Vergleich von experimentellen Ergebnissen mit realen Konfigurationen

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1 Ähnlichkeitstheorie Vergleich von experimentellen Ergebnissen mit realen Konfigurationen Verringerung der Anzahl der physikalischen Größen ( Anzahl der Experimente) Experimentelle Ergebnisse sind unabhängig vom Maßstab (Kennzahlen sind dimensionslos) 1

2 Ähnlichkeitstheorie Ähnlichkeitsgesetze: geometrische Ähnlichkeit Beispiel: Strömumg in einem Spalt h u h L = Kennzahl L dynamische Ähnlichkeit Strömungen sind nicht notwendig ähnlich, wenn man nur die Strömungsgrößen skaliert. 2

3 Beispiel Ähnlichkeit bezüglich des Druckes Eu = Druckkraft Trägheit = p ρu 2 Ähnlichkeit bezüglich der Reibungsspannungen ( ) Trägheit Re = Reibungskräfte = ρul η = ρu 2 l uη Re, Eu = dimensionslose Kennzahlen 2 Strömungen sind ähnlich, wenn sie geometrisch und dynamisch ähnlich sind! 3

4 Beispiel 2 Methoden zur Bestimmung der Kennnzahlen Methode der Dimensionsanalyse ( Buckingham s Π-Theorem ) Methode der Differentialgleichungen Π-Theorem bestimmt die maximale Anzahl der Parameter, die berücksichtigt werden müssen. Anzahl der physikalischen Einflußgrößen: k Anzahl der Grunddimensionen: r [m], [s], [kg], [K] Anzahl der Kennzahlen m = k r 4

5 Vorgehensweise 1. Ermitteln der Anzahl der physikalischen Einflußgrößen(k) G 1 = G 1 (G 2,G 3,...,G k ) 2. Ermitteln der Dimensionen und Bestimmung der Grunddimensionen r 3. Berechnung von m 4. Wahl der wiederkehrenden Variablen (a) alle Grunddimensionen sind enthalten (b) linear unabhängig (c) nicht die herausragenden Variablen wählen, die sich ändern 5. Berechnung der Kennzahlen Π i = N G α 1 1 M Gα Gα r r 6. Überprüfen der Dimensionen 7. Darstellung Π 1 = Π 1 (Π 2, Π 3,...,Π m ) 5

6 wichtige Kennzahlen Reynoldszahl Re = ρul η = Trägheitskräfte Reibungskräfte Re 0: schleichende Strömung Re h 2 /l 2 = 1: Spaltströmung Re : reibungsfrei Eulerzahl Eu = p ρu 2 = Druckkraft Trägheit 6

7 wichtige Kennzahlen Machzahl Ma = u c = Strömungsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Ma < 0.3 inkompressibel Froudezahl Fr = Ma < 1. Unterschall Ma > 1. Überschall Ma 1. Hyperschall u gh = Strouhalzahl Sr = l ut Prandtlzahl Pr = η c p λ = µ a Trägheit Gravitation kompressible Strömung = Verhältnis von 2 charakteristischen Zeiten = kinematische Zähigkeit Temperaturleitfähigkeit 7

8 11.1 Die Nachlaufströmung eines langen Zylinders mit Durchmesser D wird im Windkanal untersucht. Unter bestimmten Bedingungen entsteht eine periodische Wirbelanordnung, die Kármánsche Wirbelstraße genannt wird. Es sollen die dimensionslosen Kennzahlen des Problems bestimmt werden. Wieviele Parametervariationen sind bei dieser Untersuchung zur Bestimmung der Frequenz der Wirbelstraße notwendig? 8

9 u ρ,ν D f=? physikalische Einflußgrößen Anströmgeschwindigkeit: u [m/s] [ ] kinematische Viskosität ν m 2 /s [ ] kg Dichte ρ m 3 Zylinderdurchmesser D [m] [ ] 1 Frequenz f s 9

10 11.1 f = F(u,ν,ρ,D) G(f,u,ν,ρ,D) = 0 Theorem: k = 5 (Anzahl der Einflußgrößen) r = 3 (Anzahl der Grunddimensionen(m, s, kg)) m = k r = 5 3 = 2 Bezugsgrößen: u,ρ,d (wiederkehrende Variablen) Alle Dimensionen sind erfasst linear unabhängig 10

