Protokoll zum Versuch S7: Schallgeschwindigkeit - Stehende Wellen. Jan Christoph M Daniel B Tobias F

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1 Protokoll zum Versuch S7: Schallgeschwindigkeit - Stehende Wellen Jan Christoph M Daniel B Tobias F Abgabedatum: 4. April 007

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation Grundlagen.1 Stehende Wellen Longitudinalwellen Transversalwellen Schallgeschwindigkeit Schalldruck Aufgabe 4 4 Versuchsaufbau 4 5 Versuchsdurchführung Teil A Teil B Teil C Auswertung Teil A Teil B Teil C Reduktion der Ergebnisse auf Normbedingungen Fazit Mögliche Fehlerquellen Bewertung des Resultats, Vergleich mit dem Literaturwert Anhang Literaturverzeichnis Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Diagramme in A

3 1 MOTIVATION 1 Motivation Wellen sind Schwingungen, die sich zeitlich und räumlich periodisch ausbreiten (z.b. Lichtwellen, Schallwellen, Wasserwellen). Das geschieht meistens über ein Medium, welches schwingt. Jede Welle hat eine charakteristische Ausbreitungsgeschwindigkeit. Wir wollen in diesem Versuch die Geschwindigkeit von Schallwellen in der Luft bestimmen. Dies geschieht in drei Teilversuchen, die uns zu voneinander unabhängigen Ergebnissen führen sollen. Als Hilfsmittel zur Bestimmung der Geschwindigkeit dient uns hier ein Kundtsches Rohr der Länge 415 mm, in welchem eine stehende Welle erzeugt wird. Die stehende Welle wird so bezeichnet, da sowohl Knoten als auch Bäuche dieser Welle sich scheinbar nicht von der Stelle bewegen. Dies ist der Fall, da die Schallwelle sich mit ihrer Reflexion am festen Ende des Kundtschen Rohrs überlagert. Indem wir diese stehende Welle auf verschiedene Arten ausmessen, gelangen wir an Werte für die Schallgeschwindigkeit. Grundlagen.1 Stehende Wellen Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung zweier ebener Wellen gleicher Wellenlänge, die einander entgegenlaufen. Am einfachsten können sie als stehende Schallwellen mit Hilfe eines Lautsprechers in einem Rohr erzeugt werden, dessen Innendurchmesser D i < λ ist (Bedingung für ebene Wellen im Rohr!). Die entgegenlaufende Welle wird dabei durch Reflexion der vorlaufenden Welle am Rohrende erzeugt. Beim Schall handelt es sich um geringe periodische Druckschwankungen (Schallwechseldruck), die sich dem konstanten atmosphärischen Druck p 0 überlagern. Im Folgenden betrachten wir nur diesen Schallwechseldruck. Die Wellengleichung der hinlaufenden Welle ist p 1 (x, t) = p 10 cos(ωt kx) (1) mit k = π λ. Die reflektierte Welle hat im allgemeinen Fall eine geringere Amplitude als die hinlaufende Welle und gegenüber dieser eine Phasenverschiebung δ: p (x, t) = p 0 cos(ωt + kx + δ) () Im Folgenden werden zwei Sonderfälle betrachtet: Schallharter Abschluss des Rohres. Er ist gekennzeichnet durch: p 10 = p 0 und δ = 0. Für die resultierende Schallwelle ergibt sich in diesem Fall: bzw. p(x, t) = p 10 cos(ωt kx) + p 10 cos(ωt + kx) (3) p(x, t) = p 10 cos(ωt) cos(kx) (4) Diese Gleichung einer stehenden Welle stellt Schwingungen mit örtlich periodischer Amplitude dar. Für cos kx = 1 ist die Amplitude dieser Schwingung maximal (Schwingungsbauch der stehenden Welle), für cos kx = 0 verschwindet die Amplitude (Knoten der stehenden Welle). Für die Orte x, an denen Bäuche bzw. Knoten entstehen, ergeben sich somit folgende Bedingungen: 1. Bäuche: cos(kx) = 1 k x = π x = n π (5) λ x n = n λ (6)

