Einführung in spieltheoretische Grundkonzepte anhand symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in spieltheoretische Grundkonzepte anhand symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele"

Transkript

1 Prof. Dr. Karl Morasch, Dipl.Vw. Florian Bartholomae und Dipl.Vw. Marcus Wiens, Universität der Bundeswehr München Einführung in spieltheoretische Grundkonzepte anhand symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele Fundierte spieltheoretische Kenntnisse gehören mittlerweile zur Grundausbildung jedes Studierenden der Wirtschaftswissenschaften. Eine Vielzahl strategischer Fragestellungen in der Volks und Betriebswirtschaftslehre lassen sich bereits mit relativ einfachen Konzepten der Spieltheorie untersuchen. Der folgende Beitrag gibt anhand der Analyse symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele eine leicht verständliche Einführung in wichtige spieltheoretische Grundkonzepte. Die Spieltheorie beschäftigt sich mit strategischen Entscheidungssituationen, d.h. Situationen bei denen das Ergebnis vom Verhalten mehrerer Entscheidungsträger abhängig ist und die Akteure sich dieser Interdependenz bewusst sind. Viele ökonomische Fragestellungen weisen eine solche Struktur auf z.b. der Oligopolwettbewerb, das Problem der Zeitinkonsistenz bei der Geldpolitik oder die Beziehung zwischen Eigentümer und Manager einer Unternehmung. Zentrale Aspekte sind dabei die Interessenkonflikte und Koordinationsprobleme zwischen den Akteuren, die sich im Grundsatz bereits in sehr einfachen Spielen abbilden lassen. Auf dieser Basis lassen sich grundlegende Spielstrukturen identifizieren und verschiedene spieltheoretische Lösungsansätze beispielhaft darstellen. Spieltheoretische Beschreibung eines strategischen Entscheidungsproblems Unter einem Spiel versteht man die formal exakte Abbildung eines strategischen Entscheidungsproblems. Ein Spiel ist bestimmt durch die Menge der Spieler, die Menge der Strategien, die aus den Strategiekombinationen resultierenden Auszahlungsvektoren und durch die Spielregeln. In den hier betrachteten Spielen gibt es stets zwei Spieler, die zwischen jeweils zwei Aktionsmöglichkeiten wählen können, weshalb wir die strategische Situation, d.h. den Zusammenhang zwischen Strategien und Auszahlungen, in einer 2x2 Matrix abbilden können. Neben der strategischen Situation ist ein Spiel wesentlich durch die zeitliche Struktur (Anzahl und Reihenfolge der Spielzüge) und die Informationsstruktur (Beobachtbarkeit der Spielzüge und Kenntnis der Strategiemöglichkeiten und Auszahlungen der anderen Spieler) gekennzeichnet. Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass beide Spieler stets gleichzeitig entscheiden (Simultanspiel). Da sie in diesem Fall die Strategiewahl des Gegenspielers nicht beobachten können, liegt ein Spiel mit imperfekter Information vor. Bei einer rein sequentiellen Spielstruktur (wie z.b. beim Schach) ergäbe sich demgegenüber ein Spiel mit perfekter Information zwischen der zeitlichen Struktur und der Informationsstruktur besteht also ein enger Zusammenhang. Sowohl die hier untersuchten Matrixspiele als auch Schach sind Spiele mit vollständiger Information, weil im Gegensatz zu Spielen mit unvollständiger Information die Aktionsmöglichkeiten und Auszahlungen aller Spieler gemeinsames Wissen sind. Definition eines Spiels Zentrale Aspekte einer Spielsituation 1

2 Prisoner s Dilemma, dominante Strategien und Pareto Konzept Als erste grundlegende Spielstruktur soll das Prisoner s Dilemma ( Gefangenendilemma ) betrachtet werden. An diesem soll die Darstellung eines Spiels in Matrixform erläutert und das Gleichgewicht in dominanten Strategien veranschaulicht. s 21 s 22 s 11 ( 2, 2 ) ( 0, 3 ) s 12 ( 3, 0 ) ( 1, 1 ) Matrix 1. Prisoner s Dilemma In der Matrix wird abgebildet, dass Spieler 1 zwischen den beiden Strategien s 11 bzw. s 12 (Zeilen) und Spieler 2 entsprechend zwischen den Strategien s 21 und s 22 (Spalten) wählen kann. Die erste Ziffer im Index kennzeichnet also den Spieler, die zweite Ziffer dessen Strategie. Die Zellen in der Matrix enthalten die Auszahlungen für beide Spieler, die aus den möglichen Strategiekombinationen resultieren. Wenn etwa beide Spieler ihre erste Strategie wählen, dann ergibt sich aus der Strategiekombination (s 11, s 21 ) die Auszahlungskombination (2,2) oben links in der Matrix. Die erste Auszahlung wird dabei konventionsgemäß dem ersten Spieler zugeordnet. Symmetrische Spiele, wie sie hier untersucht werden, stellen sich aus Sicht beider Spieler gleich dar. Es reicht dann aus, das Spiel aus Sicht eines Spielers zu analysieren. Darstellung in Matrix s 21 s 22 s 21 s 22 s 11 (a a) (c d) s 11 (a b) (c d) s 12 (d c) (b b) s 12 (d c) (b a) Abbildung 1. Spiegel und Punktsymmetrie Bei Symmetrie bezüglich der Auszahlungsstruktur ist zwischen Spiegel und Punktsymmetrie zu unterscheiden, wie sie in Abb. 1 für allgemeine Auszahlungen a, b, c, d dargestellt wird. Der Vergleich mit Matrix 1 zeigt, dass das Gefangengendilemma offenkundig spiegelsymmetrisch ist. Die konkrete Auszahlungsstruktur spiegelt folgende Situation wider: Die Spieler sind zwei Gefangene die getrennt voneinander vom Staatsanwalt befragt werden, ob sie an einem nicht beweisbaren schweren Verbrechen beteiligt waren. Gesteht einer (s i2 ) während der andere leugnet (s j1 ), tritt eine Kronzeugenregelung in Kraft und er kommt frei (Auszahlung 3) während der andere die Höchststrafe (Auszahlung 0) erhält. Gestehen beide (s 12, s 22 ), so erhalten sie wegen des Geständnisses nicht die Höchststrafe (Auszahlung 1), während bei beiderseitigem Leugnen (s 11, s 21 ) beide nur aufgrund eines minderschweren Delikts belangt werden können (Auszahlung 2). Diese grundlegende Spielstruktur findet sich im ökonomischen Kontext beispielsweise bei Kartellabsprachen oder der privaten Bereitstellung eines öffentlichen Gutes. Prisoner s Dilemma 2

3 Wie kann nun eine plausible Vorhersage über das zu erwartende Verhalten der Spieler getroffen werden? Eine wichtige Annahme in Bezug auf die Spieler ist, dass diese sich (individuell) rational verhalten, d.h. stets diejenige Strategie wählen, die ihnen die höchste Auszahlung liefert. Eine strikt dominante Strategie ist dann dadurch gekennzeichnet, dass ein Spieler durch diese Strategie unabhängig von der Strategiewahl des Gegenspielers immer eine höhere Auszahlung realisiert. Verfügt ein rationaler Spieler über eine strikt dominante Strategie, so wird er diese wählen. Zur Bestimmung dominanter Strategien bietet es sich an, die Auszahlungen für die verschiedenen Strategiekombinationen zu vergleichen und für Spieler 1 in jeder Spalte (für Spieler 2 in jeder Zeile) die höchste Auszahlung zu unterstreichen. Liegen wie im vorliegenden Fall alle unterstrichenen Auszahlungen für Spieler 1 (2) in der gleichen Zeile (Spalte), so haben wir eine dominante Strategie ermittelt. Im Gefangenendilemma sind somit die Strategien s i2 dominant. Die Strategiekombination (s 12, s 22 ) stellt dann ein Gleichgewicht in dominanten Strategien dar. Die Spieltheorie sagt also vorher, dass die Kronzeugenregelung funktioniert und beide Spieler das Verbrechen gestehen. Aus Sicht der beiden Spieler ist dieses Ergebnis jedoch unattraktiv. Für die Bewertung eines Spielergebnisses lässt sich grundsätzlich das Konzept der Pareto Effizienz heranziehen. Eine Auszahlungskombination wird als pareto optimal bezeichnet, wenn sich kein Spieler verbessern kann, ohne den anderen dabei schlechter zu stellen. In Matrix 1 sind die drei Auszahlungskombinationen (2,2), (3,0) und (0,3) pareto optimal. Die im Gleichgewicht resultierende Kombination (1,1) wird durch (2,2) strikt pareto dominiert oder anders formuliert, (2,2) stellt gegenüber (1,1) eine strikte Pareto Verbesserung dar. Die Auszahlung (2,2) könnte jedoch nur realisiert werden, wenn entweder bindende Absprachen zwischen den Spielern oder im Rahmen wiederholter Spiele eine Bestrafung bei Abweichung von der Strategiekombination (s 11, s 21 ) möglich wären, da jeder Spieler sich durch die Abweichung auf Kosten des Mitspielers besserstellt. Aufgrund des vorliegenden Interessenkonflikts führt individuelle Rationalität zu einem kollektiv irrationalen Ergebnis. Rationalität und dominante Strategie Gleichgewicht in dominanten Strategien Pareto Optimalität Frage 1: Wieso kann eine von einer anderen strikt pareto dominierten Strategiekombination trotzdem ein Gleichgewicht in dominanten Strategien darstellen? 3

