Lösungen zu den Übungsaufgaben

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1 Lösungen zu den Übungsaufgaben SS 004 Dr. H. Grunert Franzstraße 49, Bernburg Tel , Fax mws-bbg.de

2 Der Einfachheit halber werden alle Wahrscheinlichkeiten einheitlich mit P(A) bezeichnet (bis zur Aufgabe 4). Schreibfehler können trotz größter Sorgfalt nicht ausgeschlossen werden. Die Lösungen sind entsprechend der Aufgaben nummeriert; die Reihenfolge in diesem Material folgt nicht immer der aufsteigenden Nummerierung. A3) 1. Variante: Die Reihenfolge der geworfenen Zahlen ist zu berücksichtigen. a) klassische Definition der WS Es gibt 11 Möglichkeiten mindestens eine 1 zu werfen: (1;1), (1;), (1;3), (1;4), (1;5); (1;6), (;1), (3;1), (4;1), (5;1), (6;1). Insgesamt sind 36 verschiedene Ergebnisse beim Würfeln möglich. 11 P A 0, b) höchstens eine 1 zu werfen Es gibt nur eine Möglichkeit, mehr als eine 1 zu werfen: (1;1). 35 P A 0, Variante: Die Reihenfolge der geworfenen Zahlen ist nicht von Bedeutung. a) Es gibt nur noch 6 Möglichkeiten mindestens eine 1 zu werfen: (1;1), (1;), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6). Insgesamt sind 1 verschiedene Ergebnisse beim Würfeln möglich. b) 6 P A 0, P A 0, A4) die Herz-8 eine Kreuzkarte eine Neun einen König einen Joker 1 P A 0, P A 0,5 3 4 P A 0, P A 0, P A 0 3

3 A5) 6 günstige Fälle; 38 Fälle insgesamt 6 P A 0, A6) 3 Würfe mit einem Würfel 5 P A 6 5 P A 6 1 P A 6 1. Wurf keine 6. Wurf keine 6 3. Wurf eine 6 insgesamt: P A 0, A7) P A P B P A B 0,8 0, 65 0,6 P A B P A P B P A B 0,8 0, 65 0, 6 0,85 A8) statistische Definition der Wahrscheinlichkeit insgesamt Knabengeburten und Geburten gesamt im betrachteten Zeitraum P A , 5117 A9) a) gleichzeitiges Eintreten des Misserfolges der drei Erzeugnisse Multiplikation unabhängiger Ereignisse, Komplementärereignisse P A 0, 9 P B 0,8 P C 0,95 P ABC 0,10, 0, 05 0, 001 b) P ABC 0, 9 0,8 0, 95 0, 684 c) P ABC 1 1 0, 684 0,316 3

4 d) P ABC 1 1 0, 001 0, 999 e) P ABC P ABC P ABC 0, 9 0,8 0, 05 0, 9 0, 0,95 0,1 0,8 0, 95 0, 83 A10) Multiplikation, unabhängige Ereignisse, Komplementärereignisse a) P ABC 0, 7 0, 6 0, 4 0,168 b) P ABC 0,30,40,6 0,07 c) P ABC 1 1 0, 07 0, 98 d) P ABC P ABC P ABC 0,7 0,6 0, 6 0,7 0,4 0,4 0,3 0,6 0,4 0,436 A11) Satz von Bayes F: Fernsehgerät ist fehlerhaft A: Prüfgerät zeigt an Gesucht werden die Wahrscheinlichkeiten P F A und P F A. Gegeben sind: 0,8 P A F 0,1 P F 0, 04 P F 1 P F 0, 96 P A F Hieraus ergibt sich für: P A F P A F P A F 1 1 0,8 0, P A F 1 1 0,1 0, 9 Lösung : P F P A F 0, 04 0, P F A 0, P F P A F P F P A F 0, 040, 0,96 09 P F A 1 P F A 1 0, ,

5 A1) genau drei Richtige heißt 3 Richtige und 3 Falsche Kombinationen ohne Wiederholung 3 Richtige aus 6 Richtigen 0 Möglichkeiten 3 Falsche aus 43 Falschen 1341 Möglichkeiten 6 aus Möglichkeiten P A , A13) Kombination ohne Wiederholung 4 aus Möglichkeiten A14) a) Kombination ohne Wiederholung jeder Straßenname nur einmal 35 Möglichkeiten b) Kombination mit Wiederholung 10 Möglichkeiten A15) Permutation mit Wiederholung 60 verschiedene Startbahnzuweisungen A16) Kombination mit Wiederholung ( Dominospiel für bis zu 6 Spieler ) Ziffern 0 bis 6 aus 8 8 verschiedene Steine A17) Permutation ohne Wiederholung 4 Möglichkeiten A18) Variation ohne Wiederholung 10 Zahlen 5