4 GRUNDLAGEN 3. Knoten: cos(kx) = 0 k x = π x = (n + 1) π λ x n = (n + 1) λ 4 Auf die Länge des Rohres fallen also ziemlich genau n halbe Wellenlängen (genau nur für zwei harte bzw. weiche Enden); das bedeutet, daß nur bei solchen Wellenlängen λ n stehende Wellen mit ausgeprägten Knoten und Bäuchen des Schallwechseldruckes in einem Rohr mit schallhartem Abschluß vorkommen, für die die Bedingungen gelten: L = n λ n, λ n = L n, f n = n c L Trägt man also die Frequenzen f n gegen die Ordnungszahl n auf, so erhält man eine Gerade. Der schallharte Abschluß läßt sich sehr gut z.b. mit einem Stahlstempel verwirklichen. Schallweicher Abschluß des Rohres. Der ideale schallweiche Abschluß ist gekennzeichnet durch p 10 = p 0 und δ = π. Bei den sich ergebenden stehenden Wellen ist in diesem Falle am Rohrende ein Knoten des Schallwechseldruckes. Am Lautsprecherende bleibt es bei einem Bauch. In diesem Falle ergeben sich die folgenden Bedingungen für stehende Wellen: (7) (8) (9) L = (n + 1) λ n, λ n = L 4 n + 1, f n = (n + 1 ) c L (10) Bei ideal schallweichem Abschluss sind die Frequenzen f n stehender Wellen proportional zu (n + 1 ). Der ideal schallweiche Abschluß läge vor, wenn am Ende des Rohres Vakuum beginnen würde, läßt sich also nicht verwirklichen. Er kann jedoch angenähert verwirklicht werden, wenn man das Rohr am Ende einfach offen läßt: auch bei offenem Ende ergeben sich stehende Schallwellen, ihr Auftreten ist jedoch schwieriger zu verstehen. Da in diesem Fall am Rohrende keine Mediengrenze vorliegt, ist auf den ersten Blick keine Reflexion der einlaufenden Schallwelle zu erwarten. Die für die Wellenausbreitung entscheidende Größe ist jedoch der Schallwellenwiderstand. Wenn dieser sich ändert, im Allgemeinen an Mediengrenzen, tritt Reflexion auf. Im vorliegenden Falle ist der Wellenwiderstand innerhalb des Rohres von dem des sich anschließenden»unendlichen«raumes verschieden. In der Nähe des Rohrendes findet daher eine Änderung des Wellenwiderstandes statt, die die Reflexion der Schallwelle verursacht. Hieraus ergeben sich Konsequenzen: 1. Die reflektierte Welle hat eine geringere Amplitude als die hinlaufende Welle, da ein Teil der Schallintensität nach außen dringt.. Die reflektierte Welle ist nicht genau um 180 phasenverschoben. 3. Der Ort der Reflexion fällt nicht genau mit dem Rohrende zusammen, er liegt außerhalb des Rohres. Man kann dieser Tatsache Rechnung tragen durch eine effektive Rohrlänge L = L + a, wobei a die sogenannte Mündungskorrektur ist. 4. Auch am Lautsprecherende ergibt sich eine Korrektur, da hier in der Näherung jetzt kein Bauch der stehenden Welle mehr liegt. [PP05]. Longitudinalwellen Wellen, bei denen die einzelnen Teilchen in Richtung der Ausbreitungsrichtung der Welle schwingen heißen Längswellen oder Longitudinalwellen. Bei dieser folgen Verdichtungen und Verdünnungen aufeinander. Im Gegensatz zu Transversalwellen, die nur in festen Körpern auftreten können, sind Longitudinalwellen in festen Körpern,

