Licht-Atom Wechselwirkung im Zwei-Niveau System

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1 Licht-Atom Wechselwirkung im Zwei-Niveau System Prof. Immanuel Bloch, Johannes-Gutenberg-Universität, Atomphysik WS3/4 Datum: Sonntag, 8. Dezember 3 Weitere Fragen? Schauen sie einfach vorbei oder schreiben Sie mir: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 1 von 33

2 TU1UT TULicht-Atom TUUT TUGrundgleichungenUT TU3UT TUExakte TU4UT TUDichtematrix-FormalismusUT TU5UT TUAtomuhrenUT TU6UT TUAuswahlregeln Inhaltsverzeichnis WechselwirkungsoperatorUT 3 TU1.1UT TUDipolnäherungUT 3 5 Lösung ohne Dämpfung in der Rotating-Wave-Approximation UT 6 TU3.1UT TURabioszillationenUT 7 TU3.1.1UT TUPulsflächeUT 7 TU3.1.UT TURabioszillationen mit VerstimmungUT 8 1 TUOptische Bloch GleichungenUT 1 TU4.1UT TUGleichgewichtslösungen der OBE sut 15 TU4.UT TUErwartungswert des Dipoloperators mit BlochvektorenUT 19 TU4.3UT TUOptische-Bloch-Gleichungen mit BlochvektorenUT 1 TU4.4UT TUDynamik des Blochvektors bei resonanter Licht-Atom Wechsel-wirkungUT TU4.5UT TUDynamik des Blochvektors bei nicht-resonanter Licht-Atom WechselwirkungUT 3 4 TU5.1UT TUWie können wir den Takt der Atome aufnehmen?ut 4 TU5.UT TUDie Ramsey MethodeUT 5 TU5.3UT TUModerne Atomuhren (Atomare Springbrunnen Atomic Fountain Clocks )UT 8 für optische DipolübergängeUT 31 TU6.1UT TUAuswahlregeln aufgrund der Parität QuantenzuständeUT 3 Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch von 33

3 Grundlage zur Beschreibung der Licht-Atom Wechselwirkung ist der Hamiltonoperator Ĥ des Systems. Er setzt sich aus dem Hamiltonoperator des freien Atoms H ˆ at und dem Licht- Atom Wechselwirkungsanteil V ˆ zusammen: Hˆ = Hˆ + Vˆ (1.1) Das Atom stellen wir uns dabei vereinfacht als ein Zwei-Niveau-System vor, d.h. es gibt einen Grundzustand 1 sowie einen angeregten Zustand, die durch eine Energiedifferenz E1 = ( ω ω 1) = ω1 voneinander getrennt sind. Mit diesem Zwei-Niveau Atom soll ein monochromatisches Lichtfeld der Kreisfrequenz ω = π ν wechselwirken. at L L Abbildung 1 Für die Licht-Atom Wechselwirkung reduzieren wir das Atom auf zwei Zustände, mit denen das Lichtfeld der Frequenz ωblb/π wechselwirkt. Dies ist meistens eine gute Näherung wenn wir eine nahresonante Wechselwirkung vorliegt, d.h. ω1 ω L, da die Kopplung zwischen anderen Energiezuständen aufgrund deren großer Verstimmung vernachlässigt werden kann. Mit diesem Zwei-Niveau Atom soll ein monochromatisches Lichtfeld der Kreisfrequenz ω = π ν wechselwirken. L L 1 Licht-Atom Wechselwirkungsoperator Für ein Teilchen mit einem Dipolmoment in einem externen elektrischen Feld ergibt sich eine Wechselwirkungsenergie von V= d E. In unserem Fall ist das externe elektrische Feld nicht statisch, sondern wird durch das oszillierende elektrische Feld E( rt, ) eines Lichtfeldes beschrieben. 1.1 Dipolnäherung In dem hier betrachteten Fall ist die Wellenlänge des Lichts im sichtbaren Bereich wesentlich größer als die Ausdehnung eines einzelnen Atoms. Die räumliche Veränderung des elektrischen Feldes über das Atom hinweg können wir daher in erster Ordnung vernachlässigen und das elektrische Feld am Ort des Atoms R auswerten: E( rt, ) ERt (, ) = Et ( ) (1.) Diese Näherung bezeichnet man als elektrische Dipolnäherung (siehe Abbildung ). Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 3 von 33

