Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

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1 Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true, da ist β ei Modell für t (auch t gilt uter β) β t. Sost ist β kei Modell für t. β ist ei Modell für eie Mege vo Boolesche Terme T, falls für alle t T gilt β t. t bzw. T ist erfüllbar (satisfiable), falls t bzw. T ei Modell besitzt. t ist allgemeigültig (auch Tautologie), falls jede Belegug ei Modell für t ist t. t ist uerfüllbar, falls es kei Modell für t gibt. Iformatik WS 2005/2006 Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Satz Ei Boolescher Term t ist eie Tautologie geau da, we t uerfüllbar ist. Beweis Übug. Bemerkug Der Wahrheitswert eies t lässt sich für bekate Wahrheitswerte der Idetifikatore ausreche. Mit ur zwei Wahrheitswerte, köe Erfüllbarkeit ud Allgemeigültigkeit durch eie Algorithmus ausgerechet werde Aussagelogik ist etscheidbar. Trivialer Algorithmus beötigt 2 Schritte bei freie Idetifikatore = 0 : 2 0 =.024 Schritte = 20 : 2 20 = = 00: 2 00 = =,26765E+30 Iformatik 2 WS 2005/2006

2 Sematische Äquivalez vo Terme Defiitio Zwei Boolesche Terme t ud t 2 sid sematisch äquivalet, t = t 2, we I[t ] = I[t 2 ] d.h. für alle Beleguge β gilt I β [t ] = I β [t 2 ] Isbesodere gilt (Nachweis durch Eisetze der Kombiatioe möglicher Werte) ( ) (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) I [ t t2] = ad I [], t I [2] t = I [ t t2 ], β β β β I [ t t2] = impl I [], t I [2] t = I [ t t2], β β β β I [ t t2] = equiv I [], t I [2] t = I [ t t2 t t2 ]. β β β β Iformatik 3 WS 2005/2006 Wie fide wir sematische Äquivalez? Mit Wertetafel: Durchprobiere aller Beleguge für alle Werte der Boolesche Terme. Sehr zeitaufwedig bei komplizierte Terme: Bei Idetifikatore: 2 Beleguge durchprobiere. Maschielles Beweise: Vereifachug der Terme durch Awedug Boolescher Gesetze (werde achfolged eigeführt) Maschieller Beweis: Awedug der Substitutiosregel: Ersetzug freier Idetifikatore durch Terme. Iformatik 4 WS 2005/2006 2

3 Gesetze der Boolesche Algebra 4. Schritt: Defiitio Boolescher Gesetze Boolesche Terme true ud false: Kostate Sematisch äquivalet zu Terme, dere Wahrheitswert uabhägig vo der Belegug ist: ( ( )) ( ) true = x x, false = true. Iformatik 5 WS 2005/2006 Gesetze der Boolesche Algebra x = x, Ivolutiosgesetz x y = y x, Kommutativgesetz x y = y x, (x y) z = x (y z), Assoziativgesetz (x y) z = x (y z), x x = x, Idempotezgesetz x x = x, x (x y) = x, Absorptiosgesetz x (x y) = x, x (y z) = (x y) (x z), Distributivgesetz x (y z) = (x y) (x z), (x y) = ( x) ( y), Gesetz vo de Morga (x y) = ( x) ( y), x (y y)=x, Neutralitätsgesetz x (y y)=x Iformatik 6 WS 2005/2006 3

4 Dualitätsprizip Dualitätsprizip Boolescher Gesetze: Gesetz bleibt gültig, we true mit false ud gleichzeitig mit vertauscht werde. Beispiele true = (x v x) (Gesetz für True) false = (x ^ x) (Awedug des Dualitätsprizips) x v (y ^ y) = x (Neutralitätsgesetz) x ^ (y v y) = x (Awedug des Dualitätsprizips) (x ^ y) = ( x) v ( y) (De Morga's Gesetz) (x v y) = ( x) ^ ( y) (Awedug des Dualitätsprizips) Iformatik 7 WS 2005/2006 Vereifachug Boolesche Terme Für Gleichuge zwische sematisch äquivalete Boolesche Terme gelte die Regel der Äquivalezrelatioe: Reflexivität: t = t Symmetrie: t = t2 t2=t Trasitivität: t = t2 ud t2 = t3 t = t3 Iformatik 8 WS 2005/2006 4

5 Modellierug vo Aussage mit Boolesche Ausdrücke Aussage = Nachricht, die ur als wahr oder falsch iterpretiert werde ka. Beispiel: Hery VIII hatte eie Soh ud Cleopatra hatte zwei. Umwadlug dieser Aussage i eie Boolesche Ausdruck: Triviale Methode: eie Idetifikator (auch boolesche Variable geat) ehme, der diese Aussage darstellt: p: Hery VIII hatte eie Soh ud Cleopatra hatte zwei. Aber: Aussage ethält zwei Teilaussage: x: Hery VIII hatte eie Soh y: Cleopatra hatte zwei Söhe Damit ist das Beispiel: x ^ y Iformatik 9 WS 2005/2006 Übersetzug vo atürlichsprachliche Aussage i Boolesche Ausdrücke (Aalyse) Schritte der Übersetzug:. Fide alle Uteraussage, ud beee sie mit Boolesche Variable. 2. Ersetze die Uteraussage durch ihre Boolesche Variable. 3. Ersetze folgede Worte durch boolesche Operatore: ud wird zu ^ oder wird zu v icht wird zu we p da q wird zu p q Ergebis: Boolesche Ausdruck. Iformatik 0 WS 2005/2006 5