6 A19) Kombinationen mit Wiederholung Auswahl 1 Geldstück Auswahl Geldstücke Auswahl 3 Geldstücke Auswahl 4 Geldstücke Auswahl 5 Geldstücke 4 Preise 10 Preise 0 Preise 35 Preise 56 Preise insgesamt 15 Preise A0) a) Permutation mit Wiederholung 10 verschiedene Zahlen b) Permutation mit Wiederholung 135 stehen fest, für die restlichen vier Ziffern stehen noch 1 verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung A1) Kombinationen ohne Wiederholung es gibt aus 3 = 496 Möglichkeiten den Skat zu bilden a) Kreuz Bube 1 aus 1 = 1 Möglichkeit andere Karte 1 aus 31 = 31 Möglichkeiten insgesamt 31 Möglichkeiten 31 P A 496 0, 065 b) Bube 1 aus 4 = 4 Möglichkeiten andere Karte 1 aus 8 = 8 Möglichkeiten insgesamt 11 Möglichkeiten 11 P A 0, c) zwei Buben aus 4 = 6 Möglichkeiten 6 P A 0, A) Permutation mit Wiederholung, x Möglichkeiten 6

7 A3) a) insgesamt gibt es Varianten, dass 8 Teilnehmer 1 verschiedene Orte gleichzeitig anrufen = Variation mit Wiederholung darunter sind Varianten, dass 8 Teilnehmer 1 verschiedene Orte gleichzeitig anrufen = Variation ohne Wiederholung P A 0, b) Personen aus 8 rufen den gleichen Ort an Kombination ohne Wiederholung = 8 Möglichkeiten Wenn Teilnehmer einen Ort gleichzeitig anrufen heißt das, dass der 1. Ort durch den 1. Anrufer feststeht und nur noch 7 Anrufer 7 der 1 Orte in verschiedenen Varianten anrufen können. Jede dieser Varianten führt zwangsläufig dazu, dass Personen den gleichen Ort zur gleichen Zeit anrufen. Variation ohne Wiederholung 7 aus 1 = Möglichkeiten P A , A4) a) Variation mit Wiederholung 1000 Zahlenkombinationen 1 Minute, je Versuch 3 Sekunden è 0 Versuche 0 P A 0, b) Möglichkeiten, 15 Versuche P A 0, 0015 c) 3 Ziffern Diebstahlversuch JA p= 0,5 NEIN p= 0,5 Erfolg JA p= 0,0 è Schaden 1000 DM NEIN p= 0,98 è Schaden 0 DM Schaden: 0 0,5 0, ,5 0,0 10 DM 7

8 4 Ziffern Schaden: 0 0,50, ,5 0,0015 0, 75 DM Aufgaben zur Binomialverteilung A7) n = 9 p = 0,0 1-p = 0,98 9 P X 0 0, 0 0, 98 0, a) 0 9 b) P X , , , , 0 0,98 0, 0 0,98 c) P X P X , ,1665 A36) n = 5 p = 0,4 1-p = 0,6 5 P X 0 0,4 0,6 0, a) P X 0, 4 0, 6 0,3456 b) 3 c) , 4 0, 6 0, 4 0, 6 0, 4 0, 6 P X 5 0, 4 3 0, 6 0, , 59 0,3456 0, , 9196 d) P X P X P X , , 59 0, A37) n = 10 p = 0,15 1-p = 0,85 P X ,15 0,85 0,15 0,85 0,15 0, =1 0,1696 0, , 579 0,

9 A38) n = 1000 p = 0,006 1-p= 0, P X 0 0, 006 0, 994 0, a) b) 0 1 P X P X P X P X , 006 0,994 0, 006 0, , 006 0, , , , , 0614 A39) n = 100 p = 0,993 1-p = 0, P X 100 0,993 0, 007 0, a) P X 98 0, 993 0, 007 0, b) 98 c) ,993 0, 007 0, 993 0, 007 P X 100 0, , ,1185 0, 349 0, , A40) n = 8 p = 0,3 1- p = 0, P X P X P X P X P X , 3 0, 7 0, 3 0, 7 0, 3 0, ,3 3 0, , , , , 541 0,