5 3 AUFGABE 4 Flüssigkeiten und Gasen möglich. Der Abstand zweier benachbarter Verdünnungen oder zweier benachbarter Verdichtungen ist die Wellenlänge der Longitudinalwelle..3 Transversalwellen Eine Transversalwelle (auch Schubwelle, Scherwelle) ist eine physikalische Welle, bei der die Bewegungsrichtung der schwingenden Teilchen, bzw. die Feldlinien der beteiligten Felder zur Ausbreitungsrichtung senkrecht verlaufen..4 Schallgeschwindigkeit Die Schallgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem beliebigen Medium (üblicherweise in Luft) ausbreiten. Es ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit, die nicht mit der Schallschnelle v zu verwechseln ist. Die SI-Einheit der Schallgeschwindigkeit ist Meter pro Sekunde ( m s ). Für die Schallgeschwindigkeit c gilt die Formel c = λ f (11) wobei λ die Wellenlänge und f die Frequenz der Schallwelle ist. Die Schallgeschwindigkeit ist abhängig von der Temperatur aber nicht vom Luftdruck..5 Schalldruck Als Schalldruck werden die Druckschwankungen eines kompressiblen Schallübertragungsmediums (üblicherweise Luft), die bei der Ausbreitung von Schall auftreten, bezeichnet. Der Schalldruck ist in der Regel um viele Größenordnungen kleiner als der statische Luftdruck. Da Druck mit keiner Richtungsangabe verknüpft werden kann, handelt es sich um eine skalare Größe. Der Schalldruck in Abhängigkeit von den Koordinaten im dreidimensionalen Raum ist aus mathematischer Sicht somit ein Skalarfeld. p = F A Dezibel ist die Logarithmische Einheit für den Schalldruck P. Diese ergibt sich aus der Umrechnung aus Pascal in Dezibel. 3 Aufgabe Wir erzeugen bei diesem Versuch mit Hilfe eines Lautsprechers ebene Schallwellen im KUNDTschen Rohr. In bestimmten Frequenzbereichen entstehen stehende Wellen. Nun müssen wir die Frequenzen f n in Abhängigkeit von ihrer Ordnung n bestimmen, die sogenannten Schwingungsmoden stehender Wellen. Desweiteren soll mit Hilfe eines verschiebbaren Mikrofons der Verlauf des Schallwechseldruckes längs des Rohres bei den Frequenzen f n gemessen werden. Dies alles wird dazu benutzt, um aus den Messungen die Schallgeschwindigkeit zu ermitteln und auf Normalbedingungen zu reduzieren. Dieser Versuch wird mit dem schallhartem Abschluss durchgeführt. 4 Versuchsaufbau Von einem Lautsprecher, der an ein Rohr gekoppelt ist, gehen Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen aus. Das andere Ende des Rohres ist entweder durch eine Stahlkappe abgeschlossen (schallharter Abschluss) oder bleibt offen (annähernd

