. = 8 Definition: Binomialkoeffizient: Dabei gilt: n! =... n n n! = (sprich: n Faktorielle) k k!( n k )! Den Binomialkoeffizienten berechnet man also immer wie oben: 6 6! Wir berechnen zum Beispiel = =!! 0

11 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Für unser Beispiel gilt: n= (Anzahl der Ziehungen) k= (Zweimal weiß)! = = =! ( )! mal weiß)= = n k n k Allgemein: p q k Satz: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem n-stufigem BERNOULLI-Experiment mit der "Erfolgs"-Wahrscheinlichkeit p die Anzahl X der "Erfolge" genau k ist, ist n k n k X = k) = p ( p) k = 0,,..., n k Beispiel: Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschussanteil von %, wobei der Fehler rein zufällig auftritt. a)wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 0 Stück ) kein )genau Stück Ausschuss ist? b)wie viel Stück Ausschuss muss man unter 0 Stück erwarten, und um wie viel schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben und unten? Lösung: Binomialverteilt ist diese Aufgabe, da es pro Werkstück nur Möglichkeiten gibt( Ausschuss oder kein Ausschuss) und die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Werkstück Ausschuss ist, gleich ist wie die Wahrscheinlichkeit, dass das. Stück Ausschuss ist. Ausschuß) = = p Ausschuß) = = q 00 0 a)) X = 0) = 0 00 = 0, = 0, 0 a)) X = ) = 00 0! 9 = 0,0 0,97! 9! 9 = 0 0,0 0,97 = 0, Für die Frage b) dieser Aufgabe, wie viel Ausschuss man erwarten darf, benötigt man intuitiv einen Mittelwert. Mit diesem Mittelwert, in der Stochastik nennt man ihn Erwartungswert, haben wir uns bereits im beschäftigt. Die Berech

12 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester nung von Erwartungswert und Standardabweichung ist oft recht rechenintensiv. Für unsere spezielle Verteilung, die Binomialverteilung, gibt es jedoch etwas leichter handhabbare Formeln. Satz: Für die Binomialverteilung mit den Parametern n und p (bzw. q=-p) gilt: E( X ) = µ = n p V ( X ) = σ = n p q Lösung b) Bei uns ist n=0 und p=0,0 und q=0,97 Es folgt: µ = 0 0,0 = 8,6 σ = 0 0,0 0,97 =, Noch ein Beispiel: Beispiel: In einer Urne sind 0 rote und 0 blaue Kugeln. Es werden 0 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a)genau rote Kugeln b)genau 7 blaue Kugeln c)mindestens blaue Kugeln d)höchstens blaue Kugeln gezogen werden. Lösung: Die Aufgabe ist binomialverteilt, da pro Ziehung nur Ergebnisse möglich sind (Rote oder blaue Kugel) und die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel stets konstant bleibt (wegen dem Zurücklegen). 0 0 a) p ( rot) = = q ( blau) = = P (rot ) = = 0,7 7 0 b) P (7blau) = = 0, 0 7 c) Mindestens blaue Kugeln zu ziehen, würde bedeuten, dass ich blaue oder blaue oder blaue usw. Kugeln ziehe. Besser ist es hier mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu arbeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich mindestes blaue Kugeln ziehe, ist minus der Wahrscheinlichkeit, dass ich weniger als blaue Kugeln ziehe: X... Anzahl der blauen Kugeln P ( X ) = X < ) Weniger als blaue Kugeln bedeutet nun, dass ich keine blaue oder blaue Kugel ziehe. Wir setzen dies ein: P ( X ) = X < ) = X = 0) + X = ) [ ]

13 Mathematik: LehrerInnenteam Arbeitsblatt 7-7. Semester Nun berechnen wir mittels unserer Formel für die Binomialverteilung diese Wahrscheinlichkeiten: P ( X = 0) = = 0, P ( X = ) = = 0,06 Nun setzen wir ein: X ) = X < ) = X = 0) + X = ) = ( 0,0+ 0,06) = 0, 9 [ ] d) Höchstens blaue Kugeln zu ziehen, bedeutet, dass ich keine, eine, zwei oder drei blaue Kugeln ziehe: P ( X ) = X = 0) + X = ) + X = ) + X = ) Die Wahrscheinlichkeiten, dass keine blaue oder blaue Kugel gezogen wird, haben wir bereits in c) ausgerechnet. Wir rechnen nun noch die beiden anderen Fälle aus: 8 0 P ( X = ) = = 0, 7 0 P ( X = ) = = 0, Nun setzen wir ein: X ) = X = 0) + X = ) + X = ) + X = ) = 0,0 + 0,06 + 0, + 0, = 0,

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