Abb.15: Experiment zum Rutherford-Modell

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1 6.Kapitel Atommodelle 6.1 Lernziele Sie kennen die Entwicklung der Atommodelle bis zum linearen Potentialtopf. Sie kennen die Bohrschen Postulate und können sie auch anwenden. Sie wissen, wie man bestimmte Energiezustände des Wasserstoffatoms berechnet. Sie können die Grenzen des Bohrschen Atommodells beschreiben. Sie verstehen das Atommodell der Quantenphysik und können mit der Energieformel umgehen. 6.2 Das Rutherford-Modell Durch die Entdeckung der Radioaktivität durch Henri Bequerel (1896) eröffneten sich neue Möglichkeiten die Struktur der Atome zu untersuchen. Ernest Rutherford war zu dieser Zeit der führende Physiker auf dem Gebiet der Atomstruktur. Unter seiner Leitung wurden bei einem Experiment -Teilchen auf eine dünne Goldfolie geschossen. Es zeigte, dass ein überraschend grosser Anteil der - Teilchen grosse Streuwinkel erfuhr. Dieses Ergebnis war völlig inkonsistent mit den aus Thomsons Atommodell abgeleiteten Erwartungen. Das Thomson-Modell besagt, dass Elektronen in einer gleichmässigen Verteilung positiver Ladung eigebettet Abb.15: Experiment zum Rutherford-Modell sind. Die Elektronen sind zu klein um die -Teilchen abzulenken. Daher muss die Ursache der Ablenkung die positive Ladung sein. Die grossen Streuwinkel bedeuten, dass das Oberflächenpotential gross ist. Die Folgerung daraus ist, dass die positive Ladung auf einen wesentlich kleineren Bereich als das Gesamtvolumen des Atoms beschränkt ist. Aus diesem Grund schlug Rutherford ein neues Modell vor. In seinem Modell ist die gesamte positive Ladung in einem kleinen Bereich im Zentrum des Atoms konzentriert. Die Elektronen

2 bewegen sich in einer Kreis- oder Elliptischen Bahn um den Kern. Aus der klassischen Elektrodynamik folgt, dass eine Beschleunigte Ladung strahlt. Deshalb muss ein Elektron auf seiner Umlaufbahn ständig Energie verlieren und schliesslich in den Kern stürzen. Ausserdem besagt die Elektrodynamik, dass die von einer sich periodisch bewegenden Ladung emittierte Strahlung die Frequenz dieser Bewegung hat. Dies stand in völligen Wiederspruch zu den umfangreichen damals bekannten Informationen über Atomspektren.. Abb.16: das Rutherford-Modell 6.3 Die Bohrschen Postulate Kurz nach dem neuen Modellvorschlag von Rutherford stellte der dänische Physiker Niels Bohr eine Reihe von Postulaten auf. Diese standen in striktem Widerspruch zur klassischen Theorie, konnten aber die spektrale Struktur erklären und das Stabilitätsproblem vermeiden. 1. Ein atomares System kann nur in einer diskreten Menge von stationären Zuständen existieren und diskrete Energiewerte annehmen. Bei jeder Änderung der Energie des Systems, einschliesslich Emission und Absorption von elektromagnetischer Strahlung, muss ein vollständiger Übergang zwischen zwei dieser stationären Zustände stattfinden. 2. Die während eines Übergangs zwischen zwei stationären Zuständen mir den Energien und absorbierte emittierte Strahlung charakterisiert durch eine eindeutige Frequenz:

