1. Bewegungsgleichung

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1 1. Bewegungsgleichung 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 1.2 Dynamisches Gleichgewicht 1.3 Geführte Bewegung 1.4 Massenpunktsysteme 1.5 Schwerpunktsatz Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-1

2 Die Erfahrung zeigt: 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Wenn die Kräfte, die an einem Massenpunkt angreifen, nicht im Gleichgewicht sind, ändert sich seine Geschwindigkeit. Beschleunigung und Kraft haben die gleiche Richtung. Der Betrag der Beschleunigung ist proportional zum Betrag der Kraft. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-2

3 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz 2. Newtonsches Gesetz: Zwischen der am Massenpunkt angreifenden Kraft F und seiner Beschleunigung a besteht der Zusammenhang F=m a Die Proportionalitätskonstante m wird als träge Masse bezeichnet. Ein Massenpunkt ist ein geometrischer Punkt, dem eine träge Masse zugeordnet ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-3

4 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Bewegungsgleichungen: Wenn am Körper mehrere Kräfte angreifen, so ist die Resultierende zu bilden: F=m a In einem kartesischen Koordinatensystem gilt: F x =m a x, F y =m a y, F z =m a z Diese Gleichungen werden als Bewegungsgleichungen bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-4

5 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Aus den Bewegungsgleichungen lässt sich die Bewegung des Massenpunkts bestimmen, wenn die Kräfte und die Anfangsbedingungen gegeben sind. Wenn die Bewegung gegeben ist, so lassen sich aus den Bewegungsgleichungen die benötigten Kräfte ermitteln. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-5

6 Inertialsystem: 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Das Newtonsche Grundgesetz gilt nicht in beliebigen Bezugssystemen. Ein Bezugssystem, in dem das Grundgesetz gilt, wird als Inertialsystem bezeichnet. Bei technischen Anwendungen kann die Erde in der Regel als Inertialsystem angesehen werden. Jedes Bezugssystem, das sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt, ist ebenfalls ein Inertialsystem. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-6

7 Lösungsweg: 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Freischneiden des betrachteten Systems Einführen eines geeigneten Koordinatensystems Aufstellen der Bewegungsgleichungen: Kraft-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten sind positiv, wenn die zugehörigen Vektoren in Richtung positiver Koordinatenachsen zeigen. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-7

8 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Beispiel: Ein Mann möchte eine Kommode verschieben. Gegeben: Gewicht G der Kommode Haftungskoeffizient μ 0 = 0,25 und Reibungskoeffizient μ = 0,1 Winkel θ = 30 Gesucht: Beschleunigung, die auftritt, wenn die Haftung gerade überschritten wird θ Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-8

9 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Nötige Kraft: Damit sich die Kommode in Bewegung setzt, muss die Haftung überwunden werden. Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 : F cos H 0 =0 F y =0 : F sin G N=0 Grenzfall für Haften: H 0 = 0 N Aus den Gleichgewichtsbedingungen folgt: H 0 =F cos, N =F sin G y θ x F G N H 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.1-9

10 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Einsetzen in die Haftbedingung ergibt: Daraus folgt für die Kraft: Gleiten: F cos = 0 F sin G 0 G F cos 0 sin = 0 G F= cos 0 sin Wird die Kraft F auch nur geringfügig überschritten, tritt Gleiten auf. Statt der Haftungskraft wirkt die kleinere Gleitreibungskraft. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

11 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Bewegungsgleichungen: F x =m a x : F cos R=m a x F y =m a y : F sin G N =0 Gleitreibungsgesetz: R= N F θ y x Aus der Bewegungsgleichung in y-richtung folgt: N =F sin G Einsetzen in das Gleitreibungsgesetz ergibt: R= N = F sin G G N R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

12 1.1 Das Newtonsche Grundgesetz Einsetzen in die Bewegungsgleichung in x-richtung führt auf: F cos F sin G a x = = F cos sin G m m = cos sin 0 cos 0 sin G m = cos sin 0 cos 0 sin g Die Beschleunigung hängt nicht vom Gewicht der Kommode ab. Zahlenwert: Mit μ 0 = 0,25, μ = 0,1 und θ = 30 ergibt sich: =[ cos 30 0,1sin 30 a x 0,25 cos 30 0,25sin 30 0,1 ] g=0,1753 g=1,720 m/ s2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

