Vom Satz des Pythagoras zu aktueller Algebraischer Geometrie
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- Kajetan Baumgartner
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1 Vom Satz des Pythagoras zu aktueller Algebraischer Geometrie Universität des Saarlandes, Saarbrücken, Web: Saarbrücken, Otto Hahn Gymnasium, 16. März, 2009
2 Einführung
3 Einführung Satz des Pythagoras der Kreis als algebraische Kurve einige algebraische Flächen endliche Körper in der algebraischen Geometrie Anwendungen auf Entschlüsselung geheimer Nachrichten und Zahlentheorie
4 Einführung Satz des Pythagoras der Kreis als algebraische Kurve einige algebraische Flächen endliche Körper in der algebraischen Geometrie Anwendungen auf Entschlüsselung geheimer Nachrichten und Zahlentheorie
5 Einführung Satz des Pythagoras der Kreis als algebraische Kurve einige algebraische Flächen endliche Körper in der algebraischen Geometrie Anwendungen auf Entschlüsselung geheimer Nachrichten und Zahlentheorie
6 Einführung Satz des Pythagoras der Kreis als algebraische Kurve einige algebraische Flächen endliche Körper in der algebraischen Geometrie Anwendungen auf Entschlüsselung geheimer Nachrichten und Zahlentheorie
7 Einführung Satz des Pythagoras der Kreis als algebraische Kurve einige algebraische Flächen endliche Körper in der algebraischen Geometrie Anwendungen auf Entschlüsselung geheimer Nachrichten und Zahlentheorie
8 Satz und Beweis Kreis und Kugel Einführung Satz und Beweis Kreis und Kugel
9 Satz und Beweis Kreis und Kugel Satz (des Pythagoras) Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c mit einem rechtem Winkel gegenüber der Seite c gegeben, so gilt: a 2 + b 2 = c 2.
10 Satz und Beweis Kreis und Kugel Satz (des Pythagoras) Ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c mit einem rechtem Winkel gegenüber der Seite c gegeben, so gilt: a 2 + b 2 = c 2. Beweis: (a + b) 2 c 2 = ab a 2 + 2ab + b 2 c 2 = 2ab a 2 + b 2 = c 2.
11 Satz und Beweis Kreis und Kugel (zum Satz des Pythagoras) Das Schöne daran: Man kann die Aussage beweisen!
12 Satz und Beweis Kreis und Kugel (zum Satz des Pythagoras) Das Schöne daran: Man kann die Aussage beweisen! Der Beweis ist kurz und leicht verständlich.
13 Satz und Beweis Kreis und Kugel (zum Satz des Pythagoras) Das Schöne daran: Man kann die Aussage beweisen! Der Beweis ist kurz und leicht verständlich. Die Griechen kannten diesen Beweis schon vor mehr als 2000 Jahren.
14 Satz und Beweis Kreis und Kugel (zum Satz des Pythagoras) Das Schöne daran: Man kann die Aussage beweisen! Der Beweis ist kurz und leicht verständlich. Die Griechen kannten diesen Beweis schon vor mehr als 2000 Jahren. Die Aussage ist immer noch richtig.
15 Satz und Beweis Kreis und Kugel (zum Satz des Pythagoras) Das Schöne daran: Man kann die Aussage beweisen! Der Beweis ist kurz und leicht verständlich. Die Griechen kannten diesen Beweis schon vor mehr als 2000 Jahren. Die Aussage ist immer noch richtig. Und wird auch immer richtig bleiben!
16 Satz und Beweis Kreis und Kugel Kreis und Kugel liefert auch einen Bezug zwischen Geometrie und Algebra: Die Punkte (x, y) auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius r erfüllen: x 2 + y 2 = r 2 (eine algebraische Kurve). Ähnlich erfüllen die Punkte einer Kugel: x 2 + y 2 + z 2 = r 2.
17 Satz und Beweis Kreis und Kugel Kreis und Kugel liefert auch einen Bezug zwischen Geometrie und Algebra: Die Punkte (x, y) auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius r erfüllen: x 2 + y 2 = r 2 (eine algebraische Kurve). Ähnlich erfüllen die Punkte einer Kugel: x 2 + y 2 + z 2 = r 2.