3 3. Die stationären Zustände entsprechen einer Menge erlaubter Bahnen im Rutherford-Modell. Sie sind bestimmt durch die Forderung, dass die kinetische Energie des Elektrons mit der Frequenz der Bahnbewegung in folgender Beziehung steht : ( ) Für Kreisbahnen reduziert sich dies zu der Aussage, dass der Drehimpuls ganzzahlige Werte der Einheit von (h / 2π) annimmt: Die Konsequenz dieser Postulate ist für Atome mit einem Elektron wie Wasserstoff als Beispiel, sehr einfach abzuleiten, wenn wir nur Kreisbahnen behandeln. 6.4 Berechnung der Energiezustände des Wasserstoffatoms Mit den Bohrschen Postulaten ist es nun möglich die gemessenen, diskreten Linien im Spektrum des Wasserstoffs zu erklären. Zuerst geht es um die Berechnung der Energie eines Elektrons auf einer Bahn. Diese Rechnung ist notwendig, da sich die Energie der Photonen nach den Bohrschen Postulaten aus der Energiedifferenz von Elektronen auf unterschiedlichen Bahnen ergibt. Es wird jene Energie gesucht, die das Elektron braucht um von der einen Bahn auf die andere zu gelangen. Zuerst muss die Energie des Elektrons auf einer bestimmten Bahn berechnet werden. Abb.17: Elektronen auf unterschiedlichen Bahnen

4 Die Energie des Elektrons auf einer Bahn im System Elektron-Atomkern ist die Summe aus der kinetischen und der potentiellen Energie. Die kinetische Energie hängt von der noch unbekannten Geschwindigkeit Elektrons auf der -ten Bahn ab. des Die potentielle Energie die das Elektron im Abstand vom Kern besitzt ist: Wobei und den Wert der Elementarladung annehmen. Der Radius der Bahn ist noch unbekannt. Zur Berechnung der Energie des Elektrons auf einer Bahn muss also der Radius der Bahn und seine Geschwindigkeit auf der Bahn bestimmt werden Radius und Geschwindigkeit: Für eine Kreisbahn des Elektrons ist die Zentripetalkraft erforderlich: Diese Gleichung umgeformt ergibt:

5 Nach dem Bohrschen Atommodell umkreist das Elektron den Kern auf bestimmten Bahnen strahlungsfrei. Für die Bahn gilt das 3. Bohrsche Postulat: Durch Multiplikation mit ergibt sich links die linke Seite von, also gilt: Und Dies in eingesetzt liefert: Aufgrund Quantenbedingungen ergeben sich für das Elektron nur ganz bestimmte, feste Bahnen, deren Radien sich allein aus Naturkonstanten berechnen lassen. Der Radius der innersten Bahn mit ist. Dieser Radius wird Bohrscher Radius genannt. Damit liegt nach dieser Vorstellung der Atomdurchmesser bei etwa. Dieser Wert stimmt mit den auf anderen Wegen gefundenen Werten (z. B in der kinetischen Gastheorie) gut überein Diskrete Energiewerte: Die kinetische Energie auf der -ten ist mit Gleichung

6 In die Formel für die potentielle Energie wird aus Gleichung eingesetzt: Die Gesamtenergie des Elektrons auf der -ten Bahn ist dann: Die Energie ist negativ, weil der Betrag von nur halb so gross wie der. Trägt man entlang einer Energieachse die Gesamtenergie des Elektrons für auf, so erhält man das Energieniveauschema des Wasserstoffatoms. Abb.18: Das Energieniveauschema des Wasserstoffatoms 6.5 Die Grenzen des Bohrschen Atommodells Das Verhalten der Atomhülle mit mehr als einem Elektron kann nicht oder bestenfalls nur ansatzweise beschrieben werden. Nach Bohr bewegt sich das Elektron auf einer Kreisbahn, also in einer Ebene. Damit müsste das Atom die Form einer sehr dünnen Scheibe mit sehr geringen Volumen annehmen. Wasserstoffatome zeigen aber