11 Kennzahl Π 1 = f }{{} nicht wiederk. u α 1 ρ β 1 D γ 1 }{{} wiederk. Dimensionsanalyse [ ] = [ 1 s ] Vergleich der Exponenten: [m s ]α 1 [ kg m 3]β 1 [m] γ 1 [kg] : 0 = β 1 [s] : 0 = 1 α 1 α 1 = 1 [m] : 0 = α 1 3β 1 + γ 1 γ 1 = 1 Π 1 = f D u = Sr: Strouhalzahl 11

12 11.1 Π 2 = ν }{{} nicht wiederk. u α 2 ρ β 2 D γ 2 }{{} wiederk. [ ] = [ m2 s ] [m s ]α 2 [ kg m 3]β 2 [m] γ 2 [kg] : 0 = β 2 [s] : 0 = 1 α 2 α 2 = 1 [m] : 0 = 2 +α 2 3β 2 + γ 2 γ 2 = 1 Π 2 = ν u D = 1 Re Sr = Φ(Re) Variation von 1 Parameter im Experiment 12

13 Methode der Differentialgleichungen Ausgangspunkt: Differentialgleichung zur Beschreibung eines physikalischen Problems Beispiel: Bestimmung der Kennzahlen p x = η 2 u y 2 1.) Einführen dimensionsloser Größen durch Beziehen auf Referenzgrößen: u ref, p ref, η ref, L ref, h ref,... u, p η ref, L, h,... 13

14 Methode der Differentialgleichungen 1.) ū = u u, p = p p, η = η η ref, x = x L, ȳ = y h,... p L p x = η ref u h 2 η 2 ū ȳ 2 2.) Division der gesamten Gleichung durch den Koeffizienten eines Terms dimensionlose Kennzahlen 2 Terme 1 Kennzahl p x = L p η ref u h 2 } {{ } Π η 2 ū ȳ 2 14

15 Zusammenfassende Bemerkungen Das Buckingham sche Theorem bestimmt die maximale Anzahl der Kennzahlen für eine gegebene Anzahl von Einflußgrößen. Differentialgleichungen enthalten zusätzliche Informationen über die Verhältnisse zwischen den Variablen. Anzahl der Kennzahlen aus dem Π-Theorem kann größer sein als die Zahl der Kennzahlen aus der Methode der Differentialgleichungen. Üblicherweise können die Kennzahlen, die mit einer der Methoden bestimmt werden, als Funktion von bekannten Kennzahlen dargestellt werden. L p η ref u h 2 = η ref } ρu {{ h } 1 Re 15 ρu 2 p }{{} 1 Eu L }{{} h Geometrie

16 11.12 Die hydrodynamischen Eigenschaften eines Motorschiffes sollen durch Schleppversuche an einem Modell untersucht werden. a) Ermitteln Sie mit Hilfe der Methode der Differentialgleichungen aus der Impulsgleichung für die z-richtung, die für die Wellenbewegung ausschlaggebend ist, ρ dw dt = p z ρg + η 2 w die Kennzahlen des Problems. Verwenden Sie als Bezugsgrößen nur gegebene Größen. Gegeben: l, u, η, ρ, g b) Bestimmen Sie die Schleppgeschwindigkeit u und die kinematische Viskosität ν des Fluides im Modellversuch so, dass die Ähnlichkeit der Strömungen gewährleistet ist. Gegeben: u, ν, l/l = 10 16

17 11.12 c) Bestimmen Sie die Leistung des Motorschiffes bei der Geschwindigkeit u. Gegeben: l/l = H/H = 10, u, u, ρ, ρ, Schleppkraft im Modellversuch F 17

18 11.12 a) Impulsgleichung in z-richtung zur Beschreibung der Wellenbewegung ρ dw dt = p z ρg + η 2 w Gegeben: l, u, η, ρ, g allgemein: dimensionlose Terme für Ableitungen 1. Abl.: dū d x = l du u dx 18

19 Abl.: d2 ū d x 2 = d d x 2 = ( ) dū = l2 d 2 u d x u dx 2 ( ) 2 x y z 2 Dimension 1 l 2 2 = l 2 2 ρ, η, g sind gegeben und konstant ρ = ρ ref ; η = η ref ; g = g ref Wenn sie nicht gegeben sind, müssen sie ausgewählt werden. 19