18 Satz und Beweis Kreis und Kugel Kreis und Kugel liefert auch einen Bezug zwischen Geometrie und Algebra: Die Punkte (x, y) auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius r erfüllen: x 2 + y 2 = r 2 (eine algebraische Kurve). Ähnlich erfüllen die Punkte einer Kugel: x 2 + y 2 + z 2 = r 2.
19 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Einführung Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten
20 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele:
21 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele:
22 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Grad 2
23 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Grad 2 x 2 + y z = 0 Grad 2
24 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Grad 2 x 2 + y z = 0 Grad 2 x 3 + y 2 = z 2 Grad 3
25 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Definition Definition Eine reelle algebraische Fläche vom Grad d ist eine Menge von Punkten (x, y, z) R 3 im Raum, die eine polynomielle Gleichung vom Grad d erfüllen. Einige Beispiele: x 2 + y 2 + z 2 = 1 Grad 2 x 2 + y z = 0 Grad 2 x 3 + y 2 = z 2 Grad 3 x 3 +y 2 z +x z 2 = x z Grad 3
26 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
27 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
28 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
29 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
30 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
31 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Konstruktion komplizierterer Flächen Es gibt viele Methoden, kompliziertere Flächen zu konstruieren, deren Geometrie wir verstehen können. Erste basieren auf folgenden Eigenschaften: x 2 x staucht ein Objekt in x Richtung um den Faktor 2. y 1 3 y streckt ein Objekt in y Richtung um den Faktor 3. (mit SURFER zeigen) Gilt a b = 0 für zwei reelle Zahlen a, b R, so folgt: a = 0 oder b = 0. (mit SURFER zeigen)
32 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2
33 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2
34 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 z + xz 2 = xz
35 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 z + xz 2 = xz x 2 yz + x 2 z 2 = y 3 z + y 3
36 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 z + xz 2 = xz x 2 yz + x 2 z 2 = (x 2 + y 2 ) 3 = y 3 z + y 3 4x 2 y 2 (z 2 + 1)
37 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 z + xz 2 = xz x 2 yz + x 2 z 2 = (x 2 + y 2 ) 3 = y 3 z + y 3 4x 2 y 2 (z 2 + 1) Halten wir die höchste Potenz d der Gleichung fest, stellt sich die Frage: Was ist die größtmögliche Anzahl von Spitzen?
38 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Flächen mit Singularitäten Höhere Potenzen wesentlich kompliziertere Gebilde. Insbesondere können dabei auch Spitzen (genannt Singularitäten) auftreten. Einige Beispiele: x 2 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 = z 2 x 3 + y 2 z + xz 2 = xz x 2 yz + x 2 z 2 = (x 2 + y 2 ) 3 = y 3 z + y 3 4x 2 y 2 (z 2 + 1) Halten wir die höchste Potenz d der Gleichung fest, stellt sich die Frage: Was ist die größtmögliche Anzahl von Spitzen? Antwort: d = 1, 2, 3, 4, 5, 6: bekannt. d 7: bisher unbekannt.
39 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
40 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
41 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
42 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
43 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
44 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
45 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
46 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
47 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Grad d d µ R A 1 (d) d 3 µ R A 1 (d) d 3 µ 3 (3) = 4: G. Salmon? A. Cayley? (ca. 1850), SURFER-Bilder µ 3 (4) = 16: E.E. Kummer (1864), µ 3 (5) 31: E. G. Togliatti (1940), µ 3 (5) 31: A. Beauville (1979), µ 3 (6) 65: W. Barth (1996), µ 3 (6) 65: Jaffe / Ruberman (1997), µ A1 (7) 99: O. L. (2004) math.ag/ : mit endlichen Körpern, µ A1 (7) 104: A. Varchenko (1982): Formel für alle d.
