Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 1

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1 1. Aufgabenstellung Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite Die Schallgeschwindigkeit und der Adiabatenexponent von Luft und Kohlendioxid sind mithilfe eines Kundtschen Rohres zu bestimmen Für Luft ist die Schallgeschwindigkeit zusätzlich mit einem Quinckeschen Interferenzrohr zu ermitteln. Literatur: Stroppe, H. Studenten der Natur- und Technikwissenschaften Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag 11. Auflage 1999, S. 149, S , S Grundlagen Eichler, H. J., Kronfeldt, H.-D., Sahm, J. Walcher, W. Das Neue alische Grundpraktikum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2. Auflage 2006, S Praktikum der B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden 8. Auflage 2004, S Als Schall bezeichnet man die wellenförmige Ausbreitung der Auslenkung eines Teilchens von der Gleichgewichtslage in einem elastischen Medium. Je nach Kopplungsbedingungen der Teilchen untereinander kann die Ausbreitungsrichtung hierbei in Schwingungsrichtung der Teilchen zeigen (Longitudinalwelle) oder senkrecht dazu (Transversalwelle). In Gasen können sich aufgrund der freien Verschiebbarkeit der Moleküle nur Longitudinalwellen ausbilden. Beschränkt man sich auf eine Ortsdimension der Auslenkung eines kleinen Gasvolumens und die daraus resultierenden Geschwindigkeits- und Druckgradienten v'( xt, ) und p'( xt,, ) so lassen sich diesen Vorgang Wellengleichungen herleiten, beispielsweise den Druck oder die Geschwindigkeit ρ p'' ( xt, ) = p ( xt, ) (1) K ρ v'' ( xt, ) = v ( xt, ). (2) K In (1) und (2) bedeuten K - der Kompressionsmodul des Mediums und ρ - seine mittlere Massedichte. Lösungen dieser partiellen Differentialgleichungen sind unter anderem harmonische Funktionen der Form: (, ) ˆ sin( ) p x t = p ωt kx (3) bzw. (, ) ˆ sin( ) v x t = v ωt kx. (4) ˆp und ˆv sind hierbei die Amplituden der Schallwelle Schalldruck und Schallschnelle, ω= 2π f ihre Kreisfrequenz und k = 2πλ der Wellenvektorbetrag.

2 Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 2 Aus (1) bzw. (2) folgt die das Ausbreitungsmedium charakteristische Phasengeschwindigkeit: K c = ρ. (5) Im Falle von Schallwellen in einem Gas, bei dem die Druckschwankungen so schnell erfolgen, dass die Zustandsänderungen adiabatisch ablaufen, gilt wegen K = κ p: c = κ p ρ, (6) wobei κ der Adiabaten- oder Isentropenexponent des betrachteten Gases ist. Für ideale Gase folgt aus der thermischen Zustandsgleichung mit der spezifischen Gaskonstanten und daraus S S R S : pv= mr T p=ρ R T (7) c= κ R T. (8) Die Phasengeschwindigkeit ist also temperaturabhängig. Für alle Wellen gilt folgender Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit c, Frequenz f und Wellenlänge λ : 2.1. Stehende Wellen S ω c= = λ f. (9) k Die Überlagerung zweier Wellen gleicher Frequenz und Amplitude, aber 1 entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung gelingt am einfachsten durch Reflexion an einem Hindernis, im Falle 2 von Schallwellen an einer festen Wand an der Stelle x = 0 (Abb. 1). Welle 1 0 x möge sich entgegen der eingezeichneten Abb. 1: Reflexion einer Welle am Hindernis x-richtung auf das Hindernis zube- wegen, Welle 2 wurde reflektiert und erfuhr dabei eine noch unbekannte Phasenverschiebung ϕ. Als Überlagerung beider Wellen erhält man: (, ) = ˆ sin( ω + ) + ˆ sin( ω +ϕ) v x t v t kx v t kx 2ˆ ϕ ϕ = v sin ω t + cos kx 2 2 und eine analoge Gleichung den Schalldruck. Gl. (10) ist die mathematische Beschreibung einer stehenden Welle. Die Phase der Welle wandert nicht mehr mit der Geschwindigkeit c entlang der x- Achse, sondern an jedem Ort vollführen die Gasteilchen Schwingungen mit der ortsabhängigen (10)

