Übung Statistik II SS 2006 Musterlösung Arbeitsblatt 6

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1 Ihalt: Efaktorelle Varazaalyse Bortz: Bortz Kap Übug Statstk II SS 006 Musterlösug rbetsblatt 6 ufgabe 1: Nee Se de Verfahre für Mttelwertsvergleche, de Se bsher für tervallskalerte Date kee gelert habe, ud erkläre Se de Uterschede zwsche de Verfahre bzw. dere Vortele. t-test für uabhägge Stchprobe t-test für abhägge Stchprobe Varazaalyse Gaußtest Bem t-test für uabhägge ud abhägge Stchprobe werde zwe Stchprobemttelwerte mteader verglche. Solle dagege mehr als Mttelwerte auf hre Uterschedlchket h überprüft werde, so muss de aufwedgere Varazaalyse agewadt werde, da es be der Durchführug mehrerer t-tests zu eer α--kumulerug kommt. Solle ur zwe Mttelwerte auf hre Uterschedlchket h überprüft werde, so ka etweder e t-test oder auch ee Varazaalyse für p Faktorstufe gerechet werde. E t-test für abhägge Stchprobe muss da agewadt werde, we de Elemete der zwe Stchprobe eader paarwese zugeordet sd. Des st der Fall, we ma z. B. be Ehepaare de Gruppe der Mäer mt der der Fraue vergleche möchte, oder we ma de selbe Persoe zwemal utersucht (Messe des Blutalkoholspegels zwe bzw. ver Stude ach Kosum). Dem t-test für abhägge Stchprobe etsprcht de Varazaalyse mt Messwederholug. E t-test für uabhägge Stchprobe wrd da gerechet, we de ufahme ees Elemetes ee Stchprobe kee Efluss darauf hat, welche Elemete de zwete Stchprobe aufgeomme werde. Des st der Fall, we de Elemete de Stchprobe zufällg zugeordet werde. Für de Zwestchprobe-Gaußtest glt dasselbe we für de t-test für uabhägge Stchprobe. Er uterschedet sch ur dadurch vom t-test, dass de Varaze σ x ud σ y (der Populato) bekat se müsse. 1

2 ufgabe : a) We et ma ee Varazaalyse, mt der de Mttelwerte vo 3 uabhägge Stchprobe verglche werde? Drefach gestufte, efaktorelle Varazaalyse. b) Btte kostruere Se e Bespel für ee solche Varazaalyse. Bsp.: Mlgram-Expermet De räumlche Nähe der Vp zum Kofödererte (uabhägge Varable) wrd 3 Stufe varert (Ferraum-Bedgug, akustsche Rückkopplug, Raumähe). Be de dre verschedee Versuchspersoegruppe wrd de agewadte Elektroschockstufe mt der höchste Voltzahl (Maxmalschock) (abhägge Varable) gemesse. ufgabe 3: De Schmerzforscher Dr. Hypo & Dr. Choder sd vo der Frma HOECHSTENS beauftragt de Nebewrkuge dreer Schmerzmttel zu utersuche. Geprüft werde soll wewet de Reaktosfähgket der Probade durch de Eahme der Mttel m Verglech zu eer Placebo-Bedgug beeflußt wrd. Dr. Hypo & Dr. Choder verabreche Placebo ud de Schmerzmttel jewels eer Probadegruppe ud erfasse de Bearbetugszet ( sec) der Probade eem Reaktostest. Dr. Hypo & Dr. Choder erhelte folgede Datesatz: Gruppe1 Gruppe Gruppe 3 Gruppe G ,4 6 6, 3,4 G 5,5 a) Stelle Se fest, ob de Medkamete de Bearbetugszet beeflusse (a 5%). 1. Hypotheseformulerug (Bortz S. 39, 6. ufl. S. 49) : Formal: H0: µ1 µ µ3 µ4 H1: µ µ' Ihaltlch: H0: De Mttelwertparameter der Populatoe, aus dee de ver Stchprobe stamme, sd glech. Der Faktor Schmerzmttel wrkt sch cht auf de Bearbetugszet des Reaktostests aus. H1: Mdestes zwe Populatosmttelwerte uterschede sch. Der Faktor Schmerzmttel wrkt sch auf de Bearbetugszet des Reaktostests aus.

3 . Berechug der Kezffer (Bortz S.46, 6. ufl. S. 56) : G G G x m m 1 p 1 ( p) p 4 5 (1) () (3) G ( p ) m ,5 4 5 x m ,8 3. Formeltabelle (Bortz S.47, 6. ufl. S. 57) : Quelle der Varato Quatratsumme () Frehetsgrade () Treatmet (3) (1) ( p 1) () (3) p ( 1) Total () (1) p 1 Varaz ( ) 4. Ergebstabelle (Bortz S.47, 6. ufl. S. 57) : Quelle Quatrat-summe () der Varato Treatmet 13405,8 1751,5 654, ,8 71, Total ,5 1375,75 Frehets-grade () ( p 1) ( ) p 1 4 (5 1) 16 p Varaz ( ) 654,55 18, ,1833 4, 45, , 16 45,075 * 5. Krtsche ablese (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : F krt F (3;16;95%) 3,4 6. Verhälts Femp zu Fkrt (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : F emp 4,84 > 3, 4 F krt 3