4 die liegt. die Abbildung Elektrische-Dipolnäherung. Ein Atom am Ort R besitzt eine Ausdehnung der Elektronenwolke, die in der Größenordnung des Bohr schen Radius abb Dies ist jedoch nahezu einen Faktor 1 kleiner als die Wellenlänge des Lichtfeldes mit dem das Atom wechselwirkt (siehe Abbildung, nicht maßstäblich). Daher ist das elektrische Feld am Ort des Elektrons in sehr guter Näherung gegeben durch E( rt, ) ERt (, ). In unseren weiteren Betrachtungen soll das Atom seinen Ort während der Licht-Atom- Wechselwirkung nicht ändern. Wir können dann die Abhängigkeit des eletrischen Feldes von der Ortskoordinate des Atoms unterdrücken. Das oszillierende elektrische Feld eines Lichtstrahls am Ort des Atoms können wird dann beschreiben als: Et () = εecos( ω t) L (1.3) Hierbei ist ε der auf 1 normierte Polarisationsvektor, EBB Kreisfrequenz des Lichtfeldes. Amplitude und ωblb Damit läßt sich der Licht-Atom Wechselwirkungsoperator schreiben als: V = d E() t (1.4) mit dem elektrischen Dipoloperator d = er. Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 4 von 33

5 Grundgleichungen Ziel ist die zeitliche Entwicklung eines beliebigen Zustandsvektors im Zwei-Niveau Atom unter einer Lichteinwirkung voraussagen zu können. Dazu erinnern wir uns, daß in der Schrödinger-Theorie die zeitliche Entwicklung eines Zustandsvektors durch die zeitabhängige Schrödingergleichung beschrieben wird: i ψ (,) rt = H ψ (,) rt = ( Hat + V) ψ (,) rt (1.5) t Dazu setzen wir mit die Wellenfunktion allgemein an mit: ψ ( rt, ) = c( te ) u( r) + c( te ) u( r). (1.6) ω i 1t ω i t 1 1 Hierbei beschreiben cb1b(t) und cbb(t) die zeitabhängigen Amplituden der beiden stationären Eigenfunktionen u ( r ) 1 undu ( r ). Einsetzen von (1.6) in (1.5) und Bildung des Skalarprodukts ω i jt von links mit e u ( r) liefert die beiden Gleichungen für die zeitabhängigen Koeffizienten cb1b(t) und cbb(t). j ε * ε d1e ω i 1t c 1() t = i e cos( ωlt) c() t (1.7) ε d1e iω1t c () t = i e cos( ωlt) c1() t Hierbei ist d = d 1 ε = u ( r) du ( r) d r ε die Projektion des Dipolmatrixelements auf den Polarisationsvektor. Das Dipolmatrixelement d1 = d 1 gibt dabei die Kopplungsstärke des Übergangs an. Verschwindet das Dipolmatrixelement, so ist dieser Übergang verboten! Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 5 von 33

6 3 Exakte Lösung ohne Dämpfung in der Rotating-Wave-Approximation ε Im Folgenden wollen wir das Dipolmatrixelement d1 = dabkürzen. Wir führen außerdem die wichtige Größe der resonanten Rabifrequenz ein: de Ω = (1.8) Damit lassen sich die Grundgleichungen (1.7) als: c () t = iω e cos( ω t) c () t ω i 1t 1 L c () t = iω e cos( ω t) c () t iω1t L 1 (1.9) schreiben. Für den zeitlich oszillierenden Term des Lichtfeldes benutzen wir die Euler-Formel cos( t i Lt i Lt L ) 1 e ω e ω ω = + und setzen dies in Gleichung (1.9) ein. Damit erhalten wir: ( ) Ω ω i 1t iωlt ω i Lt c 1() t = i e ( e + e ) c() t Ω iω1t iωlt iωlt c () t = i e ( e + e ) c1() t (1.1) was nach Zusammenfassung ergibt. Ω i( ωl ω1) t i( ω L+ω1) t c 1() t = i ( e + e ) c() t Ω i( ωl ω1) t i( ω L+ω1) t c () t = i ( e + e ) c1() t (1.11) Da wir eine nah-resonante Licht-Atom Kopplung annehmen, ist ωl ω 1. Die Terme mit +ω sind daher schnell oszillierend und tragen kaum zu einer Kopplung im Zwei-Niveau ω 1 L System bei. Wir vernachlässigen sie dabei in der weiteren Betrachtung. Diese Näherung bezeichnet man im Englischen auch als Rotating-Wave-Approximation. Definieren wir noch zusätzlich die Verstimmung der Lichtfrequenz gegenüber der atomaren Resonanzfrequenz durch δ=ωl ω 1, so ergibt sich aus Gleichung (1.11): Ω it δ c 1() t = i e c() t Ω δ it c () t = i e c1() t (1.1) Wir wollen nun auch den zeitabhängigen Verstimmungsterm in der obigen Gleichung eliminieren und führen dazu neue Koeffizienten ein: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 6 von 33