3 Amplitude Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 3 2vˆ cos(kx ϕ 2). Die Nullstellen dieser Funktion markieren die feststehenden Knoten der stehenden Welle, ihr räumlicher Abstand beträgt λ 2. Die rücklaufende Welle in Abb. 1 wurde durch Reflexion an einem festen Ende erzeugt, die stehende Welle muss also die Schallschnelle an der Stelle x = 0 einen Knoten aufweisen. Man sieht leicht, dass in diesem Fall der Phasenwinkel ϕ=π beträgt Interferenz von Wellen Teilt man eine Schallwelle geeignet in zwei Wellenzüge auf und lässt diese unterschiedliche Wegstrecken s 1 und s 2 durchlaufen, dann führt eine nachfolgende Überlagerung zur Interferenz. Beide Wellenzüge haben dieselbe Frequenz und Amplitude, darüber hinaus sind die Phasenbeziehungen zwischen ihnen zeitlich und räumlich konstant (Kohärenz). Man erhält im Falle von Schallwellen, beispielsweise den Schalldruck: ges ( ) = ˆ sin( ω 1) + ˆ sin( ω 2) = pˆ sin( ω t+α ) + sin( ω t+α ) p t p t ks p t ks 1 2 (11) und daraus ges = 2 1+ cos( α2 α1) = 2 { 1+ cos ( 2 1) } pˆ pˆ pˆ k s s. (12) Das Quadrat der resultieren Schalldruckamplitude ist der Schallintensität proportional, diese kann also Werte zwischen Null und dem Vierfachen der Intensität einer ursprünglichen Teilwelle annehmen. Auslöschung oder maximale Abschwächung findet man maximale Verstärkung tritt bei auf. 3. Messanleitung und Auswertung 3.1. Kundtsches Rohr λ s= s2 s1 = ( 2n+ 1) ( n= 0,1, 2, ), (13) 2 s= nλ (14) Das Kundtsche Rohr ist eine gasgefüllte, horizontal befestigte Glasröhre, in deren Innern sich fein verteiltes Korkmehl befindet. Ein Ende des Rohres wird durch einen Stopfen fest verschlossen, vom anderen Ende wird die Gassäule im Rohr mit einem Lautsprecher zum Schwingen angeregt. Damit sind die Randbedingungen die stehende Schallwelle festgelegt: Am festen Ende muss sich ein Knoten der Schallschnelle befinden. Im Resonanzfall muss sich am Lautsprecher ein Bauch der stehenden Welle ausbilden. In Abb. 2 sind die beiden Schwingungszustände maximaler Elongation der stehenden Welle gezeichnet, die zeitlich durch t= T 2 =πω getrennt sind. Zur Überlagerung kommen, abweichend von Abb. 1,

4 Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 4 die vom Lautsprecher nach rechts laufende Welle und die vom Stopfen aus nach links laufende, reflektierte Welle. Lautsprecher Stopfen λ 4 λ 2 Abb. 2: Maximale Elongation (Einhüllende) der stehenden Welle als Funktion des Ortes Eine stehende Welle lässt sich also nur bestimmte Längen l der Gassäule realisieren: l λ λ λ l= n + = ( 2n+ 1) ( n= 0,1, 2, ). (15) Da l fest gegeben ist, findet man die Resonanzbedingungen durch Variation der Frequenz der dem Lautsprecher zugeführten Wechselspannung. Die optimale Ausbildung der stehenden Welle lässt sich optisch am Verhalten des Korkmehls und akustisch über die Lautstärke verfolgen. Für die Bestimmung der zugehörigen Wellenlängen verdreht man das Glasrohr um etwa 45, damit das Korkmehl durch Wechselwirkung mit der Schallwelle in den Bäuchen auf den Boden zurückrutscht. Bedienung des Funktionsgenerators Signalform: Sinus Frequenz: beliebig oberhalb 400Hz, der Frequenzstellknopf ist geschwindigkeitsempfindlich, d. h. eine Feineinstellung gelingt nur bei langsamem Verdrehen Offset: aus, keine Gleichspannung überlagern Sweep: aus, keine Frequenzrampe Lautstärke: Beachten Sie den Lärmschutz! Lautsprecher bitte nur so weit ansteuern, wie es die Messung erforderlich ist, zum Ausmessen der Wellenlängen bitte wieder reduzieren Zunächst sucht man das luftgefüllte Glasrohr mindestens 5 Resonanzfrequenzen und notiert die Positionen aller beobachteten Knoten (vgl. Abb. 2). Die Berechnung von λ 2 erfolgt durch Mittelwertbildung der Abstände zwischen jeweils benachbarten Knoten. Die Schallgeschwindigkeit ergibt sich aus Gl. (9), der Adiabatenexponent lässt sich mithilfe von Gl. (6) und den im Anhang angegebenen Gasdichten bestimmen. Das Experiment wird danach sinngemäß mit Kohlendioxid als Füllgas das Kundtsche Rohr wiederholt. Der Gasstrom ist bei vom Rohr abgezogenem Schlauch zunächst so schwach einzustellen, dass kein Wegblasen des Korkmehls zu erwarten ist und wird während des Experimentes aufrechterhalten. Anmerkung: Zwischen den verschiedenen Knoten bilden sich im Millimeterbereich Querrippen heraus. Diese stehen in keine Beziehung zur Anregungsfrequenz (keine Oberwellen), sondern sind auf Zirkulationsströmungen zwischen Wand und Rohrachse zurückzuführen.

