Einführung in spieltheoretische Grundkonzepte anhand symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele

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1 Prof. Dr. Karl Morasch, Dipl.Vw. Florian Bartholomae und Dipl.Vw. Marcus Wiens, Universität der Bundeswehr München Einführung in spieltheoretische Grundkonzepte anhand symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele Fundierte spieltheoretische Kenntnisse gehören mittlerweile zur Grundausbildung jedes Studierenden der Wirtschaftswissenschaften. Eine Vielzahl strategischer Fragestellungen in der Volks und Betriebswirtschaftslehre lassen sich bereits mit relativ einfachen Konzepten der Spieltheorie untersuchen. Der folgende Beitrag gibt anhand der Analyse symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele eine leicht verständliche Einführung in wichtige spieltheoretische Grundkonzepte. Die Spieltheorie beschäftigt sich mit strategischen Entscheidungssituationen, d.h. Situationen bei denen das Ergebnis vom Verhalten mehrerer Entscheidungsträger abhängig ist und die Akteure sich dieser Interdependenz bewusst sind. Viele ökonomische Fragestellungen weisen eine solche Struktur auf z.b. der Oligopolwettbewerb, das Problem der Zeitinkonsistenz bei der Geldpolitik oder die Beziehung zwischen Eigentümer und Manager einer Unternehmung. Zentrale Aspekte sind dabei die Interessenkonflikte und Koordinationsprobleme zwischen den Akteuren, die sich im Grundsatz bereits in sehr einfachen Spielen abbilden lassen. Auf dieser Basis lassen sich grundlegende Spielstrukturen identifizieren und verschiedene spieltheoretische Lösungsansätze beispielhaft darstellen. Spieltheoretische Beschreibung eines strategischen Entscheidungsproblems Unter einem Spiel versteht man die formal exakte Abbildung eines strategischen Entscheidungsproblems. Ein Spiel ist bestimmt durch die Menge der Spieler, die Menge der Strategien, die aus den Strategiekombinationen resultierenden Auszahlungsvektoren und durch die Spielregeln. In den hier betrachteten Spielen gibt es stets zwei Spieler, die zwischen jeweils zwei Aktionsmöglichkeiten wählen können, weshalb wir die strategische Situation, d.h. den Zusammenhang zwischen Strategien und Auszahlungen, in einer 2x2 Matrix abbilden können. Neben der strategischen Situation ist ein Spiel wesentlich durch die zeitliche Struktur (Anzahl und Reihenfolge der Spielzüge) und die Informationsstruktur (Beobachtbarkeit der Spielzüge und Kenntnis der Strategiemöglichkeiten und Auszahlungen der anderen Spieler) gekennzeichnet. Im Weiteren wird davon ausgegangen, dass beide Spieler stets gleichzeitig entscheiden (Simultanspiel). Da sie in diesem Fall die Strategiewahl des Gegenspielers nicht beobachten können, liegt ein Spiel mit imperfekter Information vor. Bei einer rein sequentiellen Spielstruktur (wie z.b. beim Schach) ergäbe sich demgegenüber ein Spiel mit perfekter Information zwischen der zeitlichen Struktur und der Informationsstruktur besteht also ein enger Zusammenhang. Sowohl die hier untersuchten Matrixspiele als auch Schach sind Spiele mit vollständiger Information, weil im Gegensatz zu Spielen mit unvollständiger Information die Aktionsmöglichkeiten und Auszahlungen aller Spieler gemeinsames Wissen sind. Definition eines Spiels Zentrale Aspekte einer Spielsituation 1