7 BDamit c () t = c () t e 1 1 c () t = c () t e δ i t iδ t (1.13) Nachdem wir uns in Gleichung (1.1) in ein rotierendes Bezugssystem mit den Eigenfrequenzen des atomaren Systems transformiert hatten, bewirkt die zusätzliche Transformation aus Gleichung (1.13) eine Übergang in ein rotierendes Bezugssystem mit der Laserfrequenz ωblb!b erhalten wir folgendes Differential-Gleichungssystem für die neuen Koeffizienten: d c1() t i δ Ω c1() t = c() t Ω δ c() t (1.14) 3.1 Rabioszillationen Betrachten wir zunächst die einfachste Lösung dieses DGL für den Fall einer resonanten Licht-Atom Kopplung, d.h. δ=. Durch nochmaliges Differenzieren von (1.14) und Ersetzen der einfachen Ableitungen, erhalten wir z.b. für c () t : Ω c1() t = c 1() t. (1.15) 4 Für die Anfangsbedingung, daß zum Zeitpunkt t= die ganze atomare Besetzung sich im Zustand 1 befindet, also c () = 1 und c () = 1, ergeben sich folgende Lösungen: 1 ( t) ( ) c () t = cos Ω c () t = isin Ω t (1.16) Für die Besetzungen des Grund- und angeregten Zustands ergibt sich damit: 1 c 1() t = cos Ω t = 1+ cos Ωt 1 c () t = sin Ω t = 1 cos Ωt ( ) { ( )} ( ) { ( )} (1.17) Das System oszilliert zwischen dem Grund- und dem angeregten Zustand mit der resonanten Rabifrequenz hin und her. Dies ist eine stark nichtlineare Dynamik! Damit meinen wir, dass bei einer linearen Erhöhung der Intensität eines Lichtfeldes die Besetzung des angeregten Zustandes nicht linear ansteigt sondern das System hier starke Oszillationen ausführt Pulsfläche Schaltet man das Lichtfeld mit einer Rabikopplung Ω für eine Zeit τ ein, so ist es oft sinnvoll die Wirkung des Lichtfeldes durch die Pulsfläche A zu charakterisieren: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 7 von 33

8 Zwei wichtige Lichtpulse werden sehr oft eingesetzt: A = Ω τ (1.18) Pi-Halbe Puls A=π/ Startet man mit einem Atom im Grundzustand, so erzeugt ein Pi-Halbe Puls eine kohärente Überlagerung zwischen dem Grund- und angeregten Zustand. Dieser Zustand besitzt ein oszillierendes maximales Dipolmoment. Man setzt ihn sehr oft bei Atomuhren ein, um z.b. eine Oszillation des Atoms anzuregen. Pi-Puls A=π Ein Atom im Grundzustand kann durch einen Pi-Puls komplett in den angeregten Zustand gebracht werden. Umgekehrt kann ein Atom im angeregten Zustand komplett in den Grundzustand überführt werden. Allgemein werden unter der Einwirkung eines Pi-Pulses die Amplituden zwischen den Zuständen 1 und getauscht Rabioszillationen mit Verstimmung Für den allgemeinen Fall mit Verstimmung läßt sich Gleichung (1.14) auch exakt lösen. Hier sei der Vollständigkeit halber nur die Lösung angegeben: Ω δ c1( t) = i sin ( Ω t) c() + cos( Ω t) i sin ( Ω t) c1() Ω Ω Ω δ c( t) = i sin ( Ω t) c1() + cos( Ω t) + i sin ( Ω t) c() Ω Ω (1.19) Dabei haben wir die verallgemeinerte Rabifrequenz eingeführt: Ω = δ +Ω (1.) Für den Spezialfall einer anfänglichen Grundzustandsbesetzung c () = 1 und c () = 1 sich folgende Zeitentwicklung der Besetzung des angeregten Zustands: ergibt 1 c () t Ω Ω = sin Ω t = { 1 cos( Ωt) } (1.1) Ω Ω Achtung: Gegenüber den resonanten Rabi-Oszillationen ergeben sich hierbei folgende wichtige Veränderungen: Die Frequenz der Rabi-Oszillationen wird nun durch die verallgemeinerte Rabifrequenz bestimmt. Diese ist immer größer als die resonante Rabifrequenz! Die Amplitude der Rabi-Oszillationen ist nicht mehr vollständig von bis 1 durchmoduliert sonder wird durch das Verhältnis von resonanter zu verallgemeinerter Rabifrequenz bestimmt! Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 8 von 33

9 statt. Abbildung 3 Rabi-Oszillationen. Im Falle ohne spontane Emission führt das Zwei-Niveau- System unter Lichteinwirkung Oszillationen zwischen dem Grund und angeregten Zustand durch. Im Falle einer resonanten Licht Atom Wechselwirkung (δ = ) sind diese Oszillationen voll durchmoduliert und finden mit der resonanten Rabifrequenz ΩBB Im Falle einer Verstimmung ( δ ) sinkt die Modulation der Rabioszillationen und gleichzeitig steigt die Frequenz der Rabioszillationen auf Ω= δ +Ω. Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 9 von 33

