9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen"

Transkript

1 9 Weitreichende Wechselwirkungen zwischen zwei Molekülen 9.1 Elektrostatische Wechselwirkungen als Beiträge erster Ordnung Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen zwei Molekülen A und B kann durch die folgende Abbildung symbolisiert werden: R+b-a a R b A B Abb Zur elektrostatischen Wechselwirkung zwischen zwei Molekülen A und B. Man setzt den Vektor zwischen den Molekülzentren (Summenkonvention!) R = B A = R α e α (1) und gewinnt für die Beiträge zum Potential am Ort des Moleküls B von den Teilen des Moleküls A : Entsprechend ist V A ( B) = a e a 4πɛ R a (2) V B ( A) = b e b 4πɛ R b Die Potentialfunktion Gl. (2) ist wieder ein Operator, der um R entwickelt werden kann: ˆV A ( B) = 1 [ ( ( ) 1 1 q ˆµ α α + 4πɛ R) 1 R 3 ˆΘ ( ) ] 1 αβ α β +... R Man kann das auch so schreiben (3) (4) ˆV A ( B) = Tq T αˆµ α T αβ ˆΘ αβ +... (5) mit T = 1 4πɛ R (6) T α = 1 ( ) 1 α = R α 4πɛ R 4πɛ R 3 (7) 1

2 T αβ = 1 ( ) 1 α β = 3R αr β R 2 δ αβ (8) 4πɛ R 4πɛ R 5 usw. Entsprechend folgt für das elektrostatische Feld bei B F α ( B) = α ˆV A ( B) = T α q T αβˆµ β T αβγ ˆΘ βγ +... (9) und ein entsprechender Ausdruck für F β ( A). Die elektrostatische Wechselwirkung zwischen den Molekülen ist dann Ĥ = q B V A + ˆµ B α V A α ˆΘ B αβ V A αβ +... (1) Ĥ = q B [Tq A T αˆµ A α T αβ ˆΘ A αβ +...] + ˆµB α [T αq A T αβˆµ A β +...] ˆΘ B αβ [T αβq A +...] +... (11) Ĥ = Tq A q B + T α (q Aˆµ B α q Bˆµ A α) + T αβ ( 1 3 qa ˆΘB αβ ˆµ A α ˆµ B β qb ˆΘA αβ ) +... (12) Für neutrale Moleküle wird das zu Ĥ = T αβˆµ A α ˆµ B β 1 3 T αβγ(ˆµ A α ˆΘ B βγ ˆΘ A αβγˆµ B γ ) +... (13) Der Erwartungswert dieses Operators im Grundzustand gibt die elektrostatische Wechselwirkungsenergie zwischen beiden Molekülen: U el =< Ĥ >= T αβ µ A αµ B β 1 3 T αβγ(µ A αθ B βγ Θ A αβγµ B γ ) +... (14) Der erste Term ist die Dipol- Dipol - Wechselwirkung U µµ. Ein expliziter Ausdruck dafür ist bereits früher angegeben worden. In Tensorschreibweise ( mit Summenkonvention ) lautet er 9.2 Allgemeine Ansätze U µµ = T αβ µ A α µb β = µa α µb β 3R α R β R 2 δ αβ 4πɛ R 5 (15) Wenn die Moleküle hinreichend weit voneinander entfernt sind, kann man als Bezugszustand einen antisymmetrischen Produktzustand aus den Wellenfunktionen beider Einzelmoleküle wählen: Ψ AB = AΨ A Ψ B ; Ψ A = Ψ A (1, 2,..., n A ) ; Ψ B = Ψ B (1, 2,...,n B ) (16) (1) charakterisiert die Koordinaten des Elektrons 1 im Molekül A, und A charakterisiert ein antisymmetrisches Produkt, das Terme wie Ψ A (1, 2,...,n A ) Ψ B (1, 2,...,n B ) enthält. Der Überlapp zwischen diesen Termen und den ursprünglichen Beiträgen wird durch Integrale vom Typ Ψ A (1, 2,..., n A ) Ψ B (1, 2,..., n B ) ΨA (1, 2,..., n A ) Ψ B (1, 2,..., n B )dv (17) geliefert, die verschwinden, wenn Ψ A und Ψ B ungleich in verschiedenen Raumbereichen sind. Der Überlapp wird also wichtig für kleinere Abstände zwischen den Molekülzentren. Ein Ansatz ist 2

3 Ĥ = Ĥ + Ĥ ; Ĥ = ĤA + ĤB ; Ĥ = e a e b (18) a A b B 4πɛ r ab Definiert man jetzt Ladungsdichten für beide Moleküle mittels der δ - Funktion ˆρ A ( r) = e a δ( r a) ; ˆρ B ( r ) = e b δ( r b) (19) a A b B so kann man den Störoperator in der folgenden Form schreiben: Ĥ = a A b B e a δ( r a)e b δ( r b) ˆρ d rd r A ( r)ˆρ B ( r ) = 4πɛ r r 4πɛ r r d rd r (2) Eine andere Darstellung gewinnt man, wenn man den Potentialoperator ˆV B nach einführt: ˆV B ( r) = ˆρ B ( r ) 4πɛ r r d r (21) Ĥ = ˆV B ( r)ˆρ A ( r)d r = ˆV A ( r )ˆρ B ( r )d r (22) Angeregte Zustände des Gesamtsystems ohne Wechselwirkung sind gegeben durch so daß Ψ A m ΨB n = mn > (23) Ĥ mn >= (ĤA + ĤB ) mn >= (W A m + W B n ) mn >= W mn mn > (24) Für Moleküle mit abgeschlossenen Schalen und Nicht - Resonanz - Wechselwirkungen kann man für den Grundzustand des wechselwirkenden Gesamtsystems die nichtentartete Störungstheorie aufbauen: mit dem Störterm 1. Ordnung und dem Störterm 2. Ordnung W = W + W + W +... (25) W = W A + W B (26) W =< Ĥ > (27) W = < mn Ĥ mn >< mn Ĥ > Wmn W (28) Man nennt diese für langreichweitige Wechselwirkungen gültige Entwicklung auch Polarisations - Approximation. Für den Störterm 1. Ordnung kann man auch mit den klassischen elektrostatischen Ladungsdichten schreiben: W = ρ A ( r)ρ B ( r ) 4πɛ r r d rd r (29) Diese Beiträge sind in den Kapiteln 2 und 8 weiter behandelt worden. 3