5 Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 5 Alle Ergebnisse sind einschließlich ihrer Unsicherheiten anzugeben und mit Tabellenwerten zu vergleichen. Quinckesches Interferenzrohr Das Interferenzrohr nach Quincke besteht aus zwei U-förmigen, ineinander geschobenen Metallrohren, die sich posaunenartig ausziehen lassen. Das fest montierte Rohr besitzt zwei gegenüber liegende Rohransätze mit Schalltrichtern. In einem ist als Schallgeber ein Lautsprecher integriert, im zweiten als Empfänger ein Messmikrofon Lautsprecher mit nachgeschaltetem Mikrofon-Impedanzwandler und Kopfhörerverstärker (Abb. 3). Als Signalquelle den Lautsprecher dient der Funktionsgenerator FG 110. Seine Be- a Mikrofon dienung ähnelt der des Generators am Kundtschen Rohr. Abb. 3: Quinckesches Interferenzrohr Zur Feinverstellung der Frequenz drückt man jedoch den Stellknopf und wählt die zu ändernde Ziffer aus. Strahlt man in die Eintrittsöffnung Schallwellen ein, dann teilen sich diese in zwei Wellenzüge, die die Rohre in entgegengesetzter Richtung durchlaufen und sich am Ort der Austrittsöffnung wieder vereinigen. In völlig zusammengeschobenem Zustand ist die Weglängendifferenz s zwischen den beiden Teilwellen gleich Null. Zieht man das bewegliche Rohrstück um die Strecke a, ablesbar an der dabei freigegebenen 30teiligen Zentimeterskala, aus, so beträgt die zusätzliche Wegdifferenz durch das rechte Rohr s= 2a und man kann mithilfe des Kopfhörers Orte maximaler Auslöschung oder Verstärkung wahrnehmen. Zunächst sucht man sich bei zusammengeschobenem Interferenzrohr eine Resonanzfrequenz oberhalb von f = 1,5kHz und zieht das rechte Rohrstück danach langsam aus. Zu notieren sind die Auszugsverlängerungen a 1, a 2,, an denen ein Minimum der Lautstärke wahrgenommen wird. Die Messung gelingt in der Regel am besten, wenn die Kopfhörerlautstärke so eingestellt wird, dass im Minimum nahezu kein Ton mehr wahrgenommen wird. Die Berechnung der Wellenlänge ähnelt der von Versuchsteil 1, weil zwischen zwei benachbarten Positionen a i und ai 1 die gesamte Wegdifferenz s um eine Wellenlänge vergrößert wurde, der Abstand zwischen ihnen also λ 2 beträgt. Alternativ kann auch das Praktikumsprogramm die Berechnung der Wellenlängen verwendet werden, indem man in einem Bearbeitungsfenster die lineare Regression die Werte a i über ihrer Ordnungszahl i aufträgt. Eine Ausgleichsgerade durch die so dargestellten Messwerte hat dann den Anstieg S = λ 2. Das Experiment ist danach mindestens 4 weitere Frequenzen im Bereich bis f 4 khz zu wiederholen. Wieder werden nach Gl. (9) Werte die Schallgeschwindigkeit in Luft berechnet und im Rahmen der Unsicherheiten mit dem Ergebnis des ersten Versuchsteils verglichen.

