Vordiplomprüfung Grundlagen der Elektrotechnik III

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1 Vordiplomprüfung Grundlagen der Elektrotechnik III 16. Februar 2007 Name:... Vorname:... Mat.Nr.:... Studienfach:... Abgegebene Arbeitsblätter:... Bitte unterschreiben Sie, wenn Sie mit der Veröffentlichung Ihres Ergebnisses unter Ihrer Matrikelnummer per Aushang und im Internet einverstanden sind:... Punkte Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Zugelassen sind alle Hilfsmittel mit Ausnahme elektronischer. Die Arbeitszeit beträgt 90 Minuten. Die Arbeitsblätter müssen durchnumeriert und rechts oben mit Namen und Matrikelnummer versehen werden. Für jede Aufgabe muss ein neues Blatt verwendet werden. Die Blätter bitte nur einseitig beschreiben. Die Angabenblätter werden mit den Arbeitsblättern zusammengeheftet abgegeben. Besondere Hinweise: Alle Antworten sind ausführlich zu begründen. Alle Zwischenschritte müssen nachvollziehbar sein und fließen in die Bewertung ein. Ergebnisse müssen so weit wie möglich vereinfacht werden. Bei sich widersprechenden Lösungen oder Antworten wird die jeweils falsche gewertet. Bei mehrdeutigen Lösungen oder Antworten wird die jeweils falsche Bedeutung gewertet.

2 2 Aufgabe 1: Leistungsmessung (10 Pkt) Schaltung I: Q A IA,I I L U Q,I U V,I V L U L Schaltung II: Q A I A,II I L U Q,II UV,II V L U L Abbildung 1: Zwei Mess-Schaltungen Abbildung 1 zeigt zwei Schaltungsvarianten, die der Bestimmung der in einem Lastwiderstand L umgesetzten Leistung dienen sollen. Durch den Lastwiderstand fließt der Strom I L und es fällt die Spannung U L ab. Die Quelle, die den Widerstand speist, ist im folgenden unwichtig; es soll in Abhängigkeit von I L und U L gerechnet werden. Um die Leistung zu bestimmen, sollen Strom und Spannung gleichzeitig gemessen werden und daraus die Leistung berechnet werden. Betrachtet werden sollen die beiden Schaltungsvarianten I und II, in denen jeweils ein Strommessgerät mit Innenwiderstand A und ein Spannungsmessgerät mit Innenwiderstand V verwendet werden. a) Wie groß ist die in L umgesetzte Leistung P W in Abhängigkeit von I L und U L? b) Betrachten Sie zunächst Schaltung I: Wie groß ist der angenommene Wert für die Leistung in Abhängigkeit von I L, U L und den Widerstandswerten, der sich durch Ablesen der Messgeräte ergibt? c) Wie groß ist in diesem Fall der relative Fehler in Abhängigkeit der Widerstandswerte?

3 3 d) Berechnen Sie für Schaltung II den angenommenen Wert für die Leistung und ihren relativen Fehler. e) Es sei A = 100mΩ, V = 1MΩ und L = 1Ω. Welche Schaltung ist in diesem Fall besser geeignet? f) Welche Schaltung wird als stromrichtige Mess-Schaltung bezeichnet? Aufgabe 2: Nichtlinearer, zeitinvarianter Zweipol (15 Pkt) S t=0 I 0 i C u Abbildung 2: Netzwerk mit nichtlinearem Widerstand Gegeben ist die Schaltung nach Abbildung 2. Der linke, lineare Teil enthält eine Konstantstromquelle I 0 sowie drei gleich große Ohmsche Widerstände. Im rechten Teil befindet sich ein Schalter S, ein Kondensator C sowie ein nichtlinearer Widerstand. Der Schalter S ist zunächst geschlossen. Der nichtlineare Zweipol wird durch seine Strom-Spannungs- Beziehung beschrieben { 1 i(u) = 2 I u 2 fuer u > 0. (1) 0 fuer u 0 a) Ersetzen Sie den linken, linearen Teil (links der gestrichelten Linie) durch eine Ersatzspannungsquelle U Q mit Innenwiderstand Q. Berechnen Sie U Q und Q in Abhängigkeit der Netzwerkelemente. b) Berechnen Sie i und u in dem Arbeitspunkt, der sich einstellt, nachdem der Schalter lange genug geschlossen war. c) Nun wird der Schalter S zum Zeitpunkt t = 0 geöffnet. Stellen Sie eine Differentialgleichung (DGL) in u(t) für t > 0 auf. d) Berechnen Sie die Lösung der DGL unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung u(t = 0). Hinweis: Sie können zunächst t(u) berechnen und dies zu u(t) umformen.