4 Assurance Game, Nash Gleichgewicht und Koordination über endogenen Fokuspunkt Als zweite Spielstruktur soll das Assurance Game ( Vertrauensspiel ) betrachtet werden, bei dem im Unterschied zum Gefangenendilemma die pareto optimale Strategiekombination als eines von zwei Nash Gleichgewichten resultiert. In diesem Kontext kann somit sowohl das Konzept des Nash Gleichgewichts als auch das Koordinationsproblem auf eines dieser Gleichgewichte thematisiert werden. Der Begriff Vertrauensspiel bezieht sich darauf, dass bei Wahl der ersten Strategie durch beide Spieler zwar für jeden die höchstmögliche Auszahlung realisiert wird ( payoff dominance ), die zweite Strategie jedoch insofern sicherer ist, als hierbei unabhängig von der Wahl des anderen Spielers zumindest eine Auszahlung von 1 realisiert werden kann ( risk dominance ). Assurance Game s 21 s 22 s 11 ( 3, 3 ) ( 0, 2 ) s 12 ( 2, 0 ) ( 1, 1 ) Matrix 2: Assurance Game Wie man sieht, führt hier das Unterstreichungsverfahren nicht auf dominante Strategien. Bei zwei Strategiekombinationen sind jedoch die Auszahlungen beider Spieler unterstrichen, was auf das für die Spieltheorie zentrale Konzept des Nash Gleichgewichts weist: Im Nash Gleichgewicht wählt jeder Spieler die optimale Strategie zu gegebener Gleichgewichtsstrategie seines Gegenspielers. Somit stellen im Gleichgewicht die Strategien beider Spieler ein Paar wechselseitig bester Antworten dar. Ein Spieler kann sich folglich bei Wahl einer anderen Strategie nicht besserstellen, solange alle anderen ihre Gleichgewichtsstrategie verfolgen. Im Gegensatz zu einer dominanten Strategie, bei der ein Spieler unabhängig vom Verhalten der Mitspieler immer die höchstmögliche Auszahlung erreicht, ist eine Nash Gleichgewichtsstrategie nur dann optimal, wenn die anderen Spieler ebenfalls die zugehörige Gleichgewichtsstrategie gewählt haben. Gibt es nur ein Nash Gleichgewicht, so stellt dieses die einzige plausible Lösung dar. Existieren jedoch wie beim Assurance Game mehrere Nash Gleichgewichte, so müssen sich die Spieler erst auf eines dieser Gleichgewichte koordinieren. Ist keine explizite Kommunikation möglich, so bietet sich hier das Konzept des Fokuspunktes zur Auswahl eines plausiblen Gleichgewichts an. Ein solcher Fokuspunkt kann sich aus der Auszahlungsstruktur des Spiels ergeben (endogen) oder aber aus Aspekten, die außerhalb der Spielstruktur im kontextuellen Umfeld liegen (exogen). Ein potentieller endogener Fokuspunkt liegt dann vor, wenn aufgrund der Auszahlungsstruktur eines der Nash Gleichgewichte besonders heraussticht z.b. durch Symmetrie oder wie im Assurance Game durch die pareto optimale Auszahlungskombination (3,3). Nash Gleichgewicht Fokuspunkt Frage 2: Warum kann im Prisoner s Dilemma die Strategiekombination (s 11,s 21 ) mit der symmetrischen, pareto optimale Auszahlung (2,2) nicht analog zur Analyse im Assurance Game als endogener Fokuspunkt realisiert werden? 4

5 Battle of Sexes, exogener Fokuspunkt und gemischte Strategien Die Auszahlungsstruktur des Battle of Sexes ( Kampf der Geschlechter ) unterscheidet sich insofern grundlegend von den bisherigen Spielen, als es keine symmetrischen Gleichgewichte, d.h. solche mit identischen Auszahlungen für beide Spieler, gibt. s 21 s 22 s 11 ( 3, 1 ) ( 0, 0 ) s 12 ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) Matrix 3. Battle of Sexes Die Auszahlungsmatrix beschreibt folgende Situation: Eine Frau und ein Mann wollen unbedingt den Abend gemeinsam verbringen. Die Frau würde jedoch lieber zum Fußball gehen (s i1 ), während der Mann einen gemeinsamen Theaterbesuch vorzieht (s i2 ). Da sie versäumt haben sich im Vorfeld abzusprechen, müssen sie sich direkt vor Ort treffen. Wie man unschwer erkennen kann hat das Spiel zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien. Ohne Kommunikation stellt jedoch keines dieser beiden Gleichgewichte eine plausible Lösung dar. Eine Möglichkeit böte die Existenz eines exogenen Fokuspunktes, wenn z.b. in einer Gesellschaft die Männer dominieren (dann wäre der gemeinsame Theaterbesuch plausibel) oder die Entscheidungen nach den Wünschen der Frauen ausgerichtet wird (dann käme es zu einer Koordination auf das Fußballspiel). Im ökonomischen Kontext wird hierdurch etwa die Einigung zweier Unternehmen auf einen gemeinsamen Standard abgebildet. Wenn ein solcher exogener Fokuspunkt nicht existiert, kann eine Vorhersage zur Strategiewahl nur getroffen werden, wenn wir den Strategieraum von den reinen Strategien auf gemischte Strategien erweitern. In diesem Fall wird nicht mehr angenommen, dass der Spieler genau eine seiner beiden reinen Strategie auswählt, sondern dass er jede mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit spielt, d.h. der Spieler randomisiert. Bei zwei reinen Strategien kann dann die gemischte Strategie durch 0,1 beschrieben werden, wobei die Wahrscheinlichkeit für die erste Strategie ist (mit Gegenwahrscheinlichkeit 1 ergibt sich dann die zweite Strategie ). Mit dieser Erweiterung wählt Spieler i seine Strategie aus einer stetigen Strategiemenge, wobei die beiden reinen Strategien als Grenzfälle mit 1 und 0 mit erfasst sind. In einem Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien werden die Spieler ihre Strategie so wählen, dass der Gegenspieler gerade indifferent zwischen seinen reinen Strategien ist. Machen dies beide Spieler, so kann sich keiner durch eine Änderung seiner Strategie besserstellen, womit die Bedingung an ein Nash Gleichgewicht erfüllt ist. Wie weiß man, ob ein solches Gleichgewicht existiert? Die Anzahl aller Nash Gleichgewichte ist immer ungerade. Wird eine gerade Anzahl an Gleichgewichten in reinen Strategien gefunden, so muss genau ein weiteres in gemischten Strategien vorhanden sein. Battle of Sexes reine vs. gemischte Strategien Gemischte Strategien 5

