Wie lehre ich sicheres Rechnen?

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1 Wie lehre ich sicheres Rechnen? Rechenschwierigkeiten vermeiden durch neuartiges Unterrichtsverfahren: integrativ-strukturelle Methode Zahlen-Struktur-Körper Dr. Günther Heil Vortrag, gehalten am 18. Mai 2011 Universität Leipzig

2 Gliederung: 1. Problematisierung Intention 2. Anforderungen an eine gute Rechenkompetenz 3. Neurobiologische und psychologische Aussagen 4. Unterrichtspraktische Umsetzung

3 Gibt es sicheres Rechnen im Bereich der Grundrechenarten? Es gibt: Ja Rechenwege, Rechenmethoden, Rechenverfahren, die bei fachrichtiger Ausführung zu einem richtigen Rechenergebnis führen. Anforderung an die Unterrichtenden: Welche Lehr- und Lernmethoden, welche Lehr- und Lernmittel führen die/den Lernende/n zu einem umfassenden Verständnis und einem sicheren Ausführen der erforderlichen Rechenoperationen?

4 Die vorgestellte Lehr- und Lernmethode ist mit rechenschwachen Kindern aufgrund derer geäußerten Lernbedürfnisse entwickelt worden; in der Dyskalkulietherapie seit vielen Jahren erfolgreich eingesetzt und der Erfolg ist evaluiert; in der Elementarbildung in ihrem frühkindlichen Ansatz mit überwältigendem Ergebnis evaluiert worden; in der Primarbildung (Grundschule) erfolgreich eingesetzt (Evaluierungsphase).

5 2. Anforderungen an eine gute Rechenkompetenz Untersuchung zur Entwicklung von Rechenkompetenzen bei Grundschülern Zusammenfassung der Anforderungen: 2.1 Stellenwertsystem 2.2 Analogiewissen: - Zahlenraumaufbau - Analog-strukturelles Zahlenrechnen 2.3 Zahlzerlegung 2.4 Auswendigwissen: - Denksequenzen, z. B. Zehnerübergang - Reihenfolge der Rechenschritte - Einmaleins 2.5 Kopfrechnen Zahlenrechnen 2.6 Rundungsregel 2.7 Schätzkompetenz (Rathgeb-Schnierer 2010)

6 2.1 Stellenwertsystem Sicheres Verständnis des Stellenwertsystems notwendig für Aufbau des Zahlenraumes große Zahlen und Zahlvorstellungen Schätzen und Überschlagen analog-strukturelles Zahlenrechnen Entwicklung effektiver Rechenstrategien (statt z. B. zählendes Rechnen) schriftliches Rechnen

7 2.1 Stellenwertsystem Strukturen des dezimalen Stellenwertsystems für Anfangsunterricht: Ziffern: 0 bis 9 Stellenwertpositionen: Einer, Zehner, Hunderter usw. Einerzahlen: 0 bis 9 Zehnerzahlen: 10 bis 99

8 2.1 Stellenwertsystem Einerzahlen Hälfte Hälfte Rundungsregel

9 2.2 Analogiewissen Zahlaufbau Gleiche Einerreihe in jedem Zehnerraum

10 2.1 Stellenwertsystem Dezimal system in Mengendarstellung Kraft der 5 1. Hälfte 2. Hälfte

11 2.1 Stellenwertsystem Ein Zehnerstab wird umgetauscht in 10 Einerwürfel Dieser Vorgang ermöglicht es, Elemente von der nächst kleineren Einheit wegzunehmen (Scherer/Moser Opitz 2010, 132, Hervorh. Referent) Zehner stab nächst kleinere Einheit: Einer

12 Gegenüberstellung Dezimales Mengensystem: Einer Hälfte Hälfte Hälfte Hälfte Dezimales Stellenwertsystem: Einer

13 2.1 Vermittlung Stellenwertsystem vorwiegend über Menge Irritationen für den Schüler? Risiken Verunsicherungen!

14 2.1 Stellenwertsystem Weg des Erlernens des Rechnens über Stellenwertsystem ist langfristig erfolgreich und nachhaltig. (vgl. Scherer 2010) Konsequenz zum Vermitteln des Stellenwertsystems: Lernmittel Menge: hilfreich, aber Risiken anderes sicheres Lernmittel (dazu) nötig

15 2.1 Stellenwertsystem Lernmittel zur Vermittlung der dezimalen Strukturen des Stellenwertsystems: Zahlen-Struktur-Körper

16 2.1 Stellenwertsystem Stellenpositionen: Zahlen-Struktur-Körper Einer Zehner Hunderter Tausender

17 Stellenposition Zehner ( = Z) Stellenkörper Stellenwert 3 Zehner Stellenwert-Körper Ziffernwert 30

18 Welche Zahl ist das? Wie sind Sie vorgegangen?

19 Rechnen Sie bitte im Kopf: 3. Konsequenzen für den Unterricht Der Mensch denkt zum Rechnen in mit Ziffern notierten Zahlen, nicht in Mengen. Der Schüler braucht ein Lernmittel, das ihm das So versteht er leichter jeden Denkschritt und rechnerische Denken in Zahlen zeigt. kann ihn lernend nachvollziehen.