4 9.3 Beiträge 2. Ordnung Die durch Gl. (28 ) gegebenen Beiträge 2. Ordnung werden unterteilt in Induktions- und Dispersionsterme: Die Induktionsterme sind W = UA ind + UB ind + U disp (3) U A ind = m U B ind = n Die Dispersions-Wechselwirkung ist U disp = m n < Ĥ m >< m Ĥ > W A m W A < Ĥ n >< n Ĥ > W B n W B < Ĥ mn >< mn Ĥ > W A m + W B n W A W B (31) (32) (33) 9.4 Induktionsenergie Setzt man den Ausdruck (12) in Gl. (32) ein, so erhält man Uind B = n (< Tq A q B + T α (q Aˆµ B α qbˆµ A α ) +... n > (34) < n Tq A q B + T α (q Aˆµ B α qbˆµ A α ) +... >)[W B n W B ] 1 Man kann die inplizite Integration über die Koordinaten des Moleküls A ausführen, was gerade die Erwartungswerte der entsprechenden Multipoloperatoren dieses Moleküls liefert. Die Größen T, T α,... hängen vom Molekülabstand R ab, der als Parameter in die Rechnung eingeht. Sie können deshalb auch vor die Integrale gezogen werden. Weiter muß man bedenken, daß die Matrixelemente von q B verschwinden müssen, da die höheren Zustände orthogonal zum Grundzustand sind und q B eine Konstante ist. Es bleibt U B ind = (qa T α µ A β T αβ +...) n < ˆµ B α n >< n ˆµ B α > Wn B W (q A T B α µ A β T α β +...) (35) Die Terme in der vorderen und in der hinteren Klammer sind die Kraftkomponenten F A α auf das Molekül B. F A α = (qa T α µ A β T αβ +...) (36) Der Term in der Mitte ist die Dipol - Dipol - Polarisierbarkeit des Moleküls B: α B αα = 1 2 n < ˆµ B α n >< n ˆµB α > W B n W B Die Induktionsenergie Uind B des Moleküls B ist also bis auf höhere Glieder eine Bilinearform in den Kraftkomponenten Fα A( B) von Seiten des Moleküls A. (37) 4

5 U B ind = 1 2 F A α ( B)α B αα F A α ( B) +... (38) Tragen weitere Moleküle zur Induktionswechselwirkung mit B bei, so hat man zu beachten, daß diese Beiträge nicht paarweise additiv sind. 9.5 Dispersionsenergie Dieser Beitrag ist in seiner einfachsten Form bereits in Kapitel 3 behandelt worden. In der London schen Näherung wurde die Dispersionswechselwirkung zwischen zwei Atomen berechnet, wobei jedes Atom durch ein Drude - Modell repräsentiert wurde, einen eindimensionalen harmonischen Oszillator, in welchem das Elektron an den Kern durch ein harmonisches Potential gebunden wurde. Die quantenmechanische Formulierung im Rahmen der Störungstheorie startet vom Ausdruck Gl. (33), von dem nur der Dipol - Dipolterm mitgenommen wird: U disp = m n < A B ˆµ A α T αβˆµ B β m An B >< m A n B ˆµ A γ T γδˆµ B δ A B > W A m + W B n (39) Man kann den Ausdruck (39) umformen zu W A m = W A m W A (4) U disp = T αβ T γδ m n Wm A W n B Wm A + Wn B < A ˆµ A α m A >< m A ˆµ A γ A > < B ˆµ B β n B >< n B ˆµ B δ B > Wm A Wn B (41) Der Faktor mit den Anregungsenergien wird, einem Vorschlag von Unsöld folgend, als Approximation durch das Verhältnis der Ionisationsenergien ersetzt und vor die Summe gezogen W A mw B n IA I B (42) Wm A + Wn B I A + I B Dann kann man die statischen Dipol - Polarisierbarkeiten der Moleküle A und B einführen und gewinnt: IA I B Für Atome ist die Polarisierbarkeit ein Skalar: U disp = 4(I A + I B ) T αβt γδ ααγ A αb βδ (43) so daß und mit α αγ = αδ αγ (44) IA I B U disp = 4(I A + I B ) T αβt αβ α A α B (45) T αβ T αβ = (3R αr β R 2 δ αβ ) (3R α R β R 2 δ αβ ) (4πɛ ) 2 R 1 = resultiert die London sche Formel 6 (4πɛ ) 2 R 6 (46) 5

