2 Einführung in die lineare Algebra

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1 2 Einführung in die lineare Algebra 2. Vektorräume und ihre Unterräume Definition 2... Sei K ein Körper. Ein Vektorraum über K (oder K-Vektorraum) ist eine Menge V mit einer Addition genannten Verknüpfung V V V : (x, y) x + y und einer Skalarmultiplikation genannten Verknüpfung sodass gilt K V V : (λ, x) λ x, (V) (V.+) ist eine abelsche Gruppe; mit neutralem Element (oder auch in Handschrift ). (V2) α, β K, x V : (α + β) x = α x + β x; (V3) α K, x, y V : α (x + y) = α x + α y; (V4) α, β K, x V : (αβ) x = α (β x); (V5) x V : x = x (hier ist = K das Einselement in K). Die Elemente in V heißen Vektoren, die Elemente in K heißen Skalare. Element V heißt Nullvektor. Das Bemerkung. () x V : x =. (2) λ K, x V : ( λ) x = (λ x). Insbesondere gilt ( ) x = x. Beispiel. () K n mit Addition (x,..., x n )+(y,..., y n ) = (x +y,..., x n + y n ), Skalarmultiplikation λ (x,..., x n ) = (λx,..., λx n ). (Man veranschauliche sich dies durch ein Bild einer Vektoraddition/Skalarmultiplikation im R 2.) (2) K N = {(x n ) n N = (x, x 2, x 3,...) x n K} mit Addition (x n ) n N + (y n ) n N = (x n + y n ) n N, Skalarmultiplikation λ (x n ) n N = (λx n ) n N. (3) C als R-Vektorraum (Skalarmultiplikation ist gewöhnliche Multiplikation in C von Elementen in R C mit solchen aus C).

2 (4) Ähnlich: R als Q-Vektorraum, oder allgemeiner: Falls R ein Ring ist der einen Körper K als Unterring hat, so wird R auf natürliche Weise ein K-Vektorraum. (5) R[X] (Polynome über R) als R-Vektorraum (man kann R[X] als Ring auffassen, der R als Unterring hat und obiges Prinzip anwenden). R[X] n (Polynome vom Grad n N ) ist R-Vektorraum. (6) M nichtleere Menge, Abb(M, K) als K-Vektorraum: f + g : M K : x f(x) + g(x), λ f : M K : x λf(x) (7) L(K n ) = {f Abb(K n, k) a,..., a n K : f(x,..., x n ) = a x a n x n }, die linearen Abbildungen von K n nach K, als K-Vektorraum (Addition, Skalarmultiplikation wie in Abb(K n, K). Bemerkung. Das Lösen eines linearen Gleichungssystems ist nichts anderes als das simultane Lösen von Gleichungen f (x,..., x n ) = b f 2 (x,..., x n ) = b 2.. f m (x,..., x n ) = b m mit f i L(K n ), b i K. Die Vektorraumstruktur von L(K n ) kann dann benutzt werden, um solche Systeme zu lösen. Definition K Körper, V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U von V heißt Untervektorraum (oder Unterraum, oder Teilraum) von V falls gilt: (UV) U ; (UV2) x, y U: x + y U (d.h. U ist abgeschlossen bzgl. Vektoraddition); (UV3) x U. λ K: λ x U (d.h. U ist abgeschlossen bzgl. Skalarmultiplikation). Bemerkung. () U Unterraum von V = U. (UV) kann also ersetzt werden durch: (UV ) U. (2) Ein Unterraum U eines Vektorraums V ist selber ein Vektorraum mit der von V geerbten Vektoraddition und Skalarmultiplikation. (3) Man kann (UV2) und (UV3) durch ein einziges Axiom ersetzen: (UV4) α, β K, x, y U: α x + β y U. 2

3 Beispiel. () v R 2. Rv := {λ v λ R} ist Unterraum von R 2. Falls v, so ist (man mache ein Bildchen) Rv die Gerade durch den Urprung in Richtung v. (2) v, w R 3. Rv + Rw := {λ v + µ w λ, µ R} ist Unterraum von R 3. Falls v, w, nicht Vielfache voneinander, so ist (man mache ein Bildchen) Rv + Rw die Ebene durch den Urprung, die durch v und w aufgespannt wird. (3) Man kann in obigen Beispielen R durch K und R 2 bzw. R 3 durch einen beliebigen K-Vektorraum V ersetzen, und erhält mit v, w V, dass Kv und Kv + Kw Unterräume von V sind. (4) {(x n ) n N lim n x n = }, die Nullfolgen in R N, bilden einen Unterraum von R N. (5) {(x n ) n N lim n x n existiert und ist endlich}, die konvergenten Folgen in R N, bilden einen Unterraum von R N. (6) {f Abb(M, K) f(m ) = }, die Abbildungen, die in m M eine Nullstelle haben, bilden einen Unterraum von Abb(M, K). (7) I R Intervall, Abb st (I, R) := {f Abb(I, R) f ist stetig} ist ein Unterraum von Abb(I, R). (8) L(K n ) ist ein Unterraum von Abb(K n, K), und auch ein Unterraum von Abb st (K n, K). (9) R[X] n ist ein Unterraum von R[X]. () Jeder Vektorraum V hat {} und V als Unterräume. () Z 2 R 2 ist kein Unterraum ((UV2) gilt, (UV3) gilt nicht); R(, ) R(, ) R 2 ist kein Unterraum ((UV3) gilt, (UV2) gilt nicht); {(x, y) R 2 3x+5y = } R 2 ist kein Unterraum (dies ist eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht; (UV2), (UV3) gelten beide nicht) Aber: {(x, y) R 2 3x + 5y = } R 2 ist ein Unterraum (parallel zur obgigen Geraden, nun aber durch den Ursprung). Satz K Körper, V K-Vektorraum, U,..., U n Unterräume von V. Dann gilt: () U... U n ist ein Unterraum von V ; 3

4 (2) U U n := {x x n x i U i } ist ein Unterraum von V. Lemma K Körper, V K-Vektorraum, U Unterraum von V. Seien n N, x,..., x n U, λ,..., λ n K. Dann gilt: n i= λ i x i U. Definition und Satz K Körper, V K-Vektorraum, n N, x,..., x n V. Die Menge n Lin{x,..., x n } := { λ i x i λ i K} heißt lineare Hülle oder Spann von x,..., x n. Ihre Elemente heißen Linearkombinationen von x,..., x n. Lin{x,..., x n } ist ein Unterraum von V und wird der von x,..., x n erzeugte oder von x,..., x n aufgespannte Unterraum genannt. Beispiel. () v, w R 2 \ {}, keine Vielfachen voneinander. Dann ist die von v, w aufgespannte Ebene genau Lin{v, w}. (2) R[X] n = Lin{, X, X 2,..., X n }. Definition und Satz K Körper, V K-Vektorraum, M V. i= Falls M =, so definiert man Lin(M) := {}. Falls M, so definiert man n Lin(M) := { λ i x i n N, λ i K, x i M}, i= d.h. Lin(M) besteht aus allen endlichen Linearkombinationen, die sich mit Elementen aus M bilden lassen. Lin(M) heißt lineare Hülle oder Spann von M. Es gilt: () Lin(M) ist ein Unterraum von V. (2) Sei U V ein Unterraum mit M U. Dann gilt Lin(M) U, d.h. Lin(M) ist der kleinste Unterraum von V, der M enthält. 2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Definition Ein LGS über einem Körper K von m Gleichungen in n Unbekannten x,..., x n ist ein Gleichungssystem der Form a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m 4