2 Prisoner s Dilemma, dominante Strategien und Pareto Konzept Als erste grundlegende Spielstruktur soll das Prisoner s Dilemma ( Gefangenendilemma ) betrachtet werden. An diesem soll die Darstellung eines Spiels in Matrixform erläutert und das Gleichgewicht in dominanten Strategien veranschaulicht. s 21 s 22 s 11 ( 2, 2 ) ( 0, 3 ) s 12 ( 3, 0 ) ( 1, 1 ) Matrix 1. Prisoner s Dilemma In der Matrix wird abgebildet, dass Spieler 1 zwischen den beiden Strategien s 11 bzw. s 12 (Zeilen) und Spieler 2 entsprechend zwischen den Strategien s 21 und s 22 (Spalten) wählen kann. Die erste Ziffer im Index kennzeichnet also den Spieler, die zweite Ziffer dessen Strategie. Die Zellen in der Matrix enthalten die Auszahlungen für beide Spieler, die aus den möglichen Strategiekombinationen resultieren. Wenn etwa beide Spieler ihre erste Strategie wählen, dann ergibt sich aus der Strategiekombination (s 11, s 21 ) die Auszahlungskombination (2,2) oben links in der Matrix. Die erste Auszahlung wird dabei konventionsgemäß dem ersten Spieler zugeordnet. Symmetrische Spiele, wie sie hier untersucht werden, stellen sich aus Sicht beider Spieler gleich dar. Es reicht dann aus, das Spiel aus Sicht eines Spielers zu analysieren. Darstellung in Matrix s 21 s 22 s 21 s 22 s 11 (a a) (c d) s 11 (a b) (c d) s 12 (d c) (b b) s 12 (d c) (b a) Abbildung 1. Spiegel und Punktsymmetrie Bei Symmetrie bezüglich der Auszahlungsstruktur ist zwischen Spiegel und Punktsymmetrie zu unterscheiden, wie sie in Abb. 1 für allgemeine Auszahlungen a, b, c, d dargestellt wird. Der Vergleich mit Matrix 1 zeigt, dass das Gefangengendilemma offenkundig spiegelsymmetrisch ist. Die konkrete Auszahlungsstruktur spiegelt folgende Situation wider: Die Spieler sind zwei Gefangene die getrennt voneinander vom Staatsanwalt befragt werden, ob sie an einem nicht beweisbaren schweren Verbrechen beteiligt waren. Gesteht einer (s i2 ) während der andere leugnet (s j1 ), tritt eine Kronzeugenregelung in Kraft und er kommt frei (Auszahlung 3) während der andere die Höchststrafe (Auszahlung 0) erhält. Gestehen beide (s 12, s 22 ), so erhalten sie wegen des Geständnisses nicht die Höchststrafe (Auszahlung 1), während bei beiderseitigem Leugnen (s 11, s 21 ) beide nur aufgrund eines minderschweren Delikts belangt werden können (Auszahlung 2). Diese grundlegende Spielstruktur findet sich im ökonomischen Kontext beispielsweise bei Kartellabsprachen oder der privaten Bereitstellung eines öffentlichen Gutes. Prisoner s Dilemma 2

3 Wie kann nun eine plausible Vorhersage über das zu erwartende Verhalten der Spieler getroffen werden? Eine wichtige Annahme in Bezug auf die Spieler ist, dass diese sich (individuell) rational verhalten, d.h. stets diejenige Strategie wählen, die ihnen die höchste Auszahlung liefert. Eine strikt dominante Strategie ist dann dadurch gekennzeichnet, dass ein Spieler durch diese Strategie unabhängig von der Strategiewahl des Gegenspielers immer eine höhere Auszahlung realisiert. Verfügt ein rationaler Spieler über eine strikt dominante Strategie, so wird er diese wählen. Zur Bestimmung dominanter Strategien bietet es sich an, die Auszahlungen für die verschiedenen Strategiekombinationen zu vergleichen und für Spieler 1 in jeder Spalte (für Spieler 2 in jeder Zeile) die höchste Auszahlung zu unterstreichen. Liegen wie im vorliegenden Fall alle unterstrichenen Auszahlungen für Spieler 1 (2) in der gleichen Zeile (Spalte), so haben wir eine dominante Strategie ermittelt. Im Gefangenendilemma sind somit die Strategien s i2 dominant. Die Strategiekombination (s 12, s 22 ) stellt