Signalübertragung und -verarbeitung

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1 LEHRSTUHL FÜR INFORMATIONSÜBERTRAGUNG Laboratorium für Nachrichtentechnik Prof. Dr. Ing. J. Huber Friedrich Alexander Universität Erlangen Nürnberg D Schriftliche Prüfung im Fach Signalübertragung und -verarbeitung 30. Juli Aufgaben 90 Punkte Hinweise: Beachten Sie die Hinweise zu den einzelnen Teilaufgaben. Sollten Sie Teilaufgaben nicht lösen können, so beachten Sie ggf. die angegebenen Werte zum Weiterrechnen. Diese Werte entsprechen nicht immer der Lösung! Viele Teilaufgaben sind damit unabhängig lösbar! Falls Sie zusätzliche Bearbeitungsblätter benötigen, wenden Sie sich bitte an die Klausuraufsicht.

2 Seite 2. Aufgabe 22 Punkte Analoge Modulationsverfahren Für den Aufbau eines analogen Campusradios werden zwei mögliche Realisierungsformen betrachtet. Zum einen soll ein Konzept mittels Amplitudenmodulation (AM)näher untersucht werden, zum anderen ein Konzept mittels Frequenzmodulation (FM). Für die Auslegung der Sendeanlage werden folgende Rahmenbedingungen angenommen: uellensignal: Bandbreite des uellensignals: Aussteuerpegel des uellensignals: Trägerfrequenz: Maximal zur Verfügung stehende HF-Bandbreite: Sendeleistung: Musik (mono) 5 khz -20 db 00 MHz 20 khz 25 W Für einen Empfänger dieses Radiosenders werden folgende Annahmen zu Grunde gelegt: Signaldämpfung durch den Übertragungskanal (mit Berücksichtigung der Antennengewinne): Störung durch thermisches Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte wirksam am Empfängereingang: 30 db W/Hz a) Geben Sie den Aussteuergrad des uellensignals an. Wert zum Weiterrechnen: 0,036 b) Berechnen Sie die Nutzsignalleistung am Empfängereingang. Wert zum Weiterrechnen: 3pW c) Berechnen Sie das Vergleichssignalstörleistungsverhältnis am Empfängereingang. Wert zum Weiterrechnen: Zunächst wird eine Realisierung mittels Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger bei einem Modulationsgrad von 0,8 untersucht. d) Berechnen Sie den Prozentsatz der Sendeleistung, der für die Aussendung des (informationslosen)trägersignals aufgewendet werden muss. e) Welcher Störabstand (in db)ergibt sich für das demodulierte Empfängerausgangssignal (beim Einsatz von AM mit Träger)?

3 Seite 3 Im Folgenden wird eine Realisierung mittels Frequenzmodulation untersucht. f) Berechnen Sie den für das FM-Sendesignal möglichen maximalen Frequenzhub, wenn eine Übertragung in hoher ualität angestrebt wird. Hinweis: Wert zum Weiterrechnen: 70 khz g) Welcher Störabstand (in db)ergibt sich für das demodulierte Empfängerausgangssignal (beim Einsatz von FM, hoher HF-Störabstand vorausgesetzt)? Die bisher durchgeführten Berechnungen führen zu dem Ergebnis, dass Amplitudenmodulation zu einen wesentlich schlechteren Störabstand im Empfängerausgangssignal führt als Frequenzmodulation. h) Wodurch ist dieses deutlich schlechtere Abschneiden der amplitudenmodulierten Übertragung begründet? Um das amplitudenmodulierte Konzept doch noch konkurrenzfähig zu machen, wird der Einsatz eines Empfangsverstärkers vorgeschlagen. i) Um wieviel db steigt der Störabstand im demodulierten Empfängerausgangssignal (NF-Signal), wenn ein (weiterer) Verstärker zwischen HF-Eingangsstufe und dem AM-Demodulator zwischengeschaltet wird?