5 mit a ij K, b i K ( i m, j n). Die Elemente a ij heißen Koeffizienten des LGS, die Elemente b i die rechten Seiten. Das LGS heißt homogen falls b =... = b m =, andernfalls inhomogen. Eine Lösung dieses LGS ist ein n-tupel (x,..., x n ) K n welches die obigen m Gleichungen simultan erfüllt. Beispiel. (i) Über Q: n = 3, m = 5, x x 2 + x 3 = 3x 2 + 2x 3 = 5 5x 3 = a = a 2 = a 3 = b = a 2 = a 22 = 3 a 23 = 2 b 2 = 5 a 3 = a 32 = a 33 = 5 b 3 = Lösen von unten nach oben ergibt genau eine Lösung: (x, x 2, x 3 ) = (6, 3, 2). (ii) Über C: x + 2ix 2 = 3 3ix 6x 2 = + i Gleichung (2) minus 3i mal Gleichung () ergibt = 8i, also keine Lösung. (iii) Über R x + 2x 2 + 3x 3 = 3x x 2 + 2x 3 = Subtrahiere 3 mal Gleichung () von Gleichung (2) = x 2 = x 3, setze dies in Gleichung () ein = x = x 3. Man kann also x 3 frei wählen, z.b. x 3 = a R, und damit sind alle Lösungen von der Form (x, x 2, x 3 ) = ( a, a, a) = a(,, ), a R (anschaulich: die Lösungsmenge ist eine Gerade in R 3 durch den Ursprung). Definition m, n N, K Körper. Eine m n-matrix M mit Koeffizienten in K ist eine rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij K, i m, j n der Form a a 2... a n a 2 a a 2n M =... a m a m2... a mn 5

6 a ij heißt der ij-te Koeffizient von M oder der Koeffizient in der i-ten Zeile und j-ten Spalte. m ist die Anzahl der Zeilen, n die der Spalten. M m n (K) bezeichnet die Menge aller m n-matrizen mit Koeffizienten in K (oder über K ). Falls m = n so schreibt man kurz M n (K) statt M n n (K). Eine n-matrix (a... a n ) nennt man auch Zeilenvektor oder genauer n- Zeilenvektor, Eine m -Matrix genauer m-spaltenvektor. a. a m nennt man auch Spaltenvektor oder Bemerkung. Eine m n-matrix besteht aus m n-zeilenvektoren, bzw. aus n m-spaltenvektoren. Die obige Matrix M schreibt man auch kurz als M = (a ij ) i m j n oder einfach M = (a ij ) wenn die Zeilenanzahl m/spaltenanzahl n klar ist (wie z.b. im Ausdruck (a ij ) M m n (K)). Definition Dem LGS über K aus Defintion 2.2. ordnet man die folgende Matrix A M m n (K) und den folgenden m-spaltenvektor b zu: a a 2... a n a 2 a a 2n b A := b :=.... b a m a m2... a m mn und man spricht vom LGS a a 2... a n b a 2 a a 2n b a m a m2... a mn b m bzw. vom LGS (A b). Man nennt A die Matrix dieses LGS, und (A b) die erweiterte Matrix dieses LGS. Man definiert die Lösungsmenge dieses LGS als L(A b) := {(x,..., x n ) K n (x,..., x n ) ist eine Lösung des LGS (A b)} 6

7 Beispiel. Mit den Beispielen vom Anfang von Abschnitt 2.2: (i) (A b) = 3 2 5, L(A b) = {(6, 3, 2)}. 5 ( ) 2i 3 (ii) (A b) =, L(A b) =. 3i 6 + i ( ) 2 3 (iii) (A b) =, L(A b) = {(a, a, a) a R}. 3 2 Satz Sei (A b) ein LGS über einem Körper K mit A M m n (K), b ein m-spaltenvektor. Sei =. der m-spaltennullvektor. (i) L(A ) ist ein linearer Untervektorraum von K n. (ii) Falls das LGS (A b) eine Lösung besitzt, sagen wir c = (c,..., c n ) K n, so gilt L(A b) = c + L(A ) = {c + u u L(A )}, d.h. die Lösungen vom LGS (A b) sind genau die Elemente, die sich als Summe von einer speziellen Lösung von (A b) und den verschiedenen Lösungen des homogenen LGS (A ) schreiben lassen. Beispiel. (i) LGS: 2x x 2 = 2. Hier: (A b) = (2 2). L(A ) = {(x, 2x) x K} = K (, 2), (, ) ist spezielle Lösung von (A b) = L(A b) = (, ) + K (, 2) = {( + a, 2a) a K} (oder auch L(A b) = (, 2) + K (, 2)). (ii) LGS über R: [ x + 2x 2 + 3x 3 = 3x x 2 + 2x 3 = 3 ] ( 2 3, (A b) = L(A ) = R (,, ) (siehe früheres Beispiel), (,, ) ist spezielle Lösung von (A b) = L(A b) = (,, ) + R (,, ) (oder auch L(A b) = (,, ) + R (,, ), oder...). Definition und Satz Zwei LGS (A b) und (A b ) mit A, A M m n (K) heißen äquivalent, (A b) (A b ), wenn sie durch eine Kette von sogenannten elementaren Umformungen der folgenden Art ineinander übergeführt werden können:. Vertauschen zweier Gleichungen; 7 ),

8 2. Multiplizieren einer Gleichung mit einem a K ; 3. Ersetzen der i-ten Gleichung durch die Summe der i-ten Gleichung plus α mal der j-ten Gleichung, wobei α K und i j. Falls (A b) (A b ), so gilt L(A b) = L(A b ) (äquivalente LGS haben die gleiche Lösungsmenge). Beispiel Gl.(3)+Gl.() Gl.(3)+3 Gl.(2) Gl.(2) 2 Gl.() Gl.(2) Gl.(3) /4 Gl.(3) /4 Dies liefert (von unten nach oben): x 3 = 3 4, x 2 = x 3 = 4, x = (2x 2 x 3 ) = 5 4, also L(A b) = {( 5 4, 4, 3 4 )}. Beispiel. Gl.(2) 2 Gl.() Gl.(3) 3 Gl.(2) Gl.() Gl.(2) Gl.(2) Gl.(3) /5 Gl.(3) /5 7/5 Die Variable x 4 kann somit frei gewählt werden, z.b. x 4 = a R. Damit ergibt sich (von unten nach oben): x 3 = 7 4a, x = 3 a, x 5 5 = a, und somit 5 5 (in Spaltenform) x x 2 x 3 x 4 = a a R.