20 11.12 w = w p = p Druck u ρu 2 = kinematischer Druck Man kann p als Referenzdruck definieren verschiedene Kennzahlen Normalerweise: p in einer Rohrströmung ρu 2 in freien Aussenströmungen, kompressibel z = z l z = l z 2 = l

21 11.12 t = t l/u }{{} Zeit, die ein Partikel benötigt, um ein Schiff der Länge l, das sich mit u bewegt, zu passieren ρ u d w u l d t = ρu2 p l z ρg + ηu l 2 2 w ( ) ρu 2 : l d w d t = p z l ρu 2 ρg + η u l l 2 u 2 ρ 2 w 21

22 11.12 d w d t = p z gl u 2 + η ρu l 2 w b) d w d t Fr = Fr u2 gl = p z 1 Fr Re 2 w = u 2 gl u = u l l = u 10 Re = Re ρu l η = u l ν = u l ν ν = ν u u l l = ν

23 11.12 c) c w = F/A ρ/2u 2 = Reibungskräfte dynamischer Druck (A = lh) c w = c w F ρ/2u 2 A = F ρ /2u 2 A F = F ρ ρ u 2 u 2 A A = 100F ρ ρ u 2 u 2 P = F u = 100F ρ ρ u 3 u 2 23

24 11.10 In einer Gasströmung ist der Wärmetransport durch Reibungswärme und Wärmeleitung [ bestimmt. ] Die Einflussgrößen sind [ ] die Wärmeleitfähigkeit λ kgm kg s 3, die dynamische Zähigkeit η und Referenzwerte für die Temperatur, die Geschwindigkeit und die K ms Länge. Der physikalische Zusammenhang wird durch die Energiegleichung ( ) λ 2 T u 2 y 2 + η = 0 y beschrieben. 24

25 11.10 Leiten Sie a) mit der Methode der Differentialgleichungen und b) mit dem Π-Theorem die Kennzahl des Problems ab. c) Erweitern Sie die gefundene Kennzahl mit der spez. Wärme c p und stellen Sie die Kennzahl als Produkt von drei Kennzahlen dar. Hinweis: Die Stoffgrößen sind als konstant anzusetzen. Die vierte Grunddimension ist die Temperatur. 25

26 11.10 a) λ T R l 2 2 T ȳ 2 + η u2 R l 2 ( ) ū 2 = 0 ȳ : λ T R l 2 K = η u2 R λ T R b) K = λ α η β T γ R uδ R lε wähle β = 1 kg : 0 = α + 1 m : 0 = α 1 + δ + ε s : 0 = 3α 1 δ K : 0 = α + γ 26

27 11.10 α = γ = 1 δ = 2 ε = 0 K = η u2 R λ p T R c) K = η c p λ u 2 R = η c p c p T R λ c p = γ R γ 1 K = Pr Ma 2 (γ 1)) u 2 R γ R T R (γ 1) 27

28 11.13 Die Energiegleichung für stationäre, kompressible Grenzschichtströmungen mit konstanten Stoffwerten lautet ( ) ( ) ρu c p T + u2 + ρv ( ) c p T + u2 = uη 2 u u 2 x 2 y 2 y 2 + η + λ 2 T y y 2 Bestimmen Sie mit der Methode der Differentialgleichung a) die dimensionslose Form der Differentialgleichung, b) die Kennzahlen des Problems. c) Bestimmen Sie den Wert des Isentropenexponenten γ, für den die Gleichung unabhängig von der Machzahl M = u c wird. Hinweis: c = γrt c p = γr γ 1 28

29 11.13 ( a) c p ρ u T x + ρ v T y ) + u 2 u 2 ρ u 2 x + ρ v 2 y ( ) = η u 2 u u 2 y 2 + η + λ 2 T y y 2 Bezugsgrößen: ρ, u, T, L, η, c p, λ = ū = u ; v = v T ; T = ; ρ = ρ ; x = x u u T ρ L ; ȳ = y L ; η = η η ; c p = c p c p ; λ = λ λ 29