20 3.1 Aussagen zum Mathematikdidaktik: Neurobiologie Bei räumlicher Verarbeitung von Zahlen zeigen rechenschwache Kinder geringere neuronale Netzwerke Gehirnaktivität (v. Aster/Kucian 2005)

21 3.1 Aussagen zur Mathematikdidaktik: Neurobiologie Innerer, mentaler Zahlenstrahl wichtig zur: Zahlvorstellung Größeneinschätzung einer Zahl Schweiter u.a. (2005), Göbel (2007) Lonnemann (2008), Knops, Andrè u.a. (2009)

22 3.1 Aussagen zur Mathematikdidaktik : Entwicklungspsychologie Entwicklungspsychologische Untersuchungen: (vgl. Resnick 1979, Dehaene 1999, Wember 2003) Für Zahlverständnis und zum Zahlenrechnen ist Lernen über Zahlenstrahl kindgemäßer, leichter und verständlicher didaktisch viel versprechender als Lernen mit Mengen.

23 3.2 Aussagen zum mathematikmethodischen Vorgehen Konsequenz zum Rechnen : Zahlbegriff, Zahlenraumverständnis Grundrechenarten Mathematische Basis und methodisches Ziel: dezimales Stellenwertsystem Lernbeginn: ordinaler Zahlenstrahl Erweiterung: Mengen

24 Kardinaler Zahlbegriff (Mächtigkeit) Drei Dimensionen des Zahlbegriffs Struktureller Zahlbegriff (Struktur des Stellenwertsystems) Ordinaler Zahlbegriff (Zahlenreihe)

25 3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff Ordinaler Zahlbegriff (= Zahlenreihe) Position der Zahl in Zahlenreihe Aufbau der Zahlenreihe nach Stellenwertsystem Zahl Null als Bezugspunkt größere bzw. kleinere Zahlen (Entfernung von Null) Nachbarzahlen (Nebenpositionen in Zahlenreihe) Vorgängerzahl (1 Position näher zur Zahl Null) Nachfolgerzahl (1 Position weiter zur Zahl Null) Relationalzahl (Zählschritte zeigen Abstand zwischen 2 Zahlen)

26 4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff

27 4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff: größer - kleiner Zahl 0 als entscheidende Bezugsgröße größere Zahl: weiter von Null entfernt kleinere Zahl: näher bei 0.

28 Nachbarzahlen 3.3 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff

29 4.1 Methodische Umsetzung: Ordinaler Zahlbegriff Relationalzahl durch Zählschritte: Zwischen 2 und 5 sind 3 Zählschritte Zwischen 5 und 2 sind ebenso 3 Zählschritte

30 3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff Kardinaler Zahlbegriff (= Mengen) Anzahlen erfassen, bündeln größere bzw. kleinere Zahlen (mehr bzw. weniger Elemente) Nachbarzahlen (Unterschied 1 Element) Vorgängerzahl (1 Element weniger) Nachfolgerzahl (1 Element mehr) Relationalzahl (Unterschied zweier Mengen)

31 4.1 Kardinaler Zahlbegriff Mengen und Zahlenreihe

32 Die Einer- Häuser nach dem Zehner- Turm gehören zu ihm. Zu Zahlen nach dem Zehner-Turm gehören seine Mengen. 2 3 Integrativ-struktureller Ansatz Mengengarten Land der Zahlenzwerge 9 Zahlenseil Einer-Haus

33 3.2 Schulisches Lernen: Zahlbegriff Struktureller Zahlbegriff (= Strukturen des dezimalen Stellenwertsystems) Stellenposition(en) Ziffer(n) und ihre Wert(e)

34 4.1 Methodische Umsetzung: Struktureller Zahlbegriff Problemlösung: Nullen auf Stellenpositionen zeigen

35 4.2 Unterrichtliche Umsetzung: Zahlzerlegung Der Zerlegesack Zahlentriple: 5 2 3

36 4.3 Ordinales Rechnen Minus-Rechnen: Zählschritte zur Zahl = Minus-Rechnen ohne Angst

37 4.3 Ordinales Rechnen Plus-Rechnen: Zählschritte weg von der Zahl =

38 4.3 Rechnen mit Mengen (kardinal) Plus-Rechnen mit dem Zerlegesack = 6

39 4.3 Minus-Rechnen mit Mengen (kardinal) Minusrechnen aus dem Zerlegen 5 3 =

40 4.3 Aktiv-entdeckendes Rechnen Überlege dir selbst die 4 Rechnungen!

