U (x 1 ; x 2 ) = x x 2 2.

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1 Aufgabe (2 Punkte) Horsts Nutzenfunktion ist gegeben durch U ( ; 2 ) = Dabei steht für die von ihm konsumierte Menge von Gut und 2 für die von ihm konsumierte Menge von Gut 2. Der Preis einer Einheit von Gut beträgt p > 0 und der Preis einer Einheit von Gut 2 genau 2 Geldeinheiten. Horst besitzt 8 Geldeinheiten. a) Bestimmen Sie die Grenzrate der Substitution Wie ändert sich diese mit steigendem? b) Bestimmen Sie das Haushaltsoptimum Hinweis: Nehmen Sie eine Fallunterscheidung vor c) Zeichnen Sie die Nachfragekurve für Gut Lösung a) Die Grenzrate der = Entlang einer Indi erenzkurve nimmt 2 mit steigendem ab. Eine Senkung von 2 und ein Anstieg von führen zu einem Anstieg von MRS. Aufgrund dessen sind Horsts Präferenzen konkav. b) Da Horsts Präferenzen konkav sind, kommt nur ein Randoptimum als Lösung in Frage. 8 Konsumiert Horst nur Gut, kann er maimal p Einheiten von Gut konsumieren. Konsumiert Horst nur Gut 2, kann er maimal 4 Einheiten von Gut 2 konsumieren. Horsts Nutzen beträgt entweder U ; 0 = p p oder U(0; 4) = 64. Demnach konsumiert Horst nur Gut, wenn gilt (es sind nur positive Mengen möglich): 8 2 > 64 p 8 p > 8 p < 8 Demnach ist p ; 0 das Haushaltsoptimum für p <. Für p = gibt es zwei Haushaltsoptima 8 p ; 0 und (0; 4). Für p > lautet das Haushaltsoptimum (0; 4).

2 p 8 Aufgabe 2 (2 Punkte) Erik muss sein Taschengeld von 32 auf die beiden Güter Schokolade und Lakritzstangen aufteilen. Der Preis für eine Tafel Schokolade betrage zunächst p S =, der für eine Stange Lakritz p L =. Eriks Nutzenfunktion sei U(S; L) = S 2 L 6 : (a) Berechnen Sie die optimalen Mengen an Süßigkeiten (b) Der Staat bemüht sich um eine gesündere Jugend und erhöht den Preis für Schokolade auf 2 Euro. Beschreiben Sie gra sch die Veränderung zum neuen optimalen Konsumbündel Zeichnen Sie insbesondere den Einkommens- und den Substitutionse ekt für Schokolade ein Hinweis: Nutzen Sie, dass für Preise p S = 2 und p L = und bei einem Budget von 56 das optimale Konsumbündel (2; 4) beträgt Lösungsvorschlag: (a) Variante a) Nutzenfunktion ist äquivalent zu U(S; L) = S 3 4 L 4 Variante b) MRS = L = 3 S Eingesetzt in die Budgetbedingung: L = m 4 = 8 S = 3 m 4 = 24 2 S 2 L 3 6 S 2 L 2 3 = 3 L S = MOC = 2

3 S + 3 S = 32 S + 3 S = 32 S = 24 L = 8 (b) Budget, falls man sich altes Optimum leisten will: m sub = = 56 Zur gra schen Lösung wurde damit das Hilfsoptimum gegeben (S H ; L H ) = (2; 4); womit bereits der Substitutionse ekt bereits eingezeichnet werden kann. Nun wird das Optimum mit neuen Preisen aber altem Budget bestimmt: Zeichnung: S neu; = 3 m 4 2 = 2 L neu; = m 4 = 8 L EE SE 32 2,4 2,8 24, S 3