4 4 Aufgabe 3: Operationsverstärkerschaltung (15 Pkt) C 1 3 u e 1 L ua 2 Abbildung 3: Operationsverstärkerschaltung Gegeben ist die Schaltung nach Abbildung 3. Die Spannung u e stellt den Eingang, die Spannung u a den Ausgang der Schaltung dar. a) Wird der Operationsverstärker in Gegen- oder Mitkopplung betrieben? b) Berechnen Sie im Laplace-Bereich die Übertragungsfunktion G(s) = Ua(s) U e(s). c) Berechnen Sie die normierte Übertragungsfunktion G(s n ) mit s n = s 1 C 1 und berücksichtigen Sie die Vereinfachungen 1 C 1 = L/ 2 sowie 3 = Sollten Sie hier zu keinem Ergebnis gekommen sein, so kann mit dem (von der korrekten Lösung abweichenden) Zwischenergebnis weitergerechnet werden. G(s n ) = s n(s n ) 1000(s n + 1) 2 (2) d) Zeichnen Sie das Bodediagramm (Amplituden- und Phasengang) der normierten Übertragungsfunktion G(s n ).

5 5 Aufgabe 4: Laplace-Transformation (20 Pkt) i(t) 1 i (t) 2 u (t) e L 2 u a(t) C Abbildung 4: Lineares Netzwerk u (t) e u e T 2 T t Abbildung 5: Verlauf der Spannung u e (t) Gegeben ist das Netzwerk nach Abbildung 4. Es enthält zwei Widerstände 1, 2, eine Induktivität L und eine Kapazität C. Die Eingangsspannung sei u e (t), die Ausgangsspannung ist u a (t). Abbildung 5 zeigt die anregende Spannung u e (t). a) Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = U a (s)/u e (s) des gegebenen Netzwerkes im Laplace-Bereich. b) Es gelten folgende Vereinfachungen: 1 = 2, 2 = 3, = L/C (3) Ermitteln Sie die normierte Übertragungsfunktion G(s n ) durch Normieren der Übertragungsfunktion G(s) mit Hilfe der normierten Frequenz s n = st sowie der Zeitkonstanten T = LC Sollten Sie hier zu keinem Ergebnis gekommen sein, so kann mit dem (von der korrekten Lösung abweichenden) Zwischenergebnis G(s n ) = s 2 n + 1 5s 2 n + 2s n + 2 (4)

6 6 weitergerechnet werden. c) Formulieren Sie die Zeitfunktion der anregenden Spannung u e (t), die in Abbildung 5 dargestellt ist. Ermitteln Sie die normierte Zeitfunktion u e (t n ) mit Hilfe der normierten Zeit t n = t/t und transformieren Sie diese in den Laplace-Bereich. Hinweis: Das Signal u e (t) ist sinusförmig und nur genau eine Periode lang! d) Das gegebene Netzwerk wird nun mit der Anregung aus Abbildung 5 angeregt. Ermitteln sie die normierte Ausgangsspannung U a (s n ) des Netzwerkes. Ermitteln Sie dann die Zeitbereichsdarstellung u a (t n ) dieser Spannung durch Transformation in den Zeitbereich. Hinweis: Hier ist keine Partialbruchzerlegung nötig! e) Welchen Wert nimmt u a (t n ) an? Wäre dies auch so, wenn die Eingangsspannung nicht nach einer Periode abbrechen würde? Können Sie eine physikalische Erklärung für dieses Verhalten geben (Betrachten Sie die Eingangsspannung)?

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