10 A41) n = 7 p = 0,3 1-p = 0,7 a) P X 5 P X 6 P X , 3 0, 7 0,3 0, , , , P X 5 0,3 0, 7 0, b) 5 Aufgaben zur Poissonverteilung A5) a) 5 k 5 5 f P k e 5! 5 5 5; 5 0,17547 b) F 5; k 9 1 F 5; k 8 1 e P P k 5 å a e 1 5 1, , , a a! c) Reproduktivitätseigenschaft der Poissonverteilung 5 7 A B täglich sind durchschnittlich 7 Aufträge zu erwarten nach der Kooperation sind = 5 Mitarbeiter beschäftigt Überlastung tritt ab 11 Aufträgen pro Tag ein F 7; k 11 1 F 7; k 10 1 e P P e , ,0985 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Auftrag abgelehnt werden muss, ist nach der Kooperation geringer. å a0 a 7 a! 10

11 A6) a) 8 k 8 8 f P k e 8! 8 8 8; 8 0, a 8 8; 9 å , 7166 a! 8 8 b) F k e e P a0 c) FP k FP k 8; 9 1 8; 9 1 0, , 8338 Aufgaben zur Normalverteilung A8) 75 ml =0,8 ml Mindestinhalt = 750 ml ;75;0,8 F F,5 =1-F,5 0, 006 0,8 a) P X b) 750 < < ;75;0,8 750;75;0,8 P X F F F F 0,8 0,8 é ù,5,5 F, 5 ë1 F, 5 û F, 5 1 0, ,9876 c) Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung ml å i n 6 0,8 1,95959 Unterfüllungsgrenze: ml P X < ;451;1, F 1, F 6,137» 0 Die Wahrscheinlichkeit einer Unterfüllung geht gegen null. 11

12 d) 750; ;0,8 0, F 0,0 0,8 F,055 0,0 750, 055 0,8 =751,644 Die Maschine muss auf 751,644 ml eingestellt werden. A9),15 m 0,15m a) P X < 1,85 1 F 1 0, 977 0, 08 b) P X, 00,30 F 1 1 0, , ,3% der Bäume haben eine Größe zwischen m und,3 m. A30) 176 cm 9, 4cm P X P X F 1, , , A31) 15 cm cm a) P X F 0, 5 1 0, , 383 b) P X P X 13, 5 1 < 13, 5 1 F 0, 75 F 0, 75 0, c) P X 16,5 F 0, 75 0,

13 d) symmetrisches Intervall [a;b] mit a = 15 - d b = 15 + d 0, 9 P a X b b;15; a;15; 15 d d 15 d d d F 1 F F F F d d F 1 0,9 0,95 F d 1,645 d 3,9 Das symmetrische Intervall lautet [ 11,71 ; 18,9 ]. A3) Lösungen analog A31 d) 1000 g 5g a) d 5 1,645 d 8,5 Das Gewicht liegt zwischen 991,775 g und 1008,5 g Berechnung als beidseitige Fragestellung, da nicht nach einer Obergrenze für das Gewicht der Pakete (Höchstgewicht) gefragt wird, so dass eine beidseitige Schwankung des Gewichtes um den Mittelwert angenommen werden muss. Wenn nach der Obergrenze gefragt wird, gilt bei gleicher WS von 90 % Folgendes: d 0,9 P X b 1,8 5 d 6,4 Obergrenze = 1006, 4g b) d 1,96 d 9,8 5 Das Gewicht liegt im Intervall [ 990, ; 1009,8 ]. 13

14 c) d,33 d 11, 65 5 Das Gewicht liegt im Intervall [ 988,35 ; 1011,65 ]. A33) 110 g 3g X P F 3 1 0, , 9973 A34) 900 h 100h a) P X P X < F 3 1 0, , b) P X F,5 10, , 0061 c) P X F 1,5 1 0, ,86638 A35) 4000 m 100m 3 3 P X P X F 1 0,9775 0, 075 Aufgaben zu Auswahlverfahren und Stichprobenvariable A43) a) einfacher Auswahlsatz f n 00 0,05 N 4000 b) Auswahlabstand bei systematischer Auswahl 4000 k N 0 mit N 1< k < N n 00 n n 14