6 Schallgeschwindigkeit in Gasen Seite 6 4. Anhang Dichte von Luft mit 60% relativer Luftfeuchte in kg/m³ bei angegebenen Drücken in hpa=mbar ϑ in C ,0955 1,1076 1,1197 1,1317 1,1438 1,1559 1,1680 1,1801 1,1922 1, ,0914 1,1034 1,1155 1,1275 1,1396 1,1516 1,1637 1,1757 1,1878 1, ,0873 1,0993 1,1113 1,1233 1,1353 1,1473 1,1593 1,1713 1,1833 1, ,0832 1,0952 1,1071 1,1191 1,1311 1,1430 1,1550 1,1670 1,1789 1, ,0791 1,0911 1,1030 1,1149 1,1268 1,1388 1,1507 1,1626 1,1745 1, ,0751 1,0870 1,0989 1,1107 1,1226 1,1345 1,1464 1,1583 1,1702 1, ,0710 1,0829 1,0947 1,1066 1,1184 1,1302 1,1421 1,1539 1,1658 1, ,0670 1,0788 1,0906 1,1024 1,1142 1,1260 1,1378 1,1496 1,1614 1, ,0629 1,0747 1,0865 1,0982 1,1100 1,1217 1,1335 1,1453 1,1570 1, ,0589 1,0706 1,0823 1,0941 1,1058 1,1175 1,1292 1,1410 1,1527 1, ,0549 1,0665 1,0782 1,0899 1,1016 1,1133 1,1250 1,1366 1,1483 1, ,0508 1,0625 1,0741 1,0857 1,0974 1,1090 1,1207 1,1323 1,1440 1, ,0468 1,0584 1,0700 1,0816 1,0932 1,1048 1,1164 1,1280 1,1396 1, ,0427 1,0543 1,0659 1,0774 1,0890 1,1006 1,1121 1,1237 1,1353 1, ,0387 1,0502 1,0618 1,0733 1,0848 1,0963 1,1079 1,1194 1,1309 1, ,0346 1,0461 1,0576 1,0691 1,0806 1,0921 1,1036 1,1151 1,1266 1,1381 Dichte von Kohlendioxid in kg/m³ bei angegebenen Drücken in hpa=mbar ϑ in C ,6801 1,6987 1,7173 1,7358 1,7544 1,7729 1,7915 1,8101 1,8287 1, ,6742 1,6927 1,7112 1,7297 1,7482 1,7667 1,7852 1,8037 1,8222 1, ,6684 1,6868 1,7052 1,7237 1,7421 1,7605 1,7790 1,7974 1,8159 1, ,6625 1,6809 1,6993 1,7176 1,7360 1,7544 1,7727 1,7911 1,8095 1, ,6568 1,6751 1,6934 1,7116 1,7299 1,7483 1,7666 1,7849 1,8032 1, ,6510 1,6693 1,6875 1,7057 1,7240 1,7422 1,7604 1,7787 1,7969 1, ,6453 1,6635 1,6817 1,6998 1,7180 1,7362 1,7544 1,7725 1,7907 1, ,6396 1,6578 1,6759 1,6940 1,7121 1,7302 1,7483 1,7664 1,7846 1, ,6340 1,6521 1,6701 1,6882 1,7062 1,7243 1,7423 1,7604 1,7784 1, ,6285 1,6464 1,6644 1,6824 1,7004 1,7184 1,7363 1,7543 1,7723 1, ,6229 1,6408 1,6587 1,6766 1,6946 1,7125 1,7304 1,7483 1,7663 1, ,6174 1,6352 1,6531 1,6710 1,6888 1,7067 1,7245 1,7424 1,7603 1, ,6119 1,6297 1,6475 1,6653 1,6831 1,7009 1,7187 1,7365 1,7543 1, ,6065 1,6242 1,6420 1,6597 1,6774 1,6952 1,7129 1,7306 1,7484 1, ,6011 1,6188 1,6365 1,6541 1,6718 1,6895 1,7071 1,7248 1,7425 1, ,5958 1,6134 1,6310 1,6486 1,6662 1,6838 1,7014 1,7191 1,7367 1,7543