V04A3: Version 1 vom Montag,

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1 V04A3: Version 1 vom Montag, Inhaltsverzeichnis 1.14 Volumina relativ zu C 1 Abbildungen Tangentialräume zu C 1 Abildungen Erste rundform einer C 1 Abbildung und Volumen Motivation des Volumenintegrals Inhalt der Mantelfläche eines Drehkörpers Mannigfaltigkeitsstücke Volumina für Mannigfaltigkeitsstücke Beispiele

2 V04A3: Version 1 vom Montag, parvol V04A Volumina relativ zu C 1 Abbildungen Es sei k n und IR k eine offenen Menge, und es möge f : IR n, eine C 1 Abbildung (=stetig differenzierbare Abbildung) sein. f(x) = f 1 (x 1,..., x k ). f n (x 1,..., x k ), f = Die Spaltenvektoren der Jakobimatrizen Df(x) von f sind die partiellen Ableitungen des Spaltenvektors f an den Stelle x : D j f(x) = f(x) = d x j dt f(x + te j) = Df(x)e j, für j = 1,.., k. t=0 D 1 f 1 (x)... D k f 1 (x) Df(x) = (D 1 f(x),..., D k f(x)) =..... D 1 f n (x)... D k f n (x) Definition 1.1 Bei k = 1 spricht man von Parameterkurven f und bei k = 2 von Parmeterflächen f im IR n Tangentialräume zu C 1 Abildungen Der Vektor D j f(x) ist der Tangentialvektor an die Kurve t f(x + te j ) (=Tangente an die Koordinatenlinie) füt t = 0. Das ist also im Punkt x die Ableitung von f in Richtung des Koordinatevektors e j. Definition 1.2 Der Tangentialraum T x f an f zum Punkt x ist, per Definition, der von den Vektoren D j f(x) erzeugte ntervektorraum von IR n. Oft definiert man T x f IR n nur für reguläre Punkte x von f. Wir erinnern: Ein Punkt x heißt regulärer Punkt von f : Df(x) : IR n IR n ist injektiv. Dazu äquivalent ist die Bedingungen D 1 f(x),..., D k f(x) linear unabhängig oder auch dim T x f = k. f 1. f n

3 V04A3: Version 1 vom Montag, Erste rundform einer C 1 Abbildung und Volumen Definition 1.3 Die Skalarprodukte D i f(x), D j f(x) für i, j = 1,..., k werden mit g ij (x) bezeichnet. Die Matrix dieser g ij (x) heißt Erste rundform für f. g ij (x) := D i f(x), D j f(x) für i, j = 1,..., k Definition 1.4 Sei Wir definieren das k dimensionale Volumen von bezüglich der C 1 Abbildung f : IR n als µ k (f, ) := det( D i f(x), D j f(x) ) dx 1 dx k = det(g ij (x)) dx 1 dx k Bemerkung. (a) µ k (f, ) ist nur für gewisse definierbar. (b) µ k (f, ) erweist sich, unter Voraussetzungen an f, als k dimensionales Volumen µ k (f()) von f() f() = M IR n, etwa bei Mannigfaltigkeittsstücken M, die weiter unten definiert sind. enaueres hierüber im Verlauf der Vorlesung. p M Bild 18 : und f() f() Motivation des Volumenintegrals Die zur Motivation gehörenden Bilder sind für k = 2, n = 3. Man betrachtet achsenparallele Koordinatennetze in zu nterteilungen der Koordinatenachsen und ihre Bilder unter f. Das sind krummlienige Koordinatennetze in f(). Wir nehmen ein Rechteck (resp. einen Quader) Q zu einer solchen nterteilung in mit unterer Ecke x, seine Kantenvekoren seien e 1 dx 1,..., e k dx k. Die Kantenlängen dx 1,..., dx k stellen wir uns sehr klein (infinitesimal klein) und > 0 vor. Die Bilder f(q) solcher achsenparallen Quader Q sind krummlienige Parallelotope auf f(). Dieses kann man approximativ durch ein von der Ecke f(x) ausgehendes tangentiales geradlieniges Parallelotop ersetzen, mit den Kantenvektoren D 1 f(x)dx 1,..., D k f(x)dx k.