6 Grundsätzlich können bei stetiger Strategiemenge alle Nash Gleichgewichte und damit auch dasjenige in gemischten Strategien über die simultane Lösung der Bedingungen erster Ordnung für die Maximierung der Auszahlungsfunktionen bestimmt werden. In den vorliegenden symmetrischen Zwei Personen Matrixspielen mit zwei reinen Strategien kann man das Gleichgewicht in gemischten Strategien jedoch einfacher ermitteln indem man den kritischen Wert von bestimmt, ab dem es für Spieler 2 besser ist seine erste Strategie ( ) zu wählen. Beim Battle of Sexes führt dies auf Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ,75 Für 0,75 ist Spieler 2 indifferent und wird seinerseits randomisieren. Die beste Antwort für Spieler 2 ist somit abhängig von der Strategiewahl von Spieler 1 und kann wie folgt formuliert werden: Wähle, wenn 0,75, wähle, wenn 0,75 und randomisiere, d.h. wähle 0,1 wenn 0,75. Aufgrund der Punktsymmetrie des Spiels ergibt sich für die Gleichgewichtsstrategie von Spieler 2 1 0,25 (bei Spiegelsymmetrie hingegen wäre stets p 1 = p 2 ). Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist somit durch das Strategietupel 0,75, 0,25 beschrieben. Für die erwartete Auszahlung von Spieler 1 gilt:, Für 1 0,75 erhält man also eine erwartete Auszahlung in Höhe von 0,75. Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist somit relativ unattraktiv, da die erwartete Auszahlung eines Spielers geringer ist als in jedem der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien. Der Grund dafür liegt darin, dass die unattraktiven Strategiekombinationen mit Auszahlung (0,0) nicht vermieden werden können. Dies ließe sich verhindern, wenn beide Spieler einen gemeinsamen Zufallsmechanismus mit korrelierten Wahrscheinlichkeiten für die Strategiewahl nützen würden. Beispielsweise könnten Sie sich grundsätzlich darauf einigen, bei schönem Wetter zum Fußball und bei schlechtem Wetter ins Theater zu gehen. Dies würde nicht nur die Koordination auf eines der beiden Nash Gleichgewichte in reinen Strategien ermöglichen, sondern bei gleicher Wahrscheinlichkeit für gutes und schlechtes Wetter auch für beides Spieler zur gleichen erwarteten Auszahlung führen. Im nächsten Abschnitt wird anhand des Chicken Game das zugrunde liegende Konzept korrelierter Strategien im Detail behandelt. Frage 3: Geben Sie für das Prisoner s Dilemma und das Assurance Game jeweils alle Nash Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien an. 6

7 Chicken Game, Kommunikation und Gleichgewicht in korrelierten Strategien Die Auszahlungsstruktur beim Chicken Game ( Feiglingspiel ) unterscheidet sich vom Battle of Sexes insofern, als es neben den beiden pareto optimalen asymmetrischen Nash Gleichgewichten eine weitere pareto optimale symmetrische Auszahlungskombination gibt, die zudem eine höhere Auszahlungssumme hat. s 21 s 22 s 11 ( 3, 3 ) ( 1, 4 ) s 12 ( 4, 1 ) ( 0, 0 ) Matrix 4: Chicken Game Die Idee hinter der Auszahlungsstruktur des Chicken Game ist eine Mutprobe: Zwei Autos fahren mit hoher Geschwindigkeit aufeinander zu. Wenn nur ein Spieler ausweicht, zeigt er damit seine Angst und hat die Probe nicht bestanden. Weicht keiner rechtzeitig aus, so verlieren beide beim Zusammenprall ihr Leben. Am günstigsten ist es in der Summe, wenn beide im letzten Moment ausweichen und damit ihr Gesicht wahren können. Entsprechende Konfliktsituationen können im ökonomischen Kontext beispielsweise beim Versuch der Ausweitung des eigenen Marktanteils auftreten, was bei aggressiver Strategie beider Spieler zu Verlusten der Unternehmen führt. Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist hier ähnlich wie beim Battle of Sexes wenig attraktiv. Wenn eine Koordination auf eines der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien durch einen exogener Fokuspunkt nicht möglich ist, käme im Falle von Kommunikationsmöglichkeiten zwischen den Spielern ein Gleichgewicht in korrelierten Strategien in Frage. Chicken Game Gleichgewicht in korrelierten Strategien Eine korrelierte Strategie ist allgemein eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge aller reinen Strategiekombinationen, die bei einer 2x2 Matrix logischerweise vierelementig ist mit 1 und 0. Wie beim Battle of Sexes könnte ein Zufallsmechanismus mit gleicher Wahrscheinlichkeit eines der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien auswählen, d.h.,, 0,5. Beim Chicken Game lässt sich mit einem etwas komplizierteren Mechanismus aber eine höhere Auszahlung realisieren: Den Spielern sind die Wahrscheinlichkeiten für die Strategiekombinationen bekannt. Nach der Realisierung der Zufallsvariable wird jedem Spieler jedoch nur die für ihn resultierende Strategie mitgeteilt. Er weiß also nicht, welche Strategie dem anderen vorgegeben wurde. Durch dieses Verfahren kann auch die pareto optimale Auszahlungskombination (3,3) mit positiver Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Konkret könnte als Wahrscheinlichkeitsverteilung beispielsweise,, 0,4 und, 0,2 verwendet werden. Wieso hat kein Spieler einen Anreiz vom Vorschlag abzuweichen? Angenommen die Realisierung der Zufallsvariable führt auf,. Wenn Spieler 1 dies wüsste, könnte er sich durch eine Abweichung besser stellen. Da er aber nur die Information bekommt, dass er Strategie wählen soll, muss er davon ausgehen, dass Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit 7

8 von 2/3 die Strategie spielt (diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich als bedingte Wahrscheinlichkeit für bei Vorschlag für Spieler 1), was bei einer Abweichung auf zu einer erwartetem Auszahlung von 1/ /3 0 = 4/3 führt. Bei Wahl von wäre aber die erwartete Auszahlung 1/ /3 1 = 5/3 und damit besteht kein Anreiz zur Abweichung. Bei der Wahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sollte die Wahrscheinlichkeit für, möglichst hoch festgelegt werden, um die erwarteten Auszahlungen zu maximieren. Gleichzeitig darf aber kein Anreiz zur Abweichung von der vorgeschlagenen Strategie bestehen. Eine effiziente korrelierte Strategie ist dann dadurch gekennzeichnet, dass die kritischen Anreizbedingungen mit Gleichheitszeichen erfüllt sind. Diese Anreizbedingungen entsprechend denjenigen, die bei der Gestaltung anreizkompatibler Verträge (z.b. in der Eigentümer Manager Beziehung) im Rahmen einer informationsökonomischen Analyse resultieren. Frage 4: Zeigen Sie, dass bei einer Wahrscheinlichkeiten von je 1/3 für jede der paretooptimalen Strategiekombinationen gerade keiner der beiden Spieler einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen! Fazit und Ausblick In diesem Beitrag wurde anhand einfacher symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele die Interaktion zwischen Interessenkonflikten und Koordinationsproblemen verdeutlicht und es wurden die zentralen Konzepte Gleichgewicht in dominanten Strategien und Nash Gleichgewicht in reinen und gemischten Strategien eingeführt. Darüber hinaus wurden Fokus Punkt Überlegungen zur Auswahl einer plausiblen Lösung bei mehreren Gleichgewichten sowie das Gleichgewicht in korrelierten Strategien für Spiele ohne bindende Verträge aber mit Kommunikation vorgestellt. Die Auswahl von Gleichgewichten ist auch ein zentrales Thema im Rahmen sequentieller Spiele und von Spielen bei unvollständiger Information während korrelierte Gleichgewichte für die Analyse anreizkompatibler Verträge im Rahmen der Informationsökonomik grundlegend sind. Literaturempfehlungen Dixit, A./Skeath, S.: Games of Strategy. 2. Aufl., New York Dutta, P.K., Strategies and Games. Theory and Practice, Cambridge Holler, M.J./Illing, G.: Einführung in die Spieltheorie. 6. Aufl., Berlin Sieg, G., Spieltheorie, 2. Aufl., München