13 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Die d'alembertsche Trägheitskraft: Das Newtonsche Grundgesetz kann auch in der Form geschrieben werden. Die Kraft F m a=0 F T = m a wird als d'alembertsche Trägheitskraft bezeichnet. Die d'alembertsche Trägheitskraft ist eine Scheinkraft, die entgegensetzt zur Beschleunigung gerichtet ist. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

14 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Dynamisches Gleichgewicht: Durch das Einführen der Trägheitskraft lässt sich das Newtonsche Grundgesetz formal auf eine Gleichgewichtsbedingung zurückführen: F F T =0 Dieses Gleichgewicht wird als dynamisches Gleichgewicht bezeichnet. Später wird gezeigt: Bei einem starren Körper greift die d'alembertsche Trägheitskraft im Schwerpunkt an. Wenn sich der Körper dreht, können zusätzliche Momente auftreten. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

15 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Vorgehen: Der zu untersuchende Körper wird freigeschnitten. Neben den äußeren Kräften werden zusätzlich die d'alembertschen Trägheitskräfte eingetragen. Die Bewegungsgleichungen folgen dann wie in der Statik aus der Bedingung, dass die Summe der Kräfte und Momente null sein muss. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

16 1.2 Dynamisches Gleichgewicht Beispiel: Kommode Freischneiden der Kommode: θ F y ma x G R Dynamisches Gleichgewicht: D F x =0 : F cos R m a x =0 D F y =0 : F sin G N =0 x N Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

17 1.3 Geführte Bewegung Bei einer geführten Bewegung wird der Massenpunkt gezwungen, sich auf einer vorgegebenen Fläche oder Kurve zu bewegen. Dadurch wird die Zahl der Freiheitsgrade des Massenpunktes eingeschränkt. Die Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Zahl der Koordinaten, die notwendig sind, um die Lage des Massenpunktes eindeutig zu beschreiben. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

18 1.3 Geführte Bewegung Fläche: 2 Freiheitsgrade Kurve: 1 Freiheitsgrad η s ξ P P Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

19 1.3 Geführte Bewegung Neben den eingeprägten Kräften treten Zwangskräfte auf, die die geforderte Bindung an die Fläche oder Kurve bewirken. Die Zwangskräfte stehen senkrecht auf der Fläche oder Kurve. Die Zwangskräfte werden auch als Führungskräfte bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

20 1.3 Geführte Bewegung Beispiel: Achterbahn Gegeben: Masse des Wagens m s Radius R Anfangsgeschwindigkeit v(s=0) = v 0 φ R Gesucht: A ψ B Bahngeschwindigkeit v(s) Zwangskraft N(s) R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

21 1.3 Geführte Bewegung Es wird nur die Bewegung auf dem Viertelkreis um A untersucht. Die Untersuchung der Bewegung auf dem Viertelkreis um B erfolgt genauso und bleibt zur Übung überlassen. Dynamisches Gleichgewicht am freigeschnittenen Wagen: ma t ma n r D F s =0 : m a t m gsin =0 φ N φ mg s D F r =0 : N m a n m g cos =0 A Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

22 1.3 Geführte Bewegung Bahngeschwindigkeit: Mit =s/ R folgt aus dem dynamischen Gleichgewicht in tangentialer Richtung: a t s =gsin s R Die Bahnbeschleunigung ist ortsabhängig. Für die Bahngeschwindigkeit gilt: v s = v 0 s Das Integral berechnet sich zu gsin s R d s s sin s 0 R s=[ d R cos s s=s R =R 1 cos s ] s=0 R Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

23 1.3 Geführte Bewegung Ergebnis: g v s = v R 1 cos s R Zwangskraft: Mit a n s =v 2 s / R folgt aus dem dynamischen Gleichgewicht in radialer Richtung: N s =m[ g cos s R v 2 0 g[ =m 3cos s R v 2 0 R 2 g 1 cos s R ] g R 2 ] Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