4 Aufgabe 3 (7 Punkte) (a) In einer Welt mit den beiden Gütern Gut und Gut 2 gibt es zwei Güterbündel: Bündel A : A = 4; A 2 = 9; Bündel B : B = 5; B 2 = 3: Die Preise der Güter sind p = und p 2 = 3: Einem Agenten steht ein Budget in Höhe von 30 Geldeinheiten zur Verfügung. Die Präferenzen werden durch die Nutzenfunktion u ( ; 2 ) = repräsentiert. Welches Güterbündel präferiert der Haushalt? (b) Kreuzen Sie an Hinweis: Es ist jeweils eine Antwort korrekt. In welcher Einheit wird die Konsumentenrente gemessen? Gramm Nutzeneinheiten Geldeinheiten/Mengeneinheit Geldeinheiten Welche Formel zum Berechnen der Produzentenrente P R ist korrekt? Wo liegt eine äquivalente Variation vor? P R = E C o P R = E C F i o P R = E C var o o o o o Welche Mindestsumme verlangen Sie dafür, dass die Verbesserung nicht eintritt? Was verlangen Sie mindestens als Entschädigung für eine Verschlechterung? o o Lösungsvorschlag (a) u (4; 9) = 7 u (5; 3) = 3 7 > 3 Er präferiert GB A. (b) Richtige Antworten: Geldeinheiten P R = E C var Welche Mindestsumme verlangen Sie dafür, dass die Verbesserung nicht eintritt? 4

5 Aufgabe 4 (5 Punkte) Ein Unternehmen besitzt die Produktionsfunktion y = f ( ; 2 ) = : (a) Bestimmen Sie die Grenzproduktivität des zweiten Produktionsfaktors (b) Bestimmen Sie die Produktionselastizität des zweiten Produktionsfaktors Lösungsvorschlag: (a) Die Grenzproduktivität des zweiten Produktionsfaktors ist die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach diesem Faktor: MP 2 ; 2 ) : (b) Nach entsprechender De nition ist die Produktionselastizität wie folgt gegeben: " y;2 2 y 2 = MP = = 3 : 5

6 Aufgabe 5 (7 Punkte) Ein (gewinnmaimierender) Monopsonist produziert gemäßder Produktionsfunktion: y = f () = 4 : Dabei bezeichnet y die beim Einsatz von Einheiten des Produktionsfaktors erstellte Ausbringungsmenge. Die inverse Angebotsfunktion des Produktionsfaktors lautet: w () = 3 + : w () steht für den Faktorpreis, der beim Einsatz von Einheiten des Produktionsfaktors zu entrichten ist. Der Preis für das Produkt auf dem Absatzmarkt wird durch den Monopsonisten nicht beein usst und beträgt 2. Bestimmen Sie die optimale Einsatzmenge des Produktionsfaktors und den Preis, den der Monopsonist dabei für diesen entrichtet Lösungsvorschlag: Variante : Die Gewinnfunktion des Monopsonisten lautet: () = p f () w () = = Diese Funktion maimiert der Monopsonist, indem er die optimale Einsatzmenge des Produktionsfaktors bestimmt: d d = 2 = 3: 2 3 = 0 Durch Einsetzen in die inverse Angebotsfunktion ergibt sich der Preis, den der Monopsonist für den Produktionsfaktor entrichtet: Variante 2: Im Gewinnoptimum gilt: w (3) = = 2: MR MP = MC p MP = MC 2 4 = = 3 w (3) = = 2: 6

7 Aufgabe 6 (4 Punkte) Ein Unternehmen besitzt die Produktionsfunktion y = f() = 2 : Bestimmen Sie die Grenzkosten des Unternehmens Lösungsvorschlag Man bestimmt die Kostenfunktion mittels (y) = p y und Ableiten gibt die Grenzkostenfunktion C (y) = w = w p y: MC = C 0 (y) = 2 w y 2 : 7

8 Aufgabe 7 (6 Punkte) Betrachten Sie das folgende Spiel: a Spieler 2 b c (7; 6) (2; 5) Spieler d (4; 0) (; 3) (a) Ist für den Zeilenwähler Strategie c eine dominante Strategie? Begründen Sie, indem Sie die relevante(n) Ungleichung(en) angeben (b) Ist die Strategiekombination (c; b) ein Nash-Gleichgewicht? Begründen Sie, indem Sie die relevante(n) Ungleichung(en) angeben Lösungsvorschlag (a) Ja, da 7 > 4 und 2 > : (b) Nein, da 6 < 5 (die Angabe 2 > ist nicht relevant im engsten Sinne). 8