6 5 VERSUCHSDURCHFÜHRUNG 5 Abb. 1: Versuchsaufbau [PP05] schallweicher Abschluss). Durch ein Messmikrofon, welches durch die Mitte des Lautsprechers in das KUNDTsche Rohr eingeführt wird, wird der Schallwechseldruck durch horizontales verschieben des Mikrofons gemessen. Das Mikrofon ist so modifiziert, dass es auf Druckschwankungen reagiert und diese in Spannungsschwankungen, die proportional zu den Druckschwankungen sind, umwandelt. Das Programm audiotester generiert eine Frequenz, welche extern verstärkt, und über die Soundkarte zum Lautsprecher gegeben wird. Mit dem Mikrofon wird das Signal aufgefangen und vom Programm projiziert. In diesem Fall dient das Programm audiotester als Frequenzgenerator und Oszilloskop. Der Frequenzgenerator ist unterteilt in einen Tongenerator und einen Wobbelgenerator, wobei der Wobbelgenerator einen Frequenzbereich automatisch durchlaufen kann, während der Tongenerator eine feste Frequenz ausgibt. 5 Versuchsdurchführung 5.1 Teil A Bei dem Teilversuch A werden die stehenden Wellen in dem Frequenzbereich von 700Hz bis 3 khz aufgenommen. Hierzu wird das KUNDTsche Rohr benutzt und mit einer Stahlkappe verschlossen. In diesem Teilversuch sollen die Schwingungsmoden bestimmt werden, bei denen stehende Wellen aufgetreten sind. Das Mikrofon wird bis kurz vor die Stahlkappe gefahren, der PC und der Verstärker eingeschaltet, sowie das Programm Audiotester gestartet. Die Frequenzen werden dann mit dem Wobbelgenerator im Frequenzbereich durchgewobbelt. Ist die Messung beendet können anhand des Diagramms die stehenden Wellen als Extrema direkt abgelesen werden. 5. Teil B Bei dem Teilversuch B soll nun der Verlauf des Schallwechseldruckes in der Röhre bei zwei verschiedenen Frequenzen bestimmt werden. Dafür verschiebt man das Mikrofon in Schritten zu jeweils fünf Millimeter und zeichnet somit den Druckverlauf

7 6 AUSWERTUNG 6 auf. Hierzu wird wieder der Wobbelgenerator benutzt. 5.3 Teil C Bei dem Teilversuch C sollen nun die Minima mit Hilfe des internen Oszilloskops bestimmt werden. Hierfür werden die ermittelten stehenden Wellen aus dem Versuch B am Generator eingestellt. Wiederum durch Verschieben des Mikrofons werden die Minima bzw. Knoten aufgesucht und notiert. 6 Auswertung 6.1 Teil A Mode n Frequenz f n /Hz Tab. 1: Schwingungsmoden der stehenden Wellen, abgelesen aus Originalmessdaten Aus der Tabelle, die der audiotester erstellt hat (Originaldaten siehe Computerausdruck im Anhang), waren die Moden einfach abzulesen. Aus der Steigung der Ursprungsgeraden (siehe Diagramm auf Seite 9), in der f n gegen n abgetragen wurde, ließ sich die Schallgeschwindigkeit ermitteln. Die Steigung gibt Gnuplot mit 41.7 s an, multipliziert mit L = 830mm ergibt sich c = 34.5 m s bei einem asymptotischen Standardfehler von 5.5 m s. Laut Brockhaus liegt die Schallgeschwindigkeit in Luft bei 0 C bei ca. 343 m s, also ist der Wert c aus der Geradensteigung, der bei 4 C ermittelt wurde, recht zuverlässig. 6. Teil B Die Diagramme, welche die gemessenen stehenden Wellen abbilden, finden sich im Anhang (Diagramme 3 für 1310 Hz und 4 für 070 Hz); ebenso die Original- Messtabellen. Als Umrechnungsformel von Pegel in Schalldruck wurde von [Sen05] die Gleichung p = p 0 10 P egel 0 benutzt. λ lässt sich dann aus den Diagrammen ablesen zu λ1310 = 135mm bzw. λ070 = 8.5mm. Vorher mussten wir allerdings den gemessenen Pegel gegen die Also ergibt sich wegen c = λ f c 1310 = 354 m s bzw. c 070 = 34 m s. Die Fehler kann man aus der Summe der Produkte aus partiellen Ableitungen und Einzelfehlern berechnen, wir nehmen an: f = Hz, λ = 5mm. c = λ f + f λ (1) c 1310 = 8 m s (13)

