Stickstoff kann als ideales Gas betrachtet werden mit einer spezifischen Gaskonstante von R N2 = 0,297 kj

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1 Aufgabe 4 Zylinder nach oben offen Der dargestellte Zylinder A und der zugehörige bis zum Ventil reichende Leitungsabschnitt enthalten Stickstoff. Dieser nimmt im Ausgangszustand ein Volumen V 5,0 dm 3 ein. Der reibungsfrei bewegliche Kolben hat eine Masse von m K 7,94 kg und einen Durchmesser d K von 8 cm. Der Umgebungsdruck beträgt p U bar. Der rechte Behälter und der zugehörige Leitungsabschnitt haben das konstante Volumen V B 0,0 dm 3 ; sie sind ebenfalls mit Stickstoff gefüllt, der unter dem Druck p B 650 kpa steht. Das ganze System hat die Anfangstemperatur t 0,0 C. Nach dem Öffnen des Ventils strömt Stickstoff aus dem Behälter langsam in den Zylinder über; der Kolben hebt sich, bis der Druck im ganzen System den selben Wert erreicht. a ) Für diesen Zustand berechne man die Temperatur t sowie das Volumen V des Stickstoffs im Zylinder unter der Annahme, dass der Stickstoff während des Prozesses - ein adiabates System ist. b ) Danach wird Wärme zwischen dem Stickstoff und der Umgebung übertragen, so dass der Stickstoff schließlich die Temperatur t 3 t 0,0 C erreicht. Wie groß ist die bei diesem Prozess -3 übertragene Wärme Q 3? Hinweis: Stickstoff kann als ideales Gas betrachtet werden mit einer spezifischen Gaskonstante von R N 0,97 kj. Die spezifische Wärmekapazität von Stickstoff wird als konstant angenommen: c v 0,744 kj

2 Gegeben: V 5,0 dm m 3 p B Pa p U bar 0 5 Pa t 0,0 C T 93,5 K t 3 0,0 C T 3 93,5 K m K 7,94 kg d K 8 cm 0,08 m c v 0,744 kj R N 97 J a ) Man berechne die Temperatur t sowie das Volumen V des Stickstoffs im Zylinder unter der Annahme, dass der Stickstoff während des Prozesses - ein adiabates System ist.. Hauptsatz für geschlossenes System: 0 de dτ de pot de kin du Sys dτ dτ dτ 0, da adiabat Q i + Ẇ j i j U Sys W Die zu verrichtende Arbeit besteht aus der Volumenänderungsarbeit an der Umgebung sowie der Hubarbeit, die am Kolben zu verrichten ist: W W U V W Kolben W U V p U dv p U V Sys mit V,U V U + V Sys V,U V U W Kolben m K g h m K g V Sys π 4 d K W mit V Sys π 4 d k h p U + m K g π 4 d k ) V Sys Die innere Energie des Systems setzt sich wie folgt zusammen: U A m A c v T T ) U B m B c v T T ) U Sys m A +m B ) m c v T T )

3 Da die Zustandsänderung sehr langsam abläuft, ist der Druck p A im Zylinder zu jedem Zeitpunkt konstant. Er ergibt sich aus einem Kräftegleichgewicht am Kolben: F p,u + F G,K F p,a p U A + m K g p A A p A p U + m K g π 4 d K 0 5 Pa+ 7,94 kg 9,8 m s π,350 bar 4 0,08 m) Für die Masse des Stickstoffs gilt mit der der thermischen Zustandsgleichung: m m A +m B p Z V + p B V B R T R T Pa m 3 97 J 93,5 K + 0,084 kg Pa m3 97 J 93,5 K Nun können alle berechneten Größen in den. Hauptsatz eingesetzt werden: m c v T T ) p U + m ) K g π V V ) ) 4 d K p A Unter Anwendung der thermischen Zustandsgleichung erhält man folgende Beziehung: ) + ) und Auflösen nach der Temperatur T ergibt: m R T p A V +V B ) ) m c v T T )+m R T p A V + p A V +p A V +V B ) T m c v +m R) m c v T +p A V +V B ) T p AV +V B ) mc v +R) + T c v c v +R) Pa 5+0) 0 3 m 3 ) 0,084 kg 744 J J 33, K 40,03 C 93,5 K 744 J 744 J +97 J 3

4 Damit berechnet sich das Volumen V zu V m R T p A V B 0,084 kg 97 J 33, K m 3 Pa 3,6 0 3 m 3 3,36 l b ) Wie groß ist die übertragene Wärme Q 3, die für den Temperaturausgleich mit der Umgebung benötigt wird? Die Zustandsänderung läuft isobar ab, wobei ein Wärmeaustausch stattfindet. Die Energiebilanzgleichung ergibt aus dem. Hauptsatz für geschlossene Systeme: 0 de pot de kin du Sys dτ dτ dτ i Q i + j Ẇ j 3 U m c v T 3 T ) Q 3 +W 3 Dabei berechnet sich die Volumenänderungsarbeit zu 3 W 3 pv) dv p A V 3 V ) mit pv) p A const. W 3 pv 3 V ) p V m R T m RT 3 T ) Die von der Luft aufgenommene Wärme ist somit Q 3 3 U W 3 m c v T 3 T ) m RT 3 T )) mc v +R)T 3 T ) 0,084 kg J J +97 J ) 93,5 K 33, K) 4

5 Zusatz: Durch die Energiezufuhr erhöht sich die innere Energie der Luft um U 3 U m c v T 3 T ) 0,084 kg J J 93,5 K 33, K) Die Energiezufuhr -3) macht die bei der adiabaten Expansion -) aufgetretene Energieabnahme wieder rückgängig. Die bei der Expansion -3) abgegebene Volumenänderungsarbeit W 3 ergibt sich aus der Differenz von aufgenommener Wärme Q 3 und Änderung der inneren Energie U zu W 3 U 3 U ) Q J 549 J 469 J 5

