II. Beschreibende Statistik

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1 II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wchtge Begrffe Aufgabe der beschrebede Statstk: Große ud uüberschtlche Datemege so aufberete, dass wege aussagekräftge Kegröße ud/oder Graphke etstehe, dee de gesamte Datemege fokussert st. Bespel: Gesamtote ees Zeugsses, de de Ezelote u.u. mt uterschedlcher Gewchtug egehe. Bespel: Befragug vo 60 Hörer eer Statstk-Vorlesug ach:. Famlestad. Studerchtug 3. Iteresse am Vorlesugsgegestad (außerordetlch teressert, sehr teressert, teressert, kaum teressert, gar cht teressert) 4. Azahl der Geschwster 5. Azahl der berets studerte Hochschulsemester 6. Körpergröße 7. Körpergewcht 8. Wegläge vo der Wohug zur Hochschule Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

2 II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wchtge Begrffe Begrffe: Beobachtugsmege (auch statstsche Masse ) Gesamthet der befragte Hörer (60 Persoe) der Statstk-Vorlesug De Beobachtugsmege muss räumlch, zetlch ud sachlch präzse defert werde, z.b.: - Räumlch: Ausbldug Aache - Zetlch: WS 07/08 - Sachlch: MATSEs Ausbldug m drtte Ausbldugsahr Möglche statstsche Masse: Natürlche Persoe, Sache (Masche, Produkte,..), Isttutoe (Betrebe, Städte, Läder,...), Eregsse (Mascheausfälle, Geburte, Todesfälle,...) Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

3 II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wchtge Begrffe Beobachtugsehet: E ezeler Hörer der Statstk-Vorlesug Beobachtugsmerkmal: Erfragte Egeschaft Merkmalsausprägug: (auch Merkmalswert ) Möglches Ergebs be der Beobachtug ees Merkmals Offeschtlch müsse verschedee Tpe vo Merkmale uterschede werde: Der Famlestad wrd aders charaktersert als de Körpergröße, ud das Iteresse am Vorlesugsgegestad hat ee adere Skala als de Studerchtug! Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 3

4 II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wchtge Begrffe Merkmalstpe: Qualtatve Merkmale De Werte brauche kee phskalsche Ehet, ochmal uterschede: - Qualtatv-omale Merkmale: Merkmalsauspräguge sd ur dem Name ach uterschedbar, drücke aber keerle Wertug oder Itestät aus. I userem Bespel: Famlestad, Studerchtug - Qualtatv-ordale Merkmale (auch Rag-Merkmale ): Merkmalsauspräguge köe zusätzlch och ee haltlch svolle Ragordug gebracht werde, aber kee deferte Skala. I userem Bespel: Iteresse am Vorlesugsgegestad Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 4

5 II. Beschrebede Statstk II. Merkmale ud wchtge Begrffe Quattatve Merkmale (auch metrsche oder kardale Merkmale) - Quattatv dskrete Merkmale: Merkmale, de ur bestmmte, auf der Zahlegerade getret legede Werte aehme köe. I.d.R. de atürlche Zahle 0,,,3,.. de durch ee Zählprozess etstehe; dazwsche köe kee Werte ageomme werde. I userem Bespel: Azahl der Geschwster, Zahl der berets studerte Semester - Quattatv stetge Merkmale: Werde durch Messug gewoe ud köe ede Wert erhalb ees svolle Itervalles aehme. I userem Bespel: Körpergröße, Körpergewcht, Wegläge vo der Wohug zur Hochschule Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 5

6 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse E dskretes Merkmal X Urlste: Lste, de drekt be der Dateerhebug etsteht. Uüberschtlch! Darstellug der Häufgketsvertelug des Merkmals X Form eer Häufgketstabelle Bezechuge: Absolute Häufgket des Merkmalswertes a : Azahl des Vorkommes des Merkmalswertes a be de beobachtete Merkmalswerte 0 ; Relatve Häufgket des Merkmalswertes a : h Absolute Häufgket : ; 0 h ; h Azahl der Beobachtuge Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 6

7 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Bespel: Befragug vo 60 erfolgreche Studeabsolvete zum Merkmal X: Azahl Fachsemester bs zum Dplom Urlste: Häufgketstabelle: Stabdagramm: Grafsche Darstellug der uklasserte Häufgketsvertelug, absolute oder relatve Häufgket der Merkmalsausprägug wrd aufgetrage a h a Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 7