15 c) proportional geschichtete Auswahl n j N N j n 1. Schicht N n1 N ,375 0, Schicht N 000 n N ,5 0, Schicht N n3 N ,15 0, optimal geschichtete Auswahl n j k N å j 1 j N j j j n Schicht n1 00 0, , Schicht n , Schicht n3 00 0, ,

16 A44) Zufallsvariable N (450; 80)- verteilt Stichprobe n = 15 a) b) 80 P x P x ;450; F, 4 1 0,994 0, P 430 x ;450; 430; 450; F 0,97 1 0, , Zusatzaufgabe 1 Die Zufallsvariable Benzinverbrauch in l / 100 km eines bestimmten Wagentyps sei normalverteilt mit N (10;1). a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der mittlere Benzinverbrauch bei 5 Autos zwischen 9,8 und 10, l / 100 km liegen? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der mittlere Benzinverbrauch bei 100 Autos über 10, l / 100 km liegen? a) P x 9,8 10, F 1 1 0, , 686 b) P x P x 10, 1 10, 1 F 1 0,977 0, 08 Zusatzaufgaben (Klausur vom ) Ein Automat füllt Wurst in Folientüten ab. Die Füllmenge ist dabei eine normalverteilte Zufallsgröße mit 00g und 10g. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge einer zufällig ausgewählten Folientüte zwischen 195g und 05g liegt? X P F 0,5 1 0,383 16

17 b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die durchschnittliche Füllmenge bei einer Stichprobe von 5 zufällig ausgewählten Folientüten zwischen 195g und 05g liegt? P 195 x 05 05;00; 195;00; F,5 1 0, Zusatz zu Aufgabe 31 e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe von 5 Bratwürsten die durchschnittliche Länge zwischen 14cm und 16 cm liegt? P 14 x 16 16;15; 14;15; F, 5 1 0, f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die durchschnittliche Länge der Bratwürste in der Stichprobe maximal 15,5 cm beträgt? Zusatz zu Aufgabe 3 P x 15, 5 15,5;15; F 1, 5 0, d) Unter b wurde das Intervall [990,; 1009,8] berechnet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird darin das Gewicht eines zufällig entnommenen Zuckerpaketes, das durchschnittliche Gewicht von zwei zufällig entnommenen Zuckerpaketen und das durchschnittliche Gewicht von 16 zufällig entnommenen Zuckerpaketen liegen? 1 Zuckerpaket WS gleich 95 % Zuckerpakete 5 5 P 990, x 1009,8 1009,8;1000; 990, ;1000; F, , Zuckerpakete 5 5 P 990, x 1009,8 1009,8;1000; 990, ;1000; F 7,84 1» 1 17

18 Aufgaben zu Schätzverfahren A45) N ( 10;1 ) verteilte Zufallsgröße; Stichprobe n = 5 a) P x z x z 1 / 1 / n n = 1 - z 1-a/ = 1, P 10 1, , 645 0, P 10 0, ,39 0,90 Konfidenzintervall [ 9,671; 10,39 ] b) 1 1 P 10 1, , 96 0, P 10 0, ,39 0,95 Konfidenzintervall [ 9,608; 10,39 ] c) 1 1 P 10 1, ,96 0, P 10 0, ,196 0, 95 Konfidenzintervall [ 9,804; 10,196 ] d) Untergrenze für den durchschnittlichen Verbrauch (Mindestverbrauch) P x z 1 1 n 1 P 10 1, 645 0, 95 5 Konfidenzintervall: 9,671 18

19 1 P 10 1, 645 0, Konfidenzintervall: 9,8355 Obergrenze für den durchschnittlichen Verbrauch (Höchstverbrauch) P x z 1 1 n 1 P 101, 645 0,95 5 Konfidenzintervall: 1 0, P 10 1, 645 0, Konfidenzintervall: 10,1645 A49) N (15; ) verteilte Zufallsgröße a) P X F 0, 5 1 0, , 383 b) P x z 1 1 n P 151, 645 0, P 15 0, 39 0, 95 Konfidenzintervall: 14,671 19