6 U disp = 3IA I B α A α B (47) 2(I A + I B ) (4πɛ ) 2 R 6 Das Problem dieser Approximation ist die Näherung (42), deren Charakter für komplexere Moleküle unübersichtlich wird. Ein alternativer Ansatz von Casimir und Polder (1948) ergab eine exakte Formel, die sich als viel nützlicher für praktische Rechnungen erwies. Man geht dazu aus von der Identität 1 A + B = 2 AB dx (48) π (A 2 + x 2 )(B 2 + x 2 ) und wendet diese Formel auf den Energienenner in Gl. (39) an, den man in der Form schreibt. Dann hat man für die Dispersionsenergie U disp = 2 h π T αβt γδ ( n W A m + W B n = h(ω A m + ω B n ) (49) ( m < A ˆµ A α m A >< m A ˆµ A γ A > ωm A ) (5) h((ω m A)2 + ν 2 ) < B ˆµ B β n B >< n B ˆµ B δ B > ω B n h((ω B n )2 + ν 2 ) Berücksichtigt man den Ausdruck für die frequenzabhängige Polarisierbarkeit eines Moleküls in einem oszillierenden Feld aus Kapitel 8, α αβ (ω) = n ω n [< ˆµ α n >< n ˆµ β > + < ˆµ β n >< n ˆµ α >] h(ω 2 n ω 2 ) so sieht man, daß die Dispersionsenergie in Termen dieser frequenzabhängigen Polarisierbarkeit, aber mit imaginärer Frequenz, ausgedrückt werden kann: ) dν (51) U disp = 2 h π T αβt γδ ααγ(iν)α A βδ(iν)dν B (52) Für Atome mit skalarer frequenzabhängiger Polarisierbarkeit reduziert sich das auf einen Ausdruck der Form 3 h U disp = π(4πɛ ) 2 R 6 α A (iν)α B (iν)dν (53) Die Ausdrücke (52) und (52) sind besser zur Bestimmung der Dispersionswechselwirkung geeignet, da die Frequenzabhängigkeit der Polarisierbarkeit entweder auf einfachem Wege aus ab initio - Rechnungen oder aus experimentellen Daten gewonnen werden kann. Eine einfache funktionale Form dieses Zusammenhangs ist für Atome (Tang 1969) α(iν) = α() 1 + ν2 η 2 (54) α() ist dabei die statische Polarisierbarkeit des Atoms, η ein Parameter. Bezieht man sich bei dessen Bestimmung auf die experimentell bestimmten Koeffizienten C exp 6 der Dispersionswechselwirkung, so muß gelten η = 4Cexp 6 (55) α() 2 6

7 Die folgende Tabelle experimentell bestimmter C 6 - Werte für die Wechselwirkungen von Atomen und kleinen Molekülen stammt von Stone. Tab. 9.1 Experimentell bestimmte C 6 - Werte ( in a.u.) [1] WW C exp 6 /a.u. WW C exp 6 /a.u. He He 1.46 CS 2 CS Ne Ne 6.6 C 2 H 2 C 2 H Ar Ar 64.3 C 6 H 6 C 6 H Kr Kr 133 He CO 1.7 Xe Xe 286 Ar Xe Co Co 81.4 He C 2 H SO 2 SO C 2 H 2 C 6 H Die atomare Einheit (a.u.) für den C 6 - Koeffizienten ist E h a 6 = e2 a 5 4πɛ (56) Die London sche Formel (47) zeigt, daß für Wechselwirkungen ungleicher Moleküle eine Kombinationsregel der Form C6 AB C6 AA C6 BB (57) näherungsweise gelten sollte. Eine genauere Regel, die aus den Gln. (54) und (55) sowie aus (53) folgt, lautet C AB 6 = 2α A ()α B ()C6 AA C6 BB (α A ()) 2 C6 BB + (α B ()) 2 C6 AA Statische Polarisierbarkeiten für Atome und Moleküle sind bei Gray und Gubbins [2] angegeben. Literatur [1] A.J. Stone The Theory of Intermolecular Forces, Clarendon Press, Oxford (1996). [2] C.G. Gray and K.E.Gubbins Theory of molecular fluids Clarendon Press, Oxford (1984). (58) ww9 7

Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen

Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen Q2: Detaillierte Eingabebeschreibungen Martin Lehner, Gymnasium Biel-Seeland, Schweiz martin.lehner@gymbiel-seeland.ch Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 2 2 Elektronische Rechnungen 2 2.1 Elektronische

Mehr

II. Klein Gordon-Gleichung

II. Klein Gordon-Gleichung II. Klein Gordon-Gleichung Dieses Kapitel und die zwei darauf folgenden befassen sich mit relativistischen Wellengleichungen, 1 für Teilchen mit dem Spin 0 (hiernach), 2 (Kap. III) oder 1 (Kap. IV). In

Mehr

3. Inelastische Lichtstreuung: Der Raman-Effekt

3. Inelastische Lichtstreuung: Der Raman-Effekt 3. Inelastische Lichtstreuung: Der Raman-Effekt Nachdem im vorangegangenen Abschnitt der Einfluß der Gestalt eines Probenvolumens auf sein Streuverhalten betrachtet wurde, wird im folgenden die Lichtstreuung

Mehr

Chemische Bindung. Wie halten Atome zusammen? Welche Atome können sich verbinden? Febr 02