4 Seite 4 2. Aufgabe 6 Punkte Informationstheorie Gegeben sei eine ternäre (3-wertige)gedächtnislose Informationsquelle mit den Symbolen X {A, B, C}. a) Welchen Wert kann die Entropie einer ternären Informationsquelle maximal aufweisen? Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die a-priori Wahrscheinlichkeit für das Symbol B doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit für das Symbol A ist: Pr{B} =2Pr{A}. b) Welcher Wertebereich ist für Pr{A} zulässig? c) Kann der maximale Wert der Entropie gemäß Teilaufgabe a)von der vorliegenden uelle prinzipiell erreicht werden? Falls ja, für welchen Wert von Pr{A} ist dies der Fall? Falls nein, warum nicht? Im weiteren Verlauf soll Pr{A} = 0,25 fest gewählt sein. d) Welche Codewortlänge ist für eine direkte Zuordnung von den ternären uellensymbolen zu binären Codewörtern fester Länge notwendig? e) Konstruieren Sie den Baum einer Huffman-Codierung. Es sollen uellenwörter aus einzelnen Symbolen X (uellwortlänge )auf binäre Codewörter variabler Länge abgebildet werden. Welche mittlere Codewortlänge wird durch diese uellencodierung erzielt? Wert zum Weiterrechnen:,5 Codesymbole/uellensymbol f) Beurteilen Sie die durch die Huffman-Codierung erzielte mittlere Codewortlänge. Ist eine weitere Verbesserung möglich? Falls ja, durch welche Maßnahmen?

5 Seite 5 3. Aufgabe 6 Punkte Pulscodemodulation (PCM) Gegeben seien die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen f qi (q i )und die Leistungsdichtespektren Φ qi q i (f), i =,2,3 von drei zeit- und wertkontinuierlichen uellensignalen q (t), q 2 (t)und q 3 (t). f q (q ) Φ q q (f) q 2kHz 2kHz f f q2 (q 2 ) Φ q2 q 2 (f) q 2 5kHz 5kHz f f q3 (q 3 ) Φ q3 q 3 (f) q 3 8kHz 8kHz f Diese Signale sind mittels jeweils gut an die Signaleigenschaften angepasste PCM-Übertragungssysteme digital zu übertragen. a) Geben Sie die jeweils minimale Abtastfrequenz f A an, die nötig ist, um die Signale wieder störungsarm rekonstruieren zu können. b) Beurteilen Sie bei welchen Signalen durch eine nicht gleichmäßige uantisierung die Leistung des uantisierungsgeräusches verringert werden kann und bei welchen nicht. Kurze Begründung!

6 Seite 6 c) Beurteilen Sie bei welchen Signalen der Einsatz von differentieller Pulscodemodulation (DPCM)sinnvoll ist. Kurze Begründung! d) Gegeben sind nachfolgende drei Kompressorkennlinien k (q), k 2 (q)und k 3 (q). Geben Sie an bei welchen Signalen (q (t), q 2 (t)und q 3 (t)) diese jeweils sinnvoll einzusetzen sind. Kurze Begründung! k (q) k 2 (q) k 3 (q) q q q Im Folgenden wird nur noch das Signal q 2 (t)betrachtet. Nach der Abtastung (Abtastfrequenz f A =/T A )liegt das zeitdiskrete, wertkontinuierliche Signal q[k] =q 2 (kt A )vor. Von diesem Signal sind die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f q (q): f q (q) = { 3 2 ( q )2, <q< 0, sonst und die Autokorrelationsfunktion φ qq [κ] =E{q[k + κ]q[k]} bekannt: φ qq [κ] σ 2 q σ 2 q /2 σq 2 /4 σq 2 / κ Wir betrachten differentielle Pulscodemodulation (DPCM)mit dem nachstehenden Prädiktionsfehlerfilter. Grades. q[k] e[k] h 0 z e) Berechnen Sie den optimalen Koeffizienten h 0 des Prädiktionsfehlerfilters, für den die Varianz σ 2 e des Fehlersignals minimiert wird. f) GebenSiedenPrädiktionsgewinn G P in db an.