8 6 AUSWERTUNG 7 c 070 = 11 m s (14) Daraus ergeben sich für die Werte incl. Fehler: c 1310 = 354(8) m s c 070 = 34(11) m s (15) (16) Verglichen mit dem Ergebnis aus (A) sind das brauchbare Näherungswerte. 6.3 Teil C Das Vorgehen ist hier exakt äquivalent zu dem in Teil B. Es ergibt sich: λ 1310c 17.5mm bzw. λ070c 83.5mm (siehe handschriftliches Messprotokoll). c 1310c = 334 m s bzw. c 070c = 345 m s, c 1310c = 8 m s, c 070c = 11 m s. c 1310c = 334(8) m s, c 070c = 345(11) m s 6.4 Reduktion der Ergebnisse auf Normbedingungen Im [TM04] findet sich folgende Formel: c = κ RT M Da R, κ und M im Versuch Konstanten sind (R ist die universelle Gaskonstante, κ der Adiabatenexponent und M die Molmasse der Luft), ist die Schallgeschwindigkeit c offensichtlich proportional zur Wurzel aus T. Es ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit c 0 bei Normtemperatur T 0 73K [TM04]: T0 c 0 = c T T0 c 0 = c T Während des Versuchs herrschten ungefähr T = 4 C 97K. Damit ergibt sich für die vorher berechneten Schallgeschwindigkeiten bei Normtemperatur: (17) (18) (19) c 0 = 38(6) m s c = 339(8) m s c 0700 = 38(11) m s c 1310c0 = 30(8) m s c 070c0 = 331(11) m s (0) (1) () (3) (4) c 0 ist berechnet aus der Steigung der Geraden, c und c 0700 sind die Ergebnisse aus Teil B und c 1310c0 und c 070c0 die Ergebnisse aus Teil C.

9 7 FAZIT 8 7 Fazit 7.1 Mögliche Fehlerquellen Die deutlichsten Fehler traten mit Sicherheit bei der Längenbestimmung auf. Besonders bei Versuch B, wo immer nur vier Sekunden blieben, bis das Mikrofon möglichst genau verschoben sein musste, war die Genauigkeit schlecht. Aber auch bei Versuch C war die Feststellung der Position der Minima aufgrund der sich stetig bewegenden Wellen kein Leichtes. Nebengeräusche haben überdies bewirkt, dass der Schallwechseldruck manchmal unerwartete Auslenkungen erfuhr. Das kann man in den Diagrammen zu Versuch B deutlich sehen. 7. Bewertung des Resultats, Vergleich mit dem Literaturwert Die Ergebnisse für den Normwert der Schallgeschwindigkeit lassen auf einen Wert um 330 m s schließen. Der Brockhaus gibt den Normwert mit ca. 331 m s an. Daran sehen wir auch, dass die Frequenz von 070 Hz wohl genauer war als 1310 Hz. Außerdem ist die Steigung der Ausgleichsgerade aus Teil A verblüffend nah am Realwert, obwohl die Gerade, wenn man sie relativ zu den einzelnen Messwerten betrachtet, eigentlich einen Offsetfehler vermuten lässt. Alles in allem ist die Genauigkeit des Ergebnisses zufriedenstellend und auf jeden Fall aussagekräftig. 8 Anhang 8.1 Literaturverzeichnis [PP05]: Die Website des Physikalischen Praktikums der Universität Paderborn [TM04]: Tipler/Mosca: Physics for Scientists and Engineers, EV, Freeman 004 [Sen05]: (verantwortlich Dipl.-Ing. Eberhard Sengpiel) 8. Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 Versuchsaufbau [PP05] Diagramm zu Teil A Erstes Diagramm zu Teil B Zweites Diagramm zu Teil B Tabellenverzeichnis Tabellenverzeichnis 1 Schwingungsmoden der stehenden Wellen, abgelesen aus Originalmessdaten Diagramme in A4

10 TABELLENVERZEICHNIS 9 Abb. : Diagramm zu Teil A

11 TABELLENVERZEICHNIS 10 Abb. 3: Erstes Diagramm zu Teil B

12 TABELLENVERZEICHNIS 11 Abb. 4: Zweites Diagramm zu Teil B