10 4 Dichtematrix-Formalismus Bisher haben wir die Auswirkungen der endlichen Lebensdauer des angeregten Zustands auf die Dynamik des Zwei-Niveau-Systems vollkommen vernachlässigt. Der Zerfall des angeregten Zustands in den Grundzustand unter Aussendung eines Photons bezeichnet man als spontane Emission. Solche spontanen Emissionsprozesse können jedoch nicht konsistent mit Hilfe der Schrödingergleichung behandelt werden, da diese nur die Beschreibung reiner Zustände erlaubt! Es kann jedoch vorkommen, dass wir experimentell nicht in der Lage solche reinen Quantenzustände zu präparieren oder dass spontane Emissionsprozesse zu einer statistischen Überlagerung zweier Quantenzustände führen. Was meinen wir damit? ω i 1t ω i t a) Betrachten wir dazu den reinen Quantenzustand Ψ ( rt, ) = ce 1 u1( r) + ce u( r). Das System befindet sich hierbei in einer kohärenten Überlagerung der beiden Zustände 1 und. Hierbei handelt es sich um einen perfekt präparierten Quantenzustand. In einem Experiment zur Messung der Besetzung der Zustände 1 und würden wir finden, dass sich das System mit der Wahrscheinlichtkeit Zustand 1 und c im Zustand befindet. 1 c im b) Jetzt kann es jedoch sein, dass wir experimentell nicht in der Lage sind einen reinen Quantenzustand zu präparieren. Es könnte z.b. der Fall auftreten, dass wir das atomare System mit 5% Wahrscheinlichtkeit im Zustand 1 und 5% im Zustand erzeugen. Dies bezeichnet man als eine inkohärente Überlagerung oder ein statistisches Gemisch/Überlagerung der beiden Zustände 1 und. Wichtig: Eine solche inkohärente Überlagerung unterscheidet sich fundamental von der kohärenten Überlagerung und kann nicht mehr mit Hilfe des Schrödinger-Theorie beschrieben werden! Hier schafft die Dichtematrix Abhilfe! Sie ist in der Lage sowohl kohärente als auch inkohärente Überlagerungszustände oder Gemische aus beiden zu beschreiben. Dies benötigen wir, um den spontanen Zerfall, der inkohärente Überlagerungen erzeugt, mit beschreiben zu können. Betrachten wir die Dichtematrix in den beiden Grenzfällen 1. Reiner Quantenzustand - In diesem Fall ist die Dichtematrix gegeben durch: * * ρ11 ρ1 cc 1 1 cc 1 ρ= = * * ρ1 ρ cc 1 cc (1.) Die Nicht-Diagonalelemente bezeichnet man als Kohärenzen des Systems. Sie ergeben sich nur für kohärente Überlagerungszustände! Wie lässt sich dies intuitiv verstehen? Unser kohärenter Überlagerungszustand läßt Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 1 von 33

11 ω 1 sich auch schreiben als: (, ) i t 1 1( ) i ϕ ω Ψ rt = ce u r + c i t ee u( r). Die Phase ϕ zwischen den beiden Quantenzuständen 1 und ist also konstant und im Experiment kontrolliert. Würde die Phase in jeder Einzelrealisierung eines Experiments jedoch zwischen (,π) fluktuieren und nicht mehr kontrollierbar sein, so würde der i Mittelwert der Nebendiagonalelemente verschwindenρ 1 c 1 c e ϕ = =.,π Für den Speziallfall eines reinen Quantenzustands mit c 1, = 1 ergibt sich die Dichtematrix des Systems zu: 1 1 ρ= 1 1. Vollständig inkohärente Überlagerung - In diesem Fall ist die Dichtematrix gegeben durch: ρ ρ= 11 ρ und ρb11b, ρbb geben die Wahrscheinlichkeiten an, den Zustand 1 oder präpariert zu haben. Im Spezialfall einer 5% Wahrscheinlichkeit zur Erzeugung von Zustand 1 und 5% Wahrscheinlichkeit für Zustand erhalten wir: 1 ρ= 1 Beachten Sie, dass im Falle der inkohärenten Überlagerung die Phasen zwischen den Zuständen 1 und nicht kontrolliert sind und dadurch die Nebendiagonalelemente verschwinden! Wie können wir im Experiment zwischen einer vollständig kohärenten und vollständig inkohärenten Überlagerung unterscheiden? Betrachten wir dazu wieder unser Beispielsystem Ψ ( rt, ) = 1 ( 1 + ) als kohärenten Überlagerungszustand und den entsprechenden inkohärenten Überlagerungs-zustand, der 1 1 durch den Dichteoperator ρ= ˆ beschrieben wird. Im ersten Fall es ist möglich durch einen geeigneten π/ Puls das System vollständig in die Eigenzustände 1 oder zu überführen. Dies ist jedoch für einen inkohärenten Überlagerungszustand nicht möglich! Generell können wir sagen, dass ein kohärenter Überlagrungszustand immer durch einen geeigneten unitären Zeitentwicklungsoperator in einen Eigenzustand überführt werden kann. Für eine inkohärente Überlagerung ist dies nicht möglich. Fassen wir zum Schluss nocheinmal die Bedeutung der einzelnen Matrixelemente der Dichtematrix zusammen: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 11 von 33

