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1 1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial Es geht hier darum herauszu nden, welche prinzipiellen Eigenschaften die Wellenfunktion für mehrere Teilchen im gleichen Potenzial aufweisen muss. Wir unterscheiden zwei Fälle Die Teilchen haben keine Wechselwirkung untereinander (Kasten mit idealisierten Stößen). Die Teilchen wechselwirken miteinander. nicht wechselwirkend Die Schrödingergleichung lautet H ( 1 ; 2 ) = E ( 1 ; 2 ) (1) Der Operator für die Gesamtenergie lautet: H =H kin + H pot = H kin + H pot ( 1 ) + H pot ( 2 ) (2) mit Lösungsansatz m;n ( 1 ; 2 ) = m ( 1 ) + n ( 2 ) (Linearkombination der Einzelfunktioenn) und es ergeben sich unabhängige Energiezustände, als ob die Teilchen in verschiedenen aber gleichartigen Potenzialen wäre. Sie sind ja mangels Wechselwirkung für einander nicht vorhanden. wechselwirkend (Realität wegen de Coulombpotenzials) H pot ( 1 ) hat die Form e 2 V ( 1 ; 2 ) = K j 1 2 j 2 Coulombabstoßung abhängig von der Relativkoordinate j 1 2 j. Prüfen der Wahrscheinlichkeit j ( 1 ; 2 )j 2 = j ( 2 ; 1 )j 2 bei Vertauschung der Teilchen. Das Sstem muss ununterscheidbar sein, wenn Teilchen (1) und Teilchen (2) den Ort tauschen. Das ist erfüllt für 1

2 ( 1 ; 2 ) = ( 2 ; 1 ) smmetrische Funktion ( 2 ; 1 ) antismmetrische Funktion Lösungsansatz m;n ( 1 ; 2 ) = m ( 1 ) n ( 2 ) (3) vertauschen von 1 ; 2! 2 ; 1 m;n ( 2 ; 1 ) = m ( 2 ) n ( 1 ) 6= m ( 1 ) n ( 2 ) m ( 1 ) n ( 2 ) smmetrische Funktion antismmetrische Funktion Die Smmetrie ist nicht erfüllt. Konstruktionder richtigen Funktionen S ( 2 ; 1 ) = A [ m ( 1 ) n ( 2 ) + m ( 2 ) n ( 1 )] smmetrisch A ( 2 ; 1 ) = A [ m ( 1 ) n ( 2 ) m ( 2 ) n ( 1 )] antismmetrisch (4) Der Faktor A wird für die Normierung der Funktion benötigt.kennt man die Einteilchenlösungen, kann man die Mehrteilchenfunktion konstruieren. Spezialfall n = m S ( 2 ; 1 ) = 2A m ( 1 ) m ( 2 ) A ( 2 ; 1 ) = 0 Bosonen Fermionen (5) Teilchen mit antismmetrischen Wellenfunktionen können im Zustand nicht übereinstimmen. Das ist der Hintergrund des Pauli-Verbots. Die Art der Wellenfunktion S oder A ist eine Teilcheneigenschaft. Elektronen, Protonen, Neutronen sind alles Fermionen mit A : Andere Teilchen wie Teilchen sind Bosonen mit S : smmetrisch - bindend antismmetrisch - antibindend 2

3 1.1 Bindungsverhalten durch ein gemeinsames Potenzial Damit können wir auch die Grundlage der chemischen (kovalenten) Bindung verstehen. Wir betrachten zwei Potenzialkästen mit je einem Teilchen. Wir sehen das Eindringen der Wellenfunktion in den Potenzialwall. Nehmen die Elektronen durch Tunneln das andere Potenzial war, kann ihre gemeinsame Wellenfunktion nur zwei verschiedene Zustände für das Doppelpotenzial annehmen: smmetrisch oder antismmetrisch. Die Wellenfunktionen sind hier noch getrennt gezeichnet. Sie müssen zu einer gemeinsamen vereiningt werden. Wir erhalten beim Annähern verschiedene Zustände, je nachdem, ob die gemeinsame Anordnung smmetrisch oder antismmetrisch war. Die Wellenfunktion spielt spätestens dann eine Rolle, wenn durch Tunneln das andere 3

4 Potenzial wahrgenommen wird. Die antismmetrische Lösung der Ortsfunktion verhält sich, als ob die Potenzialwand weiter eistiert. Sie ist Null in der Mitte. Es entsteht kein gemeinsames Potenzial für beide Teilchen. Die Lösung ist antibindend. Die smmetrische Lösung verteilt die Teilchen im gemeinsamen Potenzial. Sie ist bindend. Für bindende Zustände muss die Ortsfunktion smmetrisch sein. Das Elektron erfordert antismmetrische Gesamtfunktionen (; s) = () (s) Die Spinfunktion (s) muss antismmetrisch sein. Zustände von (s 1 ; s 2 ) s = s 1 + s 2 und s 1 s 2,! s = 1; 0 Möglichkeiten für s = 1 "" und ## mit m s = 1; 0; 1 Möglichkeiten für s = 0 "# und #" mit m s = 0 Konstruktion der Gesamtspinfunktion s S ="# + #" smmetrisch für Vertauschung Position 1 mit Position 2 s A ="# #" antismmetrische Spinfunktion (smbolisch). Bindende Zustände erfordern entgegengesetzte Spinorientierungen. Gleiche Spinorientierungen ergeben ein lösendes (antibindendes) Verhalten Hier die Qudrate der oben gezeigten Wellenfunktionen (Wahrscheinlichkeit des Aufenthalts) z Smmetrische Wellenfunktion in 2d z Antismmetrische Wellenfunktion in 2d Ist die Aufenthaltsdichte zwischen den Potenzialtöpfen hoch, gehört das Elektron beiden zugleich und hat bindenden Charakter. Ist die Aufeinthaltsdichte zwischen den Potenzialtöpfen Null, bleiben die beiden Ssteme getrennt. Der Zustand ist antibindend. 4

5 1.1.1 Mehrelektronenatome Es handelt sich um ein schwieriges Problem. Die praktische Lösung besteht darin, das Sstem der Wellenfunktionen des Wassersto atoms als Basis zu nehmen, in der die eigentlichen Funktionen genähert dargestellt werden können. Eine weitere Änderung der Zustände erfolgt im Falle von Bindungen. Elektronen in einem Potenzial aus zwei Kernen haben andere Orbitale als Elektronen, die nur einem Kern angehören. Auch dies Wellenfunktionen werden aus denen des ungestörten Atoms zusammengesetzt. Das ist die Grundlage der sogenannten Hbridisierung. Die gewichtete Summen aus Funktionen für s- Elektronen (n=1) und p-elektronen (n=2) ist eine Näherung für die eigentliche Eigenfunktion in einem Kohlensto atom, die die verschiedenen Bindungstpen ergeben.. 5

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