Rotationskörper. Ronny Harbich. 1. August 2003 (geändert 24. Oktober 2007)

Transkript

1 Rotationskörper Ronny Harbich 1. August 2003 geändert 24. Oktober 2007)

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Anschauliche Herleitung Darstellungen Gleichungen und Ungleichungen Volumenfunktion Unendlich viele Zylinder Darstellungen Gleichungen Anwendungen und Beispiel Das Kegelvolumen Das Kugelvolumen Ein unendliches Volumen Eine unendliche Fläche aber ein endliches Volumen Der hohle Zylinder

3 1 Einführung 1 Einführung Dieser Artikel soll die Rotation von Funktionen um die x-achse verdeutlichen. Bei solchen Rotationen entstehen dreidimensionale Figuren Rotationskörper). Das Berechnen der Volumina dieser Körper soll im weiteren Verlauf beschrieben werden. Es sei zunächst eine Funktion f mit reellem Definitions- und Wertebereich gegeben. Der Graph dieser Funktion bildet mit der x-achse im Intervall reellen [0, t] eine Fläche grün ausgefüllt). 3

4 2 Anschauliche Herleitung Anschließend wird die Fläche um die x-achse rotiert und es entsteht somit ein dreidimensionales Objekt mit dem Volumen V t). 2 Anschauliche Herleitung 2.1 Darstellungen Wird dieser Körper dann mit der x-y-ebene geschnitten Querschnittsfläche), so entsteht die oben gezeigte Abbildung. An dieser Stelle wird das Volumen V t) um das Volumen V blau schraffiert) vergrößert 1. 1 V wurde Aufgrund technischer Einschränkungen in der Abbildung mit dv bezeichnet. 4

5 2 Anschauliche Herleitung Um den Volumenzuwachs zu verdeutlichen, ist es notwendig, das Volumen V durch zwei Teilvolumina anzunähern. Beide Teilvolumina entstehen bei t und t + h und bilden jeweils einen Zylinder. Der Zylinder mit dem Volumen V 1 zeichnet sich durch den Radius ft) und der Höhe h aus, wobei der andere Zylinder mit dem Volumen V 2 mit dem Radius ft + h) und ebenso der Höhe h beschrieben wird. Diese Abbildung stellt die Grundflächen beider Zylinder dar der Betrachter befindet sich auf der x-achse und verdeutlicht noch einmal die Radien dieser geometrischen 5

6 2 Anschauliche Herleitung Figuren. 2.2 Gleichungen und Ungleichungen V = V t + h) V t) V 2 V 1, V Z = A G h = π r 2 h V 1 V V 2 1) π ft) 2 h V π ft + h) 2 h 2) π ft) 2 lim ) π ft) 2 lim h 0 h 0 V π ft + h) 2 3) h ) V lim ) π ft + h) 2 4) h 0 h ) V π ft) 2 lim π ft) 2 5) h 0 h ) V t + h) V t) π ft) 2 lim π ft) 2 6) h 0 h π ft) 2 V t) π ft) 2 7) V t) = π ft) 2 8) qt) = π ft) 2 9) V t) = qt) 10) Das Zuwachsvolumen wird durch die Differenz der beiden anderen Teilvolumina dargestellt. Da die beiden Teilvolumina bekannte geometrische Figuren Zylinder) bilden, ist auch die Volumenformel V Z dieser bekannt. Als nächstes wird eine Doppelungleichung zwischen dem kleineren Zylindervolumen, dem Zuwachsvolumen und dem größeren Zylindervolumen aufgestellt 1). Anschließend werden die beiden Zylindervolumina durch ihre Volumenformel ersetzt, wobei die Radien der Zylinder jeweils dem Funktionswert der Argumente t bzw. t+h entsprechen 2). Nun wird die Doppelungleichung mit der Höhe h dividiert 3) und die Volumenvergrößerung rückgängig gemacht, indem die Höhe h gegen 0 verringert wird 4). Da V gegen 0 gehen würde 5), wird nun V ersetzt 6) und es h 0 entsteht der Differentialquotient 6), also die erste Ableitung 7). Da V t) π ft) 2 und V t) π ft) 2 folgt sofort die Gleichheit 8). π ft) 2 beschreibt die Grundfläche des Zylinders 8) bei t und soll an dieser Stelle als Querschnittsfunktion qt) dargestellt werden 9), 10). Die Volumenfunktion ist eine Stammfunktion der Querschnittsfunktion. 2.3 Volumenfunktion Um das Volumen eines Rotationskörpers mit Hilfe der Stammfunktion zu errechnen, ist die Integration der hergeleiteten Gleichung notwendig: V t) = qt) V t) = qt)dt = Qt) + C 6