Chemische Bindung. Wie halten Atome zusammen? Welche Atome können sich verbinden? Febr 02 Chemische Bindung locker bleiben Wie halten Atome zusammen? positiv Welche Atome können sich verbinden? power keep smiling Chemische Bindung Die chemischen Reaktionen spielen sich zwischen den Hüllen der

Mehr

1 Chemische Bindung in Festkörpern

1 Chemische Bindung in Festkörpern Chemische Bindung in Festkörpern In diesem Kapitel befassen wir uns mit verschiedenen Mechanismen, die zu einer Bindung zwischen Atomen führen, sodass daraus ein Festkörper entsteht. Dabei werden wir verschiedene

Mehr

3. Bindungen im Festkörper

3. Bindungen im Festkörper Prof. Dieter Suter Festkörperphysik WS 95 / 96 3.. Grundlagen 3... Übersicht 3. Bindungen im Festkörper Die Struktur eines Festkörpers ergibt sich aus der Wechselwirkung zwischen den darin enthaltenen

Mehr

Die Klein-Gordon Gleichung

Die Klein-Gordon Gleichung Kapitel 5 Die Klein-Gordon Gleichung 5.1 Einleitung Die Gleichung für die Rutherford-Streuung ist ein sehr nützlicher Ansatz, um die Streuung von geladenen Teilchen zu studieren. Viele Aspekte sind aber

Mehr

7 Elektromagnetische Felder

7 Elektromagnetische Felder 112 7.1 Statische elektrische Felder 7.1.1 Dipolenergie Wir ein äußeres Feld angelegt, dann verformt sich das atomare Potenzial. Ort r Potenzial U(r) Abbildung 7.1: Effektives Potenzial ohne und mit äußerem

Mehr

Das Schwingungsspektrum von Wasser

Das Schwingungsspektrum von Wasser Das Schwingungsspektrum von Wasser Vortrag im Rahmen des Seminars zum anorganisch-chemischen Fortgeschrittenenpraktikum Institut für Anorganische Chemie Universität Karlsruhe Matthias Ernst Freitag, 29.6.2006

Mehr

Molekularfeldtheorie (MFT)

Molekularfeldtheorie (MFT) 29.06.2006 Motivation Anwendungen der MFT MFT-Herleitung mittels Variationsansatz und Anwendung Grenzen der Anwendung der MFT Motivation Meisten Probleme nur unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen

Mehr

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung

Kapitel 7. Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung. 7.2 Die Klein-Gordon-Gleichung. 7.1 Einleitung 10 Teilchenphysik, HS 007-SS 008, Prof. A. Rubbia ETH Zurich) 7. Die Klein-Gordon-Gleichung Kapitel 7 Bosonfelder: Die Klein-Gordon Gleichung Wir können im Prinzip die Schrödinger-Gleichung einfach erweitern.

Mehr

Symmetrie und Anwendungen

Symmetrie und Anwendungen PC II Kinetik und Struktur Kapitel 6 Symmetrie und Anwendungen Symmetrie von Schwingungen und Orbitalen, Klassifizierung von Molekülschwingungen Auswahlregeln: erlaubte verbotene Übergänge IR-, Raman-,

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Kohärente Anti-Stokes Raman-Streuung

Kohärente Anti-Stokes Raman-Streuung Kohärente Anti-Stokes Raman-Streuung von Gesine Steudle 1 Betreuer: Dr. Cynthia Aku-Leh Max-Born-Institut, Gebäude C, Z 1.5, Tel: (030)6392-1474 Max-Born-Str. 2a, 12489 Berlin email: akuley@mbi-berlin.de

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis Vorbemerkungen

Mehr

Chemische Bindung. Ue Mol 1. fh-pw

Chemische Bindung. Ue Mol 1. fh-pw Ue Mol 1 Chemische Bindung Periodensystem - Atome - Moleküle Periodensystem(e) 3 Nichtmetalle - Metalloide 5 Eigenschaften der Elemente 6 Bindungstypen 7 Ionenbindung 8 Kovalente, homöopolare Bindung 10

Mehr

Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur

Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur Hauptseminar Elektronentransport in anostrukturen Ab initio Methoden zur Berechnung der elektronischen Struktur Michael Kühn 3.0.2009 Inhalt Inhalt:. Vorbemerkung 2. Die Hartree-Fock-Theorie (HF) 3. Die

Mehr

2 Das zeitunabhängige elektromagnetische Feld

2 Das zeitunabhängige elektromagnetische Feld 2 Das zeitunabhängige elektromagnetische Feld Bedingungen, unter welchen E und B-Felder zeitunabhängig folgen aus Maxwellgleichungen ε dive = ε dive = divb = divb = rote = Ḃ rote = µ rotb = j + εė µ rotb

Mehr

Kapitel 4 Zur Theorie der ab-initio-rechnungen In diesem Abschnitt soll die Theorie, welche den Berechnungen der Potentialfachen zugrunde liegt, naher vorgestellt werden. Ausgehend von der Born-Oppenheimer-

Mehr

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n

(2) (x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n)(y 2 1 + y 2 2 + + y 2 n) = z 2 1 + z 2 2 + + z 2 n Über die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen 1. (Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1898, S. 309 316.)