20 c) P 151, 645 0, Konfidenzintervall: 15,39 d) P x z x z 1 1 / 1 / n n z 1-a/ = 1,96 P 15 1, ,96 0, P 15 0, ,39 0,95 Konfidenzintervall [14,608; 15,39] A47) N (50; ) verteilte Zufallsgröße; n = 10 a) P x P x 49 1 < 49 1 F 1, 58 F 1, 58 0, 949 x P 49 51,5 F, 37 F 1, 58 F,37 F 1,58 1 0, , , 934 b) Inklusionsschluss P z x z 1 1 / 1 / n n z 1-a/ = 1,96 P 50 1, 96 x 50 1, 96 0, P 501, 4 x 50 1, 4 0,95 symmetrisches Intervall: [48,76; 51,4] 0

21 c) P x z x z 1 1 / 1 / n n z 1-a/ = 1,96 P 51 1, , 96 0, P 511, , 4 0,95 Konfidenzintervall [49,76; 5,4] A50) ;3 N verteilte Zufallsgröße; n = 11, x 15 cm a) P x z x z 1 1 / 1 / n n z 1-a/ = 1, P 15 1, ,96 0, P 151, , 779 0,95 Konfidenzintervall [150,71; 153,779] b) z 1,5 1 / n n z 1 / e n 15,3664 Es müssen ca. 16 Bäume ausgemessen werden. 1

22 A46) x 15, 48 s 33,14 n 50 unbekannt Schätzung der Standardabweichung s 33,14 x 4, 6869» 4, 69 n 50 s s P x t x t 1 1 / ; 1 / ; n n P 15,48,01 4,69 15,48,01 4,69 0,95 P 15,48 9,4 15,48 9,4 0,95 Konfidenzintervall [06,06 ; 4,90 ] A48) Konfidenzintervall für Anteilswerte p 0,8 1 p 0, VAR X n p 1 p 5000,8 0, 80 Approximationsbedingung für die Normalverteilungsapproximation ( VAR(X) > 9 ) ist eingehalten 1 1 p p p p P p z p p z» n n 1 1 / 1 / 0,8 0, 0,8 0, P 0,8 1, 96 p 0,8 1,96» 0, P 0,81,96 0,0179 p 0,8 1,96 0,0179» 0,95 P 0,8 0, 035 p 0,8 0, 035» 0, 95 Konfidenzintervall [ 76,5 % ; 83,5 % ]

23 A51) x s s n 10 0, , normalverteilte ZG, unbekannt, d.h. Berechnung des Konfidenzintervalls mit Hilfe der t- Verteilung Freiheitsgrade n 1 5 a) s s P x t x t 1 1 / ; 1 /; n n 0, , P 10,57 10, 57 0, P 10,570, ,57 0,0073 0,95 P 10 0, , , 95 Konfidenzintervall [ 9,981 ; 10,019 ] b) 99%-Konfidenzintervall P 10 4,03 0, ,03 0,0073 0,99 P 10 0, , 09 0, 99 Konfidenzintervall [ 9,971 ; 10,09 ] A5) x 500, 3 1, n 40 a) P x z x z 1 1 / 1 / n n 1, 1, P 500, 31, , 3 1,96 0, P 500, 3 0, , 3 0,37 0,95 b) Konfidenzintervall [ 499,93 ; 500,67] P 500 P 500,3 z 1 1 n ,3 z1 n ,3 z1 z1 0,3 n n z 1,58 1 F 1,58 1 F 1,58 0, 0571 gesuchte Konfidenz = 0,

24 c) z n 1 e e 0, 1, 96 1, n 0, 138, 976 Mehr als 139 Packungen müssten untersuch t werden. A55) Frauen: p 0, p 0,597 Var X n p 1 p 4960,403 0, ,33 Bedingung für die Normalverteilungsapproximation ( VAR(X) > 9 ) ist eingehalten p 1 p p 1 p P p z p p z» n n 1 / 1 / 1 0, , 403 P 0, , 403 0, 403 1, 96 p p~ 1, P 0,4031,96 0,0 p 0,403 1,96 0, 0» 0,95 P 0, 403 0, 043 p 0, 403 0, 043» 0,95 Konfidenzintervall [ 0,36; 0,446 ] 496 0, 95» 4