48 Konstruktion komplizierterer Flächen Flächen mit Singularitäten Viele A 1 -Singularitäten Viele Spitzen Schönheit durch Symmetrie d = Spitzen. Gefunden von W. Barth (1996). Symmetrie des Ikosaeders. Gleichung involviert den Goldenen Schnitt. d = Spitzen. Gefunden von O. Labs (2004). Symmetrie des regelmäßigen 7-Ecks. Vielleicht sind 104 möglich unbekannt!!!
49 Rechnen auf elliptischen Kurven Einführung Rechnen auf elliptischen Kurven
50 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
51 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
52 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
53 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
54 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
55 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
56 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
57 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen mit 12 ganzen Stunden: 0, 1, 2, 3,..., 11 (12 Uhr 0 Uhr). Addition: = 11 Addition: = 13 1 Subtraktion: 5 8 = 3 9 Multiplikation: 5 3 = 15 3 Multiplikation: 5 7 = Multiplikation: 5 11 = 55 5 ( 1) = 5 7 Uhr Allgemein: normal rechnen, dann Rest bei Division durch 12 nehmen (oder auch schon vorher Rest nehmen). Division: 5 : 3?
58 Rechnen auf elliptischen Kurven Division Division: 5 : 3? 5 3 ist die Zahl aus {0, 1, 2,..., 11}, für die gilt. z z z z z z Also: Für jedes z ist z 3 ist teilbar durch 3 und hat also keine Lösung.
59 Rechnen auf elliptischen Kurven Division Division: 5 : 3? 5 3 ist die Zahl aus {0, 1, 2,..., 11}, für die gilt. z z z z z z Also: Für jedes z ist z 3 ist teilbar durch 3 und hat also keine Lösung.
60 Rechnen auf elliptischen Kurven Division Division: 5 : 3? 5 3 ist die Zahl aus {0, 1, 2,..., 11}, für die gilt. z z z z z z Also: Für jedes z ist z 3 ist teilbar durch 3 und hat also keine Lösung.
61 Rechnen auf elliptischen Kurven Division Division: 5 : 3? 5 3 ist die Zahl aus {0, 1, 2,..., 11}, für die gilt. z z z z z z Also: Für jedes z ist z 3 ist teilbar durch 3 und hat also keine Lösung.
62 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
63 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
64 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
65 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
66 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
67 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
68 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
69 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
70 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
71 Rechnen auf elliptischen Kurven Satz In F p = {0, 1, 2,..., p 1} ist Division immer möglich für Zahlen 0. Man sagt: F p ist ein Körper. Beispiel Wir betrachten den Körper F 7 : z : z 0 1 4, da 4 2 = Dann ist z.b.: = = 75 = =
72 Rechnen auf elliptischen Kurven Die Geradengleichung y = x + 3 über F 5 : über R Die Ebene R 2 : viele Punkte. Die Gerade: viele Punkte. über F 5 Die Ebene: 25 Punkte. Die Gerade: 5 Punkte.
73 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über R) y 2 = x 3 + ax + b. (mit 4a 3 27b 2 0). 0 ist kein echter Punkt, sondern ein oben gedachter. P = (x, y) P = (x, y). Ist Q 0, so schneidet PQ die Kurve in einem weiteren Punkt R = (s, t). Wir setzen: P + Q = R. Z.B.: ist: P + 0 = P, P + ( P) = 0.
74 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über R) y 2 = x 3 + ax + b. (mit 4a 3 27b 2 0). 0 ist kein echter Punkt, sondern ein oben gedachter. P = (x, y) P = (x, y). Ist Q 0, so schneidet PQ die Kurve in einem weiteren Punkt R = (s, t). Wir setzen: P + Q = R. Z.B.: ist: P + 0 = P, P + ( P) = 0.
75 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über R) y 2 = x 3 + ax + b. (mit 4a 3 27b 2 0). 0 ist kein echter Punkt, sondern ein oben gedachter. P = (x, y) P = (x, y). Ist Q 0, so schneidet PQ die Kurve in einem weiteren Punkt R = (s, t). Wir setzen: P + Q = R. Z.B.: ist: P + 0 = P, P + ( P) = 0.