Mehr

$ % + 0 sonst. " p für X =1 $

$ % + 0 sonst.  p für X =1 $ 31 617 Spezielle Verteilungen 6171 Bernoulli Verteilung Wir beschreiben zunächst drei diskrete Verteilungen und beginnen mit einem Zufallsexperiment, indem wir uns für das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

3.3. Das Periodensystem

3.3. Das Periodensystem 3.3. Das Periodensystem Nachdem wir nun mit dem Wasserstoff das einfachste aller Atome behandelt haben, wollen wir uns mit den weiteren Atomen beschäftigen. Da das Wasserstoffatom uns schon einiges Kopfzerbrechen

Mehr

4 Runge-Kutta-Verfahren

4 Runge-Kutta-Verfahren Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie

Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie Kapitel 4 Theoretische Grundlagen der ab initio -Quantenchemie Mit dem Bewußtsein für die Notwendigkeit einer neuen, über die klassische Newtonsche Physik hinausgehende, physikalisch-theoretische Beschreibung

Mehr

8. Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen

8. Energie, Impuls und Drehimpuls des elektromagnetischen 8. Energie, Impuls un Drehimpuls es elektromagnetischen Feles 8.1 Energie In Abschnitt.5 hatten wir em elektrostatischen Fel eine Energie zugeornet, charakterisiert urch ie Energieichte ω el ɛ 0 E. (8.1

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Zustände der Elektronen sind Orbitale, die durch 4 Quantenzahlen

Zustände der Elektronen sind Orbitale, die durch 4 Quantenzahlen Wiederholung der letzten Vorlesungsstunde: Thema: Das wellenmechanische h Atommodell (Orbitalmodell) ll) Zustände der Elektronen sind Orbitale, die durch 4 Quantenzahlen beschrieben werden, Hauptquantenzahl

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

Warum gibt es Isolatoren?

Warum gibt es Isolatoren? Warum gibt es Isolatoren? Florian Gebhard arbeitsgruppe vielteilchentheorie fachbereich physik philipps-universität marburg Gliederung Florian Gebhard : Warum gibt es Isolatoren? p. 2/40 Gliederung I.

Mehr

Quantenchemie auf dem Rechner

Quantenchemie auf dem Rechner Physikalisch-Chemische Praktika Quantenchemie auf dem Rechner Versuch S1 Einleitung Dieser Praktikumsversuch ist der erste Teil eines dreiteiligen Blocks von Versuchen im Rahmen des Praktikums zur Molekülspektroskopie

Mehr

5 Gase...2. 5.1 Das ideale Gasgesetz...2. 5.2 Kinetische Gastheorie...3. 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5. 5.2.2 Diffusion...

5 Gase...2. 5.1 Das ideale Gasgesetz...2. 5.2 Kinetische Gastheorie...3. 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5. 5.2.2 Diffusion... 5 Gase...2 5.1 Das ideale Gasgesetz...2 5.2 Kinetische Gastheorie...3 5.2.1 Geschwindigkeit der Gasteilchen:...5 5.2.2 Diffusion...5 5.2.3 Zusammenstöße...6 5.2.4 Geschwindigkeitsverteilung...6 5.2.5 Partialdruck...7

Mehr

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens

8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 1 8.6.1 Erwartungswert eines beliebigen Operators O 8.6.2 Beispiel: Erwartungswert des Impulses eines freien Teilchens phys4.013 Page 2 8.6.3 Beispiel: Orts- und Impuls-Erwartungswerte für

Mehr

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten:

Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten: 1. Additions- und Subtraktionsverfahren 3x = 7y 55 + 5x 3x = 7y 55 7y 5x + 2y = 4 3 5 werden, dass die Variablen links und die Zahl rechts vom

Mehr

1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial

1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial 1 Zwei Teilchen in einem Kastenpotenzial Es geht hier darum herauszu nden, welche prinzipiellen Eigenschaften die Wellenfunktion für mehrere Teilchen im gleichen Potenzial aufweisen muss. Wir unterscheiden

Mehr

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 1. Fermat Teil I : Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes. Die beiden Katheten sollen

Mehr

Aufabe 7: Baum-Welch Algorithmus

Aufabe 7: Baum-Welch Algorithmus Effiziente Algorithmen VU Ausarbeitung Aufabe 7: Baum-Welch Algorithmus Florian Fest, Matr. Nr.0125496 baskit@generationfun.at Claudia Hermann, Matr. Nr.0125532 e0125532@stud4.tuwien.ac.at Matteo Savio,

Mehr

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht Seite 1 von 2 Ostfalia Hochschule Fakultät Elektrotechnik Wolfenbüttel Prof. Dr.-Ing. T. Harriehausen Bearbeitungszeit: Theoretischer Teil: 60 Minuten Praktischer Teil: 60 Minuten Klausur FEM für elektromagnetische

Mehr

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

6. Schwingungsspektroskopie

6. Schwingungsspektroskopie 6. Schwingungsspektroskopie 6.1. Infrarot (IR)-Spektroskopie Beispiele: Moleküle mit -CH 2 -Gruppen Asymmetrische Streckschwingung Symmetrische Streckschw. Pendelschwingung (Rocking) Deformationsschwingung

Mehr

Kapitel 4: Chemische. Woher stammen die chemischen Symbole?

Kapitel 4: Chemische. Woher stammen die chemischen Symbole? Kapitel 4: Chemische Symbole Woher stammen die chemischen Symbole? Das sind die Anfangsbuchstaben (manchmal auch die ersten beiden Anfangsbuchstaben) der lateinischen oder griechischen Namen der Elemente.

Mehr

Schwingungsspektroskopie (IR, Raman)

Schwingungsspektroskopie (IR, Raman) Schwingungsspektroskopie Schwingungsspektroskopie (IR, Raman) Die Schwingungsspektroskopie ist eine energiesensitive Methode. Sie beruht auf den durch Molekülschwingungen hervorgerufenen periodischen Änderungen

Mehr

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden.