41 4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang Zehnerübergang Erlernen bei der Zahl 10: Sicherheit geben durch Rechenverfahren, mit gleichen Denkschritten bei Über- wie Unterschreitung

42 Dreischritt mit Zerlegen z. B = Zehnerübergang 1. Denkschritt: 12 2 = Denkschritt: 5 zerlegen in 2 und 3 3. Denkschritt: 10 3 = 7

43 4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang Übergang über 10 Rechenaufgabe: 13-7 Wichtige Vorüberlegungen: a) Kann 3 7 gerechnet werden? b) Mathematisch-strukturelle Bedeutung: Wechsel von einer Einerreihe in die andere Einerreihe

44 4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang (methodische ordinal-strukturelle Veranschaulichung) 7 bedeutet: Auf dem Zahlenstrahl in Zählschritten zur Null. 1. Denkschritt: 13 3 = 10

45 4.4 Rechnen beim Zehner-Übergang 2. Denkschritt: 7 werden zerlegt in 3 und 4.

46 4.4 Ordinales Rechnen beim Zehner-Übergang 3. Denkschritt: 10 4 =

47 Zehnerübergang Vermittlung des Denkablaufs durch Bewegen der Zahlen- Struktur-Körper an Vorlage(feinmotorisches Lernen) Feinmotorisches Bewegungsmuster lenkt und schult Denkmuster Sicheres Wissen der Denkschritte

48 + a) b) 0 c)

49 4.5 Rechnen mit großen Zahlen 1. Mangelndes oder fehlendes Verständnis für das Stellenwertsystem, verhindert erfolgreiches Rechnen mit großen Zahlen. (Scherer/Moser Opitz 2010) 2. Rechnen lernen über das Stellenwertsystem ist langfristig erfolgreicher und nachhaltiger. (Scherer 2010)

50 4.5 Strukturelles Rechnen mit Zahlen-Struktur-Körpern Es ist bei großen Zahlen nur nötig: Minus und Plus von 0 bis 10. Zerlegen bei Zahlen 2 bis 9 Stellenübergang (exemplarisch erlernt und automatisiert bei 10) Dezimale Stellenwertstruktur bei Ziffern berücksichtigen zum Erhalt des Ziffernwertes.

51 4.5 Strukturelles Rechnen im Stellenwertsystem Leichtes Verständnis und erhebliche Sicherheit durch strukturell-analoges Rechnen im Stellenwertsystem erlernt mit Zahlen-Struktur-Körpern

52 4.5 Strukturell-analoges Rechnen Blick auf gleiche Rechenanforderung lenken = 7 + = = =

53 4.5 Strukturell-analoges Rechnen beim Zehnerübergang

54 4.5 Zahlenrechnen Rechnen erlernen mit Zahlen-Struktur-Körpern schult das Kopfrechnen.

55 4.5 Rechnen mit großen Zahlen Rechnen mit großen Zahlen erlernen: Bewegen der Zahlen-Struktur-Körper entlang eines Ablaufdiagramms zeigt Reihenfolge der Rechenschritte.

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57 4.6 Multiplikation Grundsätzliches Verständnis des Einmaleins als Addition. Dann: Sicheres, rasches Wissen der Einmaleins- Ergebnisse Ableiten, Nachbaraufgaben birgt Fehlerrisiko für Einmaleins-Ergebnisse

58 4.6 Multiplikation Einprägen des Ergebnisses als Zahlkörperbild.

59 4.6 Division erforderlich: Beherrschung der Multiplikation vermitteln: Division ist die Umkehrrechnung der Multiplikation Lernmittel: Zerlegesack

60 4.6 Division Zahlentriple = = 6 6 : 2 = 3 6 : 3 = 2

61 4.7 Schriftliches Rechnen An Stelldiagrammen erfährt der/die Lernende bei schriftlicher Multiplikation und Division die einzelnen Denkabläufe des Rechnens durch Bewegen der Zahlen-Struktur-Körper.

62 Schriftliche Multiplikation

63 4.8 Bruchrechnen Durch handelnden Einsatz der Zahlen-Struktur-Körper eignet sich der/die Lernende die Strukturen des Denkens beim Bruchrechnen an.

64 4.8 Bruchrechnen Gleichnamige Nenner gezeigt als gleiche Körper und gleiche Farben

65 4.8 Bruchrechnen: Multiplikation Durch Bewegen der Zahlen-Struktur-Körper sicheres Denken aneignen

66 4.8 Bruchrechnen: Division Division ist Multiplikation mit Kehrbruch

67 4.9 Schätzrechnen: plus

68 4.9 Schätzrechnen: mal

69 Konsequenz Zum Aufbau fundierter und sicherer Kompetenzen bei Grundrechenoperationen: Vermittlungsweg über Stellenwertsystem

70 Konsequenz Lernmittel muss Strukturen des Stellenwertsystems sicher und eindeutig zeigen Zahlen-Struktur-Körper

71 Danke!