6 Aalyse Beispiele x: Hery VIII hatte eie Soh y: Cleopatra hatte zwei Söhe z: Ich esse meie Hut w: ist eie Primzahl Problemstellug: Hery VIII hatte eie Soh oder ich esse meie Hut Aalyse: x z Problemstellug: Hery VIII hatte eie Soh ud ist icht eie Primzahl Umformulierug: " ist icht eie Primzahl" i "Es gilt icht, dass eie Primzahl ist". Damit ka ma w schreibe. Aalyse: x ^ w Problemstellug: We eie Primzahl ist ud Cleopatra zwei Söhe hatte, da esse ich meie Hut Aalyse: w ^ y z Iformatik WS 2005/2006 Übersetzug vo "We.da" Häufige Übersetzug vo "We b da c" oder "We b, c": b c Beispiel We Du Deie Spiat icht isst, da bleibst Du schwach. Uteraussage ud Boolesche Variable: x: Du isst Deie Spiat. y: Du bleibst schwach. Übersetzug: x y Implikatio ist i Problembeschreibug oft versteckt. Beispiel Jeder Name im Studeteverzeichis ist auch im Boer Telefobuch We ei Name im Studeteverzeichis erscheit, da ist er auch im Boer Telefobuch Iformatik 2 WS 2005/2006 6

7 Übersetzug vo Äquivalez Übersetzug eiiger "We...da..."-Phrase i Äquivaleze Beispiel We zwei Seite eies Dreiecks gleich sid, da ist das Dreieck gleichscheklig. t: Zwei Seite eies Dreieckes sid gleich s: Ei Dreieck ist gleichscheklig Übersetzug: t s Iformatik 3 WS 2005/2006 Substitutiosregel für Boolesche Terme Defiitio Substitutio: Seie t ud s Boolesche Terme ud x ei Idetifikator. t[s/x] ist der Term, der aus t etsteht, we x i t durch s ersetzt wird Bemerkug Durch Substitutio erhält ma oft aus eiem Term eie speziellere Term. Beispiel ( x ( y) )[ false / x] = ( false ( y) ) ( x ( y) ) x [ z y / x] = ( z y y ) ( z y) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) Iformatik 4 WS 2005/2006 7

8 Awedug der Gesetze der Boolesche Algebra Iduktive Defiitio der Substitutio ist über Termiduktio false[t/x] = false true[t/x] = true a[t/x] = a für atomare Aussage x[t/x] = t x[t/y] = x falls x ud y verschiedee Variable sid ( t )[t/x] = (t [t/x]) (t t 2 )[t/x] = t [t/x] t 2 [t/x] Aaloge Defiitioe für Terme mit, ud. Bemerkug Substitutio ist keie Abbilduge zwische Boolesche Werte, soder zwische Boolesche Terme. Iformatik 5 WS 2005/2006 Awedug der Gesetze der Boolesche Algebra Sid x,..., x paarweise verschiedee Idetifikatore, so schreibt ma tt [ / x, K, t / x] für die simultae Substitutio vo x,..., x i t durch die Terme t,..., t. Aalog zur Substitutio: Selektive Äderug eier Belegug Ersetzug vo Werte für Idetifikatore i Beleguge durch adere Werte. Sei β eie Belegug, b ei Wahrheitswert ud x Idetifikator. β[b/x] bezeichet folgede Belegug: β[ b/ x]( x) = b β[ b/ x]( y) = β( y), falls x ud y verschiedee Idetifikatore sid. Iformatik 6 WS 2005/2006 8

9 Awedug der Gesetze der Boolesche Algebra Defiitio Ei Äquivalezrelatio heißt Kogruezrelatio bzgl. eier Mege vo Abbilduge F, we gilt: Für alle Abbilduge f aus F folgt aus der Äquivalez der Argumete die Äquivalez der Fuktioswerte. Formale Notatio für eie -stellige Abbildug f (a~b : a ist äquivalet zu b): a i ~ b i für alle i =,, impliziert f(a,, a ) ~ f(b,, b ) Iformatik 7 WS 2005/2006 Defiitio Disjuktive Normalform (DNF) mi F = ( L i = j = Kojuktive Normalform (KNF) mi Normalforme der Aussagelogik Mit de Literale L ij, d.h. L ij = p oder L ij = p, wobei p eie Variable oder Kostate (true, false) ist. ij F = ( L i = j = ij ) ) Iformatik 8 WS 2005/2006 9

10 Satz Jede Formel der Aussagelogik hat eie sematisch äquivalete disjuktive (kojuktive) Normalform. Beweis Strukturelle Iduktio über de Aufbau vo Formel. Mit F = p oder F = p ist F i DNF. mi 2. Sei F = F ud F = ( Lij ) Da gilt mi i = j = F = ( ( Lij )) = ( ( Lij )) = ( Lij ) = ( Lij ) i= j= i= mi j= mi i= j= mi i= j= de Morga de Morga Distributivgesetz Normalforme 3. Sei F = F F mit F ud F i DNF. Da ist auch F i DNF. Iformatik 9 WS 2005/2006 Normalforme Beispiel Paritätsfuktio L, Azahl der pi = L ugerade F = f( p,..., p) = 0, Azahl der pi = L gerade Allgemei F = f( p ) = p F = f ( p, p ) = p p p p F = F p F p Also für = 3:, ( ) ( ) F = p p p p p p p p p p Iformatik 20 WS 2005/2006 0

11 Normalforme F2 befidet sich bereits i DNF. Für F3 erhält ma die DNF: ( ) ( ) ( p p p ) ( p p p ) F = p p p p p p Iformatik 2 WS 2005/2006

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