9 Aufgabe 8 (7 Punkte) Zwei Unternehmen sind die einzigen Produzenten auf einem Markt mit der inversen Nachfragekurve p(y ) = 60 5Y: Die Kostenfunktion für das erste Unternehmen sei gegeben durch C (y ) = 5y; 2 die Kostenfunktion des anderen Unternehmens sei gegeben durch C 2 (y 2 ) = 0y2: 2 (a) Berechnen Sie die Reaktionsfunktion von Unternehmen im simultanen Mengenwettbewerb (b) Angenommen das zweite Unternehmen würde den Markt verlassen. Wie hoch wäre nun die Produktion des ersten Unternehmens? Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe a) Lösungsvorschlag: (a) Gewinnfunktion aufstellen Partielle Ableitung bilden und Nullsetzen (y ; y 2 ) = 60y 5(y + y 2 )y 5y (y ; y 2 = 60 0y 5y 2 30y = 0 Au ösen und Reaktionsfunktion bestimmen (b) Variante : 40y = 60 5y 2 y R (y 2 ) = 3 y Falls das zweite Unternehmen den Markt verlässt, dann ist y 2 = 0 zu wählen und in die Reaktionsfunktion einzusetzen. Unternehmen bietet demnach y = 3 2 Einheiten an. Variante 2: Falls das zweite Unternehmen den Markt verlässt, ist dies gleichbedeutend, dass Unternehmen Monopolist auf dem Markt ist. Entsprechend lautet die Gewinnfunktion: Nullsetzen der ersten Ableitung liefert: (y ; y 2 ) = 60y 5y 2 5y 2 d (y ) dy = 60 40y = 0 y = 3 2 : 9

10 Aufgabe 9 (2 Punkte) Gegeben sei die Lotterie 95; 05; 2 ; 2. Betrachten Sie zur Analyse der Lotterie die folgende Abbildung: vnm Nutzenfunktion [I] [III] 95 [II] 05 Geldauszahlung (a) Wahr oder falsch? Die dargestellte vnm-nutzenfunktion gibt Risikoaversion wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = p gibt Risikoaversion wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = 2 gibt Risikofreude wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = gibt Risikoaversion wieder. wahr falsch (b) Ordnen Sie für die oben dargestellte vnm-nutzenfunktion korrekt zu, indem Sie in jeder Spalte (nicht Zeile) ein Kreuz setzen CE (L) E (L) u (05) u (95) u (E (L)) E u (L) [I] [II] [III] (c) Nehmen Sie nun die vnm-nutzenfunktion u () = a 2 + c; a > 0 an und bestimmen Sie das Sicherheitsäquivalent der Lotterie 2; 3; 4 5 ; 5 Lösungsvorschlag (a) Die dargestellte vnm-nutzenfunktion gibt Risikoaversion wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = p gibt Risikoaversion wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = 2 gibt Risikofreude wieder. Die vnm-nutzenfunktion u() = gibt Risikoaversion wieder. wahr falsch 0

11 (b) (c) Zunächst gilt CE (L) E (L) u (05) u (95) u (E (L)) E u (L) [I] [II] [III] E u (L) = 4 5 u (2) + 5 u (3) = 4 5 a22 + c + 5 a32 + c = a5 + c; also ist wegen E u (L) = u (CE (L)) = a (CE (L)) 2 + c CE (L) = p 5:

12 Aufgabe 0 (8 Punkte) In einem Gutshaus gibt es sechs Wohnungen, die jeweils von einer Person bewohnt werden. Um den Zufahrtsweg zum Gutshaus zu verschönern, überlegen sich die Mieter eine Allee zu errichten. Alle Mieter haben die gleiche Präferenzordnung bezüglich des Einp anzens von Bäumen am Zufahrtsweg und einem privaten Gut. Die Präferenzordnung eines einzelnen Mieters i kann durch die Nutzenfunktion U(X i ; B) = X i + p B dargestellt werden, wobei X i die Mengen des privaten Gutes und B die Anzahl an Bäumen ist. Der Preis des privaten Gutes beträgt 00 und der Preis eines Baumes 50. Wie viele Bäume sollten gep anzt werden? Lösung Es handelt sich um konvee Präferenzen der Mieter, deshalb gilt: 6X MRS i = MOC = i= MRS i = MU B = MU Xi 6 2 p B = p 600 B = 00 B = 36: 2 p B = 2 p B 2