8 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Häufge Fragestellug: Welcher Atel der Beobachtugsmege legt uterhalb oder oberhalb eer bestmmte Greze, bzw. zwsche zwe Greze? Bezechuge: Absolute Summehäufgket: G( ) : ( Azahl der Beobachtuge ) : Relatve Summehäufgket (emprsche Vertelugsfukto): a h H ; a H ( ) : G( ) R ; a ; a Bespel zu de Semesterzahle: Atel mt höchstes 9 Semester: H 4 0,8667 Atel mt 8 oder mehr Semester: -H -0,33330,6667 Atel mt 7 bs 9 Semester: H 4 H 0,8667-0,06670,8000 h Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 8

9 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Emprsche Vertelugsfukto: Rechtssetg stetge Vertelugsfukto mt de Merkmalswerte als Sprugstelle ud hre relatve Häufgkete als Sprughöhe H(X) Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 9

10 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse E stetges Merkmal X Sehr vele verschedee Merkmalsauspräguge, u.u. sogar be alle beobachtete Ehete verschedee Werte: Klasserte Häufgketsvertelug st svoll. Für de Gew a Überschtlchket zahlt ma mt eem Iformatosverlust, de über de Vertelug der Werte erhalb eer Klasse st da chts mehr bekat. Alle Werte eem Itervall [ a, b] Etelug des Itervalls dsukte Klasse a a 0 < a < K < a k b;.a. äqudstat; : α a A, K, A + a k ; A ( a, a als Klassemtte Absolute Klassehäufgket der Klasse A : Azahl des Vorkommes der Klasse A be de beobachtete Merkmalswerte 0 ; ] Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 0

11 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Relatve Klassehäufgket der Klasse A : h Absolute Klassehäufgket : ; 0 h ; h Azahl der Beobachtuge Relatve Häufgketsdchte der Stchprobe be Klasseetelug: h ( ) : Relatve Klassehäufgket h ; ( a; a a a Klassebrete ] Der Graph vo h() st e Hstogramm : Darstellug eer Häufgketsvertelug durch de Errchtug vo Rechtecke über de Klasse eer Zerlegug der Merkmalswerte, dere Fläche proportoal zu de (relatve) Klassehäufgkete sd. Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

12 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Faustregel für de Klassezahl k: 5 k 0 ud k Joh/Q-DAS: De Azahl der Klasse legt zwsche der Quadrat- ud Kubkwurzel vo. Es werde möglchst glatte Klassegreze gebldet. DIN 5530-: Klasserugsmodell, be dem de Forderug für de Mdestazahl der Klasse ach DIN 5530-T erst ab 00 erfüllt wrd. Be kleerem Stchprobeumfag ergbt sch de Azahl der Klasse aus der Quadratwurzel vo. DIN 5530-/Q-DAS: De Mdestazahl der Klasse st auch be eem Stchprobeumfag vo < 00 auf 0 festgelegt. Sturges/CNOMO: Modell ach der frazössche CNOMO-Norm. Quelle:Q-DAS GmbH Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

13 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Bespel: Vo 5000 Telefoate wurde eer Telefozetrale de Dauer Mute gemesse Klasserte Häufgketstabelle: Hstogramm: A h A A Wäre de Höhe der Rechtecke cht proportoal zur (relatve) Häufgketsdchte, soder zur (relatve) Häufgket, würde Klasse mt großer Brete überproportoal erschee ud es etstüde e falscher optscher Edruck! Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 3

14 II. Beschrebede Statstk II. Darstellug der Beobachtugsergebsse Welcher Atel der Beobachtugsmege legt uterhalb oder oberhalb eer bestmmte Greze, bzw. zwsche zwe Greze? Bezechuge: Absolute Summehäufgket: G( ) : Azahl der Beobachtuge ; R G( ) H ( ) : Relatve Summehäufgket (emprsche Vertelugsfukto): Klasserte Häufgketstabelle mt relatver Summehäufgket H: Emprsche Vertelugsfukto: A h H H() Be der emprsche Vertelugsfukto blde de Klasseobergreze mt hre zugeordete relatve Summehäufgkete de Stützpukte, de durch Strecke verbude werde. Dabe wrd H(a 0 )0 gesetzt. Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 4

15 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Mt statstsche Maßzahle solle de gewoee Date komprmert werde, d.h. de Charakterserug der Date erfolgt durch ege tpsche Kewerte. Dafür beötgt ma Lageparameter (Lagemaßzahle) ud Streuugsparameter (Streuugsmaßzahle), sowe be mehrdmesoale Merkmale auch Abhäggketsmaße. II.3. Lageparameter Arthmetsches Mttel (Stchprobemttel, emprscher Erwartugswert) Nur be quattatve Merkmale! Aus der Urlste mt als Ausprägug des -te Elemets: Aus der uklasserte Häufgketstabelle: m m a + + a Kam m a a Aus der klasserte Häufgketstabelle: Näherugswese möglch, dem ma de Merkmalsausprägug durch de Klassemtte ersetzt! Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 5 h k k α h α