76 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über R) y 2 = x 3 + ax + b. (mit 4a 3 27b 2 0). 0 ist kein echter Punkt, sondern ein oben gedachter. P = (x, y) P = (x, y). Ist Q 0, so schneidet PQ die Kurve in einem weiteren Punkt R = (s, t). Wir setzen: P + Q = R. Z.B.: ist: P + 0 = P, P + ( P) = 0.
77 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über R) y 2 = x 3 + ax + b. (mit 4a 3 27b 2 0). 0 ist kein echter Punkt, sondern ein oben gedachter. P = (x, y) P = (x, y). Ist Q 0, so schneidet PQ die Kurve in einem weiteren Punkt R = (s, t). Wir setzen: P + Q = R. Z.B.: ist: P + 0 = P, P + ( P) = 0.
78 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
79 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
80 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
81 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
82 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
83 Rechnen auf elliptischen Kurven Rechnen auf elliptischen Kurven (über F p ) Addition in Formeln Sind P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ), so setzen wir: m = y 1 y 2 x 1 x 2, falls x 1 x 2. Damit ist: P 1 + P 2 = ( m 2 x 1 x 2, m(x 3 x 1 ) y 1 ). Anwendung: Faktoren finden n N große natürliche Zahl. Gibt es p, q 1 mit n = p q? Falls man über F n durch x 1 x 2 nicht teilen kann, so hat man einen Faktor 1 von n gefunden! Bsp: n = 12 und n =RSA-200 (eine Fastprimzahl) im Jahr 2005 zerlegt, 2 Jahre auf mehreren Rechnern. Anwendung: Entschlüsselung geheimer Nachrichten.
84 Rechnen auf elliptischen Kurven Konstruktion interessanter Flächen kann man auch verwenden, um interessante Flächen zu finden: Eine Fläche vom Grad 7 mit 99 Singularitäten (O.L., 2004) Ein exzeptioneller Mechanismus (Geiß/Schreyer, 2008).... noch vieles weitere möglich...
85 Rechnen auf elliptischen Kurven Konstruktion interessanter Flächen kann man auch verwenden, um interessante Flächen zu finden: Eine Fläche vom Grad 7 mit 99 Singularitäten (O.L., 2004) Ein exzeptioneller Mechanismus (Geiß/Schreyer, 2008).... noch vieles weitere möglich...
86 Rechnen auf elliptischen Kurven Konstruktion interessanter Flächen kann man auch verwenden, um interessante Flächen zu finden: Eine Fläche vom Grad 7 mit 99 Singularitäten (O.L., 2004) Ein exzeptioneller Mechanismus (Geiß/Schreyer, 2008).... noch vieles weitere möglich...
87 Rechnen auf elliptischen Kurven Konstruktion interessanter Flächen kann man auch verwenden, um interessante Flächen zu finden: Eine Fläche vom Grad 7 mit 99 Singularitäten (O.L., 2004) Ein exzeptioneller Mechanismus (Geiß/Schreyer, 2008).... noch vieles weitere möglich...
88 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
89 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
90 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
91 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
92 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
93 Rechnen auf elliptischen Kurven Zusammenfassung Wir haben erfahren: Schön kann nicht nur ein Bild, sondern auch ein Beweis oder eine Formel sein. Geometrie ist wesentlich mehr als nur Gerade, Kreis, Kugel und Ebene. Es existieren viele Zusammenhänge zwischen zunächst sehr unterschiedlich erscheinenden Gebieten, insbesondere zur Verschlüsselung und Zahlentheorie. Es gibt noch viele, viele offene Fragen in der Geometrie bzw. in der Mathematik. Es macht viel Spaß, sich damit zu beschäftigen und noch mehr, einige davon selbst zu beantworten.
94 Rechnen auf elliptischen Kurven Vielen Dank... für Ihre Aufmerksamkeit! Oliver Labs Vortrag zum Nachlesen auf: Weitere Bilder, Hintergrund Informationen und unsere Visualisierungs Software surfer auf: Weitere Bilder / Filme / Software zu algebraischen Flächen auf:
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