Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3

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1 Übungsaufgaben zu Kapitel 2 und 3 Aufgabe 1 Wann ist eine Teilerhebung sinnvoller als eine Vollerhebung? Nennen Sie mindestens drei Gründe. Aufgabe 2 Welches Verfahren soll angewendet werden, um eine Teilerhebung durchzuführen? a) Ein Computerhersteller erhält eine Lieferung von elektrischen Speicherchips, von denen 500 herausgegriffen werden und auf Funktionsfähigkeit untersucht werden sollen. b) Der aktuelle Wert eines Lagers soll durch eine Stichprobeninventur überprüft werden. Das Lager enthält sehr viele Kleinteile von geringem Wert, eine mittlere Anzahl von Teilen mit mittlerem Wert und relativ wenige Teile von sehr großem Wert. c) Im sog. Mikrozensus werden von der amtlichen Statistik in Deutschland zwischen den Volkszählungen Stichproben erhoben, die aktuelle statistische Angaben bereitstellen über Struktur, Ausbildung, berufliche, wirtschaftliche und soziale Lage der Bevölkerung, über Wohnverhältnisse, den Arbeitsmarkt u. a. d) Ein Meinungsforschungsinstitut möchte eine Prognose erstellen, welche Parteien welche Stimmenanteile bekämen, wenn am nächsten Sonntag gewählt würde. Aufgabe 3 Sie arbeiten in der Personalabteilung des Unternehmens XYZ und erhalten von Ihrem Chef den Auftrag, die durchschnittliche wöchentliche Arbeitszeit der Mitarbeiter von XYZ zu untersuchen. Wie würden Sie die Grundgesamtheit in räumlicher, zeitlicher und sachlicher Hinsicht präzisieren? Aufgabe 4 Gegeben eine Messreihe bei der 12 Messungen durchgeführt wurden. Auf dem Erfassungsbogen stehen folgende Werte: 14,8 15,2 15,1 14,9 14,8 14,9 18,4 15,1 15,2 14,9 (unleserlich) 15,0 a) Welcher Messwert ist ein Ausreißer? b) Wie soll mit dem Ausreißer umgegangen werden? c) Wie soll mit dem fehlenden Messwert umgegangen werden? Aufgabe 5 In einem Filialunternehmen soll der Zusammenhang zwischen Ladenverkaufsfläche und Jahresumsatz untersucht werden. In einem bestimmten Jahr ergaben sich in den 10 Filialen folgende Werte: Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 1 von 8

2 Filiale Nr. Verkaufsfläche (in qm) Umsatz (in Mio. EUR) 1 1,21 7,55 2 1,42 7,92 3 0,87 5,28 4 0,49 3,03 5 1,22 3,58 6 0,84 4,53 7 0,42 3,36 8 0,55 2,98 9 0,61 3, ,89 5,94 a) Untersuchen Sie, welcher der Datensätze unplausibel ist. Zeichnen Sie die Daten dazu in ein x-y-koordinatensystem ein. b) Wie sollte man mit dem in a) gefundenen Datensatz umgehen? Aufgabe 6 Beim Test von Druckern in einer Computerzeitschrift werden die folgenden Merkmale getestet: Merkmal Merkmalsausprägungen Art des Merkmals Herstellername HP, IBM, Lexmark, Preis EUR Gewicht 0-10 kg Seitenzahl pro Seiten Minute Gesamturteil Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht Geben Sie an, welchen Typ das jeweilige Merkmal hat. Aufgabe 7 Ergänzen Sie die untenstehende Tabelle. Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägungen Merkmalstyp Einzelne Funktionsfähigkeit Glühbirne Einzelne Lebensdauer Glühbirne Lieferung mit 100 Glühbirnen Anzahl der Defektstücke Glühbirnentyp eines Herstellers Qualität bei einem Warentest Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 2 von 8

3 Aufgabe 8 Die Längen von 30 Drahtstücken wurden gemessen und die Messwerte der Größe nach sortiert. Es ergab sich folgende geordnete Messreihe [Werte in mm]: 368,2 368,5 369,4 369,9 371,2 371,8 372,4 374,9 375,1 375,3 375,7 376,0 376,6 376,7 376,8 378,1 378,5 379,1 379,4 379,9 380,3 380,8 381,0 381,1 381,7 381,8 382,9 383,2 384,4 385,9 Fassen Sie die Daten wie folgt in Klassen zusammen und zeichnen Sie anschließend ein Histogramm. Klasse Nr. Länge des Drahtstücks in mm Anzahl 1 (368, 371] 2 (371, 374] 3 (374, 377] 4 (377, 380] 5 (380, 383] 6 (383, 386] Aufgabe 9 Gegeben ist Messreihe 9, 13, 7, 5, 8. Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) empirische Varianz, c) empirische Standardabweichung. Aufgabe 10 Betrachten Sie die beiden Messreihen a) 9, 13, 7, 5, 8 b) 9, 13, 7, 5, 8, 20 Berechnen Sie jeweils den empirischen Median und die Spannweite. Aufgabe 11 Bei einem chemischen Prozess füllt eine Dosiermaschine eine Substanz ab. Folgende Messreihe wurde ermittelt: 105 g 103 g 103 g 107 g 108 g 106 g Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) empirische Varianz und empirische Standardabweichung; c) Median und Spannweite. 316 (Ergebnisse: a) x = 105, 3333 [g], b) s 2 4,2667 [g 2 ], s 2,0656 [g], 3 c) ~ x = 105, 5 [g]; R = 5 [g]) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 3 von 8