25 A53) n 5 4 Freiheitsgrade x» 100, 86 s 1, 747 a) n 1 s² n 1s² P ² 1 ² 1 / ; ² / ; P 5 1 1, , 747 ² 0,90 ² 0, 95; 4 ² 0, 05; , , 747 P ² 0, 90 36, , 8484 Konfidenzintervall [ 1,15139 ; 3,0764 ] b) P n 1 s ² ² 1 ² 1 ; 5 11, 747 P 33, 196 ² 0, 90 Konfidenzintervall é ë 1, 63ù û 5

26 Aufgaben zu Testverfahren A56) Bleistiftlänge ist normalverteilt 0,1 Sollwert 10cm z - Test mit = 0,05 und n = 5 0 H H : 0 0 : ¹ 1 0 zweiseitige Fragestellung Gesucht wird die Stichprobe, bei der eingegriffen werden soll, d.h. bei der H 1 zutrifft. 3 Stichproben liegen vor mit (1) x 10, 014 () x 10, 05 (3) x 9,87 Bestimmung der Prüfgrößen ux (1) () (3) u u u x x x x 0 10, n 5 0,313 0,1 x 0 10,05 10 n 5 1,163 0,1 x 0 9,8710 n 5,907 0,1 Bestimmung der Testgröße u1 = u 0,975 = 1,96 / Testentscheidungen (1) 0,313 < 1,96 H 0 wird nicht abgelehnt () 1,163 < 1,96 H 0 wird nicht abgelehnt (3) -,907 > 1,96 H 0 wird abgelehnt Bei der dritten Stichprobe muss eingegriffen werden. 6

27 A57) Füllgewichte sind normalverteilt 15 g 1000g 0 z - Test mit = 0,05 und n = 0, x 993,5 g H H : 0 0 : < 1 0 einseitige Fragestellung Bestimmung der Prüfgröße ux u x x 0 993, n 0 1, Bestimmung der Testgröße u1 = u 0,95 = 1,645 Testentscheidung - 1,9379 < - 1,645 H 0 wird abgelehnt Die Füllmenge liegt signifikant unter dem Sollwert. A58) Inhalt normalverteilt = 3 Streichhölzer, Sollwert 0 = 50 Stück z - Test mit = 0,05 und n = 40, (4050) 13 x = 46,7 Streichhölzer 40 H H : 0 0 : < 1 0 einseitige Fragestellung Bestimmung der Prüfgröße x 0 46,7 50 ux n 40 6,

28 Bestimmung der Testgröße u1 = u 0,95 = 1,645 Testentscheidung - 6,957 < - 1,645 H 0 wird abgelehnt Die Abweichungen sind statistisch signifikant. A59) Füllgewichte sollen 500 ml betragen kann nur geschätzt werden aus der Stichprobe t - Test mit Sollwert 0 = 500 ml, = 0,05, n = 10, x 493ml s = 10 ml H H : 0 0 : ¹ 1 0 zweiseitige Fragestellung Bestimmung der Prüfgröße tx t x x n 10,14 s 10 Bestimmung der Testgröße t1 / ; = t =,6 0,975;9 Testentscheidung -,14 <,6 H 0 wird nicht abgelehnt Der Sollinhalt wird eingehalten. 8

29 A6) a) Länge soll 150 cm betragen kann nur geschätzt werden aus der Stichprobe t - Test mit Sollwert 0 = 150 cm, = 0,01, n = 9, x 154cm s = 4 cm H H : 0 0 : ¹ 1 0 zweiseitige Fragestellung Bestimmung der Prüfgröße t x x n 9 3 s 4 Bestimmung der Testgröße t1 / ; = t = 3,36 0,995;8 Testentscheidung 3 < 3,36 H 0 wird nicht abgelehnt Die Abweichungen sind zufällig. b) = 0,05 Bestimmung der Testgröße t1 / ; = t =,31 0,975;8 Testentscheidung 3 >,31 H 0 wird abgelehnt Die Abweichungen sind signifikant. 9

30 c) = 4 cm è z - Test Bestimmung der Prüfgröße u x = x 0 n = 3 Bestimmung der Testgröße u1 / = u 0,995 =,58 Testentscheidung 3 >,58 H 0 wird abgelehnt Die Abweichungen sind signifikant. A64) Test für Anteilswerte Sollwert p 0 = 0,55 p 0, 65 n 100 =0,05 H : p p 0 0 H : p p 1 0 einseitige Fragestellung VAR(X) = 4,75 è Approximationsbedingung ist erfüllt Prüfgröße up u p p 0, 65 0,55 0 p p 0(1 p 0) 0,55 0, 45 n 100,01 Testgröße u 0,95 = 1,645 Testentscheidung,01 > 1,645 H 0 wird abgelehnt Der Anteil hat sich signifikant erhöht. 30