6 Aufgabe 5 In einem Schwimmbecken mit einer Wassertiefe von y max m sind auf der Höhe y 0,5 m kreisförmige Lampen mit einem Radius 0 cm installiert. Die Wassertemperatur im Schwimmbecken hat in den Bereichen außerhalb der Lampen eine Temperatur t W von 0 C. In einem Abstand von 0 cm zur Beckenwand steigt die Temperatur des Beckenwassers im Bereich der Lampen lokal um T max 0 K an. Die Temperaturverteilung in Abhängigkeit der Koordinaten x und y kann hier über den unten stehenden Ausdruck beschrieben werden. Der Umgebungsdruck an der Wasseroberfläche p U soll bar betragen. T x,y) T W + Tmax mit r T W für r > ) cos π r )+ für r x x 0 ) +y y 0 ) 6

7 Eine Luftblase soll nun parallel zur Beckenwand in einem Abstand von 0 cm vom linken unteren Eck einer Lampe mit dem Mittelpunkt x 0 3 m und y 0,5 m aus dem Zustand in der Position x,8 m und y,3 m über den Weg yx) x,5 m in einen Zustand x 3, m; y,7 m) überführt werden. Aufgabenstellung: Geben Sie die Änderung der spezifischen Enthalpie der Luft in der Blase für jede beliebige Position auf dem Weg -) an und berechnen Sie deren Wert explizit im Mittelpunkt der Lampe und im Zustand. Verfolgen Sie hierbei einmal den in der Aufgabenstellung gegebenen Weg und entwickeln Sie falls möglich eine zweite einfachere Variante der Lösung des Problems. Hinweise: Die Luft in der Blase soll als perfektes Gas angenommen werden R L 0,87 kj, c p,004 kj ) Die Temperatur der Luft in der Blase soll immer gleich der Wassertemperatur in der jeweiligen Position sein. Die Dichte des Wassers soll ρ H O 000 kg m 3 betragen. Lösung: Gesucht ist die Änderung der spezifischen Enthalpie der Blase für jede Position auf dem Weg. Allgemein gilt: h ht,p) ) h dh dt + T p c p h dh Zusammenhang für dtx, y) bestimmen: ) T dt x,y) x mit r und r ) h p T Realfaktor der Enthalpie dp ) h c pt,p)dt + dp p T 0, da perf. Gas y ) T dx+ dy y x x x 0 ) +y y 0 ) x x x 0 ) x x x x 0 0 ) +y y 0 ) r 7

8 ) T x y ) T y x Tmax Tmax 0 ) ) fürr > sin π r π x x 0 r fürr 0 ) ) fürr > sin π r π y y 0 r fürr Laut Angabe gilt: yx) x,5m x x 0 +y 0 y x dy dx r x x 0 ) +y y 0 ) x x 0 ) +x x 0 +y 0 y 0 ) x x 0 ) Jetzt alles in die Ausgangsgleichung einsetzen: dt x,y) dt x) ) ) T T dx+ dy x y y x ) 0dx für r > Tmax π sin π r r x x 0 +y y 0 )dx für r ) 0dx für r > Tmax π sin π r r x x 0 +x x 0 + y 0 y 0 )dx für r Tmax π Tmax π Tmax π sin Tmax π r0 sin 0dx ) für r > π r r x x 0)dx für r 0dx ) für r > sin π r r x x 0)dx für r sin π 0dx fürr > x x 0 ) x x 0 )dx fürr ) x x0 ) 0dx für r > r 0 x x0 )) dx für r π r0 h c p T,p) Tmax π r0 sin 0dx für r > r 0 x x0 )) dx für r π r0 ) 8

9 Integrationsgrenzen: x x 0 x x x 0 + x r0 x + y x y r0 x x x x 0 x x 0 + Für x < x h c p x x 0 dx 0 Für x < x < x h c p x x 0 dx +c p c p [ Tmax c p [ Tmax x x T ) maxπ π sin x x 0 ) dx r0 )] x π cos x x 0 ) x ) π cos x x 0 ) + )] Für x > x h c p x x 0 dx +c p c p [ Tmax 0 h 0 x x ] +) T ) maxπ π sin x x 0 ) dx+ c p r0 x x 0 dx 9

10 Wert im Mittelpunkt der Lampe x x 0 : Der Mittelpunkt der Lampe wird dabei als Position bezeichnet. [ ) )] Tmax π h c p cos x 0 x 0 ) + c p [ Tmax ] +) c p T max J kg J 0 K Alternativer Rechenweg: Durch eine geschickte Wahl des Integrationsweges Weg in Skizze) kann der Rechenaufwand deutlich reduziert werden! *** * ' ** h dh c p T,p)dT + c p T,p) dt + dt0 ) h p T 0, perf.gas ) h dp p T dp+ c p T,p)dT + ) h p T dp dp0 0, perf.gas c p dt c p 0 dx+c p ) T dx x y 0

11 Mit r x x 0 ) x x 0 ergibt sich: h c p T )) max π π sin x x 0 ) dx c p [ Tmax )] π x cos x x 0 ) r0 x Für den Wert im Mittelpunkt der Lampe x x 0 Position ) ergibt sich entsprechend: h c p [ Tmax c p [ Tmax )] π x0 cos x x 0 ) r0 x 0 ] +) c p T max Integration von der Position zur Position : h 0 ) h c p T,p) dt + dp+ p T dt0 0, perf.gas ) h c p T,p) dt + p T dt0 dp dp0 0, perf.gas

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