7 Kugelsymmetrie. Diese Vorstellung wurde bereits in der kinetischen Gastheorie erfolgreich angewendet. Die exakten Bahnen des Bohrschen Modells stehen im Widerspruch zur Forderung der später im Jahr 1927 aufgestellten Unbestimmtheitsrelation Heisenbergs. Damit können nicht gleichzeitig der Ort und die Geschwindigkeit scharf bestimmt sein. Nach Bohr sind aber sowohl als auch exakt bekannt. 6.6 Das Atommodell der Quantenphysik Mit der von Schrödinger formulierten Schrödinger-Gleichung gelingt die vollständige und widerspruchsfreie Beschreibung der Quantensysteme. Doch wie beschreibt man den Aufenthalt eines Teilchens in einem bestimmten Bereich eines Atoms, den man der Einfachheit halber nicht räumlich, sondern eindimensional annimmt? Das Teilchen soll sich in diesem Bereich kräftefrei bewegen, aber nicht nach ausserhalb gelangen können. Das ist das Modell des linearen Potentialtopfes. Mit ihm gelingt es, die Quantelung der ausgetauschten Energiebeträge bei atomaren Systemen zu begründen und elementar, sowie auf einer höheren Stufe Systeme, wie das Wasserstoffatom, zu behandeln und ein quantenmechanisches Atommodell zu entwickeln. Bei dem Modell eines linearen Potentialtopfes geht man davon aus, dass ein Teilchen, z. B. ein Elektron, in einem langen gestreckten Körper mit einer Länge a eigeschlossen ist. Innerhalb des Topfes sollen keine Kräfte auf das Teilchen wirken. Das bedeutet für die potentielle Energie einen konstanten Wert, der auf null festgelegt ist. Das Teilchen soll nicht in die Wände eindringen können, d. h. dort wird die potentielle Energie unendlich gross Funktion im linearen Potentialtopf Elektron Länge Abb.19: Modell eines linearen Potentialtopfes Die Antreffwahrscheinlichkeit eines Teilchens im linearen Potentialtopf wird durch das Quadrat der -Funktion, eine Wellenfunktion bestimmt. Im Bereich der Wände

8 sind die Werte der Funktion null, weil dort das Teilchen nicht anzutreffen ist. Innerhalb des Topfes steigen die Werte an. Wenn das Teilchen im Bereich a des Potentialtopfes bleibt und sich nicht fortbewegt, muss die -Funktion eine stehende Welle beschreiben. Bei einer Länge a gilt für Wellenlängen stehender Wellen: Wenn gebildet wird, erhält man die Antreffwahrscheinlichkeit entlang der Strecke a eines gegebenen Zustandes. Die Antreffwahrscheinlichkeit für den Zustand mit der grössten Wellenlänge der stehenden Welle ist in der Mitte des Bereiches maximal. Das heisst die Antreffwahrscheinlichkeit ist also nicht gleichmässig über die Strecke verteilt Energiewerte eines Teilchens im Potentialtopf Die von der Wellenlänge der stehenden Welle abhängiger Energie lässt sich durch den Zusammenhang zum Impuls bestimmen. Mit der Voraussetzung dass ist. Nach de Broglie ist Aus Gleichung folgt Der Zusammenhang wird nach aufgelöst und in die Gleichung eingesetzt. Für die Energie des Teilchens ergibt sich

9 Die Energie eines auf einer Strecke eingeschlossenen Teilchens ist also gequantelt. Sie wächst proportional zum Quadrat der Quantenzahl an. Es erfolgen Idealisierungen im Modell des linearen Potentialtopfes, die zu einer einfachen mathematischen Beschreibung führen. Die Übertragung der Ergebnisse auf reale Systeme, also beispielsweise auf Atome, ist mit guter Genauigkeit zulässig, wenn die Systeme den getroffenen Voraussetzungen relativ genau entsprechen Energieaustausch Die Aufnahme oder Abgabe von Energie im linearen Potentialtopf erfolgt durch eine Änderung des Teilchenzustandes. Bei der Aufnahme von Energie wird ein Teilchen aus einem Zustand mit der Quantenzahl in einem mit der Quantenzahl angeregt. Es nimmt dabei die Energie folgende Energie auf Die Energiewerte und sind einer Messung nicht zugänglich. Allein die Werte der ausgetauschten Energie sind messbar. 6.7 Aufgaben 1. Aufgabe: Erklären sie den Rutherforschen Streuversuch. 2. Aufgabe: Berechnen sie den diskreten Energiewert für ein Elektron im Wasserstoffatom für.

10 (Die Gleichung wird hier aufgeführt, da das Verständnis und nicht das Auswendiglernen für diese Aufgabe wichtig ist.) 3. Aufgabe: Skizzieren sie das Modell des Linearen Potentialtopfes und beschriften sie das Wichtigste.

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