9 Frage 1: Wieso kann eine von einer anderen strikt pareto dominierten Strategiekombination trotzdem ein Gleichgewicht in dominanten Strategien darstellen? Das Konzept der Pareto Optimalität bezieht sich auf die Auszahlungen beider Spieler für verschiedene Strategiekombination. Das Konzept dominanter Strategien thematisiert demgegenüber die Auszahlung eines Spielers in Abhängigkeit seiner Strategie. Eine pareto überlegene Strategiekombination ist darum möglicherweise nicht als Gleichgewicht realisierbar, weil mindestens ein Spieler sich durch Abweichung besser stellen kann. Frage 2: Warum kann im Prisoner s Dilemma die Strategiekombination (s 11,s 21 ) mit der symmetrischen, pareto optimale Auszahlung (2,2) nicht analog zur Analyse im Assurance Game als endogener Fokuspunkt realisiert werden? Die Fokuspunktüberlegungen sind für die Auswahl eines Gleichgewichts unter mehreren geeignet. Stellt eine Strategiekombination kein Nash Gleichgewicht dar, so kann sie nie eine plausible Lösung des Spiels sein, da ja mindestens ein Spieler einen Anreiz zur Abweichung hätte. Frage 3: Geben Sie für das Prisoner s Dilemma und das Assurance Game jeweils alle Nash Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien an. Beim Prisoner s Dilemma existiert mit dem Gleichgewicht in dominanten Strategien ein eindeutiges Nash Gleichgewicht. Beim Assurance Game gibt es zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien und zusätzlich ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem jede der beiden reinen Strategien mit gleicher Wahrscheinlichkeit gespielt wird. Frage 4: Zeigen Sie, dass bei einer Wahrscheinlichkeiten von je 1/3 für jede der paretooptimalen Strategiekombinationen gerade keiner der beiden Spieler einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen! Wird einem Spieler die Wahl der ersten Strategie vorgegeben, so weiß er, dass der andere Spieler mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine seiner beiden Strategien wählen wird. Dies bedeutet, dass er bei Wahl der ersten Strategie eine erwartete Auszahlung von 3 ½ + 1 ½ = 2 realisiert und bei Abweichung 4 ½ + 0 ½ = 2. Er ist also gerade indifferent und somit führt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung auf effiziente korrelierte Strategien. 9

ihre Aktionen (Strategien) simultan und unabhängig wählen unabhängig : Spieler können keine bindenden Vereinbarungen treffen

ihre Aktionen (Strategien) simultan und unabhängig wählen unabhängig : Spieler können keine bindenden Vereinbarungen treffen 1 KAP 1. Bi Matrix Spiele Wir betrachten eine Situation mit zwei Spielern, die ihre Aktionen (Strategien) simultan und unabhängig wählen die möglichen Strategien und Nutzen ihrer Gegensp. vollständig kennen

Mehr

Teil I: Einführung Motivation Einführendes Beispiel Merkmale eines Spiels Teil II: Mathematische Spieltheorie. Einführung

Teil I: Einführung Motivation Einführendes Beispiel Merkmale eines Spiels Teil II: Mathematische Spieltheorie. Einführung c by Rolf Haenni (2006) Seite 170 Teil I: Motivation Einführendes Beispiel Merkmale eines Spiels Teil II: Mathematische Spieltheorie Neutrale Spiele Die Conway-Theorie Teil III: Spielalgorithmen in der

Mehr

Spieltheorie mit. sozialwissenschaftlichen Anwendungen

Spieltheorie mit. sozialwissenschaftlichen Anwendungen .. Friedel Bolle, Claudia Vogel Spieltheorie mit sozialwissenschaftlichen Anwendungen SS Inhalt. Einleitung. Sequentielle Spiele Terminologie Spielbäume Lösen von Sequentiellen Spielen .. Motivation: Warum

Mehr

Einführung in die klassische Spieltheorie

Einführung in die klassische Spieltheorie Einführung in die klassische Spieltheorie Seminar Algorithmische Spieltheorie, Wintersemester 2007/2008 Martin Sauerhoff Lehrstuhl 2, Universität Dortmund Übersicht 1. Einleitung 2. Zwei-Personen-Nullsummenspiele

Mehr

Kapitel 7 und Kapitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien. Einleitung. Übersicht Teil 2 2. Übersicht 3

Kapitel 7 und Kapitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien. Einleitung. Übersicht Teil 2 2. Übersicht 3 Übersicht Teil 2 Kaitel 7 und Kaitel 8: Gleichgewichte in gemischten Strategien Übersicht Teil 2 2 Übersicht Einleitung Was ist eine gemischte Strategie? Nutzen aus gemischten Strategien Reaktionsfunktionen

Mehr

Spieltheorie Teil 2. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 28. April 2008

Spieltheorie Teil 2. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 28. April 2008 Spieltheorie Teil 2 Tone Arnold Universität des Saarlandes 28. April 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil 2 28. April 2008 1 / 66 Sequenzielle Spiele: Strategie vs. Aktion Bisher:

Mehr

Kapitel 12 Spieltheorie

Kapitel 12 Spieltheorie Kapitel 12 Spieltheorie Vor- und Nachbereitung: Varian, Chapter 28 und 29 Frank, Chapter 13 Übungsblatt 12 Klaus M. Schmidt, 2008 12.1 Einleitung Bisher haben wir Ein-Personen-Entscheidungsprobleme betrachtet.

Mehr

Kapitel 4: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Diskrete Strategien. Einleitung. Übersicht 3

Kapitel 4: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Diskrete Strategien. Einleitung. Übersicht 3 Übersicht Teil : Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen : Diskrete Sequentielle Spiele (Kapitel 3) Teil Diskrete () Reine Simultane Spiele Stetige (Kapitel 5) Gemischte (Kapitle 7 & 8) Kapitel 6 Übersicht

Mehr

Spieltheorie Teil 1. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 20. März 2008

Spieltheorie Teil 1. Tone Arnold. Universität des Saarlandes. 20. März 2008 Spieltheorie Teil 1 Tone Arnold Universität des Saarlandes 20. März 2008 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Spieltheorie Teil 1 20. März 2008 1 / 123 Einführung Die Spieltheorie ist eine mathematische

Mehr

Spieltheoretischer Ansatz für selbstorganisierende Systeme

Spieltheoretischer Ansatz für selbstorganisierende Systeme Spieltheoretischer Ansatz für selbstorganisierende Systeme Institut für Informatik 27. Juni 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Aufsatz 2 Geschichte 3 Einführung 4 Das Spiel Experiment 5 Konzepte zur Lösung

Mehr

IV. Spieltheorie. H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1

IV. Spieltheorie. H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1 IV. Spieltheorie 1. Gegenstand der Spieltheorie 2. Einführung in Matrixspiele 3. Strategien bei Matrixspielen 4. Weitere Beispiele 5. Mögliche Erweiterungen H. Weber, FHW, OR SS07, Teil 7, Seite 1 1. Gegenstand

Mehr

Multiagent Interactions

Multiagent Interactions Veranstaltung: Agentensysteme SS0 Veranstalter: Alexa Breuing Julia Tolksdorf Vortragende: Florian Follmer Thomas Schöpping Übersicht Motivation Definitionen Spieltheoretische Ansätze Beispiel: Prisoner

Mehr

Definition eines Spiels

Definition eines Spiels Definition eines piels 1. Einleitung 1.1 Einführung: Die mathematische pieltheorie beschäftigt sich nicht nur mit der Beschreibung und Analyse von pielen im üblichen inn, sondern allgemein mit Konfliktsituationen

Mehr

Nash-GG als gegenseitige beste Antworten. Man kann Nash-GG einfach charakterisieren in termini bester Antworten

Nash-GG als gegenseitige beste Antworten. Man kann Nash-GG einfach charakterisieren in termini bester Antworten 1 Nash-GG als gegenseitige beste Antworten Man kann Nash-GG einfach charakterisieren in termini bester Antworten Eine beste Antwort von Spieler i gegen die Strategie s i ist - die nutzenmaximierende Strategie,

Mehr

Grundlegende Lösungskonzepte der Spieltheorie

Grundlegende Lösungskonzepte der Spieltheorie Universität Konstanz Fachbereich Informatik und Informationswissenschaften Lehrstuhl: Prof. Dr. Ulrik Brandes Seminar: Algorithmische Spieltheorie Betreuer: Bobo Nick Sommersemester 2009 Grundlegende Lösungskonzepte

Mehr

1. Was sind Nullsummenspiele? 2. Dominante Strategien 3. Sattelpunkt 4. Spiele ohne Sattelpunkt: Gemischte Strategien 5. Beispiele 6.