dann ein Gleichgewicht in dominanten Strategien dar. Die Spieltheorie sagt also vorher, dass die Kronzeugenregelung funktioniert und beide Spieler das Verbrechen gestehen. Aus Sicht der beiden Spieler ist dieses Ergebnis jedoch unattraktiv. Für die Bewertung eines Spielergebnisses lässt sich grundsätzlich das Konzept der Pareto Effizienz heranziehen. Eine Auszahlungskombination wird als pareto optimal bezeichnet, wenn sich kein Spieler verbessern kann, ohne den anderen dabei schlechter zu stellen. In Matrix 1 sind die drei Auszahlungskombinationen (2,2), (3,0) und (0,3) pareto optimal. Die im Gleichgewicht resultierende Kombination (1,1) wird durch (2,2) strikt pareto dominiert oder anders formuliert, (2,2) stellt gegenüber (1,1) eine strikte Pareto Verbesserung dar. Die Auszahlung (2,2) könnte jedoch nur realisiert werden, wenn entweder bindende Absprachen zwischen den Spielern oder im Rahmen wiederholter Spiele eine Bestrafung bei Abweichung von der Strategiekombination (s 11, s 21 ) möglich wären, da jeder Spieler sich durch die Abweichung auf Kosten des Mitspielers besserstellt. Aufgrund des vorliegenden Interessenkonflikts führt individuelle Rationalität zu einem kollektiv irrationalen Ergebnis. Rationalität und dominante Strategie Gleichgewicht in dominanten Strategien Pareto Optimalität Frage 1: Wieso kann eine von einer anderen strikt pareto dominierten Strategiekombination trotzdem ein Gleichgewicht in dominanten Strategien darstellen? 3

4 Assurance Game, Nash Gleichgewicht und Koordination über endogenen Fokuspunkt Als zweite Spielstruktur soll das Assurance Game ( Vertrauensspiel ) betrachtet werden, bei dem im Unterschied zum Gefangenendilemma die pareto optimale Strategiekombination als eines von zwei Nash Gleichgewichten resultiert. In diesem Kontext kann somit sowohl das Konzept des Nash Gleichgewichts als auch das Koordinationsproblem auf eines dieser Gleichgewichte thematisiert werden. Der Begriff Vertrauensspiel bezieht sich darauf, dass bei Wahl der ersten Strategie durch beide Spieler zwar für jeden die höchstmögliche Auszahlung realisiert wird ( payoff dominance ), die zweite Strategie jedoch insofern sicherer ist, als hierbei unabhängig von der Wahl des anderen Spielers zumindest eine Auszahlung von 1 realisiert werden kann ( risk dominance ). Assurance Game s 21 s 22 s 11 ( 3, 3 ) ( 0, 2 ) s 12 ( 2, 0 ) ( 1, 1 ) Matrix 2: Assurance Game Wie man sieht, führt hier das Unterstreichungsverfahren nicht auf dominante Strategien. Bei zwei Strategiekombinationen sind jedoch die Auszahlungen beider Spieler unterstrichen, was auf das für die Spieltheorie zentrale Konzept des Nash Gleichgewichts weist: Im Nash Gleichgewicht wählt jeder Spieler die optimale Strategie zu gegebener Gleichgewichtsstrategie seines Gegenspielers. Somit stellen im Gleichgewicht die Strategien beider Spieler ein Paar wechselseitig bester Antworten dar. Ein Spieler kann sich folglich bei Wahl einer anderen Strategie nicht besserstellen, solange alle anderen ihre Gleichgewichtsstrategie verfolgen. Im Gegensatz zu einer dominanten Strategie, bei der ein Spieler unabhängig vom Verhalten der Mitspieler immer die höchstmögliche Auszahlung erreicht, ist eine Nash Gleichgewichtsstrategie nur dann optimal, wenn die anderen Spieler ebenfalls die zugehörige Gleichgewichtsstrategie gewählt haben. Gibt es nur ein Nash Gleichgewicht, so stellt dieses die einzige plausible Lösung dar. Existieren jedoch wie beim