12 im Matrixelement Bezeichnung Bedeutung ρb11b,ρbb Populationen Gibt die Wahrscheinlichkeit an das System im Zustand 1 bzw. zu finden ρb1b,ρb1b Kohärenzen Verschwinden sie, so sind die Phasen zwischen den Zuständen 1 und vollständig undefiniert! Befindet sich das System mit einer statistischen Wahrscheinlichkeit pbkb ψ, so ergibt sich der Dichteoperator zu: k Quantenzustand (1.3) ρ ˆ = pk ψk ψk Die entsprechenden Dichtematrixelemente ρbijb ergeben sich dann zu: ρ ˆ ij = i ρ j (1.4) Optische Bloch Gleichungen Wie kann die Zeitentwicklung der Dichtematrixelemente berechnet werden? Allgemein gilt für den Dichteoperator im Fall ohne Dämpfung: d i ρ ˆ = Hˆ, ρˆ (1.5) Aus dieser Grundgleichung für den Dichteoperator können dann die entsprechenden DGLs für die einzelnen Dichtematrixelemente abgeleitet werden. Wir können aber auch die Zeitentwicklung der Dichtematrixelemente ohne spontane Emission aus der Schrödingergleichung ableiten. Es gilt z.b. für ρb11b: d * * * ρ 11= d ( cc 1 1) = cc cc (1.6) Verwenden wir das Ergebnis aus (1.1), so erhalten wir: d Ω iδt iδt ρ 11 = i ( e ρ1 e ρ 1 ) (1.7) Wir definieren uns nun die neuen Dichtematrixkoeffizienten: ρ = e ρ δ it 1 1 ρ = e ρ it δ 1 1 (1.8) und erhalten: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 1 von 33

13 oszilliert. d Ω ρ 11 = i ( ρ1 ρ 1 ) (1.9) Achtung: Mit dieser Transformation befinden wir uns nun in einem Koordinatensystem, das mit der Lichtfrequenz ωblb Genauer gesagt meinen wir damit, dass wir die Zeitentwicklung auf Frequenzen der Lichtfrequenz bereits absepariert haben und uns nur die langsame Entwicklung der Dichtematrixkoeffizienten interessiert. Analog erhalten wir auch die Differentialgleichungen für die weiteren Dichtematrixelemente: d Ω ρ 11 = i ( ρ1 ρ1 ) d Ω ρ = i ( ρ1 ρ1) d Ω ρ = iδρ + i ρ ρ d Ω ρ =+ iδρ + i ρ ρ ( ) ( ) (1.3) Nun können wir diesen Gleichungen die Wirkung der spontanen Emission hinzufügen. Da dabei Population aus dem angeregten Zustand verloren ergibt sich eine Dämpfung der Nebendiagonalelemente mit Rate γ/ und der Population im angeregten Zustand mit γ: d Ω ρ 11 =+γρ + i ( ρ1 ρ1 ) d Ω ρ = γρ + i ( ρ1 ρ1) d Ω ρ = γ + δ ρ + ρ ρ d Ω ρ = γ δ ρ + ρ ρ ( / i ) i ( ) ( / i ) i ( ) (1.31) Diese Gleichungen bezeichnet man auch als Optische-Bloch-Gleichungen (im englischen Optical-Bloch-Equations, kurz OBE s), die der Physik Nobelpreisträger Felix Bloch zuerst in der Kernspinresonanz entwickelt hat. Wie sich aus Gleichung (1.31) leicht zeigen läßt, gilt: d d ρ = ρ ρ +ρ = const.=1 * Ausserdem gilt für die Dichtematrixelementeρ 1 =ρ 1! Damit sind die vier Gleichungen in (1.31) nicht mehr unabhängig voneinander und man kann die OBE s reduzieren auf: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 13 von 33

14 d iwω ρ 1 = ( γ/ iδ) ρ1 d w = γ w + i Ω ρ ρ ( 1) ( ) 1 1 (1.3) Hierbei haben wir die sogenannte Inversion w eingeführt, die die Besetzungsdifferenz zwischen angeregtem Zustand und dem Grundzustand beschreibt. w = ρ ρ 11 (1.33) Die Optischen-Bloch-Gleichungen beschreiben im Rahmen der Rotating-Wave- Approximation vollständig die Licht-Atom Wechselwirkung inklusive des Effekts der spontanen Emission! Ihre Lösung ist nicht ganz einfach und die Dynamik des Systms teilt sich im wesentlichen in zwei Zeitbereiche auf (siehe auch Abbildung 4). 1. t 1/ γ Für diese Zeiten hat die durch die spontane Emission eingeführte Dämpfung nahezu keinen Effekt und man beobachtet Rabioszillationen, wenn Ω > 1/ γ.. t 1/ γ Für lange Zeiten stellt sich aufgrund der Dämpfung des Systems (verursacht durch die spontane Emission) eine Gleichgewichtslösung ein, bei der sich die Dichtematrixkoeffizienten nicht mehr verändern! Aber Achtung: für Zwei-Niveau Systeme mit sehr schwacher Dämpfung (γ sehr klein), kann es sehr lange dauern, bis diese Gleichgewichtslösung erreicht wird! Abbildung 4 Numerische Lösung der Optischen-Bloch-Gleichungen mit Dämpfung. Für kurze Zeit kann das atomare System Rabioszillationen zeigen, für längere Zeiten stellt sich jedoch eine Gleichgewichtslösung ein. Die obigen Rechnungen wurden für den Fall auf Resonanz ( δ= ) durchgeführt. Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 14 von 33