1. Was sind Nullsummenspiele? 2. Dominante Strategien 3. Sattelpunkt 4. Spiele ohne Sattelpunkt: Gemischte Strategien 5. Beispiele 6. Nullsummenspiele 1. Was sind Nullsummenspiele? 2. Dominante Strategien 3. Sattelpunkt 4. Spiele ohne Sattelpunkt: Gemischte Strategien 5. Beispiele 6. Einige Sätze 1. Nullsummenspiele Nullsummenspiele

Mehr

LMU München - SS04 - Spieltheorie

LMU München - SS04 - Spieltheorie LMU München - SS04 - Spieltheorie Studenten des Kurses, Prof. Schottenloher 7. Juni 2004 Inhaltsverzeichnis 4 Erweiterung des Strategiekonzepts: Gemischte Strategien, beste Antwort und der Existenzsatz

Mehr

Teil 2: Dynamische Spiele mit vollständigen Informationen

Teil 2: Dynamische Spiele mit vollständigen Informationen Teil : Dynamische Spiele mit vollständigen Informationen Kapitel 5: Grundsätzliches Literatur: Tadelis Chapter 7 Problem Manche Spiele entwickeln sich über die Zeit Dynamik kann aber nicht in Spielen in

Mehr

Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? Jörg Rambau

Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? Jörg Rambau Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? Verkehrsstauspiel: Wieviel Prozent der Autos fahren über blau/grün? 1 x x = Anteil der Fahrzeuge, die dort entlang fahren Verkehrsstauspiel:

Mehr

2. Nash Equilibria. Das Spiel kann dann beschrieben werden durch

2. Nash Equilibria. Das Spiel kann dann beschrieben werden durch 2. Nash Equilibria Situation: n Spieler 1,..., n spielen ein (einzügiges) Spiel. S i 1 i n ist die Menge der Strategien (= Aktionen) von Spieler i. u i : S 1... S n ist die Nutzenfunktion für Spieler i.

Mehr

The Effects of Within-Group Communication on Group Decision and Individual Choice in the Assurance and Chicken Team Games

The Effects of Within-Group Communication on Group Decision and Individual Choice in the Assurance and Chicken Team Games Experimentelle Wirtschaftsforschung, Sommersemester 8 Zusatzaufgabe The Effects of Within-Group Communication on Group Decision and Individual Choice in the Assurance and Chicken Team Games Gary Bornstein,

Mehr

10. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

10. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik 10. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010 Kooperative Spiele - Stabile Paarungen Wir studieren Märkte mit zweiseitigen

Mehr

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Michael Gross mdgrosse@sbox.tugraz.at 20. Januar 2003 1 Spieltheorie 1.1 Matrix Game Definition 1.1 Ein Matrix Game, Strategic

Mehr

Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 2: Spiele in Normalform

Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 2: Spiele in Normalform Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie Teil 2: Spiele in Normalform Dr. Thomas Krieger Wintertrimester 2009 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 1 Inhaltliche Motivation Es gibt

Mehr

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9

Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 Codierungstheorie Rudolf Scharlau, SoSe 2006 9 2 Optimale Codes Optimalität bezieht sich auf eine gegebene Quelle, d.h. eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Symbolen s 1,..., s q des Quellalphabets

Mehr

Rauschen und Master-Slave-Strategien im Gefangenendilemma. Simon Steeg. Algorithm Engineering Report TR06-2-011 Dezember 2006 ISSN 1864-4503

Rauschen und Master-Slave-Strategien im Gefangenendilemma. Simon Steeg. Algorithm Engineering Report TR06-2-011 Dezember 2006 ISSN 1864-4503 Rauschen und Master-Slave-Strategien im Gefangenendilemma Simon Steeg Algorithm Engineering Report TR06-2-011 Dezember 2006 ISSN 1864-4503 Universität Dortmund Fachbereich Informatik Algorithm Engineering

Mehr

Vier Gewinnt Nicolas Schmidt Matthias Dietsche Bernhard Weiß Benjamin Ruile Datum: 17.2.2009 Tutor: Prof. Schottenloher Spieltheorie

Vier Gewinnt Nicolas Schmidt Matthias Dietsche Bernhard Weiß Benjamin Ruile Datum: 17.2.2009 Tutor: Prof. Schottenloher Spieltheorie Vier Gewinnt Nicolas Schmidt Matthias Dietsche Bernhard Weiß Benjamin Ruile Datum: 17.2.2009 Tutor: Prof. Schottenloher Spieltheorie Präsentation Agenda I. Einführung 1. Motivation 2. Das Spiel Vier Gewinnt

Mehr

Spieltheorie Kapitel 7, 8 Evolutionary Game Theory Modelling Network Traffic using Game Theory

Spieltheorie Kapitel 7, 8 Evolutionary Game Theory Modelling Network Traffic using Game Theory Spieltheorie Kapitel 7, 8 Evolutionary Game Theory Modelling Network Traffic using Game Theory 01.12.2010 Arno Mittelbach 1 Spieltheorie Einführung Evolutionary Game Theory Spieltheorie in Netzwerken Erstens

Mehr

Mechanismus Design Auktionen

Mechanismus Design Auktionen Mechanismus Design Auktionen Universität Hohenheim Alexander Staus Mechanismus Design Universität Hohenheim 1/25 Welche Auktionen kennen Sie? traditionelle Auktionshäuser ebay Immobilien Fahrräder Blumen

Mehr

Spieltheorie. Teil 1: Statische Spiele mit vollständiger Information

Spieltheorie. Teil 1: Statische Spiele mit vollständiger Information Spieltheorie Teil 1: Statische Spiele mit vollständiger Information 1 Worum geht es? Wir untersuchen Situationen, in denen alle Entscheidungsträger (Agenten, Spieler) rational sind, jeder Spieler eine

Mehr

Überblick: Entscheidungstheoretische Konzepte Seminar Online-Optimierung Diana Balbus

Überblick: Entscheidungstheoretische Konzepte Seminar Online-Optimierung Diana Balbus Überblick: Entscheidungstheoretische Konzepte Seminar Online-Optimierung Diana Balbus Einleitung Ein Online-Algorithmus muss Ausgaben berechnen, ohne zukünftige Eingaben zu kennen. Für die Bewertung von

Mehr

Mikroökonomik II/Makroökonomik II

Mikroökonomik II/Makroökonomik II Mikroökonomik II/Makroökonomik II Prof. Dr. Maik Heinemann Universität Lüneburg Institut für Volkswirtschaftslehre Wirtschaftstheorie und Makroökonomik heinemann@uni-lueneburg.de Wintersemester 2007/2008

Mehr

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners

Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels. - Diskontfaktor des Verhandlungspartners 1 KAP 15. Spiele unter unvollständiger Information Bisher angenommen: jeder Spieler kennt alle Teile des Spiels seine Gegenspieler, deren Aktionen, deren Nutzen, seinen eigenen Nutzen etc. Oft kennt man

Mehr

5. Wiederholte Interaktion (Wiederholte Spiele Superspiele)

5. Wiederholte Interaktion (Wiederholte Spiele Superspiele) 5. Wiederholte Interaktion (Wiederholte Spiele Superspiele) 5.1 Endlich oft wiederholte Spiele 5.2 Unendlich oft wiederholte Spiele 5.3 Fallstudie: Wettbewerb und Kollusion an der NASDAQ-Börse 5 Beispiele

Mehr

Lösungen zum Übungsblatt 1

Lösungen zum Übungsblatt 1 Lösungen zum Übungsblatt 1 Die Aufgabenlösungen wurden wie folgt bewertet: Aufgabe 1: Diese Aufgabe sollte schon (weitgehend) gelöst worden sein, um einen Punkt zu erzielen. Aufgabe 2: Die vorgeschlagene

Mehr

Fachbereich 10 Institut für Wirtschaftswissenschaften Professur für Volkswirtschaftslehre. Spieltheorie. Prof. Dr. Gernot Sieg.

