3.2 Bivariate Verteilungen

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1 3.2 Bivariate Verteilungen zwei Variablen X, Y werden gemeinsam betrachtet (an jedem Objekt i, i = 1,..., n, werden gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet) Beobachtungswerte sind Paare/Kombinationen von Merkmalsausprägungen (x i, y i ) Beispiele: Alter - Körpergewicht berufliche Qualifikation - Einkommen Wetter - Anzahl der Verkehrsunfälle Variablen mit verschiedenem Skalenniveau können zusammengestellt werden (Problem!) Fragen: Zusammenhang ja / nein Stärke eines evtl. vorhandene Zusammenhanges evtl. Richtung, Typ eines vorliegenden Zusammenhanges Antworten sind nur für spezielle Situationen möglich Kausalität muß in der Regel Fachwissenschaft klären Tabellen, grafische Methoden und ein großes Spektrum von Maßzahlen (Koeffizienten) wurden zur Bewertung von Zusammenhängen entwickelt (Assoziations-, Kontingenzund Korrelationskoeffizienten) 1

2 3.2.1 Darstellungen bivariater Verteilungen (zweidimensionaler Daten) Urliste für zwei Variablen Versuchsperson (Objekt) Ausprägung von Merkmal X Y 1 x 1 y 1 2 x 2 y 2 3 x 3 y n x n y n Beispiel 7: Datensatz STUDIUM.SAV (siehe PC-Praktikum): In einer Befragung von Studenten wurde einerseits das Geschlecht und andererseits eine Bewertung der psychischen Lage erfaßt. Also: X-Variable: sex - Geschlecht (nominal, dichotom) Y-Variable: psyche - Bewertung der psychischen Lage (ordinal) Zunächst Variablen einzeln untersuchen (univariate Statistik) und dann Variablen gemeinsam analysieren (multivariate bzw. bivariate Statistik): 2

3 Im Beispiel: Frage: Besteht ein Zusammenhang zwischen dem Geschlecht (Einflußgröße) und der Bewertung der psychischen Lage (abhängige Größe; Kausalstruktur!)? Bestimmung der absoluten Häufigkeiten für alle möglichen Beobachtungspaare/Kombinationen (für metrische Variable evtl. Klasseneinteilung vornehmen) Darstellung in Tabelle heißt Kontingenztafel, Kreuztabelle, (Kreuztafel) Merkmal X mit k Ausprägungen (Kategorien) a 1,..., a k Merkmal Y mit l Ausprägungen (Kategorien) b 1,..., b l h ij... absolute Häufigkeit des gleichzeitigen Auftretens der Ausprägung a i und der Ausprägung b j (also des Paares - der Kombination - (a i, b j )) Kontingenztafel = Darstellung der gemeinsamen Häufigkeitsverteilung der Merkmale X und Y (der empirischen Verteilung des bivariaten Merkmales (X, Y )) hat allgemein die Gestalt: 3

4 mit und Y b 1... b j... b l X a 1 h h 1j... h 1l h a i h i1... h ij... h il h i a k h k1... h kj... h kl h k h 1... h j... h l h h i = h = k l j=1 h ij, h i = l j=1 h j = k h j = k h ij l h ij j=1 h 11,...,h 1l,h 21,......,h k1,...,h kl heißt gemeinsame absolute Häufigkeitsverteilung von (X, Y ) Randhäufigkeiten h 1,...,h k liefern Randverteilung von X; Randhäufigkeiten h 1,...,h l liefern Randverteilung von Y Hinweis: Die Randverteilungen entsprechen den univariaten Verteilungen von X bzw. Y und h ist gleich dem Stichprobenumfang n! 4

5 grafische Veranschaulichung derartiger Tabellen: Z. B. bivariates Histogramm, besser: gestapeltes oder gruppiertes Balkendiagramm für die absoluten oder relativen gemeinsamen Häufigkeiten (Prozentsätze) Hinweis: Eine Prozentuierung sollte bei klarer Kausalstruktur immer in Richtung auf die vermuteten Einflußgröße erfolgen! bei stetigen (metrischen) Variablen: Erst Klasseneinteilung (sonst Tabelle unsinnig), Informationsverlust durch Vergröberung! bei metrischen Einzeldaten zur grafischen Darstellung oft besser: Streudiagramm oder Scatterplot (Punktwolke): Beobachtungspaare (x i, y i ), i = 1,..., n, werden als Punkte mit den Koordinaten x i und y i in der Ebene dargestellt Erahnen funktionaler Abhängigkeiten z.b. y = ax + b y = ax 2 + bx + c y = a sin(bx) + c y = f(x) lineare Abhängigkeit (metrischer Variabler) wird als Korrelation - im engeren Sinne - bezeichnet (Unterschied zur Umgangssprache!; Interpretation der Linearität!) 5