9 Also: L(A b) = (6, 3, 7, )+R(3,, 4, 5), insb. ist (6, 3, 7, ) eine spezielle 5 5 Lösung und L(A ) = R(3,, 4, 5). Satz (Gauß-Verfahren, Stufenform) (a) Jedes LGS (A b) (mit A M m n (K) läßt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes LGS (Â b) in folgender Stufenform überführen: x k â n x n = b x k â 2n x n =.... b 2. x kr â rn x n = b r = b r+.. = b m mit k < k 2 <... < k r n, r m, wobei â iki = für i r, â ij = für j < k i und ebenfalls â ij = für i > r. (b) LGS (Â b) (und damit LGS (A b)) hat eine Lösung genau dann, wenn b r+ =... = b m =. In dieser Situation erhält man alle Lösungen, indem man die x j mit j {k,..., k r } frei wählt, und die übrigen x kr, x kr,..., x k2, x k sukzessive von unten nach oben aus den r oberen Gleichungen berechnet. Beispiel. Gl.(3) Gl.() Gl.(4) 2 Gl.() Gl.() Gl.(2) Gl.() Gl.(3) Gl.(3) Gl.(2) Gl.(4)+Gl.(2) Man hat drei freie Variablen x 2, x 4, x 5. Nun lassen sich x, x 2 in Abhängigkeit der freien Variablen bestimmen: x 3 = 2 3x 4 3x 5, x = 2x 2 x 4 9

10 oder mit x 2 = a, x 4 = b, x 5 = c: x x 2 x 3 x 4 = 2 + a x b 3 + c 3 Bemerkung. Die Zahl r in bezeichnen wir mit Rang des LGS. Wir werden sehen: egal wie man (A b) mittels elementarer Umformungen in Stufenform umwandelt, der so erhaltene Rang ist immer der gleiche. Definition Sei A M m n (K). Die folgenden Umformungen der Matrix A heißen elementare Zeilenumformungen (Spaltenumformungen):. Vertauschen zweier Zeilen (Spalten); 2. Multiplizieren einer Zeile (Spalte) mit α K ; 3. Addieren des α-fachen der j-ten Zeile (Spalte) zur i-ten Zeile (Spalte), wobei i j und α K. 2.3 Basis und Dimension Erinnerung. Gegeben ein K-Vektorraum V, ein Vektorensystem x,..., x n in V. Eine Linearkombination in den x i ist ein Vektor der Form λ x λ n x n mit λ i K. Die λ i heißen Koeffizienten dieser Linearkombination. Der Spann (die lineare Hülle) Lin{x,..., x n } ist der Untervektorraum aller solcher Linearkombinationen. ( ) ( ) ( ) Beispiel. In R 3, betrachte das Vektorensystem e =, e 2 =, e 3 =. Man zeigt leicht: Lin{e, e 2, e 3 } = R 3. Es gilt sogar: zu jedem x R 3 gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten λ i R mit x = λ e + λ 2 e 2 + λ 3 e 3. Definition Sei x,..., x n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V. () x,..., x n ist ein Erzeugendensystem von V falls gilt: Lin{x,..., x n } = V. (2) Das Vektorensystem x,..., x n ist linear unabhängig wenn für alle λ,..., λ n K gilt: λ x λ n x n = = λ =... = λ n =. Ein Vektorensystem ist linear abhängig, falls es nicht linear unabhängig ist.

11 Satz Sei x,..., x n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. () Das System x,..., x n ist linear unabhängig. (2) λ,..., λ n, µ,..., µ n K gilt: λ x λ n x n = µ x µ n x n = λ = µ,..., λ n = µ n. ( ) ( ) Beispiel. Betrachte in R 3 das Vektorensystem x =, x 2 =, x 3 = ( ). Angenommen λ x + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 =. Man erhält das LGS Also λ + λ 2 = λ + λ 3 = λ 2 + λ 3 = elementare Umformungen 2 Falls 2 in K (z.b. in K = R), so gilt also 2λ 3 =, also λ 3 =, damit λ 2 =, und damit λ =. Das System ist also linear unabhängig. Falls 2 = in K (z.b. in K = Z/2), so gilt immer 2λ 3 =. Also kann λ 3 K beliebig gewählt werden, λ 2 + λ 3 = impliziert dann λ 2 = λ 3 = λ 3 (da = 2 = +, also = ). Und damit auch λ = λ 2 = λ 3. Alle möglichen Linearkombinationen, für die gilt λ x + λ 2 x 2 + λ 3 x 3 =, erhält man in diesem Fall für (λ, λ 2, λ 3 ) = (a, a, a) mit a K beliebig. Insbesondere gilt für a = : x + x 2 + x 3 =, die x i sind also linear abhängig. Bemerkung. () Falls ein Vektorensystem x,..., x n den Nullvektor enthält (z.b. x = ), so ist es linear abhängig. (2) Falls in einem Vektorensystem x,..., x n ein Vektor ein Vielfaches eines anderen ist (z.b. x = λx 2 ), so ist es linear abhängig. Korollar ( Gegeben ein Vektorensystem x,..., x n in K m der Form x i = ai ), i n, a ij K. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:. a mi () Das System x,..., x n ist linear unabhängig.

12 (2) Das LGS a λ + a 2 λ a n λ n =.... a m λ + a m2 λ a mn λ n = hat als einzige Lösung λ =... = λ n =. Definition Ein Vektorensystem x,..., x n in einem K-Vektorraum V ist eine Basis von V falls es linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V ist. ( ) ( ) Beispiel. Betrachte in R 3 das Vektorensystem x =, x 2 =, x 3 = ( ). Wir haben schon gesehen: Das System x, x 2, x 3 ist linear unabhängig. Ist es ein Erzeugendensystem ( von R 3? Um dies zu zeigen, müssen wir versuchen, ab ) einen beliebigen Vektor R 3 als Linearkombination der x c i zu schreiben, d.h. wir müssen λ, λ 2, λ 3 R finden mit a b = λ + λ 2 + λ 3, c dies bedeutet, dass man das LGS a b c lösen muss. Mit dem Gauß-Verfahren findet man die Lösung (λ, λ 2, λ 3 ) = (a + b c, a b + c, a + b + c). 2 Also ist x, x 2, x 3 auch ein Erzeugendensystem von R 3. Satz Sei x,..., x n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V. Die folgenden Aussagen sind äquivalent. () Das System x,..., x n ist eine Basis von V. (2) Jedes x V lässt sich schreiben als Linearkombination x = λ x λ n x n mit eindeutig bestimmten λ,..., λ n K. 2