4 V04A3: Version 1 vom Montag, Der Beitrag des krummlienigen Paralleleotop zum k dimensionalen Volumen ist ungefähr der Inhalt des kleinen tangentialen Parallelotops: µ k (P (D 1 f(x)dx 1,..., D k f(x)dx k ) = µ k (P (D 1 f(x),..., D k f(x))dx 1...dx k = ρ(x) d k x. D f(x)e 2 2 e dx 2 2 x e dx 1 1 f(x) D f(x)e 1 1 Bild 19 : Koordinatennetze in und f() Rechteck Q mit unterer Ecke x und Kantenvekoren e 1 dx 1, e 2 dx 2 Parallelotope: f(q), Df(x)(Q), Durch den Punkt f(x) erkennt man die zwei krummlienigen Koordinatenlinien, An f(x) greifen die Tangentenvekoren D 1 f(x) dx 1, D 2 f(x) dx 2 an. Für Teilmengen, summiere man solche kleinen Volumina ρ(x) d k x auf (Summationsindex x ). Summieren ist als ein Integral zu verstehen: µ k (f, ) := µ k (P (D 1 f(x),..., D k f(x))dx 1...dx k = ρ(x) d k x. In der Anschauung her sollte sich dabei das Volumen µ k (f()) ergeben, Mathematisch hat man dazu sowohl an als auch an f noch Bedingungen zu stellen. Wir sind deshalb hier vorsichtig und schreiben µ k (f, ) für diese Integral: Nach 1.3, Vorlesung V01A3, berechnet sich das Volunen µ k eines Parllelotops als Quadratwurzel aus der k k Determinante der Skalarprodukte g ij (x) := D i f(x), D j f(x) zwischen den Kantenvektoren D l f(x). Bemerkung. (a) Denkt man sich ρ(x) als eine Massendichte auf, ρ : IR, so ist das obige Integral µ k (f, ) die in enthaltene Masse. (b) Von Interesse sind somit alle, für die µ k (f, ) existiert. Das ist für Quader gesichert. Dreh04 V04A3

5 V04A3: Version 1 vom Montag, Inhalt der Mantelfläche eines Drehkörpers Wir fragen uns: Ist der Inhalt µ 2 ( Mantel R f ) der Mantelfläche eines Drehkörpers, wie er in V01A3, 1.5, S.18 anschaulich, mit Manteln von Kegelstümpfen, gewonnen wurde von der Form µ 2 (f, )? Kann er mit Differentialgeometrie, also als µ 2 (ϕ, ) gewonnen werden? Die Antwort ist Ja: Es sei R f der Rotationskörper zu f : [a, b] IR. Die Funktion f möge dabei eine C 1 sein und f(x) 0 für alle x. Dazu betrachen wir eine Parametrisierung der Mantelfläche Mantel R f des Rotationskörpers IR f ϕ : [a, b] IR IR 3, ϕ(x, t) := x f(x) cos t f(x) sin t Dabei liefert die Einschräknung von ϕ auf := [a, b] [0, 2π[ eine Bijektion mit der Mantelfläche. Es ist: Mantel R f = ϕ([a, b] [0, 2π[). Wir bezeichnen mit D 1, D 2 die Ableitungen x, t t D 2 π 1ϕ. a b ϕ x 0 x Bild 20 : Tangentialvektoren D 1 ϕ = ϕ, D x 2ϕ = ϕ t D 1 ϕ(x, t) := 1 f (x) cos t f (x) sin t, D 2 vp(x, t) := an einer festen Stelle (x, t). 0 f(x) sin t f(x) cos t Die Skalarprodukte dieser Tangentenvektoren liefern die erste rundform für ϕ: ( 1 + f (g ij (x, t)) := ( D i ϕ(x, t), D j ϕ(x, t) ) = (x) 2 ) 0 0 f(x) 2. Die Quadratwurzel aus der Detrminante der (g ij (x, t)) ergibt die Volumenform (hier die Flächenform) det 2 (g ij (x, t))dx dt oder det 2 (g ij (x, t))dx dt.