6 Beispiele: a) Variablen extrem korreliert, Korrelation positiv b) Variablen stark korreliert, Korrelation positiv c) Variablen schwach korreliert, Korrelation positiv d) Variablen nahezu unkorreliert e) Variablen negativ korreliert f) Variablen extrem korreliert, Korrelation negativ g) Variablen nahezu unkorreliert, jedoch starker funktionaler Zusammenhang Quantifizierung der Stärke der Korrelation Korrelationskoeffizient (siehe nächster Abschnitt) 6

7 3.2.2 Abhängigkeitsmaße bivariater Verteilungen Zusammenhang zwischen zwei Variablen/Merkmalen soll durch numerische Größen, Kenngrößen beschrieben werden breites Spektrum solcher Kenngrößen (auch in SPSS) Abhängig vom Skalenniveau: nominal z.b. Kontingenzkoeffizient ordinal z.b. Rangkorrelationskoeffizient metrisch z.b. Korrelationskoeffizient (Pearson) Unterschiede in der Qualität der Aussagen über mögliche Zusammenhänge: abhängig, monoton abhängig, linear abhängig gemischte Skalenniveaus Literatur Nominale Daten Grundlage: absolute Häufigkeiten h ij für das Auftreten der Merkmalskombination (a i, b j ) zweier Merkmale X und Y Kontingenztafel, Kreuztabelle Beispiel 8: Zusammenhang zwischen Spezialisierung im Abitur X (naturwiss., sprachlich, Spezialgymnasium) und Chance für Lehrvertrag als Bankkauffrau/-mann Y (sofort angenommen, sofort abgelehnt, Warteposition) 7

8 Zugehörige Kreuztabelle in allgemeiner Form: Y : angen. warten abgel. naturw. h 11 h 12 h 13 h 1 X: sprachl. h 21 h 22 h 23 h 2 spezial h 31 h 32 h 33 h 3 h 1 h 2 h 3 h = n Die (absoluten) Randhäufigkeiten (Randverteilungen) sind bekannt! Y : angen. warten abgel. naturw. n 11 n 12 n X: sprachl. n 21 n 22 n spezial n 31 n 32 n Also im Beispiel: 7 angenommen, 21 Warteposition, 14 abgelehnt (Verhältnis 1:3:2) 12 naturwiss., 24 sprachlich, 6 spezial (Verhältnis 2:4:1) 8

9 Angenommen, es besteht kein Zusammenhang zwischen X und Y, dann müßten sich diese Verhältnisse in jeder Zeile (1:3:2) bzw. Spalte (2:4:1) widerspiegeln: Y : angen. warten abgel. Anteile naturw /7 X: sprachl /7 spezial / Anteile 1/6 1/2 1/3 1 Unabhängigkeit bedeutet demnach: Inhalt h ij einer Zelle ist dann jeweils proportional zu den relativen Randhäufigkeiten und zur Gesamtzahl der Fälle: 6 = = Also: Bestimmung der bei Unabhängigkeit zu erwartenden Häufigkeiten h ij (Idealwerte bei Unabhängigkeit) gemäß: h ij = h i h j n ( = h i n h j n n ) 9

10 Tabelle dieser Werte h ij heißt Indifferenztabelle (die Verteilungen in allen Zeilen der Tabelle sind gleich und auch die Verteilungen in den Spalten sind gleich) Vergleiche mit den beobachteten Häufigkeiten h ij liefern Hinweise auf evtl. vorliegende Abhängigkeiten! Bei (näherungsweiser) Gleichheit: Merkmale X und Y (näherungsweise) empirisch unabhängig Maßzahl für die Abweichung von der Unabhängigkeit, unter Einbeziehung der Abweichungen h ij h ij : χ 2 = i,j (h ij h ij ) 2 h ij chi Summe über alle i, j Abstand der beobachteten Kreuztabelle von der zugehörigen Indifferenztabelle χ 2 Basis für weitere Kenngrößen, Bsp.: Kontingenzkoeffizient C = χ 2 χ 2 + n C = 0 empirische Unabhängigkeit, weitere Koeffizienten auf der Basis von χ 2 siehe Literatur 10