31 A65) Test für Anteilswerte Sollwert p 0 = 0,8 p 0,6 n 00 0,05 H : p p 0 0 H : p < p 1 0 einseitige Fragestellung VAR(X) = 3, Approximationsbedingung ist erfüllt Prüfgröße u p u p p 0, 6 0,8 0 p p 0(1 p 0) 0,80, n 00 7, 071 Testgröße u 0,95 = 1,645 Testentscheidung -7,071 < - 1,645 H 0 wird abgelehnt Der Anteil hat sich signifikant verringert. A60) Doppel - t - Test, Varianzhomogenität wird vorausgesetzt = 0,05 Zufluss: x 146 m³ Abfluss: y 138 m³ s x =,3 m³ n = 0 s y =,1 m³ m = 0 H H : 0 1 : ¹

32 Prüfgröße: t x, y x y n m( n m ) ( n 1) sx² ( m 1) sy² n m tx, y (0 0 ) (0 1), 3² (01),1² 0 0 = 11,4873 Testgröße: t t, 0 1 / ; nm 0,975;38 Testentscheidung: t t x, y 1 / ; n m 11,4873 >,0 H 0 wird abgelehnt Die Annahme, dass Zu- und Abfluss gleich sind, kann nicht aufrechterhalten werden. A61) Doppel - t - Test, Varianzhomogenität wird vorausgesetzt = 0,05 1. Stichprobe: x,1m. Stichprobe: y,15m s x =0,1 m n = 50 s y = 0,1 m m = 50 H H : 0 1 : ¹ 1 1 Prüfgröße: t x, y x y n m( n m ) ( n 1) sx² ( m 1) sy² n m tx, y,1, (5050) (50 1)0,1² (50 1)0,1² = -,63 3

33 Testgröße: t t 1,99 1 / ; nm 0,975;98 Testentscheidung: t t x, y 1 / ; n m -,63 > 1,99 H 0 wird abgelehnt Die Annahme, dass die Durchschnittsgrößen gleich sind, kann nicht aufrechterhalten werden. A63) Wurde nicht behandelt! 33

34 A66) Die Aufgabe soll mit Hilfe des U-Test von Man-Whitney gelöst werden. H : 0 Sind die Wohnungen im Landkreis A nur zufällig größer? F X 1 F X H1 : Die Wohnungen im Landkreis A sind signifikant größer! Ermittlung der Prüfgröße F X 1 F X m² / Wohnung Rangplätze A B A B 1 54,6 1 56,3 3 56, , , , , , , , , , , , , , ,4 17 n 1 = 7 n = 10 R 1 = 70 R = 83 n 1 ( n 1 + 1) 7 ( 7+1 ) U 1 = R 1 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 70 - ÄÄÄÄÄÄÄ = 70-8 = 4 n ( n + 1) 10 ( ) U = R - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 83 - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = = 0 U = min ( U 1 ; U ) = 8 34

35 Bestimmung der Testgröße 9 n 0 è kleine Stichprobe n 1 = 7 n = 10 a = 0,05 U U 14 U 56 ; n1; n 0,05;7;10 1 ; n1 ; n Der Akzeptanzbereich für die H 0 liegt zwischen 14 und 56. Testentscheidung U U U < U ; n1; n 1 ; n1; n H 0 wird nicht abgelehnt U U U U ; n1; n 1 ; n1; n H 0 wird abgelehnt 14 < 8< 56 H 0 wird nicht abgelehnt 35

36 A67) Vorzeichen - Rangtest von Wilcoxon i x i1 x i d i = x i1 - x i d i r i r i + r i ,5 9, ,5 3, ,5 9, ,5 5, ,5 5, ,5 3,5 R + = 6,5 R - = 64,5 Prüfgröße: Testgröße k u : R n = min ( R + ; R - ) = 6,5 für n ó 5 Bestimmung lt. Tabelle mit n = Anzahl der Wertepaare für die d i ¹ 0 ; a = 0,05 n = 14-1 = 13 k u = 17 Testentscheidung : Rn ku H 0 wird abgelehnt für n ó 5 6,5 > 17 H 0 wird nicht abgelehnt 36