4 Aufgabe 12 Gegeben ist die 30 Werte umfassende Messreihe aus Aufgabe 8. Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) empirische Varianz und empirische Standardabweichung. (Ergebnisse: a) x = 377, 22 [ml] b) s 2 23,6092 [ml 2 ], s 4,8580 [ml]) Aufgabe 13 Gegeben ist die 30 Werte umfassende Messreihe aus Aufgabe 8. Berechnen Sie a) den empirischen Median; b) die Spannweite. (Ergebnisse: a) ~ x = 377, 45 [ml] b) R = 17,7 [mm] Aufgabe 14 Es liegt folgende Messreihe vor: 2 Werte 9,97 mm 5 Werte 9,98 mm 29 Werte 9,99 mm 38 Werte 10,00 mm 21 Werte 10,01 mm 5 Werte 10,02 mm Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) die empirische Standardabweichung. Aufgabe 15 Im Rahmen der Qualitätskontrolle bei der Fertigung eines Bauteils ergaben sich folgende Messwerte: 2-mal 17,0 mm 33-mal 17,1 mm 270-mal 17,2 mm 423-mal 17,3 mm 234-mal 17,4 mm 34-mal 17,5 mm 4-mal 17,6 mm Berechnen Sie a) den arithmetischen Mittelwert; b) die empirische Varianz. (Ergebnisse: a) x = 17, 2972 [ml] b) s 2 0, [ml 2 ], s 0,0909 [ml]) Aufbabe 16 Bei einer Maschine, die Drahtstücke schneidet, wurden bei einer Stichprobe von 30 Drahtstücken folgende Werte festgestellt: Klasse Länge in ml im Anzahl Nr. Interval 1 (491; 495] 1 2 (495; 499] 10 3 (499; 503] 17 4 (503; 507] 2 Berechnen Sie arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 4 von 8

5 Aufgabe 17 Zwei Maschinen füllen Wasser in 0,7-l-Flaschen ab. Aus der laufenden Produktion wurden je 20 Flaschen entnommen und die Füllmengen gemessen. Nach Klassenbildung ergaben sich unten stehende Häufigkeitstabellen. Berechnen Sie jeweils arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung. Maschine A: Klasse i Füllmenge in ml im Intervall Anzahl h i 1 (699; 700] 6 2 (700; 701] 8 3 (701; 702] 5 4 (702; 703] 1 Maschine B: Klasse i Füllmenge in ml im Intervall Anzahl h i 1 (697 ; 698] 2 2 (698 ; 699] 3 3 (699 ; 700] 3 4 (700 ; 701] 4 5 (701 ; 702] 4 6 (702 ; 703] 3 7 (703 ; 704] 1 (Ergebnisse: Maschine A: x = 700, 55 [ml]; s 2 0,7868 [ml 2 ]; s 0,8870 [ml] Maschine B: x = 700, 4 [ml]; s 2 3,0421 [ml 2 ]; s 1,7442 [ml]) Aufgabe 18 Die Lebensdauern (in Jahren) von 25 Kühlaggregaten wurden vom Hersteller gemessen. Es ergab sich folgende geordnete Messreihe: 0,05; 0,15; 0,18; 0,24; 0,25; 0,30; 0,52; 0,64; 1,27; 1,38; 2,78; 3,05; 3,79; 4,03; 4,10; 4,28; 4,67; 5,44; 5,68; 6,16; 6,96; 7,33; 7,74; 8,18; 11,82 a) Zeichnen Sie ein Histogramm. Verwenden Sie dabei eine Klassenbreite von 2,5 [Jahren], beginnend mit der Klasse [0; 2,5). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den empirischen Median der Messreihe. Berechnen Sie Spannweite, empirische Varianz und empirische Standardabweichung der Messreihe. b) Nehmen Sie an, Sie hätten nicht die oben angegebene ursprüngliche Messreihe vorliegen, sondern nur die in a) bestimmte Häufigkeitstabelle nach Klasseneinteilung. Berechnen Sie aus dieser Häufigkeitstabelle arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz und empirische Standardabweichung Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 5 von 8