15 SBB bezeichnet =S 4.1 Gleichgewichtslösungen der OBE s Die Gleichgewichtslöungen für die Dichtematrixelemente erhalten wir einfach, in dem wir fordern, dass: d d ρ 1 = und w = (1.34) Aus den Optischen-Bloch-Gleichungen erhalten wir in diesem Fall 1 w = 1 + S iω ρ 1 = / 1 ( γ iδ )( + S) (1.35) Hierbei haben wir den Sättigungsparameter S eingeführt: Ω / S Ω S = = = δ +γ /4 1+ 4δ γ γ und S (1.36) man hierbei auch als resonanten Sättigungsparameter, da für δ= gilt SBB Der Sättigungsparameter ist einer der wichtigsten Parameter der Licht-Atom Wechselwirkung und beschreibt das Verhältnis aus Rabifrequenz zur Dämpfungsrate des atomaren Systems. Wir möchten diesen Sättigungsparameter nun direkter in experimentell relevanten Größen, wie Laserintensität I, Lebensdauer des angeregten Zustands τ=1/γ und Wellenlänge des optischen Übergangs λ ausdrücken. Wir erinnern uns dazu, dass wir die Zerfallsrate des angeregten Zustands mit dem Dipolmatrixelement d des atomaren Übergangs in Vebrindung setzen konnten: d ω γ= A = (1.37) 3 πε c Ausserdem gilt für die Rabifrequenz und die Intensität des eingestrahlten Lichts: de 1 Ω = und I = cε E (1.38) Mit (1.38) und (1.37) in Gleichung (1.36) erhalten wir für den resonanten Sättigungsparameter S I π hc = mit I = (1.39) λ τ sat 3 Isat 3 IBsatB bezeichnet man hierbei als Sättigungsintensität des Übergangs. Er ist charakteristisch für jeden atomaren Übergang. Für typische optische Übergänge in Alkaliatomen erhält man: Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 15 von 33

16 Isat 1 1 mw/cm. Betrachten wir zwei interessante Grenzfälle des Sättigungsparameters: Für S 1 w 1 Die Besetzung des Atoms befindet sich hauptsächlich im Grundzustand Für S 1 w Das Atom nähert sich immer mehr einer 5/5 Besetzung des Grund- und angeregten Zustands an. Wichtig: Für die Gleichgewichtslösungen kann im Fall des Zwei-Niveau Systems nie eine Besetzungsinversion erreicht werden! Für hohe Laserintensitäten nähert sich die Gleichgewichtslösung einer Gleichbesetzung der beiden Zustände an. Besetzung des angeregten Zustands Aus der Formel für die Inversion erhalten wir: und damit für ρbb: ( 1 ) w=ρ ρ ρ = w+ρ = w+ ρ (1.4) S ρ = 1 + = = ( w) ( 1+ S) 1+ S + 4δ γ S (1.41) Photonenstreurate Wie gross ist die Rate, mit der Photonen an einem Atom gestreut werden können? Dies ergibt sich einfach aus der Rate γ mit der ein einzelnes Atom aus dem angeregten Zustand in den Grundzustand zerfällt (erst dann kann es ja wieder angeregt werden) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit ρbb ein Atom im angeregten Zustand vorzufinden. γ Γ = γρ = ph S 1+ S + 4δ γ (1.4) Für S sehen wir, dass die Photonenstreurate nach oben begrenzt ist: max γ Γ ph = (1.43) Die Lebensdauer τ= 1 γdes angeregten Niveaus stellt also eine fundamentale Begrenzung der Streurate von Licht an einem Atom dar! Die Photonenstreurate aus Gleichung (1.4) können wir umformen und erhalten: S γ Γ ph = mit ' 1 γ = + 1+ S 1+ 4 δ / γ' S (1.44) Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 16 von 33