6 V04A3: Version 1 vom Montag, Hieraus ergibt sich µ 2 (ϕ, ) = = det(g ij (x, t)) dx dt b 2π a 0 = µ 2 ( Mantel R f ). b f(x) 1 + f (x) 2 dt dx = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx a Man beachte, daß das Integral über := [a, b] [0, 2π[ ersetzt wird durch das über [a, b] [0, 2π] =, und daß die Integrationsreihenfolge vertauscht wird. Beides ist erlaubt und ändert nichts am Ergebnis. So ist der Beitrag zum Flächeninhalt der hinzugenommenen Menge null. Eine Kurve ist, anschaulich gesprochen, eine 2 dimensionale Nullmenge, d.h. sie liefert keinen Beitrag zum Flächeninhalt. MStueck V04A Mannigfaltigkeitsstücke Definition 1.5 Ein C 1 Mannigfaltigkeitsstück M IR n, ist eine Teilmenge M des IR n, die sich als M = f() schreiben läßt mit einer Abbildung f, für die gilt: (a) f ist eine C 1 Abbildung IR n, wobei IR k offen ist; k nennt man Dimension von M. (b) Für alle x sind die Ableitung (Jakobi Matrizen) Df(x) : IR k IR n injektiv. (c) f liefert einen Homöomorphismus f() = M. Bemerkungen (1) Wir erinnern: Ein Homöomorphismus zwischen metrischen Räumen ist eine stetige Bijektion, deren Inverse ebenfalls stetig ist. (2) (latte) Mannigfaltigkeiten im IR n, genauer C 1 ntermannigfaltigkeiten sind gewisse Vereinigungen von solchen Stücken. Eine exakte Definition erfordert einige Formulierungskünste, um offensichtlich unliebsame Vorkommnisse auszuschließen, wie etwa Durchdringungen. Darauf verzichten wir hier. Es sei auf die Vorlesung V19A2, V20A2 verwiesen, in denen ntermannigfaltigkeiten im IR n behandelt sind. Kreislinie, Sphäre, Torus, Mannigfaltigkeitsstücke sind solche Mannigfaltigkeiten. (3) Mannigfaltigkeitsstücke M = M k der Dimension k > 0 sind nicht kompakt, denn offene Mengen IR k (k > 0) sind es nicht. Dazu das Argument: Mit f() = M wäre auch kompakt, weil dann Bild unter der stetigen Abbildung f() = M, der Inversen von f wäre. 1 1 Zur Bemerkung (3) noch folgende Ergänzung: Aufgabe. Zeige: Wenn IR k offen und kompakt ist und k > 0, so folgt =. Lösung. Weil kompakt ist, ist abgeschlossen. Bekanntlich sind und der IR k die einzigsten offen und (gleichzeitig) abgeschlossen Teilmengen im IR k. Der IR k ist nämlich zusammenhängend, wie man sagt. Das erkennt man wie folgt: Wenn die Teilmenge offen und abgeschlossen ist, dann auch ihr Komplement IR k \.