Assurance Game mehrere Nash Gleichgewichte, so müssen sich die Spieler erst auf eines dieser Gleichgewichte koordinieren. Ist keine explizite Kommunikation möglich, so bietet sich hier das Konzept des Fokuspunktes zur Auswahl eines plausiblen Gleichgewichts an. Ein solcher Fokuspunkt kann sich aus der Auszahlungsstruktur des Spiels ergeben (endogen) oder aber aus Aspekten, die außerhalb der Spielstruktur im kontextuellen Umfeld liegen (exogen). Ein potentieller endogener Fokuspunkt liegt dann vor, wenn aufgrund der Auszahlungsstruktur eines der Nash Gleichgewichte besonders heraussticht z.b. durch Symmetrie oder wie im Assurance Game durch die pareto optimale Auszahlungskombination (3,3). Nash Gleichgewicht Fokuspunkt Frage 2: Warum kann im Prisoner s Dilemma die Strategiekombination (s 11,s 21 ) mit der symmetrischen, pareto optimale Auszahlung (2,2) nicht analog zur Analyse im Assurance Game als endogener Fokuspunkt realisiert werden? 4

5 Battle of Sexes, exogener Fokuspunkt und gemischte Strategien Die Auszahlungsstruktur des Battle of Sexes ( Kampf der Geschlechter ) unterscheidet sich insofern grundlegend von den bisherigen Spielen, als es keine symmetrischen Gleichgewichte, d.h. solche mit identischen Auszahlungen für beide Spieler, gibt. s 21 s 22 s 11 ( 3, 1 ) ( 0, 0 ) s 12 ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) Matrix 3. Battle of Sexes Die Auszahlungsmatrix beschreibt folgende Situation: Eine Frau und ein Mann wollen unbedingt den Abend gemeinsam verbringen. Die Frau würde jedoch lieber zum Fußball gehen (s i1 ), während der Mann einen gemeinsamen Theaterbesuch vorzieht (s i2 ). Da sie versäumt haben sich im Vorfeld abzusprechen, müssen sie sich direkt vor Ort treffen. Wie man unschwer erkennen kann hat das Spiel zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien. Ohne Kommunikation stellt jedoch keines dieser beiden Gleichgewichte eine plausible Lösung dar. Eine Möglichkeit böte die Existenz eines exogenen Fokuspunktes, wenn z.b. in einer Gesellschaft die Männer dominieren (dann wäre der gemeinsame Theaterbesuch plausibel) oder die Entscheidungen nach den Wünschen der Frauen ausgerichtet wird (dann käme es zu einer Koordination auf das Fußballspiel). Im ökonomischen Kontext wird hierdurch etwa die Einigung zweier Unternehmen auf einen gemeinsamen Standard abgebildet. Wenn ein solcher exogener Fokuspunkt nicht existiert, kann eine Vorhersage zur Strategiewahl nur getroffen werden, wenn wir den Strategieraum von den reinen Strategien auf gemischte Strategien erweitern. In diesem Fall wird nicht mehr angenommen, dass der Spieler genau eine seiner beiden reinen Strategie auswählt, sondern dass er jede mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit spielt, d.h. der Spieler randomisiert. Bei zwei reinen Strategien kann dann die gemischte Strategie durch 0,1 beschrieben werden, wobei die Wahrscheinlichkeit für die erste Strategie ist (mit Gegenwahrscheinlichkeit 1 ergibt sich dann die zweite Strategie ). Mit dieser Erweiterung wählt Spieler i seine Strategie aus einer stetigen Strategiemenge, wobei die beiden reinen Strategien als Grenzfälle mit 1 und 0 mit erfasst sind. In einem Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien werden die Spieler ihre Strategie so wählen, dass der Gegenspieler gerade indifferent zwischen seinen reinen Strategien ist. Machen dies beide Spieler, so kann sich keiner durch eine Änderung seiner Strategie besserstellen, womit die Bedingung an ein Nash Gleichgewicht erfüllt ist. Wie weiß man, ob ein solches Gleichgewicht existiert? Die Anzahl aller Nash Gleichgewichte ist immer ungerade. Wird eine gerade Anzahl an Gleichgewichten in reinen Strategien gefunden, so muss genau ein weiteres in gemischten Strategien vorhanden sein. Battle of Sexes reine vs. gemischte Strategien Gemischte Strategien 5