Fachbereich 10 Institut für Wirtschaftswissenschaften Professur für Volkswirtschaftslehre. Spieltheorie. Prof. Dr. Gernot Sieg. Fachbereich 10 Institut für Wirtschaftswissenschaften Professur für Volkswirtschaftslehre Spieltheorie Prof. Dr. Gernot Sieg Übungsaufgaben Wintersemester 2002/2003 III Inhaltsverzeichnis 1 Statische

Mehr

12. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

12. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik 12. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010 Evolutionäre Spieltheorie Hines (1987): Game theory s greatest success to date

Mehr

Kapitel 5: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Kontinuierliche Strategien

Kapitel 5: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Kontinuierliche Strategien Übersicht Teil 2 Kapitel 5: Spiele mit simultanen Spielzügen und reinen Strategien: Kontinuierliche Strategien Kapitel 5 1 Kapitel 5 Übersicht Teil 2 2 Übersicht Reine Strategien als stetige Variablen

Mehr

Konzepte und Umsetzung von strategischen Spielen

Konzepte und Umsetzung von strategischen Spielen Seminarausarbeitung: Konzepte und Umsetzung von strategischen Spielen Markus Knödler, 45478 Michael Mader, 45633 Nico Meier, 41828 Stefan Wehrenberg, 42261 Sommersemester 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

Mehr

Klausur zur Spieltheorie Musterlösung

Klausur zur Spieltheorie Musterlösung Prof. Dr. Ulrich Schwalbe/Dr. Tone Arnold Sommersemester 2002 Klausur zur Spieltheorie Musterlösung Vorfragen Aufgabe 1 Berechnen Sie alle Nash Gleichgewichte des folgenden Spiels (in reinen und gemischten

Mehr

Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt

Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt Tone Arnold Universität des Saarlandes 13. Dezember 2007 Tone Arnold (Universität des Saarlandes) Informationsökonomik: Anwendung Versicherungsmarkt 13.

Mehr

I. DIE ROLLE DES ÖFFENTLICHEN SEKTORS IN EINER MARKTWIRTSCHAFT: ANALYTISCHE GRUNDLAGEN

I. DIE ROLLE DES ÖFFENTLICHEN SEKTORS IN EINER MARKTWIRTSCHAFT: ANALYTISCHE GRUNDLAGEN I. DIE ROLLE DES ÖFFENTLICHEN SEKTORS IN EINER MARKTWIRTSCHAFT: ANALYTISCHE GRUNDLAGEN 1. Die Effizienz von Märkten a) Partialanalytische Betrachtung Effizienz = genau das wird produziert, was es wert

Mehr

Vorlesung. Informationsökonomik und die Theorie der Firma

Vorlesung. Informationsökonomik und die Theorie der Firma Vorlesung Informationsökonomik und die Theorie der Firma Ulrich Schwalbe Universität Hohenheim 5. Vorlesung 28.11.2007 Ulrich Schwalbe (Universität Hohenheim) Informationsökonomik 5. Vorlesung 28.11.2007

Mehr

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen

Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Seminar A - Spieltheorie und Multiagent Reinforcement Learning in Team Spielen Michael Groß mdgrosse@sbox.tugraz.at 20. Januar 2003 0-0 Matrixspiel Matrix Game, Strategic Game, Spiel in strategischer Form.

Mehr

Ein Transfer-Paradoxon bei besteuerten Matrixspielen

Ein Transfer-Paradoxon bei besteuerten Matrixspielen Ein Transfer-Paradoxon bei besteuerten Matrixspielen Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Mathematikerin Friedrich-Schiller-Universität Jena Fakultät für Mathematik und Informatik

Mehr

1 Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts

1 Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts 1 Theorie des Allgemeinen Gleichgewichts Literatur: Farmer [1993, Ch. 4] Schumann [1992, III.B] 5 1.1 Ein einfaches Tauschmodell Annahmen: Zwei Güter X und Y, deren Mengen mit x und y beeichnet werden.

Mehr

Grundlegendes. Definition Principal-Agent-Modell nach Pratt/Zeckhauser(1985):

Grundlegendes. Definition Principal-Agent-Modell nach Pratt/Zeckhauser(1985): Grundlegendes Definition Principal-Agent-Modell nach Pratt/Zeckhauser(1985): "Whenever one individual depends on the action of another, an agency relationship arises. The individual taking the action is

Mehr

Spieltheorie. Thomas Riechmann. Verlag Franz Vahlen München. 3., vollständig überarbeitete Auflage. von

Spieltheorie. Thomas Riechmann. Verlag Franz Vahlen München. 3., vollständig überarbeitete Auflage. von Spieltheorie von Thomas Riechmann 3., vollständig überarbeitete Auflage Verlag Franz Vahlen München Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 1 1.1 Entscheidungstheorie und Spieltheorie 1 1.2 Präferenzen und Präferenzaxiome

Mehr

Spieltheorie. Sebastian Wankerl. 16. Juli 2010

Spieltheorie. Sebastian Wankerl. 16. Juli 2010 Spieltheorie Sebastian Wankerl 16. Juli 2010 Inhalt 1 Einleitung 2 Grundlagen Extensive Form choice functions Strategien Nash-Gleichgewicht Beispiel: Gefangenendillema 3 Algorithmen Minimax Theorem Minimax

Mehr

1. Wiederholungsklausur zur Lehrveranstaltung Angewandte Spieltheorie

1. Wiederholungsklausur zur Lehrveranstaltung Angewandte Spieltheorie Univ. Prof. Dr. Friedrich L. Sell Volkswirtschaftslehre, insbesondere Makroökonomik und Wirtschaftspolitik Universität der Bundeswehr München 85577 Neubiberg Germany 1. Wiederholungsklausur zur Lehrveranstaltung

Mehr

Proseminar. Spieltheorie. Sommersemester 2015

Proseminar. Spieltheorie. Sommersemester 2015 Proseminar Spieltheorie Sommersemester 2015 Informationen bei: Prof. Dr. Martin Möhle Eberhard Karls Universität Tübingen Mathematisches Institut Tel.: 07071/29-78581 Vortragsübersicht Teil I: Allgemeine

Mehr

Einführung. Spieltheorie

Einführung. Spieltheorie Einführung in die Spieltheorie von Prof. Dr. Wolfgang Leininger und PD Dr. Erwin Amann Lehrstuhl Wirtschaftstheorie Universität Dortmund Postfach 500500 D-44 Dortmund To be literate in the modern age,

Mehr

Spieltheorie Bimatrixspiele und deren praktische Anwendung

Spieltheorie Bimatrixspiele und deren praktische Anwendung MARY WARD PRIVATGMNASIUM UND OBERSTUFENREALGYMNASIUM VEREINIGUNG VON ORDENSSCHULEN ÖSTERREICHS SCHNECKGASSE 3 3100 ST. PÖLTEN Spieltheorie Bimatrixspiele und deren praktische Anwendung Johanna Einsiedler

Mehr

Mikroökonomik. Spieltheorie. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Spieltheorie 1 / 49

Mikroökonomik. Spieltheorie. Harald Wiese. Universität Leipzig. Harald Wiese (Universität Leipzig) Spieltheorie 1 / 49 Mikroökonomik Spieltheorie Harald Wiese Universität Leipzig Harald Wiese (Universität Leipzig) Spieltheorie 1 / 49 Gliederung Einführung Haushaltstheorie Unternehmenstheorie Vollkommene Konkurrenz und

Mehr

(a)... ein Spieler eine Entscheidung treffen muss... (b)... der andere Spieler (Experte) über private...