13 Beispiel. In K n betrachte c = ( c. c n e i :=.. i-te Zeile e,..., e n ) bildet dann eine Basis von K n, genannt Standardbasis von K n. Falls K n, so ist natürlich c = n i= c ie i, die Koeffizienten in dieser Linearkombination entsprechen also den Komponenten ( Koordinaten ) des Spaltenvektors c, Bemerkung. In einem Vektorraum gibt es i.a. viele verschiedene Vektorensysteme, die die Eigenschaften einer Basis erfüllen, d.h. die Wahl einer Basis ist i.a. nicht eindeutig. Bemerkung () Ist das Vektorensystem v,..., v n linear unabhängig, so auch jedes Teilsystem v i,..., v ir, i <... < i r n. (2) Ist das Vektorensystem v,..., v n linear abhängig, so auch jedes Vektorensystem v,..., v n, v n+,... welches v,..., v n enthält. (3) Die lineare (Un)abhängigkeit hängt nicht von der Reihenfolge der Vektoren im Vektorensystem ab. (4) Das nur aus dem Nullvektor bestehende Vektorensystem ist linear abhängig, und damit auch jedes Vektorensystem, welches enthält. (5) Wenn es im Vektorensystem v,..., v n Indizes i j gibt mit v i = λv j, λ K, so ist dieses Vektorensystem linear abhängig. Lemma Sei v,..., v n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V. Dann sind äquivalent: () v,..., v n sind linear abhängig; (2) v i in diesem Vektorensystem mit v i Lin{v,..., v i, v i+,..., v n }. Beispiel. Im R-Vektorraum der Polynome R[X] kann es kein endliches Erzeugendensystem geben (man argumentiere mit dem Grad von Polynomen). Kann man trotzdem sinnvoll den Begriff einer Basis von R[X] definieren? 3

14 Erinnerung: Sei M eine beliebige Teilmenge eines K-Vektorraums V. Man defniert Lin(M) als den Unterraum aller endlichen Linearkombinationen, die sich aus Vektoren aus M bilden lassen: Lin(M) = { n i= λ ix i n N, λ i K, x i M} Definition Sei M eine Teilmenge eines K-Vektorraums V. () M heißt linear unabhängig falls n N, x,..., x n M mit x i x j falls i j gilt, dass das Vektorensystem x,..., x n linear unabhängig ist. (2) M heißt Basis von V, falls M linear unabhängig ist und Lin(M) = V (d.h. M ist ein Erzeugendensystem von V ). Beispiel. Der R-Vektorraum R[X] hat als Basis z.b. {, X, X 2, X 3,...}. Satz Sei V ein K-Vektorraum und M = {x i V i I} V, wobei I eine geeignete Indexmenge ist und x i x j für i j. Dann sind äquivalent: () M ist Basis von V ; (2) Jedes x V lässt sich auf eindeutige Weise schreiben als x = i I λ ix i mit λ i K, wobei nur endlich viele der λ i sind (man sagt auch: fast alle λ i = ). Satz Jeder K-Vektorraum V besitzt eine Basis. Zum Beweis braucht man einen Satz aus der Mengenlehre, das sogenannte Zornsche Lemma. Dies würde im Rahmen der Vorlesung zu weit führen, deshalb ersparen wir uns den Beweis und werden nur den Beweis im Spezialfall endlich erzeugter Vektorräume führen Definition Ein K-Vektorraum V heißt endlich erzeugt, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt, d.h. falls es n N, v,..., v n V gibt mit Lin{v,..., v n } = V. Ein Spezialfall von Aufgabe 8.2(b) ist folgendes Lemma. Lemma Sei v,..., v n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V und sei v V. Dann gilt: v Lin{v,..., v n } Lin{v,..., v n } = Lin{v,..., v n, v} 4

15 Satz (Spezialfall von Satz 2.3.9). Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und sei v,..., v n irgendein endliches Erzeugendensystem von V. Dann kann eine Basis von V konstruiert werden durch Weglassen geeigneter Vektoren aus diesem Erzeugendensystem, d.h., es existieren Indizes i <... < i r n, sodass v i,..., v ir eine Basis ist. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte K-Vektorraum eine Basis. Satz (Basisergänzungssatz). Sei V ein K-Vektorraum, v,..., v n ein linear unabhängiges Vektorensystem in V. Angenommen, man hat w,..., w r V mit Lin{v,..., v n, w,..., w r } = V. Dann kann v,..., v n durch Hinzunahme geeigneter Vektoren w i, sagen wir (nach Umnummerierung!) w,..., w k, k r, zu einer Basis v,..., v n, w,..., w k von V ergänzt werden. Insbesondere lässt sich jedes (endliche) linear unabhängige Vektorensystem in einem endlich erzeugten Vektorraum zu einer Basis des Vektorraums ergänzen (man nehme als w,..., w r irgendein endliches Erzeugendensystem von V ). Im Beweis benötigt man Lemma Sei V ein K-Vektorraum, v,..., v n ein linear unabhängiges Vektorensystem in V, w V mit w Lin{v,..., v n }. Dann ist das Vektorensystem v,..., v n, w linear unabhängig. Um den späteren Steinitzschen Austauschsatz zu beweisen, benötigt man Lemma (Austauschlemma). Sei v,..., v n eine Basis eines K-Vektorraums V, w V \{}. Dann i {,..., n} sodass v,..., v i,w,v i+,..., v n wieder eine Basis ist. Satz (Steinitzscher Austauschsatz). Sei V ein K-Vektorraum mit Basis v,..., v n, und sei u,..., u r ein linear unabhängiges Vektorensystem in V. Dann ist r n. Ferner gibt es r Vektoren unter den v i, sagen wir nach Umnummerierung v,..., v r, sodass durch Austauschen dieser gegen u,..., u r man wieder eine Basis hat: u,... u r, v r+,..., v n ist Basis von V. Bemerkung. Für r = ist der Steinitzsche Austauschsatz nichts anderes als das vorangehende Austauschlemma. Korollar und Definition In einem endlich erzeugten Vektorraum V haben je zwei Basen gleich viele Elemente. Diese Zahl heißt Dimension von V, dim V. Falls V nicht endlich erzeugt ist, so schreibt man dim V =. Korollar Sei dim V = n und x,..., x r V mit r > n = x,..., x r linear abhängig. 5