30 11.13 einsetzen: = a 1 c p ( ρ ū T x + ρ v T ȳ ) + a 2 ū 2 ū 2 ρ ū 2 x + ρ v 2 ȳ mit = a 3 η ū 2 ū ȳ 2 + a 4 η ( ) ū 2 + a ȳ 5 λ 2 T ȳ 2 a 1 = c p ρ u T ; a L 2 = ρ u 3 L a 3 = a 4 = η u 2 L 2 ; a 5 = λ T L 2 dimensionslose Form durch Division der Gleichung z.b. durch a 1 : 30

31 11.13 = c p ( ρ ū T x ) T + ρ v ȳ + a 2 /a 1 ū 2 ū 2 ρ ū 2 x + ρ v 2 ȳ = a 3 /a 1 η ū 2 ū ȳ 2 + a 4/a 1 η b) = Kennzahlen (i) K 1 = a 2 = ρ u 3 a 1 L = u2 γ R γ R c 2 (γ 1) = (γ 1) M 2 ( ) ū 2 + a ȳ 5 /a 1 λ 2 T ȳ 2 L c p ρ u T 31

32 11.13 (ii) K 2 = a 3 a 1 = a 4 a 1 = η u 2 L 2 η u ρ L (γ 1) u2 c 2 = 1 Re (γ 1) M2 L c p ρ u T = (iii) K 3 = a 5 a 1 = λ T L 2 L c p ρ u T = η u ρ L λ = 1 η c p Re 1 Pr c) K 1 = K 2 = 0 = (γ 1) = 0 = γ = 1 32

33 11.13 Die laminare Grenzschichtstömung über einer längsangeströmten ebenen Platte lässt sich unter Vernachlässigung der Reibungswärme durch die Kontinuitäts-, die Impuls- und die Energiegleichung in der folgenden Form beschreiben: ρ u x + v y = 0 ( u u ) x + v u y ( ρc p u T ) x + v T y = η 2 u y 2 = λ 2 T y 2 33

34 11.13 a) Bestimmen Sie die Kennzahlen des Problems. b) Überführen Sie die erhaltenen Kennzahlen in bekannte Kennzahlen der Strömungsmechanik. Unter der Annahme konstanter Stoffwerte ist das Strömungsfeld unabhängig vom Temperaturfeld, so dass beide Felder getrennt berechnet werden können. c) Nennen Sie die Voraussetzung, für die die Temperaturverteilung in der Grenzschicht direkt aus der Geschwindigkeitsverteilung bestimmt werden kann. Hinweis für c): Vergleichen Sie die Differentialgleichungen und gehen Sie davon aus, dass die Geschwindigkeitsverteilung v(x, y) bekannt ist. 34

35 11.13 a) Konti: Impuls: dimensionslose Größen: ū = u ; v = u ρ u x + v ( u u x + v u y y = 0 ) = η 2 u y ) 2 ( Energie: ρ c p u T x + v T y η = v u ; ρ = = λ 2 T y 2 ρ ρ ; x = x L ; ȳ = y L ; η η ; c p = c p c p ; T = T T ; λ = λ λ 35

36 11.13 Konti: u L u Impuls: ρ 2 L ρ ( ρ ū ū x ( ū x + v ) ȳ + v ū ȳ K 1 = ( ū ū x ) = 0 = keine Kennzahl ) ū + v ȳ = η 2 ū ȳ2 η L ρ u = 1 Re = η η u 2 ū L 2 ( ) ȳ2 η u L } L 2 ρ {{ u 2 } K 1 36

37 11.13 Energie: ρ c p u T L ρ c p ( ū T x ) T + v ȳ ρ c p ( ū T x = + v T ȳ λ T L ) L 2 ρ c p u T }{{} K 2 = λ T L 2 ( ) λ 2 T ȳ 2 λ 2 T ȳ 2 K 2 = λ L ρ c p u η η = 1 Pr 1 Re 37

38 11.13 c) dimensionslose Dgl.: Impuls: ρ Konti: ( ū ū x Energie: ρ c p ( ū T x ū x + v ȳ = 0 ) ū + v ȳ + v T ȳ ) = 1 Re η = 1 Pr konstante Stoffwerte: ρ = c p = λ = η = 1 ( ) 2 ū ȳ2 ( ) 1 Re λ 2 T ȳ 2 38

39 11.13 Vergleich von Impuls- und Energiegl.: Die Gleichungen werden identisch, wenn man in der Energiegleichung T durch u ersetzt und fordert, dass Pr = 1 ist. d.h. η c p λ = 1 39