Multiple-Choice Test. Alle Fragen können mit Hilfe der Versuchsanleitung richtig gelöst werden. PCG-Grundpraktikum Versuch 8- Reale Gas Multiple-Choice Test Zu jedem Versuch im PCG wird ein Vorgespräch durchgeführt. Für den Versuch Reale Gas wird dieses Vorgespräch durch einen Multiple-Choice Test

Mehr

Thomas Biekötter. 17. Mai 2012. Bachelorarbeit Examensmodul im Studiengang Physik (Bachelor of Science)

Thomas Biekötter. 17. Mai 2012. Bachelorarbeit Examensmodul im Studiengang Physik (Bachelor of Science) Berechnung quantenmechanischer Energieaufspaltung mit der Pfadintegralmethode Calculation of quantum mechanical energy splittings by means of path integrals Thomas Biekötter 17. Mai 01 Bachelorarbeit Examensmodul

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

= 8.28 10 23 g = 50u. n = 1 a 3 = = 2.02 10 8 = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also

= 8.28 10 23 g = 50u. n = 1 a 3 = = 2.02 10 8 = 2.02Å. 2 a. k G = Die Dispersionsfunktion hat an der Brillouinzonengrenze ein Maximum; dort gilt also Aufgabe 1 Ein reines Material habe sc-struktur und eine Dichte von 10 g/cm ; in (1,1,1) Richtung messen Sie eine Schallgeschwindigkeit (für große Wellenlängen) von 000 m/s. Außerdem messen Sie bei nicht

Mehr

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen

Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Grundzustandsberechnung von Gross-Pitaevskii Gleichungen Christoph Bischko, Lukas Einkemmer, Dominik Steinhauser Fakultät für Mathematik, Informatik und Physik Universität Innsbruck 2. Juli, 2010 Christoph,

Mehr

3 Elektrische Leitung

3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung 3 Elektrische Leitung 3.1 Strom und Ladungserhaltung Elektrischer Strom wird durch die Bewegung von Ladungsträgern hervorgerufen. Er ist definiert über die Änderung der Ladung

Mehr

Credit Risk+: Eine Einführung

Credit Risk+: Eine Einführung Credit Risk+: Eine Einführung Volkert Paulsen December 9, 2004 Abstract Credit Risk+ ist neben Credit Metrics ein verbreitetes Kreditrisikomodell, dessen Ursprung in der klassischen Risikotheorie liegt.

Mehr

5. Arbeit und Energie

5. Arbeit und Energie Inhalt 5.1 Arbeit 5.2 Konservative Kräfte 5.3 Potentielle Energie 5.4 Kinetische Energie 5.1 Arbeit 5.1 Arbeit Konzept der Arbeit führt zur Energieerhaltung. 5.1 Arbeit Wird Masse m mit einer Kraft F von

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Einführung in die Physik

Einführung in die Physik Einführung in die Physik für Pharmazeuten und Biologen (PPh) Mechanik, Elektrizitätslehre, Optik Klausur: Montag, 11.02. 2008 um 13 16 Uhr (90 min) Willstätter-HS Buchner-HS Nachklausur: Freitag, 18.04.

Mehr

Man betrachte zunächst die Quantenmechanik zweier Teilchen. Jedes Teilchen für sich werde durch die übliche Einteilchen-Quantenmechanik beschrieben:

Man betrachte zunächst die Quantenmechanik zweier Teilchen. Jedes Teilchen für sich werde durch die übliche Einteilchen-Quantenmechanik beschrieben: Kapitel 9 Quantenmechanik von Mehr-Teilchen-Systeme Mehr-Teilchen-Systeme sind aus zwei Gründen schwieriger zu behandeln als Ein-Teilchen-Systeme. Zum einen führt Wechselwirkung zwischen Teilchen dazu,

Mehr

Übungen zur VL Chemie für Biologen und Humanbiologen 18.11.2011 Lösung Übung 3

Übungen zur VL Chemie für Biologen und Humanbiologen 18.11.2011 Lösung Übung 3 Übungen zur VL Chemie für Biologen und Humanbiologen 18.11.2011 Lösung Übung 3 Teil 1: Die Geometrie organischer Verbindungen 1. Welche Form hat ein s-orbital? Welche Form haben p-orbitale? Skizzieren

Mehr

Musso: Physik I. Dubbel. Teil 6 Arbeit und Energie

Musso: Physik I. Dubbel. Teil 6 Arbeit und Energie Tipler-Mosca 6. Arbeit und Energie 6.1 Arbeit und kinetische Energie (Work and kinetic energy) 6. Das Skalarprodukt (The dot product) 6.3 Arbeit und Energie in drei Dimensionen (Work and energy in three

Mehr

Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12

Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12 Magnetics 4 Freaks Alles rund um den Elektromagnetismus Wintersemester 2011/12 Willkommen an der Reinhold Würth Hochschule in Künzelsau Die Kolloquiumsreihe von Hochschule und Industrie Prof. Dr.-Ing.

Mehr

Stufe. Schraube. Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz 05.07.2013. 12.4 Versetzungen

Stufe. Schraube. Materialphysik II Prof. Dr. Guido Schmitz 05.07.2013. 12.4 Versetzungen 12.4 Versetzungen Versetzungen sind linienhafte Störungen des Kristallgitters, die den abgeglittenen Teil eines Kristalls von dem noch nicht abgeglittenen Teil auf einer Gleitebene voneinander trennen.