16 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Meda (Zetralwert) Aus der Urlste ( Ausprägug des -te Elemets) Bldug der geordete Stchprobe: Aus der uklasserte Häufgketstabelle Merkmalsauspräguge a der Größe ach sortere, betrachte de relatve Summehäufgket H : Wrd be der Merkmalsausprägug a der Wert H0,5 für de relatve Summehäufgket zum erstemal überschrtte, so st des der Meda: ~ Im ebestehede Bespel: 8 Selte: Wrd H 0,5 be a geau errecht, so st der Meda das arthmetsche Mttel aus a ud a +. ( ) () K ~ + ( ( ) + ( ) ( + ) ) ugerade gerade Bespel: Studedauer Fachsemester a h H Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 6

17 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Meda (Zetralwert) Aus der klasserte Häufgketstabelle: Ma sucht der Häufgketstabelle de Efallsklasse, der zum erstemal der Wert 0,5 für de relatve Häufgketssumme errecht oder überschrtte wrd. Ierhalb deser Klasse wrd der Meda mt learer Iterpolato ermttelt. Efallsklasse ~ a 0,5 H + H H A ( a ( b ; b a ] ) Bespel: Dauer vo Telefoate A h H Efallsklasse : A (;4] ~ 0,5 0, (4 ) 0,55 0,3300 3,53 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 7

18 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Modalwert (Häufgster Wert) Großer Vortel: Im Gegesatz zum arthmetsche Mttel auch be omale Merkmale: Der Modalwert st deege Merkmalsausprägug mt der größte (absolute oder relatve) Häufgket. Be klasserte Date st de Modalklasse deege Klasse mt der größte Besetzugsdchte Bespel: Dauer vo Telefoate A Hstogramm Bespel: Studedauer Fachsemester a h H Modalklasse [0;] Modalwert a 3 8 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 8

19 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle II.3. Quatle E p-quatl p soll de Beobachtuge ee Atel p kleer als p ud ee Atel -p größer als p auftele, d.h. de emprsche Vertelugsfukto H sollte a der Stelle p de Wert p aehme: H( p )p. Da de emprsche Vertelugsfukto H ur edlch vele verschedee Werte ammt, fordert ma stattdesse, dass H a der Stelle p de Wert p übersprgt : Defto: Se H ( p p H ( heßt (emprsches) p - Quatl Wrd p vo H cht ageomme, estert geau e p -Quatl p 0 < ) < < ; p p ) > Wrd p vo H ageomme, estert p H ( p H ( e p - Quatl- Itervall. p ) + p p ) H ( mt p ) p Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 9

20 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Aus der geordete Stchprobe: K () () ( [ p] + ) p ( p) ( p+ ) Bemerkug: ( ) [ ; ] ( p) falls p gazzahlg; p-quatl-itervall ( p+ ) st falls p cht möglch! Bespel: Studedauer Fachsemester Aus der uklasserte Häufgketstabelle gazzahlg a h H 0, a 7 Oberes Quartl: Uteres Quartl: 0,75 0,5 9 7 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 0

21 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Aus der klasserte Häufgketstabelle: (Aalog zur Bestmmug des Medas!) Ma sucht der Häufgketstabelle de Efallsklasse, der zum erstemal der Wert p für de relatve Häufgketssumme errecht oder überschrtte wrd. Ierhalb deser Klasse wrd das Quatl mt learer Iterpolato ermttelt. Efallsklasse p a + p H H H A ( a ( b ; b a ) ] Bespel: Dauer vo Telefoate A h H 0,8? Efallsklasse: A5 (8;0] 0,8 0,7978 0,8 8 + (0 0,864 0,7978 8) 8,066 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

22 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle II.3.3 Streuugsmaße Vorscht mt der Bezechug Streuug : Deser Begrff ka e ach Lehrbuch/Autor uterschedlche Bedeutuge habe! Spawete (Varatosbrete, Rage): R ( ) () ma m Nachtel: E Ausreßer ka de Wert vo R stark de Höhe trebe Quartlsabstad:,75 0, 5 Q 0 Bespel: Ausreßer ach obe oder ute werde abgeschtte, robusteres Streuugsmaß als de Spawete R, reagert cht so empfdlch auf Ausreßer. Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece

