Höhere Mathematik III

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1 Blatt 4 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math.. Sanei ashani Vortragsübungen (Musterlösungen) Aufgabe 1. Oberflächenintegral (a) Es sei S die Halbkugelfläche S = {(, y, z) R y 2 + z 2 = 1, z > }. Weiter sei f : R 3 R mit f(, y, z) = 2 y 2 z. Berechnen Sie f do. (b) Es sei die ugel Lösung: S = {(, y, z) R y 2 + z 2 a 2 }. Weiter sei W : R 3 R 3 mit W (, y, z) = (, y, z). Berechnen Sie W do, wobei so orientiert sei, dass der äußere Normalenvektor vom Ursprung wegweist. (a) Zur Berechnung des Oberflächenintegrals beginnen wir zunächst mit der Parametrisierung von S. Da S eine Halbkugelschale ist, bietet sich eine Parametrisierung auf Basis von ugelkoordinaten an, zum Beispiel: cos(ϕ) cos(θ) ψ : [, 2π) (, π/2] R 3, ψ(ϕ, θ) = sin(ϕ) cos(θ). sin(θ) Man beachte dabei, dass die z -omponente jedes Punktes auf S positiv sein muss, also sin(θ)! >. Damit ist klar, dass man θ aus dem Intervall (, π/2] wählt. Anmerkungen: Üblicherweise sollte man so vorgehen, dass man sich zunächst die Funktionsvorschrift der Parametrisierung überlegt. Danach kümmert man sich um den Definitionsbereich. Da wir an der Berechnung von Integralen interessiert sind, spielt es keine Rolle, ob die Intervalle beim Definitionsbereich offen, abgeschlossen oder halboffen sind. Das entspricht dem Hinzunehmen bzw. Entfernen von Nullmengen aus dem Integrationsbereich und hat daher keinen Einfluss auf den Wert des Integrals. Man hat dann allerdings keine reguläre Parametrisierung mehr. 1

2 Wir berechnen nun ψ ϕ ψ θ. Es ist sin(ϕ) cos(θ) cos(ϕ) sin(θ) ψ ϕ = cos(ϕ) cos(θ), ψ θ = sin(ϕ) sin(θ) cos(θ) und somit cos(ϕ) cos 2 (θ) cos(ϕ) cos(θ) ψ ϕ ψ θ = + sin(ϕ) cos 2 (θ) = cos(θ) sin(ϕ) cos(θ). sin 2 (ϕ) sin(θ) cos(θ) + cos 2 (ϕ) sin(θ) cos(θ) } sin(θ) {{ } =ψ(ϕ,θ) Damit ist ψ ϕ ψ θ = cos(θ) ψ(ϕ, θ) = cos(θ), da zum einen cos(θ) für θ [, π/2] und zum andern ψ(ϕ, θ) = 1, da ψ auf die Einheitssphäre abbildet. ommen wir nun zur Berechnung des Integrals: 2π π/2 f do = f(ψ(ϕ, θ)) ψ ϕ ψ θ dθ dϕ S = 2π π/2 2π Zur Berechnung von I 1 : Es ist Also haben wir I 1 = cos 2 (ϕ) cos 2 (θ) sin 2 (ϕ) cos 2 (θ) sin(θ) = 2 =y 2 =z = cos 2 (ϕ) sin 2 (ϕ) dϕ cos 5 (θ) sin(θ) dθ 2π Zur Berechnung von I 2 : =:I 1 π/2 =:I 2 cos(θ) = ψ ϕ ψ θ dθ dϕ cos(ϕ) = eiϕ + e iϕ, sin(ϕ) = eiϕ e iϕ 2 2i cos(ϕ) sin(ϕ) = e2iϕ e 2iϕ 4i cos 2 (ϕ) sin 2 (ϕ) = e4iϕ 2 + e 4iϕ = cos(4ϕ) ( 1 8 cos(4ϕ) + 1 ) dϕ = [ 132 ] 2π [ ] 2π 1 8 sin(4ϕ) + 8 ϕ = π 4. I 2 = = π/2 = cos 5 (θ) sin(θ) dθ [ 1 6 cos6 (θ) 2 ] π/2 = 1 6.