17 In Abhängigkeit der Frequenz ergibt sich also wiederum ein Lorentz-Profil, welches diesmal jedoch verbreitert gegenüber dar natürlichen Linienbreite ist! Die Verbreiterung gegenüber der natürlichen Linienbreite bezeichnet man als Sättigungsverbreiterung. Sie ist eine Folge davon, dass die Photonenstreurate nach oben begrenzt ist und eine weitere Erhöhung der Laserintensität auf Resonanz keine nennenswerte Erhöhung der Streurate bewirkt. Für große Verstimmungen kann eine Erhöhung der Laserleistung jedoch eine weitere Erhöhung der Streurate bewirken. Dadruch wirkt die beobachtete Resoanzlinie verbeitert (siehe Abbildung 5). Abbildung 5 Sättigungsverbreiterung einer atomaren Resonanzlinie für verschiedene Sättigungsparameters SBB. Lambert-Beer sches Absorptionsgesetz Die Streuung von Licht an einem Atom führt zu einer Abschwächung des Lichtstrahls, da gestreute Photonen vom Atom in beliebige Richtungen ausgesan werden. Wie groß ist die Abschwächung die ein Lichtstrahl erfährt, wenn er ein atomares Gas der Dichte n durchquert? Die differentielle Intensitätsänderung des Lichtstrahls di dz entspricht dabei genau der gestreuten Lichtleistung/Volumen, d.h. di n (1.45) L ph dz = ω Γ Für kleine Sättigungsparameter S 1 und auf Resonanz δ = erhalten wir Γph S γ/. Damit ergibt sich aus Gleichung (1.45): di dz I γ = ω L n= σ1 n I (1.46) I sat Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 17 von 33

18 Hierbei haben wir den Wirkungsquerschnitt σ 1 eingeführt, für den wir einfach durch Koeffizientenvergleich aus (1.46) direkt erhalten: ωlγ 3 σ 1 = = λ π I sat (1.47) Ausserdem können wir die DGL aus (1.46) direkt lösen und erhalten: 1 I() z I() e nz I() e σ µ z = = (1.48) Mit dem Absorptionskoeffizienten µ=σ n 1. Ein Lichtstrahl wird also beim Durchtritt durch ein atomares Gas exponentiell geschwächt. Man bezeichnet dies auch als das Lambert- Beer sche Absorptionsgesetz! Dem Wirkungsquerschnitt kommt dabei eine anschauliche Bedeutung zu. Fokussiert man einen Laserstrahl auf eine Fläche des Wirkungsquerschnitts und läßt diesen mit einem einzigen Ato wechselwirken, so wird dieser nahezu vollständig abgeschwächt (auf 1/e der anfänglichen Intensität). Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 18 von 33

19 5 Bloch-Vektor Die zum Teil komplexwertigen Matrixelemente der Dichtematrix können anschaulich mit Hilfe des sogenannten Blochvektors (u,v,w) beschrieben werden. Die drei Komponenten dieses Vektors sind definiert als: Man nennt diese drei Komponenten auch: 1 1 Re( 1 ) ( ) Im( ) u =ρ +ρ = ρ v= i ρ1 ρ 1 = ρ 1 (1.49) w =ρ ρ 11 Variable u v w Bezeichnung Dispersive Komponente des Blochvektors Absorptive Komponente des Blochvektors Inversion Die Inversion w ist dabei einfach die Besetzungsdifferenz zwischen angeregtem Zustand und dem Grundzustand 1. Es ergibt sich z.b. also: w = -1 Atom ist im Grundzustand w = +1 Atom ist im angeregten Zustands 5.1 Erwartungswert des Dipoloperators mit Blochvektoren Auch für die u und v Komponenten des Blochvektors lassen sich anschauliche Beschreibungen finden. Rechnen wir dazu zunächst den Erwartungswert des Dipoloperators aus! ρ11 ρ1 d 1 d = tr ( ρ d) = tr = d1 ( ρ 1 +ρ 1) ρ1 ρ d1 iωlt iωlt = d1 ( ρ 1 e +ρ1e ) (1.5) = d1 ( ucos( ωlt) vsin( ωlt) ) Hiebei haben wir benutzt, dass das Dipolmatrixelement reel ist und damit gilt d1 = d1. d = d1 ucos( ωlt) vsin( ωlt) ( ) (1.51) Damit erhalten wir also: u proportional zum Dipolmoment, das in Phase mit dem E-Feld oszilliert v proportional zum Dipolmoment, das 9 außer Phase mit dem E-Feld oszilliert, denn cos( ω Lt+π / ) = sin( ω Lt). Man denn dies auch die Quadratrur Komponente! Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 19 von 33