7 V04A3: Version 1 vom Montag, (4) Mannigfaltigkeiten sind i.a. keine Mannigfaltigkeitsstücke, denn Stücke M = M k sind nicht kompakt für (k > 0), während etwa die Sphären S k kompakt sind. Sphären sind bekanntlich Mannigfaltigkeiten Volumina für Mannigfaltigkeitsstücke Sei M = M k ein Mannigfaltigkeitsstück im IR n der Dimension k. Wir wollen µ k (M) definieren. Dazu wählen wir eine C 1 Parametrisieirung ϕ : ϕ() = M IR n, IR k offen. und setzen µ k (M) := µ k (ϕ, ). Das wird nicht immer existieren. Doch wenn, dann ist diese Zahl das k dimensionale Volumen von M; standardmäßig. Aufgabe. Zeige: Wählt man eine zweite C 1 Parametrisierung, ϕ : Ũ ϕ(ũ) = M IR n, so gilt: µ k (ϕ, ) = µ k ( ϕ, Ũ). Lösung. Dazu verwendt man die Transformationsformel für Mehrfachintegrale. Im Vorgriff auf V05A3. Das Argument geht dann wie folgt: Man betrachte die Abbildung θ : Ũ, so daß ϕ θ = ϕ; also θ = ϕ 1 ϕ. Dieses θ erweist sich als C 1 Diffeomorphismus Ũ Wir betrachten x und dazu x := θ(x). Seien (x) := (g ij (x)) = Dϕ(x) T Dϕ(x), ( x) := ( g ij ( x)) = D ϕ( x) T Dϕ( x). die ersten rundformen zu ϕ und ϕ. Die Kettenregel liefert: D ϕ( x) Dθ(x) = Dϕ(x). (x) = Dϕ(x) T Dϕ(x) = (D ϕ( x) Dθ(x)) T D ϕ( x) Dθ(x) = Dθ(x) T D ϕ( x) T D ϕ( x) Dθ(x) = Dθ(x) T ϕ( x) Dθ(x) det (x) = det Dθ(x) T det ϕ( x) det Dθ(x) = det ϕ( x) det Dθ(x) 2 Die Funktion χ : IR k IR, die auf geich eins und auf IR k \ gleich null ist, erweist sich dann als stetig. Wenn und IR k \, betrachte p und q IR k \ und die geradlienige Verbindung ω : [0, 1] IR k, ω(t) := (1 t)p + tq. Die Komposition χ ω : [0, 1] IR ist stetig und nimmt genau die zwei Werte 0, 1 an und sonst keine. Das widerspricht dem Zwischenwertsatz, für stetige Funktionen [0, 1] IR, denn es müßte auch 1 2 als Wet angenommen werden. Es muß also = oder IRk \ =. Da der IR k \ = bedeutet = IR k und der IR k für k > 0 nicht kompakt ist, bleibt nur noch =.

8 V04A3: Version 1 vom Montag, µ k (ϕ, ) = det (x) d k x = det ( ϕ( x)) det Dθ(x) d k x = det ( ϕ(θx)) det Dθ(x) d k x = det ( ϕ( x)) d k x T F Ũ = µ k ( ϕ, Ũ). Bei T F geht die Transformationsformel für Mehrfachintegrale ein; vgl. V05A3. Rechenregeln für das Transponieren: (A B) T = B T A T, Beisp04 V04A3 det C T = det C Beispiele Wir wollen uns inbesondere die Bedingungen (c) für ein Mannigfaltigkeitsstück etwas näher anhand von Beispielen ansehen. B. 14 Bei f(t) = (cos t, sin t), für t = IR, wird der Einheitskreis S 1 unendlich oft durchlaufen. Hier erfüllt f (a), (b) aber nicht (c), denn f f : IR S 1 ist nicht injektiv, geschweige denn ein Homöomorphismus. 0 2 π 1 S π 2 3π 2 π Bild 21 : Zwei Parameterkurven, [0, 2π[ S 1 und ] π/2, 3π/2[ M, die C 1, regulär, injektiv stetig sind und keine Homöomorphismen mit ihren Bildern S 1 resp. M liefern. B. 15 Ändert man im vorigen Beispiel ab, indem man := [0, 2π[ nimmt, so ist dieses nicht mehr offen und daher nicht brauchbar. Dennoch ist f(t) := (cos t, sin t) für 0 t < 2π eine C 1 Abbildung, also (a) ist i.w. erfüllt, und auch (b) gilt, denn f (t) 0 aber (c) gilt nicht, denn f : f() = S 1 ist zwar stetig und bijektiv, aber f() ist kein Homöomorphismus, da f() kompakt ist und nicht kompakt ist.

9 V04A3: Version 1 vom Montag, In diesem Beispiel hat man den Mangel, daß nicht offen ist. Das nachfolgende hat ähnliche Eigenschaften aber der Definitionsbereich ist offen. B. 16 Bei einer Figur nendlich, nennen wir sie M, mit der leichung y 2 = 4x 2 (1 x 2 ). Sie kann auch beschrieben werden als M := f(ir), wobei f(t) := (cos t, sin 2t) für t IR. Die Abbildung t f(t) durchläuft die Figur M unendlich oft. Schränkt man dieses f ein auf das offene =] π/2, 3π/2[, so ist f eine injektive, reguläre C 1 Abbildung, und f() = f(ir). Aber dennoch liefert f keinen Homöomomorphismus f(ir) = f() sondern nur eine stetige Bijektion. rund: Die Figur M = f(r) = f() ist kompakt und ist es nicht. M ist kein Mannigfaltigkeitsstück und auch keine Mannigfaltigkeit.