3 Insgesamt ergibt sich S f do = I 1 I 2 = 1 24 π. (b) Wir haben mehrere Möglichkeiten zur Berechnung von W O = W n do, wobei W n der ins Äußere von weisende Normalenvektor sei. Parametrisierung der Sphäre, z.b. durch a cos(ϕ) cos(θ) ψ : [ π, π) [ π/2, π/2] R 3, ψ(ϕ, θ) = a sin(ϕ) cos(θ). a sin(θ) Es stellt sich heraus, dass ψ ϕ ψ θ ins Äußere von, d.h. in dieselbe Richtung wie n weist. Also ist π π/2 W do = W (ψ(ϕ, θ)) (ψ ϕ ψ θ ) dθ dϕ =... π π/2 Anmerkung: Es ist oftmals günstig, beim Verwenden von ugelkoordinaten die Parametrisierung so zu wählen, dass der Definitionsbereich das reuzprodukt symmetrischer Intervalle ist. Denn häufig sind die entstehenden Integranden Polynome in Sinus und osinus. Ist einer der Summanden eine ungerade Funktion, z.b. cos 1 (ϕ) sin 37 (ϕ), so ist klar, dass dieser bei der Integration über ein symmetrisches Intervall wegfällt, d.h. π π cos 1 (ϕ) sin 37 (ϕ) dϕ =. Eine aufwändige Berechnung einer Stammfunktion kann man sich dann sparen. Siehe dazu auch: Aufgabe 36, Übungsblatt 8, HM2. geometrische Überlegungen: Der auf der ugeloberfläche im Punkt (, y, z) senkrecht stehende und vom Ursprung wegweisende Normalenvektor ist gegeben durch 1 n = y. 2 + y 2 + z 2 z Damit ist (W n) = y 1 y z 2 + y 2 + z 2 z = 2 + y 2 + z y 2 + z 2 { 2 +y 2 +z 2 =a 2 } = a. Und somit haben wir W do = a do =ugeloberfl.=4πa 2 = 4πa 3. 3

4 Satz von Gauß: Der Normalenvektor weist ins Äußere von, das Vektorfeld W ist auf ganz stetig differenzierbar, also lässt sich der Integralsatz von Gauß anwenden: W do = div }{{ W} dv = 3 dv = 4πa 3. =3 =ugelvolumen= 4 3 πa3 Anmerkung: Es lohnt sich also, die (Ober-)Flächeninhalts- und Volumenformeln einfacher geometrischer Figuren/örper parat zu haben. 4

5 Aufgabe 11. Voraussetzungen beim Satz von Gauß Gegeben sei das Vektorfeld W : R 3 {} R 3 mit W ( ) = 3. Lösung: (a) Berechnen Sie div W. (b) Berechnen Sie W do, wobei die Einheitssphäre mit nach außen weisendem Normalenvektor sei. (a) Wir berechnen zunächst: ( ) = 2 + y 2 + z y 2 + z y 2 + z y 2 + z 26 = (2 + y 2 + z 2 ) y 2 + z 25. Die partiellen Ableitungen y W 2 und z W 3 gehen analog und wir erhalten div W = 3(2 + y 2 + z 2 ) 3 2 3y 2 3z y 2 + z 25 =. (b) Wir berechnen das Integral W d O mit Hilfe geometrischer Überlegungen: (W n) = 2 + y 2 + z y 2 + z 24 { 2 +y 2 +z 2 =1} = 1. Also ist W do = (W n) do = do = 4π. Der Integralsatz von Gauß ist hier offensichtlich nicht anwendbar, denn das uneigentliche Integral div W dv verschwindet, da div W fast überall auf gleich Null ist. Es kann also W do div W dv gelten, wenn die Voraussetzung, dass W C 1 (), verletzt ist. 5

6 Aufgabe 12. Eine ehemalige lausuraufgabe Gegeben seien das Vektorfeld f : R 3 R 3 mit f(, y, z) = (,, 1) und der örper mit = {(, y, z) R y 2 + z 2 4 und z }. (a) Bestimmen Sie div f und rot f. (b) Bestimmen Sie den Durchfluss f d O durch den Boden B B = {(, y, z) R y 2 4 und z = }. (c) Bestimmen Sie den Durchfluss D f d O durch den Deckel D = {(, y, z) R y 2 = 4 und z }. (d) Sei g : R 3 R 3 mit g(, y, z) = (e, + y 9, cos(z)). Bestimmen Sie rot g und das Wegintegral zweiter Art C g d, wobei C = {(, y, z) R3 2 + y 2 + z 2 = 4 und z = }. Lösung: Diese Aufgabe stammt (mit angepasster Notation) aus der HM3-Prüfung bei Prof. Schneider aus dem Frühjahr 213 (Aufgabe 2). Eine Musterlösung dieser Aufgabe mit verschiedenen Lösungswegen befindet sich im lausurenarchiv von Mathematik-Online: 6