24 Zahlenwerte: v 0 = 10m/s R = 20m 1.3 Geführte Bewegung Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

25 1.4 Massenpunktsysteme Ein Massenpunktsystem besteht aus einer endlichen Zahl von Punktmassen, die untereinander in Verbindung stehen. Kinematische Bindungen sind geometrische Beziehungen zwischen den Koordinaten der Massenpunkte. Physikalische Bindungen beschreiben Zusammenhänge zwischen den Abständen der Massenpunkte und den Kräften. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

26 1.4 Massenpunktsysteme Vorgehen: Wahl der Freiheitsgrade Freischneiden der einzelnen Massenpunkte: Die Bindungskräfte treten als zusätzliche unbekannte Kräfte auf. Aufstellen des dynamischen Gleichgewichts für jeden Massenpunkt Berücksichtigung der Bindungsgleichungen Auflösen der Gleichungen nach den gesuchten Größen Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

27 1.4 Massenpunktsysteme Beispiel: Flaschenzug Aufgabenstellung: Die beiden Massen m 1 und m 2 sind durch ein masseloses dehnstarres Seil verbunden, das über masselose Rollen läuft. Wie groß sind die Beschleunigungen und die Seilkräfte, wenn das System sich selbst überlassen wird? m 1 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

28 1.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s 1 und s 2 der beiden Massen werden ab der Ausgangslage positiv nach unten gemessen. Beim Aufstellen der dynamischen Gleichgewichtsbedingungen werden Kräfte, die in Richtung der als positiv gewählten Koordinatenrichtung zeigen, positiv gezählt. m 1 s 2 m 2 s 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

29 1.4 Massenpunktsysteme Kräfte am freigeschnittenen System: Da die Rollen masselos sind, sind alle Seilkräfte gleich groß. S S S Dynamisches Gleichgewicht: m 2 a 2 D F s1 =0 : m 1 g 2 S m 1 a 1 =0 m 1 a 1 D F s2 =0 : m 2 g S m 2 a 2 =0 m 2 g s 2 s 1 m 1 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

30 1.4 Massenpunktsysteme Bindungsgleichung: Das dehnstarre Seil stellt eine kinematische Bindung zwischen den beiden Massenpunkten her. A D E Diese Bindung verlangt, dass sich die Länge des Seils nicht ändert. In der Ruhelage gilt: B C F L=L AB L BC L CD L DE L EF In der ausgelenkten Lage gilt: s s 2 L=L AB s 1 L BC L CD s 1 L DE L EF s 2 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

31 Daraus folgt: 1.4 Massenpunktsysteme Für die Beschleunigungen gilt: 2 s 1 s 2 =0 Mit den beiden dynamischen Gleichgewichtsbedingungen und der kinematischen Bindung stehen drei Gleichungen zur Verfügung, um die drei Unbekannten zu bestimmen. Auflösen nach den gesuchten Größen: a 2 = s 2 = 2 s 1 = 2 a 1 Wird vom dynamischen Gleichgewicht für Masse 1 zweimal das dynamische Gleichgewicht für Masse 2 abgezogen, so folgt: m 1 2 m 2 g=m 1 a 1 2 m 2 a 2 Berücksichtigung der Bindungsgleichung führt auf m 1 2 m 2 g= m 1 4 m 2 a 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

32 1.4 Massenpunktsysteme Ergebnis: Beschleunigungen: a 1 = m 1 2 m 2 m 1 4 m 2 g, a 2 =2 2 m 2 m 1 m 1 4 m 2 g Für m 1 = 2m 2 ist das System im Gleichgewicht. Die Seilkraft kann aus dem dynamischen Gleichgewicht für Masse 2 bestimmt werden: S=m 2 g a 2 =m 2 m 1 4 m 2 4 m 2 2 m 1 m 1 4 m 2 g= 3 m 1 m 2 m 1 4 m 2 g Durch die kinematische Bindung wird die Anzahl der Freiheitsgrade von 2 Freiheitsgraden auf einen Freiheitsgrad reduziert. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