20 Durch welche Komponente des oszillierenden Dipols kommt es zur Absorption und stimulierten Emission von Licht? Betrachten wir hierzu ein klassisches Bild: Wird ein Elektron in einem elektrischen Feld bewegt um eine Strecke dr bewegt, so wird Arbeit dw an ihm verrichtet! cos( ) dw = e εe ωlt dr (1.5) Für die mittlere absorbierte Leistung erhalten wir dann: dw dr =εecos( ω Lt) e =εecos( ωlt) d (1.53) Bilden wir nun die zeitliche Ableitung des atomaren Dipolmoments aus Gleichung (1.51), so erhalten wir: dw = d1 εe ωl ucos ( ω Lt) + vcos( ωlt)sin( ωlt) { } (1.54) Nun interessiert uns mehr die über eine optische Periode gemittelte ausgetauschte Leistung zwischen Atom und Lichtfeld, so dass wir Gleichung (1.54) noch über einen optischen Schwingungszyklus der Dauer T=π/ωB B L mitteln. Diese zeitliche Mittelung kennzeichnen wir durch einen Querbalken: dw { } = d1 εe ω ucos ( ω t) + vcos( ω t)sin( ω t) L L L L (1.55) Für die beiden zeitlichen Mittelungen erhalten wir: T 1 1 cos ( Lt) T ω = T 1 sin ( ωlt) cos ( ω Lt) = T (1.56) Woraus sich das Endergebnis ergibt: dw = Ω ω v (1.57) L Die mittlere absorbierte Leistung hängt also nur von der Quadratur-Komponente v des atomaren Dipols ab. Jetzt wird auch die Bezeichnung von v als absorbtive Komponente verständlich. Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch von 33

21 Achtung: Je nach Vorzeichen von v wird entweder Strahlungsleistung vom Atom aufgenommen (Absorption) oder an das Lichtfeld angegeben (stimulierte Emission)! 5. Optische-Bloch-Gleichungen mit Blochvektoren Auch die Optischen-Bloch-Gleichungen aus Gleichung (1.3) können mit Hilfe des Blochvektors in eine einfachere Form gebracht werden: u = δv γ u v = δ u+ω w γ v ( 1) w = Ωv γ w+ (1.58) Was wir kompakt schreiben können als: u Ω u u d v v v = γ w δ w w+ 1 (1.59) Im Falle ohne Dämpfung kann die Dynamik des Blochvektors einfach beschrieben werden. Wir erhalten in diesem Fall aus (1.59): u Ω u d v v = w δ w (1.6) Analog zu den Kreiselgleichungen der klassischen Mechanik beschreibt Gleichung (1.6) einfach eine Präzessionsbewegung des Blochvektors um die Achse (-ΩBB,,-δ) mit einer Kreisfrequenz Ω= Ω +δ. Im Fall ohne Dämpfung läßt sich ausserdem leicht zeigen, dass der Blochvektor sich immer auf der Oberfläche eine Kugel mit Einheitsradius bewegt, d.h. u + v + w = 1 (1.61) Im Fall mit Dämpfung findet die Bewegung des Blochvektors innnerhalb einer Kugel mit Einheitsradius statt. Wichtig: Jeder reine Zustand des Zwei-Niveau-Atoms entspricht eindeutig einem Blochvektor, der auf der Einheitssphäre liegt. Betrachten wir zunächst drei atomare Zustände im Zwei-Niveau-System und deren Darstellung als Blochvektoren, um uns mit diesen besser vertraut zu machen. a) Starten wir zunächst mit einem Atom im Grundzustand. In diesem Fall ist der zugehörige Blochvektor gegeben durch (,,-1). Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch 1 von 33

22 um t. b) Für ein Atom im angeregten Zustand ergibt sich entsprechend (,,+1) c) Starten wir mit einem Atom im Grundzustand und wenden einen resonanten (δ = ) π/-puls auf das Atom an, so befindet sich das in einer kohärenten Überlagerung aus Ψ = i. Der entsprechende dem Grund- und angeregten Zustand ( ) Blochvektor lautet (,-1,) Abbildung 6 Verschiedene reine Zustände des Zwei-Niveau-Atoms und deren Darstellung auf der Blochsphäre! 5.3 Dynamik des Blochvektors bei resonanter Licht-Atom Wechselwirkung Starten wir mit einem Atom im Grundzustand, also Blochvektor (,,-1). Dann schalten wir ein resonantes Lichtfeld ein (δ=), das mit dem Atom nun wechselwirkt. In diesem Fall rotiert also der Blochvektor um die u-achse mit einer Kreisfrequenz, die der resonanten Rabifrequenz entspricht (siehe Gleichung (1.6)). Dies sind genau die Rabioszillationen, die wir schon im vorigen Kapitel kennengelernt haben. Der Drehwinkel des Blochvektors ist dabei genau durch die in (1.18) eingeführte Pulsfläche gegeben (siehe Abbildung 7). Abbildung 7 Resonante Rabioszillationen. Wird für ein Atom im Grundzustand Licht eingestrahlt, das resonant mit dem atomaren Übergang ist, so rotiert der Blochvektor mit der Rabifrequenz ΩBB die u-achse. Der Drehwinkel des Blochvektors zu einem beliebigen Zeitpunkt t ist dabei gegeben durch ΩBB Wichtig: Der Blochvektor rotiert in diesem Fall durch den oberen und unteren Pol der Blochkugel. Dies entspricht voll durchmodulierten Rabioszillationen, die Besetzung des Licht-Atom-Wechselwirkung/Bloch von 33

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