16 Korollar Sei dim V = n und x,..., x n V. Dann sind äquivalent: () x,..., x n ist eine Basis von V. (2) x,..., x n ist ein Erzeugendensystem von V. (3) Das Vektorensystem x,..., x n ist linear unabhängig. Korollar Sei V ein Vektorraum endlicher Dimension. Sei U ein Untervektorraum. Dann gilt: dim U = dim V U = V. Beispiel. dim K n = n. U = {(x,..., x n ) K n n i= x i = } ist ein Unterraum von K n mit dim U = n (Übung). dim K[X] n = n + (K Körper). Sei a K, U = {P (X) K[X] n P (a) = }. U ist ein Untervektorraum von K[X] mit dim U = n (Übung). 2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition Seien V, W zwei K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt lineare Abbildung (lineare Transformation, linearer Homomorphismus, Vektorraumhomomorphismus) falls gilt: (LA) f(x + y) = f(x) + f(y) x, y V ; (LA2) f(λ x) = λ f(x) x V, λ K. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit L(V, W ) (oder Hom K (V, W )) bezeichnet. Falls f L(V, W ) und f bijektiv, so nennt man f einen linearen Isomorphismus (oder Vektorraumisomorphismus). Bemerkung. Die Bedingungen (LA) und (LA2) können auch in einer einzigen Bedingung zusammengefasst werden: x, y V, λ, µ K gilt f(λ x + µ y) = λ f(x) + µ f(y). Wir erinnern uns: Abb(V, W ) hat die Struktur eines K-Vektorraums mittels der Operationen f + g : V W : x f(x) + g(x) λ f : V W : x λf(x) 6

17 Satz Seien U, V, W K-Vektorräume. () L(V, W ) ist ein Untervektorraum von Abb(V, W ). (2) f L(U, V ), g L(V, W ) = g f L(U, W ). (3) Falls f L(V, W ) ein linearer Isomorphismus ist, so ist die Umkehrabbildung f : W V auch ein linearer Isomorphismus. Beispiel. () V = R[X], W = R. Sei r R. Definiere die Abbildung, die durch Auswerten des Polynoms in r gegeben ist: Dann gilt α r L(R[X], R). α r : R[X] R : P (X) P (r) (2) Sei Diff(R, R) die Menge der differenzierbaren Funktionen R R. Dies ist ein Untervektorraum von Abb(R, R). Wir definieren: D : Diff(R, R) Abb(R, R) : f f Dann gilt D L(Diff(R, R), Abb(R, R)). (3) Sei f Diff(R, R), r R und D r : Diff(R, R) R : f f (r). Dann ist D r = α r D L(Diff(R, R), R) (α r definiert wie in ()). Beispiel. Wir bezeichnen Spaltenvektoren in K n von nun an mit x (um sie von Zeilenvektoren zu unterscheiden). Sei e =.,..., e n =. die Standardbasis in K n, und sei ϕ L(K n, K m ). Sei nun ϕ( e i ) = a i. a mi K m und x = x. x n K n Dann ist x = n i= x i e i und damit wegen der Linearität von ϕ: n a x a n x n ϕ( x) = x i ϕ( e i ) =. i= a m x a mn x n 7 ( )

18 Kennt man also die Bilder ϕ( e i ), dann lässt sich ϕ( x) für jedes x K n mittels ( ) bestimmen. Definition (Matrix-Vektor-Produkt). Für a... a n A =.. a m... a mn M m n (K) und x = definiert man das Matrix-Vektor-Produkt A x wie folgt: a x a n x n A x :=. a m x a mn x n Anders ausgedrückt: Wenn a i := a i. a mi x. x n K n die i-te Spalte in obigem A ist, kann man schreiben A = ( a a 2... a n ) und mit x wie zuvor gilt: A x = x a + x 2 a x n a n. Bemerkung. Im Matrix-Vektor-Produkt muss die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Reihen (die Länge) des Spaltenvektors sein. Beispiel. ( ) 2 3 = 2 ( ) + ( 2 3 ) + 3 ( 2 ) = ( 6 ) Bemerkung. Mit den Notationen in vorheriger Definition und mit e,..., e n der üblichen Standardbasis in K n gilt: A e i = a i, die i-te Spalte von A. Satz Sei A M m n (K). Dann ist die Abbildung linear, d.h. L A L(K n, K m ). Falls auch B M m n (K) so gilt: L A := K n K m : x A x L A = L B A = B. 8

19 Satz Seien V, W zwei K-Vektorräume und f, g L(V, W ). Angenommen v,..., v n ist eine Basis von V. Dann gilt: f = g f(v i ) = g(v i ) für i n. D.h. lineare Abbildungen sind schon durch die Bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt. Korollar (Notationen wie in Definition und dem Beispiel davor.) Sei f : K n K m eine linear Abbildung, sei f( e i ) = a i, i n, und A = ( a a 2... a n ) M m n (K). Dann gilt f = L A, d.h. x K n gilt f( x) = A x. Also kann jede lineare Abbildung K n K m nach dieser Rezeptur als Matrix- Vektor-Produkt mit entsprechend gewählter Matrix A M m n (K) realisiert werden. A ist dabei eindeutig bestimmt: falls B M m n (K) mit f( x) = A x x K n, so gilt A = B (nach Satz 2.4.4). Definition () Matrizenaddition: Seien A, B M m n (K), wobei A = ( a a 2... a n ) und B = ( b b2... b n ) mit Spaltenvektoren a i, b i K m. Dann definiert man die Summe A + B wie folgt: A + B = ( a + b a 2 + b 2... a n + b n ) Anders ausgedrückt mittels der Koeffizienten der Matrizen A und B: A = (a ij ), B = (b ij ) M m n (K), so definiert man A + B = (c ij ) M m n (K) mittels c ij = a ij + b ij für i m, j n. (2) Matrizenmultiplikation: Seien A M l m (K), B = ( b b2... bn ) M m n (K). Dann existieren also die Matrix-Vektor-Produkte A b i K l, und man definiert das Matrizenprodukt AB := (A b A b 2... A b n ) M l n (K) Anders ausgedrückt mittels der Koeffizienten von A, B: seien A = (a ij ) M l m (K), B = (b ij ) M m n (K), so definiert man AB = (c ij ) M l n (K) mittels m c ij = a ik b kj für i m, j n. Bemerkung. Das so definierte Matrizenprodukt AB existiert nur falls Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B. 9 k=

20 In diesem Fall gilt Anzahl der Zeilen von AB = Anzahl der Zeilen von A Anzahl der Spalten von AB = Anzahl der Spalten von B. Beispiel. A M 4 5 (K), B M 5 4 (K), C M 4 4 (K). Dann existieren die folgenden Matrizenprodukte: AB, BA, BC, CA, CC. Die folgenden Matrizenprodukte existieren nicht: AA, BB, CB, AC. Beispiel. ( ) ( = ) = ( ) Satz Seien A M l m (K), B M m n (K), AB M l n (K). Seien ferner L A : K m K l : x A x L B : K n K m : x B x L AB : K n K l : x AB x Dann gilt L A L B = L AB. Notation. Wir schreiben in M n n (K): I n := I n M n n (K) wird auch die n n Einheitsmatrix genannt. Satz (Rechenregeln für Matrizen). (a) A M k l (K), B M l m (K), C M m n (K). Dann gilt: A(BC) = (AB)C, d.h. Matrizenmultiplikation ist assoziativ (sofern die Produkte definiert sind). (b) A, B M l m (K), C, D M m n (K). Dann gilt A(C + D) = AC + AD, (A + B)C = AC + BC, d.h. Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation sind distributiv (sofern die Produkte/Summen definiert sind). 2

