Grundlagen Geometrie. Ansichten der platonischen Körper. zusätzliche Zeichnungen 2
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- Ursula Auttenberg
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1 Grndlagen Geometre ätlche Zechnngen 2 Anchten der platonchen Körper Tetraeder 4 Hexaeder (Würfel) 5 Oktaeder 6 Dodekaeder 7 Ikoaeder 8 Drchdrngng Tetraeder - Tetraeder 9 Drchdrngng Oktaeder - Hexaeder 10 Drchdrngng Ikoaeder - Dodekaeder 11 Ertellt drch: AnOA edton Andrea OttgerAmmann Feldhem 1 CH-6027 Römerwl LU kontakt@anoae.org 2.Veron:
2 AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org
3 Anchten Da Fndament der dredmenonalen Geometre blden fünf verchedene Ramkörper. Jeder deer Körper defnert af ene Art enen agewogenen Ram*. Se repräenteren da Urbld de dredmenonalen Rame. In nerer Kltr kennen wr e nter der Beechnng: De platonchen Körper. Dre deer Körper defneren hren Ram über de Wrelahlen nd werden al rdche Körper beechnet. E nd de (A) der verflächge Tetraeder (Verflächner), (B) der echflächge Hexaeder (Würfel, Sechflächner) nd (C) der achtflächge Oktaeder (Achtflächner). De anderen we Ramkörper defneren ch über da goldene Schnttverhältn nd werden a deem Grnd al überrdche Körper beechnet. E nd de (D) der wölfflächge Dodekaeder (Zwölfflächner), deen Flächen fünfeckförmg nd nd (E) der wangflächge Ikoaeder (Zwangflächner), deen Flächen glechetge Dreecke ablden. A *Dee Ramkörper nd agewogen, wel jeder Körper enen dredmenonalen Ram a dentchen, glech groen Flächen bldet. Alle Ecken pro Körper nd glech getaltet. E lafen glech lange Seten n glech groen Wnkeln af de Ecken. Alle Ecken nd glech wet vom Ramkörperentrm entfernt. Wrd ene Kgel (Umkgel) m enen Ramkörper gelegt, berühren alle Ecken de Kgeloberfläche. Wrd ene Kgel (Inkgel) n den Körper hnengelegt, berührt de Inkgel jede Fläche de Körper. B Dartellng der Anchten: (Seten 4-11) obere Ancht t af ene Spte de Körper C mttlere Ancht t af ene Fläche ntere Ancht t af ene Setenkante nten recht nd wetere Anchten geechnet Lteratr: D De Mae der Um-, Zwchen-, nd Inkgeln nd dem Bch: Mandala der Helgen Geometre von Brce Rawle, Slberchnr 1999 entnommen. Platonche nd Archmedche Körper, hre Sternformen nd polaren Geblde, Adam/Wy, Hapt 1994 E De Anchten nd ene Ergänng m Bch: Vom ewg begnnenden Ende von Andrea OttgerAmmann, AnOA edton 2008 AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 3
4 Anchten Tetraeder Umkgelrad = Zwchenkgelrad = Inkgelrad = 1/ Setenlänge = 8 = Der Umkgelrad t m mgekehrten Verhältn m Inkgelrad.= 3 1/ 3 AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 4
5 Anchten Hexaeder (Würfel) Umkgelrad = (3/2) Zwchenkgelrad = Inkgelrad = 1/ Setenlänge = AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 5
6 Anchten Oktaeder Umkgelrad = Zwchenkgelrad = Inkgelrad = (2/3) Setenlänge = AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 6
7 Anchten Dodekaeder Umkgelrad = ( (18-6 5))/ Zwchenkgelrad = Inkgelrad = (1+ 5)/ (10+2 5) Setenlänge = AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 7
8 Anchten Ikoaeder Umkgelrad = (10+2 5)/(1+ 5) = (3 Φ) Zwchenkgelrad = Inkgelrad = (2 ((7+3 5)/6)/(1+ 5) = (Φ+(2/3))/Φ Setenlänge = 4/(1+ 5) = 4/Φ AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 8
9 Anchten Drchdrngng Tetraeder - Tetraeder d De beden Zwchenkgeln von den Tetraeder nd 1 = De Umkgeln nd 3 = nd m mgekehrten Verhältn den Inkgeln mt der Gröe 1/ De verte Kgel d t 1/ De Setenlängen nd 8 = AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 9
10 Anchten Drchdrngng Oktaeder - Hexaeder De beden Zwchenkgeln vom Oktaeder nd Hexaeder nd glech gro = De Umkgel vom Oktaeder = 2 = t m mgekehrten Verhältn der Inkgel vom Hexaeder mt der Gröe = 1/ 2 = De Umkgel vom Hexaeder = t m mgekehrten Verhältn der Inkgel de Oktaeder mt der Gröe = De Setenlänge vom Oktaeder t m da Verhältn 2 = länger al de Setenlänge vom Hexaeder AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 10
11 Anchten Drchdrngng Ikoaeder - Dodekaeder De beden Zwchenkgeln vom Ikoaeder nd Dodekaeder nd glech gro = De Umkgel vom Ikoaeder = t m mgekehrten Verhältn der Inkgel vom Dodekaeder mt der Gröe = De Umkgel vom Dodekaeder = t m mgekehrten Verhältn der Inkgel de Ikoaeder mt der Gröe = De Setenlänge vom Ikoaeder t m da Goldene Schnttverhältn ( ) länger al de Setenlänge vom Dodekaeder AnOA 2010 Grndlagen Geometre AnOAe.org 11
Grundlagen Geometrie. Einsichten in die platonischen Körper. zusätzliche Zeichnungen 3
Grundlagen Geometrie zusätzliche Zeichnungen 3 in die platonischen Körper Raumanordnung 3 Einsicht in den Tetraeder 4 Zweifache Einsicht in den Tetraeder 5 Einsicht in den Hexaeder 6 Zweifache Einsicht
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Fourier-Analyse der Dreiecke
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d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb
S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von
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Symmetrie im Raum An Hand der platonischen Körper Simon Steurer 25.6.2013 Historisches Platonische Körper Vorüberlegungen Oktaeder Hexaeder Tetraeder Dodekaeder & Ikosaeder Historisches benannt nach Platon
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