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1 Satz 2.8.3: Sei Q eine Intensitätsmatrix. Dann hat die Rückwärtsgleichung P (t) = QP (t), P (0) = E eine minimale nicht negative Lösung (P (t) : t 0). Die Lösung bildet eine Matrix Halbgruppe, d.h. P (s)p (t) = P (s + t), für alle s, t 0. Satz 2.8.4: Sei (X t ) t 0 ein minimaler rechtsseitig stetiger Prozess mit Werten in I. Sei Q eine Intensitätsmatrix auf I mit Sprungmatrix Π. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent: (a) Sprungkette + Verweildauern Definition: bedingt auf X 0 = i ist die Sprungkette (Y n ) n 0 von (X t ) t 0 diskret Markov(δ i, Π), und für jedes n 1 sind, bedingt auf Y 0,..., Y n 1, die Verweildauern S 1,..., S n unabhängig und exponentialverteilt mit Parametern q(y 0 ),..., q(y n ); (b) Übergangswahrscheinlichkeiten Definition: für alle n = 0, 1, 2,..., alle Zeiten 0 t 0 t 1 t n+1 und alle Zustände i 0,..., i n+1 gilt P (X tn+1 = i n+1 X t0 = i 0,..., X tn = i n ) = p in i n+1 (t n+1 t n ). 1

2 Satz 2.8.6: Die minimale nicht negative Lösung (P (t) : t 0) der Rückwärtsgleichung ist auch die minimale nicht negative Lösung der Vorwärtsgleichung P (t) = P (t)q, P (0) = E. 2

3 3. Markov Ketten in stetiger Zeit, Teil II 3.2. Klassenstruktur Ein Zustand j ist erreichbar von i (i j), falls P i (X t = j für ein t 0) > 0. i j, wenn i erreichbar von j und j erreichbar von i ist. Die Begriffe Klasse, abgeschlossene Klasse, absorbiernder Zustand, Irreduzibilität werden von der Sprungkette übernommen. Satz 3.2.1: Für Zustände i j ist äquivalent: (i) i j; (ii) i j für die Sprungkette; (iii) q ii1 q i1 i 2... q in 1 j > 0 für Zustände i 1,..., i n 1 ; (iv) p ij (t) > 0 für alle t > 0; (v) p ij (t) > 0 für ein t > 0. 3

4 3.3. Hitting times, Absorption probabilities Sei (X t ) t 0 Markov(λ,Q). Die hitting time einer Teilmenge A des Zustandsraums I ist die Zufallsvariable D A (ω) = inf{t 0 : X t (ω) A}, inf :=. Wenn H A die hitting time für die Sprungkette ist, dann gilt {H A < } = {D A < }, und auf dieser Menge gilt D A = J H A. Die Wahrscheinlichkeit, dass (X t ) t 0, beginnend im Zustand i, irgendwann in A landet ist h A i = P i (D A < ) = P i (H A < ). Wenn A eine abgeschlossene Klasse ist, dann heisst diese Wahrscheinlichkeit Absorptionswahrscheinlichkeit. 4

5 Satz 3.3.1: Der Vektor der hitting probabilities h A = (h A i : i I) ist die minimale nicht-negative Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: { h A i = 1 für i A j I q ijh A j = 0 für i / A Wie bei den Markovketten in diskreter Zeit k A i = E i (D A ). Satz 3.3.3: Angenommen q i > 0 für alle i / A. Der Vektor der mean hitting times k A = (ki A : i I) (I... Zustandsraum) ist die minimale nicht-negative Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems: { ki A = 0 für i A j I q ijkj A = 1 für i / A 5

6 3.4. Rekurrenz und Transienz Sei (X t ) t 0 Markov(λ,Q) (minimal!). Ein Zustand i ist rekurrent, wenn P i ({t 0 : X t = i} ist unbeschränkt}) = 1, ein Zustand i ist transient, wenn P i ({t 0 : X t = i} ist unbeschränkt}) = 0. Wenn (X t ) t 0 beginnend in i explodieren kann, dann ist i nicht rekurrent. 6

7 Rekurrenz und Transienz werden durch die Sprungkette bestimmt: Satz 3.4.1: Es gilt: (i) Wenn i rekurrent für die Sprungkette (Y n ) n 0 dann ist i rekurrent für (X t ) t 0. (ii) Wenn i transient für die Sprungkette (Y n ) n 0 dann ist i transient für (X t ) t 0. ist, ist, (iii) Jeder Zustand ist entweder rekurrent oder transient. (iv) Rekurrenz und Transienz sind Klasseneigenschaften. First passage time nach i: Satz 3.4.2: Es gilt: T i (ω) = inf{t J 1 (ω) : X t (ω) = i}. (i) Wenn q i = 0 oder P i (T i < ) = 1, dann ist i rekurrent und 0 p ii(t) =. (ii) Wenn q i > 0 und P i (T i < ) < 1, dann ist i transient und 0 p ii(t) <. 7

8 3.5. Invariante Verteilungen λ ist invariant, wenn λq = 0. Satz 3.5.1: Q mit Sprungmatrix Π. λ ein Mass. Dann ist äquivalent: (i) λ ist invariant. (ii) µπ = µ, wobei µ i = λ i q i. Satz 3.5.2: Angenommen Q ist irreduzibel und rekurrent. Dann hat Q ein invariantes Mass λ, das eindeutig ist bis auf skalare Vielfache. Ein Zustand i ist rekurrent, wenn q i = 0 oder P i (T i < ) = 1. Wenn q i = 0 oder die erwartete Rückkehrzeit m i = E i (T i ) <, dann heisst i positiv rekurrent. Sonst heisst i nullrekurrent. 8

9 Satz 3.5.3: Sei Q irreduzible Intensitätsmatrix. Dann ist äquivalent: (i) Jeder Zustand ist positiv rekurrent. (ii) Ein Zustand ist positiv rekurrent. (iii) Q ist nicht explosiv und hat eine invariante Verteilung λ. Weiters, wenn (iii) gilt, dann ist m i = 1 λ i q i. Satz 3.5.5: Sei Q irreduzibel und rekurrent und λ ein Mass. Sei s > 0. Dann ist äquivalent: (i) λq = 0 (ii) λp (s) = λ. 9

10 3.6. Konvergenz zum Gleichgewicht Lemma 3.6.1: Q Intensitätsmatrix mit Halbgruppe P (t). Dann gilt für alle t, h 0 p ij (t + h) p ij (t) 1 e q ih. Satz (Konvergenz zum Gleichgewicht): Sei Q irreduzibel, nicht explosiv mit Halbgruppe P (t) und mit invarianter Verteilung λ. Dann gilt für alle i, j p ij (t) λ j für t. Satz 3.6.3: Sei Q irreduzibel, ν irgendeine Verteilung. Sei (X t ) t 0 Markov(ν, Q). Dann gilt für alle j I für t, dass P (X t = j) 1. q j m j 10

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