6 Grundsätzlich können bei stetiger Strategiemenge alle Nash Gleichgewichte und damit auch dasjenige in gemischten Strategien über die simultane Lösung der Bedingungen erster Ordnung für die Maximierung der Auszahlungsfunktionen bestimmt werden. In den vorliegenden symmetrischen Zwei Personen Matrixspielen mit zwei reinen Strategien kann man das Gleichgewicht in gemischten Strategien jedoch einfacher ermitteln indem man den kritischen Wert von bestimmt, ab dem es für Spieler 2 besser ist seine erste Strategie ( ) zu wählen. Beim Battle of Sexes führt dies auf Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ,75 Für 0,75 ist Spieler 2 indifferent und wird seinerseits randomisieren. Die beste Antwort für Spieler 2 ist somit abhängig von der Strategiewahl von Spieler 1 und kann wie folgt formuliert werden: Wähle, wenn 0,75, wähle, wenn 0,75 und randomisiere, d.h. wähle 0,1 wenn 0,75. Aufgrund der Punktsymmetrie des Spiels ergibt sich für die Gleichgewichtsstrategie von Spieler 2 1 0,25 (bei Spiegelsymmetrie hingegen wäre stets p 1 = p 2 ). Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist somit durch das Strategietupel 0,75, 0,25 beschrieben. Für die erwartete Auszahlung von Spieler 1 gilt:, Für 1 0,75 erhält man also eine erwartete Auszahlung in Höhe von 0,75. Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist somit relativ unattraktiv, da die erwartete Auszahlung eines Spielers geringer ist als in jedem der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien. Der Grund dafür liegt darin, dass die unattraktiven Strategiekombinationen mit Auszahlung (0,0) nicht vermieden werden können. Dies ließe sich verhindern, wenn beide Spieler einen gemeinsamen Zufallsmechanismus mit korrelierten Wahrscheinlichkeiten für die Strategiewahl nützen würden. Beispielsweise könnten Sie sich grundsätzlich darauf einigen, bei schönem Wetter zum Fußball und bei schlechtem Wetter ins Theater zu gehen. Dies würde nicht nur die Koordination auf eines der beiden Nash Gleichgewichte in reinen Strategien ermöglichen, sondern bei gleicher Wahrscheinlichkeit für gutes und schlechtes Wetter auch für beides Spieler zur gleichen erwarteten Auszahlung führen. Im nächsten Abschnitt wird anhand des Chicken Game das zugrunde liegende Konzept korrelierter Strategien im Detail behandelt. Frage 3: Geben Sie für das Prisoner s Dilemma und das Assurance Game jeweils alle Nash Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien an. 6

7 Chicken Game, Kommunikation und Gleichgewicht in korrelierten Strategien Die Auszahlungsstruktur beim Chicken Game ( Feiglingspiel ) unterscheidet sich vom Battle of Sexes insofern, als es neben den beiden pareto optimalen asymmetrischen Nash Gleichgewichten eine weitere pareto optimale symmetrische Auszahlungskombination gibt, die zudem eine höhere Auszahlungssumme hat. s 21 s 22 s 11 ( 3, 3 ) ( 1, 4 ) s 12 ( 4, 1 ) ( 0, 0 ) Matrix 4: Chicken Game Die Idee hinter der Auszahlungsstruktur des Chicken Game ist eine Mutprobe: Zwei Autos fahren mit hoher Geschwindigkeit aufeinander zu. Wenn nur ein