11 Hinweis: χ 2 ist sehr gut für den Nachweis der Signifikanz einer beobachteten Abhängigkeit geeignet ( schließende Statistik). Die Größe von χ 2 läßt sich aber nur schwer interpretieren. Daher kommen bei Kreuztabellen auch sogenannte PRE-Maße zum Einsatz. PRE steht für proportional reduction in error. Derartige Maße bewerten die Reduktion von Fehlern bei Vorhersagen. Verglichen wird z.b. die Vorhersage (der Verteilung) der abhängigen Größe ohne Kenntnis (der Verteilung) der Ausprägungen der Einflußgröße mit einer Vorhersage bei Kenntniss (der Verteilung) der Einflußgröße. Derartige Kenngrößen reflektieren also direkt die Reduktion eines Fehlerprozentsatzes und lassen sich entsprechend interpretieren ( Literatur, in SPSS, Keuztabellen Statistiken z.b. Lambda und Unsicherheitskoeffizient). Beispiel 7: Betrachtung von beobachteten und (bei Unabhängigkeit) erwarteten Häufigkeiten (absolut bzw. Prozentangaben) grafische Methode: gestapelte Balkendiagramme zum Vergleich der Antwortverteilung von Frauen und Männern Empirische Unabhängigkeit würde bedeuten: Gleiche Verteilung der Selbsteinstufung der psychischen Lage bei männlichen und weiblichen Befragten; also Balken sehen gleich aus für beide Geschlechter auch möglich: gruppierte Balkendiagramme 11

12 Metrische Daten Wie kann man lineare Abhängigkeit = Korrelation messen? Gegeben: n Beobachtungen zweier Merkmale X und Y : (x i, y i ), i = 1, 2,..., n. empirische Kovarianz cov(x, Y ) = 1 n 1 n (x i x)(y i ȳ) = 1 n 1 ( n x i y i n xȳ ) Interpretation: Gehören z.b. zu kleinen x i häufig kleine (große) y i, so ist das Vorzeichen von (x i x)(y i ȳ) häufig + ( ) und die Summe wird groß (klein), bei Unabhängigkeit ergibt sich ein Wert nahe 0. Nachteil: cov(x, Y ) ist von der Skalierung der Merkmale abhängig (z.b. g oder kg) 12

13 Normierung führt auf den empirischen Korrelationskoeffizienten (auch: Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient nach Pearson und Bravais) r XY = cov(x, Y ) s X s Y n (x i x)(y i ȳ) = n (x i x) 2 n (y i ȳ) 2 = n n x i y i x 2 i n x 2 n xȳ n y 2 i nȳ 2 x, ȳ... Mittelwerte der Merkmale X bzw. Y s X, s Y... Standardabweichung der Merkmale X bzw. Y Unabhängig von der Maßeinheit Es gilt 1 r XY 1. Besteht zwischen den Merkmalen X und Y ein deterministischer linearer Zusammenhang Y = a + bx ( y i = a + b x i, i = 1,..., n ), so ist ( ) r XY = 1, wenn b > 0 1, wenn b < 0 13

14 r XY = 0 empirische Unkorreliertheit r XY (nur) Maß für die Stärke eines linearen Zusammenhanges liefert Anhaltspunkt, ob die Bestimmung einer Ausgleichsgerade sinnvoll ist ( Regressionsanalyse) 14

15 Ordinale Daten Frage nach dem Grad einer monotonen Abhängigkeit (eines gleichläufigen oder gegenläufigen Zusammenhanges) zweier Merkmale X und Y (d.h. X wächst/fällt gleichzeitig mit Y ) Es sei: Rg(x i ) Rg(y i ) Rang von x i unter den x-werten Rang von y i unter den y-werten d i = Rg(x i ) Rg(y i ) Differenz der Ränge Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman und Krueger für ordinale Daten (ohne oder mit wenigen Bindungen) R = 1 6 n d 2 i n(n 2 1) Summe klein bei etwa gleichlaufenden Reihen (d i 0 also R 1) Summe groß bei gegenläufigen Reihen, Normierung so, daß dann R 1. Es gilt 1 R 1 Beim Fehlen von Bindungen stimmt R mit dem Korrelationskoeffizienten r, berechnet für (Rg(x i ), Rg(y i )), i = 1,..., n, überein (R erfaßt also die lineare Abhängigkeit der Folgen der Ränge der Daten und damit - auch bei metrischen Daten - die monotone Abhängigkeit der Originaldaten) 15

16 Problem: Rangplätze treten mehrfach auf, Bindungen : korrigierter Rangkorrelationskoeffizient Literatur Hinweis: Bei sehr vielen Bindungen - die häufig bei Merkmalen mit nur wenigen möglichen verschiedenen Ausprägungen zu beobachten sind (z.b. Likert-Skala) - sollten andere Kenngrößen verwendet werden. Diese beruhen auf Paarkonzepten ( konkordante Paare, diskonkordante Paare ) Literatur; in SPSS, Kreuztabellen Statistiken z.b. Kendall s τ Beispiel 8: Zusammenhang zwischen Leistung und sozialer Position in der Gruppe (n=6) i Rangplatz Leistung Rangplatz Sympathie d i d i Damit ist R = 1 = 0, 77 6 (36 1) Es besteht also ein ausgeprägter gleichläufiger Zusammenhang zwischen der Bewertung der Leistung und der Bewertung der sozialen Position in der untersuchten Gruppe. 16

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