Mehr

Nichtmetalle, Chemische Bindung, VSEPR

Nichtmetalle, Chemische Bindung, VSEPR Nichtmetalle, hemische Bindung, VEPR Periodensystem chwefel Gelb,.P. 119.6 º, Dichte: 2.06 g/cm 3 ; EN: 2.5, Elektronenaffinität: 200 kj/mol; Ionisierungsenergie: 1000 kj/mol, Kovalenter Radius: 100 pm;

Mehr

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412

Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Der Bipolar-Transistor und die Emitterschaltung Gruppe B412 Patrick Christ und Daniel Biedermann 16.10.2009 1. INHALTSVERZEICHNIS 1. INHALTSVERZEICHNIS... 2 2. AUFGABE 1...

Mehr

Spektroskopie Teil 5. Andreas Dreizler. FG Energie- und Kraftwerkstechnik Technische Universität Darmstadt

Spektroskopie Teil 5. Andreas Dreizler. FG Energie- und Kraftwerkstechnik Technische Universität Darmstadt Spektroskopie Teil 5 Andreas Dreizler FG Energie- und Kraftwerkstechnik Technische Universität Darmstadt Übersicht Wechselwirkung zwischen Licht und Materie nicht-resonante Prozesse Rayleigh-Streuung Raman-Streuung

Mehr

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14

Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Risikomessung und Value at Risk Wintersemester 2013/14 Walter Sanddorf-Köhle Statistik und Ökonometrie Foliensatz Nr. 11 Version vom 24. Januar 2014 1 / 45 6.5.1 Bisherige Vorgehensweise zur Berechnung

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der Phasen eines Systems existiert die Gibbs sche Phasenregel: F = K P + 2

Für die Abhängigkeit der Freiheitsgrade von der Zahl der Komponenten und der Phasen eines Systems existiert die Gibbs sche Phasenregel: F = K P + 2 hasengleichgewichte Definitionen: hase: Homogener Raumbereich, innerhalb dessen sich keine physikalische Größe (z.b. Dichte, Zusammensetzung, emperatur...) sprunghaft ändert. Das Berührungsgebiet zweier

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Jürgen Wurm. 31. Mai 2006

Jürgen Wurm. 31. Mai 2006 Kohärente Zustände Jürgen Wurm 31. Mai 006 Vortrag zum Seminar Quantenoptik im SS 006 1 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 3.1 Entwicklung des Feldes nach Eigenmoden.............................

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Definition und Eigenschaften Finiter Elemente

Definition und Eigenschaften Finiter Elemente Definition und Eigenschaften Finiter Elemente 1 Das letzte Mal Im letzten Vortrag haben wir zum Schluss das Lemma von Lax Milgram präsentiert bekommen, dass ich hier nocheinmal in Erinnerung rufen möchte:

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536

Statistik. R. Frühwirth. Statistik. fru@hephy.oeaw.ac.at. VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090. Februar 2010. R. Frühwirth Statistik 1/536 fru@hephy.oeaw.ac.at VO 142.090 http://tinyurl.com/tu142090 Februar 2010 1/536 Übersicht über die Vorlesung Teil 1: Deskriptive Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil 3: Zufallsvariable Teil 4: Parameterschätzung

Mehr

Ferrofluide. Physikalische Grundlagen. http://en.wikipedia.org/wiki/file:ferrofluid_close.jpg

Ferrofluide. Physikalische Grundlagen. http://en.wikipedia.org/wiki/file:ferrofluid_close.jpg Ferrofluide Physikalische Grundlagen http://en.wikipedia.org/wiki/file:ferrofluid_close.jpg Inhalt Definition Herstellung Maßnahmen zur Stabilisierung Abschätzung der Partikelgröße, Abstandsmechanismen

Mehr

Synthese und Charakterisierung von binären Polyaziden

Synthese und Charakterisierung von binären Polyaziden Synthese und Charakterisierung von binären Polyaziden Gegenstand der vorliegenden Arbeit war die Untersuchung der binären Polyazide der p-blockelemente. Hierbei standen vor allem die Etablierung neue Synthesewege

Mehr

Reaktionsgleichungen und was dahinter steckt

Reaktionsgleichungen und was dahinter steckt Reaktionsgleichungen und was dahinter steckt Prinzipien Bestehende Formeln dürfen nicht verändert werden. Bei Redoxreaktionen kann H, OH oder H 2 O ergänzt werden. Links und rechts vom Reaktionspfeil muss

Mehr

Einführung in MATLAB

Einführung in MATLAB Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB

Mehr

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III)

Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) 07.03.2012 14.00 Uhr 17.00 Uhr Moritz / Pauer Klausur Physikalische Chemie für TUHH (Chemie III) Die folgende Tabelle dient Korrekturzwecken und darf vom Studenten nicht ausgefüllt werden. 1 2 3 4 5 6

Mehr

Kapitel 4. Das HMO-Modell

Kapitel 4. Das HMO-Modell Kapitel 4 4. HMO-Theorie:!-Elektronensysteme 4.. Die Annahmen der HMO-Theorie, Strukturmatrix 4.2. Butadien als Beispiel 4.3. Analytische Lösung für lineare Ketten UV-vis-Absorption: HMO und Freies Elektronen

Mehr

Ferienkurs - Experimentalphysik 2

Ferienkurs - Experimentalphysik 2 Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 Montag Daniel Jost Datum 20/08/202 Inhaltsverzeichnis Einleitung 2 Mathematische Grundlagen 3 Die Maxwellgleichungen

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012

SO(2) und SO(3) Martin Schlederer. 06. Dezember 2012 SO(2) und SO(3) Martin Schlederer 06. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 2 Wiederholung 2 2.1 Spezielle Orthogonale Gruppe SO(n)..................... 2 2.2 Erzeuger.....................................