21 (c) A M m n (K). Dann gilt: I m A = A = AI n. Korollar M n (K) := M n n (K) ist mit der obigen Matrizenaddition und der obigen Matrizenmultiplikation ein Ring mit der Nullmatrix n M n n (K) (in der alle Koeffizienten sind) als Nullelement, und der Einheitsmatrix I n als Einselement. Bemerkung. n = : M (K) = K (als Ring). M (K) ist aber im eigentlichen Sinne nicht identisch mit K: M (K) sind die Elemente aus K mit Klammern drumherum. n 2: M n (K) ist nicht kommutativ, z.b. für n = 2: ( ) ( ) ( = aber ( ) ( ) = ( Definition und Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Der Kern von f ist definiert als Das Bild von f ist definiert als Kern(f) ist ein Untervektorraum von V. Bild(f) ist ein Untervektorraum von W. (Beweis: Übung!) ) ) Kern(f) = {x V f(x) = } ; Bild(f) = {f(x) x V }. Bemerkung. Insbesondere in der englischsprachigen Literatur schreibt man oft ker(f) statt Kern(f) (engl. kernel) und im(f) statt Bild(f) (engl. image). Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Dann gilt: f injektiv Kern(f) = {} [ x V : f(x) = = x = ]. 2

22 Lemma Sei V ein K-Vektorraum mit dim V = n <, und sei U V ein Untervektorraum von V. Dann gilt dim U dim V. Satz (Dimensionsformel für lineare Abbildungen). Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W, wobei dim V = n <. Dann gilt dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f) Beweisskizze. Zeige: endliche Basis von Kern(f), sagen wir, x,..., x k mit k n (benütze Lemma 2.3.3). Ergänze dies zu einer Basis x,..., x k, y,..., y l von V (warum geht das?) Zeige: Bild(f) = Lin{f(y ),..., f(y l )}. Zeige: f(y ),..., f(y l ) ist ein linear unabhängiges Vektorensystem in Bild(f). Folgere hieraus: f(y ),..., f(y l ) ist eine Basis von Bild(f). Zeige schließlich: dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f). Bemerkung. Diese Formel gilt im Prinzip auch, falls dim V = ist. Denn dann gilt dim Kern(f) = oder dim Bild(f) =. (Warum?) Korollar Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W mit dim V = dim W = n <. Dann gilt: f injektiv f surjektiv f bijektiv. Sei nun A M m n (K), b K m, und sei der Nullvektor in K m. Betrachte das LGS (A b). Dann gilt offenbar für die Lösungsmenge und daher L(A b) = { x K n A x = b} = { x K n L A ( x) = b} Korollar L(A ) = Kern(L A ). Insbesondere gilt: Sei  M m n (K) eine Matrix, die durch elementare Zeilenumformungen aus A gewonnen werden kann. Wir wissen, dass L(A ) = L( ). Daher auch Kern(L A ) = Kern(LÂ). Definition Sei V ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge U V heißt affiner Unterraum von V falls es einen Untervektorraum W von V und ein v V gibt mit U = v + W := {v + w w W }. 22

23 ( ) ( ) ( x 2 Beispiel. () Die Gerade = + t { ( ) y ( ) 2 t t R} und v =. ), t R. Hier: U = (2) Die Ebene {(x, y, z) x y + z = } in R 3. Hier hat man dann W = {(x, y, z) x y + z = } = L(( )), v = (,, ) (oder v = (,, ), oder... ). (3) A M m n (K), b K m. L(A b) ist affiner Unterraum von K n sofern es eine Lösung c K n gibt (d.h. A c = b): dann gilt L(A b) = c + L(A ). Satz V K-Vektorraum, U V affiner Unterraum. () Sei W ein Untervektorraum von V und v V sodass U = v + W. Sei v V. Dann gilt: U = v + W v U. (2) U ist ein Untervektorraum von V U. 2.5 Rang von Matrizen und LGS Notation. Sei A = a... a n.. a m... a mn Wir bezeichnen die Spaltenvektoren mit und die Zeilenvektoren mit a i = a i. a mi M m n (K) K m (S) a i = (a i... a in ) K n (Z) Definition () Sei V ein K-Vektorraum. Man definiert den Rang eines Vektorensystems v,..., v n in V als Rang{v,..., v n } := dim Lin{v,..., v n }. (2) Sei A M m n (K) mit Zeilenvektoren a i K(Z) n, i m, und Spaltenvektoren a j K(S) m, j n. Man definiert den Zeilenrang Rang Z(A) bzw. Spaltenrang Rang S (A) von A wie folgt: Rang Z (A) := Rang{a,..., a m } Rang S (A) := Rang{ a,..., a n } 23

24 Definition und Satz (Rangformel für Matrizen). Sei A M m n (K). Dann gilt: Rang Z (A) = Rang S (A) Also: Zeilenrang gleich Spaltenrang. Man definiert daher den Rang von A als Rang(A) := Rang Z (A) (= Rang S (A)). Zum Beweis zeigt man zuerst den folgenden Spezialfall: Lemma Sei A M m n (K) in Zeilenstufenform. Dann gilt: Rang Z (A) = Rang S (A). Nun benötigt man folgende Beobachtung: Lemma Sei v,..., v n ein Vektorensystem in einem K-Vektorraum V. Der Rang dieses Vektorensystems ändert sich nicht, wenn man () zwei Vektoren darin vertauscht; (2) v i durch v i + λv j ersetzt für λ K und i j; (3) v i durch λv i ersetzt für λ K. Diese Operationen, angewandt auf die Zeilen einer Matrix, entsprechen den elementaren Zeilenumformungen. Man erhält also Korollar Sei A M m n (K). Sei  M m n (K) eine Matrix in Zeilenstufenform, die durch elementare Zeilenumformungen aus A gewonnen wurde. Dann gilt Rang Z (A) = Rang Z (Â). Wir benötigen schließlich Lemma Sei A M m n (K) und L A : K(S) n Km (S) gilt Rang S (A) = dim Bild(L A ). : x A x. Dann Beweis der Rangformel. Sei A M m n (K) gegeben und  eine Matrix in Zeilenstufenform, die durch elementare Zeilenumformungen aus A gewonnen wurde. Es gilt: Rang Z (A) (2.5.5) = Rang (Â) (2.5.3) Z = Rang (Â) S (2.5.6) = dim Bild(LÂ) (2.4.6) = n dim Kern(L A ) (2.5.6) = Rang S (A) (2.4.4) = n dim Kern(LÂ) (2.4.4) = dim Bild(L A ) 24