(a)... ein Spieler eine Entscheidung treffen muss... (b)... der andere Spieler (Experte) über private... 1 KAP 19. Expertenberatung Wir betrachten eine Modell, in dem... (a)... ein Spieler eine Entscheidung treffen muss... (b)... der andere Spieler (Experte) über private...... entscheidungsrelevante Information

Mehr

Koordinationsspiele, Spiele mit gemischten Motiven und Nash-Gleichgewicht

Koordinationsspiele, Spiele mit gemischten Motiven und Nash-Gleichgewicht Koordinationsspiele, Spiele mit gemischten Motiven und Nash-Gleichgewicht Koordinationsspiel Spieler haben übereinstimmende Interessen. Beispiel: 7, 100, 13, 261, 99, 555 Zwei Spieler wählen unabhängig

Mehr

11. Rent-Seeking 117

11. Rent-Seeking 117 117 Definitionen Gewinnstreben: Vorhandene Ressourcen werden so eingesetzt, dass Einkommen entsteht und die Differenz aus Einkommen und Kosten maximal wird. Rent-Seeking: Vorhandene Ressourcen werden eingesetzt,

Mehr

ETWR TEIL B ÜBUNGSBLATT 1 WS14/15

ETWR TEIL B ÜBUNGSBLATT 1 WS14/15 ETWR TEIL B ÜBUNGSBLATT 1 WS14/15 OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG F A K U L T Ä T F Ü R W I R T S C H A F T S W I S S E N S C H A FT LEHRSTUHL FÜR EMPIRISCHE WIRTSCHAFTSFORSCHUNG & GESUNDHEITSÖKONOMIE,

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen. Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit. 3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten

Mehrstufige Spiele mit beobachtbaren Handlungen. Rückwärtsinduktion und Teilspielperfektheit. 3.2 Wiederholte Spiele und kooperatives Verhalten . Einführung: Idee, Beispiele, formale Darstellung. Statische Spiele bei vollständiger Information 3. Dynamische Spiele und unvollständige Information Dynamische Spiele und unvollständige Information Mehrstufige

Mehr

Wirtschaftsphilologentagung am 27./28.09.2012 in Passau

Wirtschaftsphilologentagung am 27./28.09.2012 in Passau Workshop2 Experimentelle Ökonomie, Verhaltensökonomie und angewandte Spieltheorie Zu Beginn ihres Vortrages gibt Dr. Glätzle-Rützler eine Einführung in die Begriffe Verhaltensökonomie, Spieltheorie und

Mehr

Elektronische Märkte. Mechanismusdesign und Auktionstheorie

Elektronische Märkte. Mechanismusdesign und Auktionstheorie Elektronische Märkte Elektronische Märkte: B2C vs. B2B Intermediation in elektronischen Märkten Mechanismusdesign und Auktionstheorie Verhandlungen, Auktionen und Handelsplattformen Globalisierung durch

Mehr

Das griechische Dilemma: Eine spieltheoretische Betrachtung

Das griechische Dilemma: Eine spieltheoretische Betrachtung Das griechische Dilemma: Eine spieltheoretische Betrachtung Kristin Berthold European University Viadrina Frankfurt (Oder) Department of Business Administration and Economics Discussion Paper No. 370 June

Mehr

Aktualisierung der ISO/IEC 27001 (ISMS): Entstehung, Änderungsbedarf und Handlungsempfehlungen für Unternehmen

Aktualisierung der ISO/IEC 27001 (ISMS): Entstehung, Änderungsbedarf und Handlungsempfehlungen für Unternehmen Aktualisierung der ISO/IEC 27001 (ISMS): Entstehung, Änderungsbedarf und Handlungsempfehlungen für Unternehmen Bearbeitet von Stefan Beck 1. Auflage 2015. Taschenbuch. 148 S. Paperback ISBN 978 3 95934

Mehr

Name:... Matrikel-Nr.:... 3 Aufgabe Handyklingeln in der Vorlesung (9 Punkte) Angenommen, ein Student führt ein Handy mit sich, das mit einer Wahrscheinlichkeit von p während einer Vorlesung zumindest

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise

6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise 6 Mehrstufige zufällige Vorgänge Lösungshinweise Aufgabe 6.: Begründen Sie, warum die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse bzw. zufälliger Vorgänge nur ein Modell der Realität darstellen kann.

Mehr

- Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch

- Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch 1 2 - Eine typische Ausfallrate, wie sie bei vielen technischen Anwendungen zu sehen ist hat die Form einer Badewanne, deshalb nennt man diese Kurve auch Badewannenkurve. -mit der Badewannenkurve lässt

Mehr

Nomen (non) est omen oder: Sind Computerspiele überhaupt Spiele?

Nomen (non) est omen oder: Sind Computerspiele überhaupt Spiele? Nomen (non) est omen oder: Sind Computerspiele überhaupt Spiele? Eigentlich eine blöde Frage, oder? Steckt doch schon im Namen drin: ComputerSPIELE Trotzdem sehen viele dies anders! Ein Name muss ja nicht

Mehr

Künstliche Intelligenz Unsicherheit. Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln

Künstliche Intelligenz Unsicherheit. Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Künstliche Intelligenz Unsicherheit Stephan Schwiebert WS 2009/2010 Sprachliche Informationsverarbeitung Institut für Linguistik Universität zu Köln Rückblick Agent in der Wumpuswelt konnte Entscheidungen

Mehr

Ökonomische Analyse des Unternehmensverhaltens

Ökonomische Analyse des Unternehmensverhaltens Ökonomische Analyse des Unternehmensverhaltens M. Sc. Kernfeld Modul fld d l Unternehmensstrategie und Markterfolg Univ. Prof. Dr. Karl Morasch Volkswirtschaftslehre, insbesondere Mikroökonomie und Wettbewerbspolitik

Mehr

A) Erklären Sie das absatzpolitische Instrument der Bündelung und geben Sie ein Beispiel. (10 Punkte)

A) Erklären Sie das absatzpolitische Instrument der Bündelung und geben Sie ein Beispiel. (10 Punkte) Lösungsskizze Klausur Marktversagen vom 20. September 2010 (die nachfolgend angeführten Seitenangaben beziehen sich auf die aktuellste Version der pdfs der KE 1 und KE 4 auf dem Server) Aufgabe 1 A) Erklären

Mehr

Alle WGKT-Empfehlungen können unter www.wgkt.de eingesehen und heruntergeladen werden.

Alle WGKT-Empfehlungen können unter www.wgkt.de eingesehen und heruntergeladen werden. WGKT-Empfehlung Betriebswirtschaftliche Kennzahlen von Krankenhäusern Stand: 05.11.2009 Arbeitskreismitglieder: Prof. Dr. K. Lennerts (Leitung), Karlsruhe; Prof. Dr. C. Hartung, Hannover; Dr. T. Förstemann,

Mehr

1 Einleitung. 1.1 Unser Ziel

1 Einleitung. 1.1 Unser Ziel 1 Dieses Buch wendet sich an alle, die sich für agile Softwareentwicklung interessieren. Einleitend möchten wir unser mit diesem Buch verbundenes Ziel, unseren Erfahrungshintergrund, das dem Buch zugrunde

Mehr

Asymmetrische Spiele. Eric Barré. 13. Dezember 2011

Asymmetrische Spiele. Eric Barré. 13. Dezember 2011 Asymmetrische Spiele Eric Barré 13. Dezember 2011 Gliederung 1 Einführung Allgemeines Definition Begründung Nash-Gleichgewicht 2 Kampf der Geschlechter Allgemein Auszahlungsmatrix Nash-Gleichgewicht Beispiel

Mehr

III. Theorie und Politik der Öffentlichen Ausgaben. A. Wohlfahrtsstaat B. Öffentlich angebotene private Güter

III. Theorie und Politik der Öffentlichen Ausgaben. A. Wohlfahrtsstaat B. Öffentlich angebotene private Güter III. Theorie und Politik der Öffentlichen Ausgaben A. Wohlfahrtsstaat B. Öffentlich angebotene private Güter 1 A. Wohlfahrtsstaat Der Ursprung des Wohlfahrtsstaats Wichtige Programme in Deutschland Finanzierung

Mehr

DIPLOMARBEIT. Titel der Diplomarbeit. Ist das Leben ein Spiel? angestrebter akademischer Grad. Magister der Naturwissenschaften (Mag. rer.nat.