23 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Boplot Quelle: Leh/Wegma Boplots sd besoders geeget, um mehrere Merkmale schell hrer Lage ud Streuug gegeeader zu vergleche: Quelle: Q-DAS GmbH Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 3

24 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Nachtel: Spawete ud Quartlsabstad werde ur vo zwe Merkmalsauspräguge bestmmt; was dazwsche passert, hat auf R ud Q kee Efluss! Gesucht: Streuugsmaß, welches alle berückschtgt! Emprsche Varaz Aus der Urlste: s ( ) Warum (-) m Neer? S. Egeschafte vo Schätzfuktoe Kap.III! Bs dah: Vorscht be der Beutzug ees Tascherechers! Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 4

25 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 5 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Aus der klasserte Häufgketstabelle: Nur äherugswese möglch, dem ma de Merkmalsausprägug durch de Klassemtte ersetzt: ) ( m m s α α Emprsche Stadardabwechug: s ) ( (Emprscher) Varatoskoeffzet: s V : Aus der uklasserte Häufgketstabelle: ) ( a a s m m

26 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle II.3.4 Leare Regresso ud Korrelato Betrachte be eer statstsche Masse zwe Merkmale: X ud Y Urlste: Bespel: Alter ud Fahrstrecke vo Kraftfahrzeuge ees Fuhrparks Graphsche Darstellug: Streudagramm (Puktwolke) Ke rchtugsloser Pukthaufe, soder wachsede Tedez mt Störug, d.h. es gbt ee Zusammehag zwsche de bede Merkmale! Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 6

27 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 7 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Zur quattatve Beschrebug des Zusammehags werde de folgede bekate Größe beötgt: ; s s ) ( ; ) ( Emprsche Varaze Arthmetsche Mttelwerte Neue Maßzahl, a der bede Messrehe glechzetg betelgt sd: Emprsche Kovaraz s Y X Cov ) )( ( ), (

28 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 8 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Aschaulche Bedeutug: Lege Ursprug ees eue Koordatesstems ach 0 ) )( ( ; > > > 0 ) )( ( ; > < < 0 ) )( ( ; < > < 0 ) )( ( ; < < > 8,6 s ) ; (

29 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Ist de Kovaraz postv, so sd große mt große gekoppelt, postve Korrelato Ist de Kovaraz egatv, so sd große mt klee gekoppelt, egatve Korrelato s s De Kovaraz st e Maß für de Rchtug des Zusammehags s s s Stärke des Zusammehags: s a + b Korrelatosrechug Art des Zusammehags: Regressosrechug Korrelatosrechug De Größe der Kovaraz lässt sch cht svoll terpretere (z.b. vo Ehet abhägg!) Emprscher Korrelatoskoeffzet r s : s s ( ( ) )( ) ( ) Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 9

30 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle r r,, [ ; ] 0 starker falleder Zusammehag ke Zusammehag starker postver Zusammehag r macht ur S, falls Zusammehag lear st! Ragkorrelato verwede Falls learer Zusammehag ohe Störug, d.h. a + b r, b b falls b > 0 falls b < 0 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 30

31 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Noses-Korrelato Ihomogetätskorrelato Geburte Störche Sortereffekt Gefahre be der Iterpretato, z.b. Schekorrelatoe Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 3

32 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Falls das Streudagramm ee leare Zusammehag rechtfertgt, ka ma durch de Pukthaufe ee Gerade lege, de möglchst gut zu de Date passt. Regressosrechug (ur lear) Leares Modell vorhade für de Zusammehag zwsche X ud Y Messrehe aus Wertepaare ( ; ), a+b optmere S( a, b) : r ( bˆ s s ; aˆ aˆ + b ˆ b ˆ a b )! m Regressosparameter Regressosgerade Resdue (Reste) r ( ˆ + ˆ a b ); r 0 Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 3

33 II. Beschrebede Statstk II.3 Statstsche Maßzahle Bestmmthetsmaß : B r r r r Egeschafte: + + ; 0 B a + b; a + b ; b b > 0 < 0 Belebte Mssverstädsse be der Iterpretato vo r : r sagt chts über de Größe der Stegug der Gerade aus! r 0 (ukorrelert) bedeutet ur, dass zwsche X ud Y ke learer Zusammehag herrscht, adere Abhäggkete sd möglch! r ahe be +/- bedeutet kee kausale Zusammehag! r ka ur gebldet werde, we bede Merkmale quattatv sd. Fachhochschule Aache - Aache Uverst of Appled Scece 33