25 Korollar Sei A M m n (K), b K m (S). Dann gilt: LGS (A b) hat eine Lösung Rang(A) = Rang(A b). Korollar (Dimensionsformel für LGS). Sei A M m n (K). Dann gilt: dim L(A ) = n Rang(A). Korollar Sei A M m n (K), b K m (S). Dann gilt: LGS (A b) hat eine eindeutige Lösung Rang(A) = Rang(A b) = n. Korollar Sei A M m n (K). Dann gilt: LGS (A b) hat eine Lösung für alle b K(S) m Rang(A) = m. 2.6 Reguläre Matrizen Die Menge M n (K) = M n n (K) der (quadratischen) n n Matrizen ist ein Ring für die Matrizenaddition/multiplikation mit Einselement I n. Wir erinnern daran, dass die Einheitengruppe dieses Rings definiert ist als M n (K) = {A M n (K) A hat ein multiplikatives Inverses} = {A M n (K) B M n (K) : AB = BA = I n } Für ein B mit AB = BA = I n schreiben wir auch A := B. Für A M n (K) gilt sicher Rang(A) n. Definition () A M n (K) heißt regulär falls Rang(A) = n. (2) A M n (K) heißt invertierbar falls A M n (K). (3) Man schreibt auch GL n (K) für M n (K) und nennt GL n (K) die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n. Bemerkung. Wir wissen, dass für A M n (K) gilt: Rang(A) = dim Bild(L A ). Damit folgt sofort: A regulär Rang(A) = dim Bild(L A ) = n Bild(L A ) = K n (S) L A surjektiv L A injektiv L A bijektiv (die letzten beiden Äquivalenzen: 2.4.5). Satz Sei A M n (K). Dann sind äquivalent: (i) A regulär; (ii) b K n (S) : LGS (A b) hat eine eindeutige Lösung; (iii) B M n (K) : BA = I n ; 25

26 (iv) C M n (K) : AC = I n ; (v) A invertierbar; (vi) L A bijektiv. Satz Sei A M n (K) regulär. Dann kann A durch elementare Zeilenumformungen in I n übergeführt werden. Definition Die elementaren Matrizen in M n (K) sind definiert wie folgt: Für k, l n, k l: E kl = (a ij ) mit a ii = für i k, l, a kk = a ll =, a kl = a lk =, a ij = für alle i j mit (i, j) (k, l), (l, k); Für k, l n, k l, λ K: E kl (λ) = (b ij ) mit b ii = i, b kl = λ, b ij = für alle i j mit (i, j) (k, l); Für k n, λ K : E kk (λ) = (c ij ) mit c ii = für i k, c kk = λ, c ij = für i j. Lemma Sei A M n m (K). E kl A erhält man aus A durch Vertauschen der k-ten mit der l-ten Zeile; E kl (λ)a erhält man aus A durch Addieren des λ-fachen der l-ten Zeile zur k-ten Zeile; E kk (λ)a erhält man aus A durch Multiplizieren der k-ten Zeile mit λ. Satz (Verfahren zur Bestimmung des Inversen einer Matrix). Sei A M n (K). Betrachte die n 2n Matrix (A I n ). Wende elementare Zeilenumformungen auf (A I n ) an, sodass dabei A in Zeilenstufenform  übergeht: dies entspricht dem sukzessiven Multiplizieren von (A I n) von links mit elementaren Matrizen E,..., E r : E r... E (A I n ) = (E r... E A E r... E I n ) = ( B) mit B := E r... E. Man bestimme Rang(Â) = Rang(A). Falls Rang(A) < n, so haben wir kein Inverses. Falls Rang(A) = n, so existiert ein Inverses und wir wenden elementare Zeilenumformungen auf ( B) an, sodass  in I n übergeht: dies entspricht dem sukzessiven Multiplizieren von ( B) von links mit elementaren Matrizen E,..., E s: E s... E ( B) = (E s... E  E s... E B) = (I n C) mit C := E s... E B = E s... E E r... E. Dann gilt: A = C. 26

27 Beweis. Wir müssen nur noch zeigen, dass, falls Rang(A) = n, für obiges C gilt: C = A. Aber wir wissen: A existiert, falls Rang(A) = n. Wir wissen nach Konstruktion auch: CA = I n. Also A = I n A = (CA)A = C(AA ) = CI n = C. Beispiel. Also: (2) (), (3) 2 () (2), (3) 3 (2) /2 (3) (2) + (3) () (2) /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 = /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 3/2 /2 Korollar A M n (K) invertierbar (regulär) A ist ein Produkt von elementaren Matrizen. Bemerkung. AE kl erhält man aus A durch Vertauschen der k-ten mit der l-ten Spalte; AE kl (λ) erhält man aus A durch Addieren des λ-fachen der k-ten Spalte zur l-ten Spalte; AE kk (λ) erhält man aus A durch Multiplizieren der k-ten Spalte mit λ. 27

28 Bemerkung. Sei A M n (K), b K(S) n. Wir wissen: eine eindeutige Lösung c K(S) n des LGS (A b) Rang A = n A existiert. Also: A c = b = c = A A }{{} =I n c = A b ( ). Insbesondere gilt dann: Kennt man A (sofern es existiert), so lässt sich das LGS (A b) leicht mittels ( ) lösen. 2.7 Koordinatensysteme und Darstellungsmatrizen Satz Seien V, W K-Vektoräume mit dim V = n <, sei v,..., v n eine Basis von V und w,..., w n ein Vektorensystem in W. Dann existiert genau eine lineare Abbildung F : V W mit F (v i ) = w i, i n. Ferner gilt: () F injektiv w,..., w n linear unabhängig; (2) F surjektiv w,..., w n ist ein Erzeugendensystem von W ; (3) F bijektiv w,..., w n ist eine Basis von W. Definition und Satz Zwei K-Vektorräume heißen isomorph, in Zeichen V = W, falls es einen Vektorraumisomorphismus f : V W gibt. Isomorphie definiert eine Äquivalenzrelation zwischen K-Vektorräumen. Korollar Sei V ein K-Vektorraum, dim V = n <, sei B : v,..., v n eine Basis von V, und sei e =.,..., e n =. die Standardbasis von K n. Dann existiert ein eindeutig bestimmter Vektorraumisomorphismus ( n ) n λ Ψ B : V K n : ψ B λ i v i = λ i e i =. i= i= λ n Insbesondere gilt V = K n. Definition Ein solcher Isomorphismus Ψ B heißt auch Koordinatensystem in V. Falls x = n i= λ iv i V, so heißt λ i die i-te Koordinate von V bzgl. der Basis B : v,..., v n. 28