4 7. Iterpretato (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : Da der emprsche größer st als der krtsche st, ka de H 0 verworfe ud de H 1 ageomme werde. Mdestes zwe der Populatosmttelwerte uterschede sch auf dem 5%-Nveau, d. h. der Faktor Schmerzmttel wrkt sch auf de Bearbetugszet aus. b) Btte gebe Se a, was desem Expermet de abhägge Varable, de uabhägge Varable, das Treatmet ud der Faktor st, sowe de zahl der Faktorstufe ud um welche Varazaalyse es sch her hadelt. Btte erläuter Se dese Begrffe. bhägge Varable st de Bearbetugszet Sekude. De abhägge Varable st de Varable, de durch de uabhägge Varable beeflusst wrd ud dere Varaz be der Varazaalyse zerlegt wrd. De Uabhägge Varable st Schmerzmttel, das ver Treatmets oder Faktorstufe utertelt st (Placebo, Schmerzmttel, Schmerzmttel B, Schmerzmttel C). De uabhägge Varable st de Varable, welche de abhägge Varable beeflusst. Be der Varazaalyse ka der Begrff syoym mt Treatmet oder Faktor verwadt werde. Es hadelt sch her um ee efaktorelle Varazaalyse mt 4 Faktorstufe, d. h. de uabhägge Varable wrd Stufe realsert. c) Bestmme Se de relatve Varazatel der durch de expermetelle Faktor bedgt st ud bestmme Se de relatve Varazatel der auf zurückzuführe st. η η 654, ,75 71, 1375,75 0,48 0,5 ( relatver Varazatel der durch de exp. Faktor bedgt st) ( relatver Varazatel der auf de beruht) 45% der Varaz der abhägge Varable sd durch de expermetelle Faktor bestmmt, 55% beträgt der relatve tel der varaz a der Gesamtvaraz. ufgabe 4: Es soll de Frage utersucht werde, ob de Höhe eer usscht gestellte Belohug ee Efluss auf de Schellgket hat, mt der ee Rehe vo Problemaufgabe gelöst wrd. Ee Gesamtgruppe vo 48 Persoe wrd per Zufall auf ver glech große Gruppe aufgetelt. Gruppe 1 erhält de Istrukto, de gestellte ufgabe so schell we möglch zu löse ( kee Belohug ). Gruppe erhält de gleche Istrukto, es werde jedoch zusätzlch dem, der als Erster fertg st, 10 DM Belohug versproche. Be Gruppe 3 werde 0 DM ud be Gruppe 4 30 DM Belohug usscht gestellt. Nachfolged de vo de Probade uter de ver Bedguge zur ufgabelösug beötgte Zete: Prüfe Se, ob es Mttelwertsuterschede gbt (a 1%). 1. Hypotheseformulerug (Bortz S. 39, 6. ufl. S. 49) : Formal: H0: µ1 µ µ3 µ4 H1: µ µ' 4

5 Ihaltlch: H0: De Mttelwertparameter der Populatoe, aus dee de ver Stchprobe stamme, sd glech. Der Faktor Belohug wrkt sch cht auf de Bearbetugszet bem Löse der Problemaufgabe aus. H1: Mdestes zwe Populatosmttelwerte uterschede sch. Der Faktor Belohug wrkt sch auf de Bearbetugszet bem Löse der Problemaufgabe aus.. Berechug der Kezffer (Bortz S.46, 6. ufl. S. 56) : kee Belohug G 561 p 4 1 (1) () (3) 16, ,0833 9,5833 7,6667 G 11,6875 G ( p ) m , x m , Formeltabelle (Bortz S.47, 6. ufl. S. 57) Quelle der Varato Quatratsumme () Frehetsgrade () Treatmet (3) (1) ( p 1) () (3) p ( 1) Varaz ( ) Total () (1) p 1 5

6 4. Ergebstabelle (Bortz S.47, 6. ufl. S. 57) : Quelle der Varato Quatrat-summe () Treatmet 7095, , ,8958 Frehetsgrade () ( p 1) Varaz ( ) 538, , , , 1, ** , ,4167 Total , ,315 ( ) p 1 4 (1 1) 44 p ,4167 1, Krtsche ablese (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : F krt F (3;44;99%) 4,31 6. Verhälts Femp zu Fkrt (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : F emp 13,88 > 4,31 F krt 7. Iterpretato (Bortz S.45, 6. ufl. S. 56) : Da der emprsche größer st als der krtsche st, ka de H0 verworfe ud de H1 ageomme werde. Mdestes zwe der Populatosmttelwerte uterschede sch auf dem 1%-Nveau sgfkat voeader, d. h. der Faktor Belohug wrkt sch auf de Bearbetugszet bem Löse der Problemaufgabe aus. ufgabe 5: a) Welche Varaze werde uter Gültgket der H 0 m Zähler des es geschätzt? Uter Gültgket der H0 ethält der F-Bruch zwe uabhägge Schätzuge der varaz. De Treatmetvaraz stellt da ee erwartugstreue Schätzug der varaz dar. Im Zähler wrd µ über de Varaz der Mttelwerte, m Neer über de Varaz erhalb der Faktorstufe geschätzt. Gemet st damt: De H0 : µ1 µ µ3... µp oder µ µ oder 0 α für alle st äquvalet zur H0: σ² σ². b) Was besagt e sgfkater? Der F-Test überprüft de Glechhet zweer Varaze uter Gültgket der H0. Für de Fall, dass de H0 ugültg st, ethält der m Zähler stehede usdruck de Varazatel, der auf de Wrkug des Treatmets zurückgeht, m Neer steht de varaz. E sgfkater besagt m Rahme der Varazaalyse, dass sch mdestes zwe Mttelwertsparameter auf dem getestete Sgfkazveau uterschede oder dass mdestes e Effekt α sgfkat st. 6