7 3 Unendlich viele Zylinder Nun stellt sich die Frage wie groß die reelle Zahl C ist. Dazu muss das Volumen eines Rotationskörpers im reellen Intervall [a, a] bekannt sein. Sein Volumen beträgt 0: V a a) = Qa) + C V a a) = Qa) + C = 0 C = Qa) V a b) = Qb) + C V a b) = Qb) Qa) Anschließend wird die Schreibweise des bestimmten Integrals verwendet: V a b) = Qb) Qa) = [Qt)] b a = b a qt)dt Wird jetzt für qt) wieder die Flächenformel eingesetzt, ergibt sich folgendes: V a b) = b qt)dt = π b [ft)] 2 dt V a b) = π b [fx)] 2 dx a a a 3 Unendlich viele Zylinder 3.1 Darstellungen Es wird eine Funktion f rotiert und anschließend werden in dem entstandenem Rotationskörper Zylinder gleicher Höhe h und dem Radius fx) eingeschrieben. 7

8 4 Anwendungen und Beispiel 3.2 Gleichungen V Z = A G h = π r 2 h, n ist natürliche Zahl qx) = π [fx)] 2 11) V q0 h) h + q1 h) h + + qn 1) h) h 12) n 1 = qi h) h 13) V b i=0 n 1 i=0 V b = lim n = lim n ) b n, h = b n q i b ) ) b n n [ π f i b )] 2 b n n q i b n n 1 i=0 n 1 i=0 Zu nächst einmal werden die Zylindervolumina mit einander addiert 12), 13). Diese Untersumme ergibt einen Wert nahe am tatsächlichen Volumen. Nun wird versucht die Höhe h durch n mit Hilfe einer Grenze b auszudrücken 14). An dieser Stelle soll nun das wahre Volumen des Körpers ermittelt werden 15), 16). Dieses ergibt sich genau dann, wenn n. ) 14) 15) 16) 4 Anwendungen und Beispiel 8

9 4.1 Das Kegelvolumen 4 Anwendungen und Beispiel Die Querschnittsfunktion eines Kegels ist eine lineare Funktion f mit dem Anstieg m: m = y x = r h, fx) = r h x Das Volumen V soll nun im Intervall [0, h] berechnet werden: h V = π 0 r ) [ ] 2 h x r 2 h 1 dx = π h 2 3 x3 = π 0 3 r2 h 9

10 4 Anwendungen und Beispiel Es entsteht die bekannte Kegelvolumenformel. Das Kegelvolumen V lässt sich auch mit dem Grenzwert der Untersumme ausrechnen: qx) = π [fx)] 2 = π r2 h 2 x2 n 1 V = lim q i h ) ) h n n n i=0 h = lim q 0 h ) + q 1 h ) + + q n 1) h ))) n n n n n = lim π h n n r2 h h n 1) 2) ) 2 n 2 = lim π h n n r2 h h2 n 3 2 n 2 3 n2 2 + n )) 6 n = lim π h r 2 3 n 3 n n2 3 2 n + n )) 3 6 n 3 1 = lim π h r 2 n n + 1 )) 6 n 2 = π 3 r2 h Letztendlich entsteht dieselbe wie oben errechnete Volumenformel. 4.2 Das Kugelvolumen 10

11 4 Anwendungen und Beispiel Die bekannte Kreisgleichung wird nach fx) aufgelöst. x 2 + fx) 2 = r 2 fx) = r 2 x 2 Die Funktion f wird um die x-achse rotiert und es entsteht folgendes Volumen V : r V = π r r2 x 2 ) 2 dx [ = π r 2 x 1 ] r 3 x3 r = π r r3 r )) r3 = 4 3 πr3 Es entsteht die schon bekannte Kugelvolumenformel. 4.3 Ein unendliches Volumen Es sei eine Funktion f mit fx) = x gegeben. Nun soll das Volumen V im Intervall [0, ] angegeben werden. V = π 0 [ 1 = π = π lim x x ) 2 dx ] 2 x x2 ) = Des Ergebnis deutet daraufhin, dass das Volumen dieses Körpers unendlich groß ist. 11

12 4 Anwendungen und Beispiel 4.4 Eine unendliche Fläche aber ein endliches Volumen Es sei eine Funktion f mit fx) = 1 gegeben. Nun wird die Fläche F und das Volumen x V, das bei der Rotation entsteht, im Intervall [1, ] gesucht. 12

13 4 Anwendungen und Beispiel F = 1 ) 1 dx x = [ln x] 1 = ) 2 1 V = π dx x 1 [ = π 1 ] x 1 = π lim 1 ) x x 1 )) = π 1 Die gegebene Funktion hat somit im genannten Intervall eine unendlich große Fläche und nach der Rotation ein Volumen von π. Da die Flächen- und Volumenformel bewiesen sind und somit nicht fehlerhaft sein können, stellt sich die Frage woher dieses kurios erscheinende Ergebnis kommt. Es ist korrekt, denn vielmehr scheint die Vorstellung von Unendlichkeit schwierig zu sein. 4.5 Der hohle Zylinder Übungsaufgabe: Es wird das Volumen in einem Hohlzylinder gesucht. Der Radius des Zylinders betrage 5 LE, der Abstand bis zum inneren hohlen Teil des Zylinders sei 3 LE und er habe eine Höhe von 8 LE. Nach der Volumenbestimmung soll eine allgemeine Volumenformel erstellt werden. 13

14 4 Anwendungen und Beispiel 14