DIPLOMARBEIT. Titel der Diplomarbeit. Ist das Leben ein Spiel? angestrebter akademischer Grad. Magister der Naturwissenschaften (Mag. rer.nat. DIPLOMARBEIT Titel der Diplomarbeit Ist das Leben ein Spiel? Spieltheorie für den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II mit besonderer Berücksichtigung der extensiven Spielform angestrebter akademischer

Mehr

Inhaltsverzeichnis... II. 1. Einführung... 1

Inhaltsverzeichnis... II. 1. Einführung... 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... II 1. Einführung... 1 2. Kreativitätstechniken im Prozess der Ideenfindung... 2 2.1. Brainstorming... 2 2.2. Brainwriting (Methode 6-3-5)... 3 2.3. Bewertung der

Mehr

Einsatz der Mehrkörpersimulation in Verbindung mit Computertomographie in der Produktentwicklung

Einsatz der Mehrkörpersimulation in Verbindung mit Computertomographie in der Produktentwicklung Einsatz der Mehrkörpersimulation in Verbindung mit Computertomographie in der Produktentwicklung Hintergrund Bei komplexen Baugruppen ergeben sich sehr hohe Anforderungen an die Tolerierung der einzelnen

Mehr

IV-Controlling. - Prof. Dr. Rudolf Fiedler -

IV-Controlling. - Prof. Dr. Rudolf Fiedler - IV-Controlling - Prof. Dr. Rudolf Fiedler - 1. Bedeutung des IV-Controlling 2. Ziele des IV-Controlling 3. Aufgaben des IV-Controlling 3.1 Strategisches IV-Controlling 3.2 Projektcontrolling 3.3 Produkt-Controlling

Mehr

Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie

Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie Universität Erfurt Lehrstuhl für Mikroökonomie Prof Dr Bettina Rockenbach Übungen zu Kapitel 4: Einführung in die Spieltheorie Aufgabe 41 Spieler B Spieler A B1 B2 A1 5, 6 7, 2 A2 4, 5 9, 1 Im obigen Spiel

Mehr

Das Zahlenwahlspiel. Inhaltsverzeichnis. 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit..S. 3

Das Zahlenwahlspiel. Inhaltsverzeichnis. 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit..S. 3 Europa Universität Viadrina Seminar: Spieltheorie und Verhalten Dozent: Prof. Dr. Bolle WS 2008/09 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung: Vorstellung des Spiels und Aufbau der Arbeit..S. 3 2. Theoretischer

Mehr

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen

geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungsfreie Verfahren Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre

Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 2009/2010 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit

Mehr

Verteilte Systeme: Auktionen und Verhandlungen

Verteilte Systeme: Auktionen und Verhandlungen Verteilte Systeme: Auktionen und Verhandlungen Informatik-Seminar SS 2004 von Jens Oetling (WI5140) Informatik-Seminar SS2004: Verteilte Systeme Auktionen und Verhandlungen 1 Agenda Vereinbarungen Auktionen

Mehr

Kursmaterial: Geld und Kredit

Kursmaterial: Geld und Kredit Handout : Die Entstehung von Geld in einer Tauschwirtschaft Prof. Dr. Thomas Lux Lehrstuhl für Geld, Währung und Internationale Finanzmärkte Institut für Volkswirtschaftslehre Universität Kiel Kursmaterial:

Mehr

Eine Spieltheoretische Analyse von Internetaukionen

Eine Spieltheoretische Analyse von Internetaukionen Eine Spieltheoretische Analyse von Internetaukionen Christoph Eichhorn 4. Juli 2004 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis I 1 Einleitung 1 1.1 Zielsetzung und Gang der Untersuchung.............. 1 1.2

Mehr

Spieltheorie. PD Dr. M. Pasche. Friedrich-Schiller-Universität Jena. Creative Commons Namensnennung 2.0 Deutschland Lizenz 2007

Spieltheorie. PD Dr. M. Pasche. Friedrich-Schiller-Universität Jena. Creative Commons Namensnennung 2.0 Deutschland Lizenz 2007 S.1 Spieltheorie PD Dr. M. Pasche Friedrich-Schiller-Universität Jena Creative Commons Namensnennung 2.0 Deutschland Lizenz 2007 Fehlerreport bitte an: markus@pasche.name S.2 Üersicht: 1. Einführung: Spieltheorie

Mehr

8. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik

8. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik 8. Vorlesung Spieltheorie in der Nachrichtentechnik Vorlesung: Eduard Jorswieck Übung: Rami Mochaourab Sommersemester 2010 Kooperative Spieltheorie Kooperative Spiele haben die Möglichkeit verbindlicher

Mehr

Ausarbeitung zum Seminar Spieltheorie Gemischtes und korreliertes Gleichgewicht. Friederike Runge

Ausarbeitung zum Seminar Spieltheorie Gemischtes und korreliertes Gleichgewicht. Friederike Runge Ausarbeitung zum Seminar Spieltheorie Gemischtes und korreliertes Gleichgewicht Friederike Runge 13. Juli 2009 Zusammenfassung Ich beziehe mich in meiner Ausarbeitung auf das Buch A course in game theorie

Mehr

Inhaltsverzeichnis. I Allgemeines zur Spieltheorie 3. II Theoretische Grundlagen der Spieltheorie 10. 1 Einleitung 1. 2 Gegenstand der Spieltheorie 3

Inhaltsverzeichnis. I Allgemeines zur Spieltheorie 3. II Theoretische Grundlagen der Spieltheorie 10. 1 Einleitung 1. 2 Gegenstand der Spieltheorie 3 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 I Allgemeines zur Spieltheorie 3 2 Gegenstand der Spieltheorie 3 3 Geschichte der Spieltheorie 4 4 Anwendungen der Spieltheorie 9 II Theoretische Grundlagen der Spieltheorie

Mehr

Tabelle 6a: Deskriptive Statistiken der metrischen Variablen

Tabelle 6a: Deskriptive Statistiken der metrischen Variablen Ergebnisse 77 5 Ergebnisse Das folgende Kapitel widmet sich der statistischen Auswertung der Daten zur Ü- berprüfung der Hypothesen. Die hier verwendeten Daten wurden mit den in 4.3 beschriebenen Instrumenten

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth

Risiko und Symmetrie. Prof. Dr. Andrea Wirth Risiko und Symmetrie Prof. Dr. Andrea Wirth Gliederung 1. Einleitung Was ist eigentlich Risiko? 2. Risiko Mathematische Grundlagen 3. Anwendungsbeispiele Wo genau liegt der Schmerz des Risikos? 4. Sie

Mehr

Analysis of Cliquet Options for Index-Linked Life Insurance

Analysis of Cliquet Options for Index-Linked Life Insurance Analysis of Cliquet Options for Index-Linked Life Insurance Zusammenfassung der Masterarbeit an der Universität Ulm Martin Fuchs Alternative (zu) Garantien in der Lebensversicherung, so lautet das Jahresmotto

Mehr

Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981)

Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981) Aufgabenblatt 3: Rechenbeispiel zu Stiglitz/Weiss (AER 1981) Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/2010 1 Aufgabe 100 identische Unternehmer

Mehr

2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information

2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information 2. Spiele in Normalform mit vollständiger Information Zunächst müssen wir klären, wie wir ein Spiel formal beschreiben. Für nichtkooperative Spiele gibt es (im wesentlichen) zwei Möglichkeiten dies zu

Mehr

wie in statischen Bayesianischen Spielen... doch dann ziehen die Spieler sequentiell

wie in statischen Bayesianischen Spielen... doch dann ziehen die Spieler sequentiell KAP 18. Dynamische Spiele unter unvollständiger Information Betrachten nun folgende Situation: wie in statischen Bayesianischen Spielen...... wählt zunächst Natur die Typen der Spieler doch dann ziehen

Mehr

1 Kryptosysteme 1 KRYPTOSYSTEME. Definition 1.1 Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus

1 Kryptosysteme 1 KRYPTOSYSTEME. Definition 1.1 Eine Kryptosystem (P(A), C(B), K, E, D) besteht aus 1 RYPTOSYSTEME 1 ryptosysteme Definition 1.1 Eine ryptosystem (P(A), C(B),, E, D) besteht aus einer Menge P von lartexten (plaintext) über einem lartextalphabet A, einer Menge C von Geheimtexten (ciphertext)

Mehr