Mehr

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10

Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,

Mehr

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 PD Dr. Ewald Müller Max-Planck-Institut für Astrophysik Karl-Schwarzschild-Straße

Mehr

Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität

Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität Protokoll Grundpraktikum I: F7 Statistik und Radioaktivität Sebastian Pfitzner 13. Mai 013 Durchführung: Sebastian Pfitzner (553983), Anna Andrle (55077) Arbeitsplatz: Platz Betreuer: Michael Große Versuchsdatum:

Mehr

Lösungen zum Niedersachsen Physik Abitur 2012-Grundlegendes Anforderungsniveau Aufgabe II Experimente mit Elektronen

Lösungen zum Niedersachsen Physik Abitur 2012-Grundlegendes Anforderungsniveau Aufgabe II Experimente mit Elektronen 1 Lösungen zum Niedersachsen Physik Abitur 2012-Grundlegendes Anforderungsniveau Aufgabe II xperimente mit lektronen 1 1.1 U dient zum rwärmen der Glühkathode in der Vakuumröhre. Durch den glühelektrischen

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

RASTER-KRAFT-MIKROSKOPIE (ATOMIC FORCE MICROSCOPY AFM)

RASTER-KRAFT-MIKROSKOPIE (ATOMIC FORCE MICROSCOPY AFM) RASTER-KRAFT-MIKROSKOPIE (ATOMIC FORCE MICROSCOPY AFM) Inhaltsverzeichnis 1. Motivation 2. Entwickler des AFM 3. Aufbau des AFM 3.1 Spitze und Cantilever 3.2 Mechanische Rasterung 3.3 Optische Detektion

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Entwurf robuster Regelungen

Entwurf robuster Regelungen Entwurf robuster Regelungen Kai Müller Hochschule Bremerhaven Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik z P v K Juni 25 76 5 OPTIMALE ZUSTANDSREGELUNG 5 Optimale Zustandsregelung Ein optimaler

Mehr

Die Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl l kann ganzzahlige Werte von 0 bis n - 1 annehmen. Jede Hauptschale unterteilt sich demnach in n

Die Nebenquantenzahl oder Bahndrehimpulsquantenzahl l kann ganzzahlige Werte von 0 bis n - 1 annehmen. Jede Hauptschale unterteilt sich demnach in n 1 1. Was sind Orbitale? Wie sehen die verschiedenen Orbital-Typen aus? Bereiche mit einer bestimmten Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons werden als Orbitale bezeichnet. Orbitale sind keine messbaren

Mehr

Fragestellungen der Schließenden Statistik

Fragestellungen der Schließenden Statistik Fragestellungen der Schließenden Statistik Bisher: Teil I: Beschreibende Statistik Zusammenfassung von an GesamtheitM N {e,,e N } erhobenem Datensatz x,,x N durch Häufigkeitsverteilung und Kennzahlen für

Mehr

Übungen XV: Unternehmensgründung und Innovation

Übungen XV: Unternehmensgründung und Innovation Übungen XV: Unternehmensgründung und Innovation Christian Keuschnigg Universität St.Gallen, FGN Dezember 24 Exercise 1 (Preisindex) (a) Leiten Sie aus dem Ausgabenminimierungsproblem der Konsumenten die

Mehr

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen.

I. Aussagenlogik. Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie und, oder, nicht, wenn... dann zwischen atomaren und komplexen Sätzen. I. Aussagenlogik 2.1 Syntax Aussagenlogik untersucht Verknüpfungen wie "und", "oder", "nicht", "wenn... dann" zwischen atomaren und komplexen Sätzen. Sätze selbst sind entweder wahr oder falsch. Ansonsten

Mehr

194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens

Mehr

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder

Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder Programmieren in PASCAL Bäume 1 1. Baumstrukturen Eine Baumstruktur sei folgendermaßen definiert. Eine Baumstruktur mit Grundtyp Element ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten vom Typ Element

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

Physik Prof. Dr. H.-Ch. Mertins, FB Physikalische Technik

Physik Prof. Dr. H.-Ch. Mertins, FB Physikalische Technik Physik Prof. Dr. H.-Ch. Mertins, FB Physikalische Technik Richtung 1. Wirtschaftsingenieurwesen Physikalische Technologien 2. Chemieingenieurwesen & 3. Wirtschaftsingenieurwesen Chemietechnik 4. Technische

Mehr

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.

Mehr

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten

Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten Zusatzaufgaben zur Vorlesung Stochastik für Informatikstudenten I.1 Erweitertes Urnenmodell mit Zurücklegen In einer Urne befinden sich ( N Kugeln, davon M 1 der Farbe F 1, M 2 der Farbe l ) F 2,..., M

Mehr

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0.

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem P( ) = 0. 1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem Folg. 2 Sei (Ω, E, P) W.-raum. Seien A, B,A 1,...,A n Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen: 1. P(A) = 1 P(A). 2. Für das unmögliche Ereignis gilt:

Mehr