Spieler ausweicht, zeigt er damit seine Angst und hat die Probe nicht bestanden. Weicht keiner rechtzeitig aus, so verlieren beide beim Zusammenprall ihr Leben. Am günstigsten ist es in der Summe, wenn beide im letzten Moment ausweichen und damit ihr Gesicht wahren können. Entsprechende Konfliktsituationen können im ökonomischen Kontext beispielsweise beim Versuch der Ausweitung des eigenen Marktanteils auftreten, was bei aggressiver Strategie beider Spieler zu Verlusten der Unternehmen führt. Das Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien ist hier ähnlich wie beim Battle of Sexes wenig attraktiv. Wenn eine Koordination auf eines der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien durch einen exogener Fokuspunkt nicht möglich ist, käme im Falle von Kommunikationsmöglichkeiten zwischen den Spielern ein Gleichgewicht in korrelierten Strategien in Frage. Chicken Game Gleichgewicht in korrelierten Strategien Eine korrelierte Strategie ist allgemein eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge aller reinen Strategiekombinationen, die bei einer 2x2 Matrix logischerweise vierelementig ist mit 1 und 0. Wie beim Battle of Sexes könnte ein Zufallsmechanismus mit gleicher Wahrscheinlichkeit eines der beiden Gleichgewichte in reinen Strategien auswählen, d.h.,, 0,5. Beim Chicken Game lässt sich mit einem etwas komplizierteren Mechanismus aber eine höhere Auszahlung realisieren: Den Spielern sind die Wahrscheinlichkeiten für die Strategiekombinationen bekannt. Nach der Realisierung der Zufallsvariable wird jedem Spieler jedoch nur die für ihn resultierende Strategie mitgeteilt. Er weiß also nicht, welche Strategie dem anderen vorgegeben wurde. Durch dieses Verfahren kann auch die pareto optimale Auszahlungskombination (3,3) mit positiver Wahrscheinlichkeit realisiert werden. Konkret könnte als Wahrscheinlichkeitsverteilung beispielsweise,, 0,4 und, 0,2 verwendet werden. Wieso hat kein Spieler einen Anreiz vom Vorschlag abzuweichen? Angenommen die Realisierung der Zufallsvariable führt auf,. Wenn Spieler 1 dies wüsste, könnte er sich durch eine Abweichung besser stellen. Da er aber nur die Information bekommt, dass er Strategie wählen soll, muss er davon ausgehen, dass Spieler 2 mit einer Wahrscheinlichkeit 7

8 von 2/3 die Strategie spielt (diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich als bedingte Wahrscheinlichkeit für bei Vorschlag für Spieler 1), was bei einer Abweichung auf zu einer erwartetem Auszahlung von 1/ /3 0 = 4/3 führt. Bei Wahl von wäre aber die erwartete Auszahlung 1/ /3 1 = 5/3 und damit besteht kein Anreiz zur Abweichung. Bei der Wahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung sollte die Wahrscheinlichkeit für, möglichst hoch festgelegt werden, um die erwarteten Auszahlungen zu maximieren. Gleichzeitig darf aber kein Anreiz zur Abweichung von der vorgeschlagenen Strategie bestehen. Eine effiziente korrelierte Strategie ist dann dadurch gekennzeichnet, dass die kritischen Anreizbedingungen mit Gleichheitszeichen erfüllt sind. Diese Anreizbedingungen entsprechend denjenigen, die bei der Gestaltung anreizkompatibler Verträge (z.b. in der Eigentümer Manager Beziehung) im Rahmen einer informationsökonomischen Analyse resultieren. Frage 4: Zeigen Sie, dass bei einer Wahrscheinlichkeiten von je 1/3 für jede der paretooptimalen Strategiekombinationen gerade keiner der beiden Spieler einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen! Fazit