29 Bemerkung. Sei f : V K n ein Vektorraumisomorphismus mit Umkehrabbildung f : K n V (welche wieder ein Vektorraumisomorphismus ist nach 2.4.2). Sei v i := f ( e i ). Dann ist das Vektorensystem B : v,..., v n eine Basis von V (nach 2.7.), und es gilt also f = Ψ B. Also lässt sich jeder Vektorraumisomorphismus f : V K n wie in beschreiben für eine geeignete Basis B. Korollar Seien V, W K-Vektorräume mit dim V = n <, sei v,..., v n eine Basis von V und sei f : V W linear. () f injektiv f(v ),..., f(v n ) linear unabhängig; (2) f surjektiv f(v ),..., f(v n ) ist ein Erzeugendensystem von W ; (3) f bijektiv f(v ),..., f(v n ) ist eine Basis von W. Korollar Seien V, W endlich erzeugte K-Vektorräume. Dann gilt: V = W dim V = dim W. Definition und Satz Seien V, W K-Vektorräume mit dim V = n < und dim W = m <. Seien A : v,..., v n eine Basis von V und B : w,..., w m eine Basis von W. Sei f : V W linear. Wir haben: V f W Ψ A K n F Ψ B K m und definieren F := ψ B f Ψ A : Kn K m. Wir wissen: es existiert eine eindeutig bestimmte Matrix D M m n (K) mit F = L D. Man nennt D die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f : V W bzgl. der Basen A und B, in Zeichen: MB A (f) := D. Seien x = n i= λ iv i und f(x) = m i= µ iw i mit λ i, µ i K, so gilt D λ. λ n = Bemerkung. Mit den Notationen wie zuvor gilt: Sei f(v j ) = m i= d ijw i, j n, dann hat man D = M A B (f) = µ. µ m d... d n.. d m... d mn. 29

30 Beispiel. () V = R[X] 3, f : V V : P (X) P (X). Sei A = B :, X, X 2, X 3. Dann gilt MA A (f) = 2 3. (2) Sei V = R[X] 3, W = R[X] 2, f : V W : P (X) P (X). A : + X 3, + X 2, + X, X und B :, + X, + X + X 2. Dann gilt 2 MB A (f) = Definition Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen. Der Rang von f ist definiert als Rang(f) := dim Bild(f). Satz Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen mit dim V = n <, dim W = m <. () Seien A eine Basis von V und B eine Basis von W. Dann gilt: Rang(f) = Rang(M A B (f)). (2) Sei Rang(f) = r. Dann können die Basen A und B so gewählt werden, dass ( ) MB A Ir (f) = r (n r) (n r) r (n r) (n r) (wobei k l die k l Nullmatrix ist). 2.8 Direkte Summe und Quotientenräume Satz Seien U, U 2 endlich erzeugte Untervektorräume eines K-Vektorraums V. Dann sind U U 2 und U + U 2 endlich erzeugte Untervektorräume von V und es gilt: dim(u + U 2 ) = dim U + dim U 2 dim(u U 2 ). Bemerkung. Für Untervektorräume U, U 2, U 3 gilt i.a. (U + U 2 ) U 3 (U U 3 ) + (U 2 U 3 ). Z.B. in R 2 : U = {t ( ) t R}, U2 = {t ( ) t R}, U3 = {t ( ) t R}. Hier hat man U + U 2 = R 2 und somit (U + U 2 ) U 3 = U 3, aber U U 3 = U 2 U 3 = {}, also (U U 3 ) + (U 2 U 3 ) = {}. 3

31 Definition Seien U, U 2 Untervektorräume eines K-Vektorraums V. Man sagt, dass V direkte Summe von U und U 2 ist falls gilt: (DS) V = U + U 2 ; (DS2) U U 2 = {}. Man schreibt dann auch: V = U U 2. Bemerkung. () V = V {}. () Sei V = U U 2. Falls V endlich erzeugt ist, so gilt dim V = dim U + dim U 2. Ist x,..., x m Basis von U, y,..., y n Basis von U 2, so ist x,..., x m, y,..., y n Basis von V. (2) Sei W V ein Untervektorraum. Man nennt einen Untervektorraum U V Komplement von W in V falls gilt V = W U. Ein solches Komplement existiert immer: sei B Basis von W, ergänze diese zu einer Basis A von V, sei B = A \ B. Dann ist U = Lin(B ) ein Komplement von W in V : V = W U. (3) Sei W V ein Untervektorraum. Komplemente von W in V sind i.a. nicht eindeutig bestimmt: z.b. gilt im Beispiel in vorangegangener Bemerkung in R 2 : R 2 = U U 2 = U U 3 = U 2 U 3. (4) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: V = U U 2 ; V = U + U 2, und x i U i, i =, 2 gilt: x + x 2 = = x = x 2 = ; V = U + U 2, und x i, y i U i, i =, 2 gilt: x + x 2 = y + y 2 = x = y und x 2 = y 2. (5) Der Begriff der direkten Summe kann auf mehr als zwei Summanden ausgedehnt werden: Seien U,..., U n Untervektorräume von V. Man sagt, dass V die direkte Summe der Untervektorräume U,..., U n ist, in Zeichen V = U... U n, falls gilt: V = U U n, und falls x i U i, i n, mit x x n =, dann gilt x =... = x n =. 3

32 In diesem Fall gilt dim V = n i= dim U i. Damit gilt z.b.: Sei x,..., x n Basis von V, so gilt V = Kx... Kx n. Definition und Satz Sei V ein K-Vektorraum, U V ein Untervektorraum. Wir definieren die folgende Relation auf V : x, y V : x y : x y U. () Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation auf V. Die Äquivalenzklasse von x V wird mit [x] U bezeichnet. (2) Es gilt: [x] U = x + U (dies ist also ein affiner Unterraum von V ). Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit V/U bezeichnet: V/U := {[x] U x V } (3) Auf V/U definiert man eine Addition und eine Skalarmultiplikation wie folgt: x, y V, λ K: [x] U + [y] U := [x + y] U λ [x] U := [λx] U Diese Operationen sind wohldefiniert und mit ihnen wird V/U zu einem K- Vektorraum, den man Quotientenraum (oder Faktorraum) von V bzgl. U nennt (man sagt V über U oder V modulo U ). Satz Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, U V ein Untervektorraum. Dann gilt dim(v/u) = dim V dim U. Bemerkung. Der Beweis zeigt: Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum, U V ein Untervektorraum, und W ein Komplement von U in V, d.h. V = U W. Ist w,..., w m Basis von W, so ist [w ] U,..., [w m ] U Basis von V/U. Satz Sei f : V W ein Vektorraumhomomorphismus. Die folgende Abbildung f : V/ Kern(f) W ist wohldefiniert und linear: f : V/ Kern(f) W : [x] Kern(f) f(x) Es gilt: f ist injektiv und Bild(f) = Bild(f). Somit ist f : V/ Kern(f) Bild(f) ein Vektorraumisomorphismus: V/ Kern(f) = Bild(f) Insbesondere gilt: dim(v/ Kern(f)) = dim V dim Kern(f) = dim Bild(f). Bemerkung. Hiermit hat man automatisch auch einen neuen Beweis von Satz 2.4.4: dim V = dim Kern(f) + dim Bild(f). 32