7 Seite 7 4. Aufgabe 22 Punkte Digitale Übertragung Betrachtet wird eine Datenübertragung mittels Sprachband-Modem gemäß dem ITU-T Standard V.32 über 2-Draht Telefonleitungen. Als Modulationsverfahren wird digitale uadraturamplituden-modulation (AM)verwendet. Die Trägerfrequenz beträgt 800 Hz. Für die Übertragung im Sprachband eines Telefonsystems steht ausschließlich der Frequenzbereich Hz zur Verfügung. Die Sendeleistung darf den Wert 3 dbm nicht überschreiten. Vereinfachend wird angenommen, dass die Signaldämpfung abhängig von der Länge des Übertragungsweges in diesem Frequenzbereich einheitlich 4 db/km beträgt. Als Störung wird nur thermisches Rauschen berücksichtigt. Dieses kann als additives weißes gaußsches Rauschen mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte von 0 20 W/Hz, wirksam am Empfängereingang, modelliert werden. a) Warum wird für diese Anwendung nicht Basisbandübertragung, sondern trägermodulierte Übertragung verwendet? Für die uncodierte Übertragung sieht der Standard zwei Datenraten vor: 4800 bit/s und 9600 bit/s. Bei beiden Varianten beträgt die Symbolrate 2400 Symbole/s. b) Wieviele Signalpunkte besitzt jeweils die Konstellation? c) Welcher maximale roll-off-faktor kann bei Verwendung von cos-roll-off Impulsen jeweils verwendet werden? d) Wie groß ist für beide Varianten die spektrale Effizienz? Im Folgenden soll die ualität einer Übertragung über eine 5 km lange Leitung mit einer Datenrate von 4800 bit/s untersucht werden. e) Geben Sie die maximal zulässige Sendeleistung in Watt an. Wert zum Weiterrechnen: 25 µw f) Wie hoch ist die empfangene Energie je bit, wenn der Sender mit der maximal zulässigen Leistung sendet? Wert zum Weiterrechnen: 5 0 Ws g) Welcher Wert ergibt sich für das Vergleichssignalstörleistungsverhältnis E b /N 0 vor der Detektion? Geben Sie diesen Wert auch in db an (Vergleichssignalstörabstand). Was folgern Sie an Hand dieses Ergebnisses für die zu erwartende Bitfehlerwahrscheinlichkeit?

8 Seite 8 h) Mit welcher maximalen Datenrate könnte ein informationstheoretisch optimales Übertragungsverfahren Daten fehlerfrei übertragen?

9 Seite 9 5. Aufgabe 4 Punkte Diskrete Fourier Transformation (DFT) Betrachtet werden zwei endliche Folgen der Länge 8 (k =0,,...,7): x[k] =,, 0, 0, 0, 0, 0, 0 y[k] =,,,, 0, 0, 0, 0 a) Berechnen Sie die DFT-Spektren X[µ] = DFT 8 {x[k]} und Y [µ] = DFT 8 {y[k]} (Transformationslänge M = 8). Die DFT-Spektren sollen als Polynom in w 8 (w 8 : Transformationskern der DFT der Länge 8)dargestellt werden. Hinweis: Die Spektren sollen nicht für einzelne Werte von µ ausgerechnet werden, sondern die Ergebnisse sollen als Funktionen in der Variable µ dargestellt werden. b) Welche Symmetrie-Eigenschaften weisen der Realteil und der Imaginärteil von X[µ] und Y [µ] jeweils auf? c) Berechnen Sie die zyklische Faltung z[k] der beiden Folgen x[k] und y[k]: z[k] def = x[k] y[k]. d) Bestimmen Sie mittels der DFT-Spektren (in Darstellung als Polynome in w 8 gemäß Teilaufgabe a)) eine Folge v[k] der Länge 8 so, dass die zyklische Faltung von x[k] mit v[k] die Folge y[k] ergibt: y[k]! = x[k] v[k].