6 (Ergebnisse: b) x = 3,6396; ~ x = 3, 79 c) s 2 10,2656; s 3,2040; R = 11,77 d) x = 3, 95 ; s 2 8,2917; s 2,8795 ) Aufgabe 19 Versuchsergebnisse: Härte von Stahl bei Kaltverformung (K. Schimz, Industr. Organisation 26, 1957, 107) Versuch Einsenktiefe Brinellhärte i x i [mm] y i [kg/mm 2 ] a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden. b) Mit welcher Stahlhärte muss man bei Einsenktiefe 16 mm rechnen? c) Berechnen Sie den empirischen Korrelationskoeffizienten und das Bestimmtheitsmaß 2 R d) Interpretieren Sie den Zahlenwert aus c). Aufgabe 20 Wie groß ist der Korrelationskoeffizient? Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 6 von 8

7 Aufgabe 21 a) Zeichnen Sie für den Datensatz aus Aufgabe 5 (alle 10 Filialen) ein Streudiagramm. b) Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden, die die Abhängigkeit des Umsatzes von der Verkaufsfläche beschreibt. c) Zeichnen Sie die Regressionsgerade in Ihr Streudiagramm ein. d) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten. Wie beurteilen Sie die Stärke des linearen Zusammenhangs? e) Streichen Sie den Datensatz der Filiale 5. Wiederholen Sie die Aufgabenteile b) bis d) für die verbleibenden 9 Filialen. (Ergebnisse: b) y = 4,2766x + 1,1134; d) r 0,7911; e) y = 5,5193x + 0,4110; r 0,9699) Aufgabe 22 (Klausuraufgabe WS 11/12) Die nachstehende Tabelle zeigt Daten der 27 EU-Staaten zur Lebenserwartung von Männern x und der Lebenserwartung von Frauen y. Lebenserwartung Nr. Staat Männer Frauen i x i y i 2 x i xi yi 2 y i 1 Schweden 78,8 83, , , ,61 2 Zypern 78,8 82, , , ,76 3 Italien 77,9 83, , , , Estland 67,4 78, , , ,96 26 Lettland 65,4 76, , , ,69 27 Litauen 65,3 77, , , ,00 Summe 2.006, , , , ,19 a) Berechnen Sie die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden. b) Berechnen Sie das Bestimmtheitsmaß der linearen Regression. c) Bei der Durchführung einer quadratischen Regression zeigt Excel an: c1) Ist die lineare Regression für diese Daten brauchbar? c2) Ist die quadratische Regression für diese Daten brauchbar? c3) Wenn man sich zwischen linearer und quadratischer Regression entscheiden muss, welche sollte man wählen? d) Erklären Sie die Bedeutung des Parameters m in der Regressionsgleichung y = m x + k in dieser konkreten Situation, d. h., geben Sie eine inhaltliche Interpretation des für m berechneten Wertes. Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 7 von 8

8 Begründen Sie Ihre Antworten bei c) und d). Antworten ohne Begründung werden nicht gewertet. (Ergebnisse: a) y = 0,5428 x + 40,5669; b) R 2 = 0,8337; c) c1) und c2) Beide brauchbar, da R 2 jeweils groß. c3) Lineare Regression, denn die Bestimmtheitsmaße sind fast gleich hoch einfachere Regression wählen d) Wenn die Männer ein zusätzliches Lebensjahr älter werden, werden die Frauen 0,54 Lebensjahre älter. D. h. bei älter werdenden Gesellschaften schließt sich die Lücke zwischen Männer- und Frauen-Lebenserwartung zunehmend.) Aufgabe 23 Machen Sie sich mit den Statistik-Funktionen Ihres Taschenrechners gut vertraut. Sie sollten z. B. folgende Fragen beantworten können: a) Wie kommt man, falls erforderlich, in den Statistik-Modus? b) Wie löscht man den statistischen Datenspeicher? c) Wie berechnet man am bequemsten arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, wenn eine Messreihe gegeben ist (wie z. B. in Aufgabe 9)? d) Wie berechnet man am bequemsten arithmetischen Mittelwert, empirische Varianz, empirische Standardabweichung, wenn Messwerte mit Häufigkeiten gegeben sind (wie z. B. in Aufg. 14)? e) Kann man die Gleichung der empirischen Regressionsgeraden berechnen? Wenn ja, wie? Und wie erhält man dann den empirischen Korrelationskoeffizienten? (Fragen und Antworten können je nach verwendetem Taschenrechner unterschiedlich ausfallen. Beachten Sie ggf. auch die im Intranet bereitgestellten Bedienungsanleitungen.) Aufgaben zur Vorlesung Statistik Kapitel 1 bis 3 Seite 8 von 8

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