und Ausblick In diesem Beitrag wurde anhand einfacher symmetrischer Zwei Personen Matrixspiele die Interaktion zwischen Interessenkonflikten und Koordinationsproblemen verdeutlicht und es wurden die zentralen Konzepte Gleichgewicht in dominanten Strategien und Nash Gleichgewicht in reinen und gemischten Strategien eingeführt. Darüber hinaus wurden Fokus Punkt Überlegungen zur Auswahl einer plausiblen Lösung bei mehreren Gleichgewichten sowie das Gleichgewicht in korrelierten Strategien für Spiele ohne bindende Verträge aber mit Kommunikation vorgestellt. Die Auswahl von Gleichgewichten ist auch ein zentrales Thema im Rahmen sequentieller Spiele und von Spielen bei unvollständiger Information während korrelierte Gleichgewichte für die Analyse anreizkompatibler Verträge im Rahmen der Informationsökonomik grundlegend sind. Literaturempfehlungen Dixit, A./Skeath, S.: Games of Strategy. 2. Aufl., New York Dutta, P.K., Strategies and Games. Theory and Practice, Cambridge Holler, M.J./Illing, G.: Einführung in die Spieltheorie. 6. Aufl., Berlin Sieg, G., Spieltheorie, 2. Aufl., München

9 Frage 1: Wieso kann eine von einer anderen strikt pareto dominierten Strategiekombination trotzdem ein Gleichgewicht in dominanten Strategien darstellen? Das Konzept der Pareto Optimalität bezieht sich auf die Auszahlungen beider Spieler für verschiedene Strategiekombination. Das Konzept dominanter Strategien thematisiert demgegenüber die Auszahlung eines Spielers in Abhängigkeit seiner Strategie. Eine pareto überlegene Strategiekombination ist darum möglicherweise nicht als Gleichgewicht realisierbar, weil mindestens ein Spieler sich durch Abweichung besser stellen kann. Frage 2: Warum kann im Prisoner s Dilemma die Strategiekombination (s 11,s 21 ) mit der symmetrischen, pareto optimale Auszahlung (2,2) nicht analog zur Analyse im Assurance Game als endogener Fokuspunkt realisiert werden? Die Fokuspunktüberlegungen sind für die Auswahl eines Gleichgewichts unter mehreren geeignet. Stellt eine Strategiekombination kein Nash Gleichgewicht dar, so kann sie nie eine plausible Lösung des Spiels sein, da ja mindestens ein Spieler einen Anreiz zur Abweichung hätte. Frage 3: Geben Sie für das Prisoner s Dilemma und das Assurance Game jeweils alle Nash Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien an. Beim Prisoner s Dilemma existiert mit dem Gleichgewicht in dominanten Strategien ein eindeutiges Nash Gleichgewicht. Beim Assurance Game gibt es zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien und zusätzlich ein Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien, in dem jede der beiden reinen Strategien mit gleicher Wahrscheinlichkeit gespielt wird. Frage 4: Zeigen Sie, dass bei einer Wahrscheinlichkeiten von je 1/3 für jede der paretooptimalen Strategiekombinationen gerade keiner der beiden Spieler einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen! Wird einem Spieler die Wahl der ersten Strategie vorgegeben, so weiß er, dass der andere Spieler mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine seiner beiden Strategien wählen wird. Dies bedeutet, dass er bei Wahl der ersten Strategie eine erwartete Auszahlung von 3 ½ + 1 ½ = 2 realisiert und bei Abweichung 4 ½ + 0 ½ = 2. Er ist also gerade indifferent und somit führt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung auf effiziente korrelierte Strategien. 9

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