33 1.4 Massenpunktsysteme Beispiel: Feder-Masse System Aufgabenstellung: Die Masse m 1 hängt an einer masselosen Feder mit der Federkonstanten c 1. Die Masse m 2 ist über eine masselose Feder mit der Federkonstanten c 2 mit der Masse m 1 verbunden. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? c 1 m 1 c 2 m 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

34 1.4 Massenpunktsysteme Wahl der Freiheitsgrade: Die Lagekoordinaten s 1 und s 2 der beiden Massen werden ab der Ausgangslage positiv nach unten gemessen. In der Ausgangslage sind die Federn entspannt. c 1 m 1 s 1 c 2 m 2 s 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

35 1.4 Massenpunktsysteme Dynamisches Gleichgewicht: D F s1 =0 : m 1 g F 2 F 1 m 1 a 1 =0 D F s2 =0 : m 2 g F 2 m 2 a 2 =0 Bindungsgleichungen: Die Federn stellen physikalische Bindungen dar. Feder 1: F 1 =c 1 s 1 F 1 s 1 F 2 F 2 m 1 a 1 m 1 m 1 g m 2 a 2 m 2 Feder 2: F 2 =c 2 s 2 s 1 s 2 m 2 g Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

36 Auflösen: 1.4 Massenpunktsysteme Einsetzen der physikalischen Bindungen in das dynamische Gleichgewicht führt auf die Bewegungsgleichungen: m 1 s 1 = m 1 g c 1 c 2 s 1 c 2 s 2 m 2 s 2 = m 2 g c 2 s 1 c 2 s 2 Es handelt sich um ein System von zwei gekoppelten linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Für die Gleichgewichtslage gilt: c 1 c 2 s 1 c 2 s 2 = m 1 g c 2 s 1 c 2 s 2 = m 2 g Durch die physikalischen Bindungen wird die Anzahl der Freiheitsgrade nicht verringert. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

37 Innere und äußere Kräfte: 1.5 Schwerpunktsatz Die zum System gehörenden Massenpunkte werden durch eine gedachte Systemgrenze von Körpern außerhalb des Systems abgegrenzt. F 2 m 2 m 1 F 12 F 21 F 1 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

38 Äußere Kräfte: 1.5 Schwerpunktsatz Äußere Kräfte haben ihre Ursache außerhalb des Systems: Eingeprägte Kräfte: Gewichtskraft Lagerkräfte Zwangskräfte Die aus den auf die Masse mit Index i wirkenden äußeren Kräften resultierende Kraft wird mit F i bezeichnet. Innere Kräfte: Innere Kräfte werden durch kinematische oder physikalische Bindungen verursacht. Sie werden durch Freischneiden sichtbar gemacht. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

39 1.5 Schwerpunktsatz Die innere Kraft, die der Massenpunkt j auf den Massenpunkt i ausübt, wird mit F ij bezeichnet. Wegen Actio = Reactio sind F ij und F ji entgegengesetzt gleich groß: Bewegungsgleichungen für die Massenpunkte: Für jeden Massenpunkt i gilt: F ij F ji =0 m i r i =F i j Die Summe erstreckt sich über alle inneren Kräfte, die am Massenpunkt i angreifen. F ij Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

40 1.5 Schwerpunktsatz Summation über alle Massenpunkte ergibt: m i r i = F i F ij i i i j Die Summe der äußeren Kräfte ergibt die resultierende äußere Kraft: F i =F i In der doppelten Summe über die inneren Kräfte gibt es zu jedem Summand F ij den entsprechenden Summanden F ji. Daher verschwindet die Summe über die inneren Kräfte, so dass gilt: m i r i =F i Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

41 1.5 Schwerpunktsatz Schwerpunkt: Der Ortsvektor r S des Schwerpunktes ist definiert durch r S = 1 m m i r i i Dabei ist m= m i die gesamte Masse des Systems. i Aus der Definition des Schwerpunktes folgt m r S = i Zweimaliges Ableiten nach der Zeit führt auf m r S = i m i r i m i r i Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

42 1.5 Schwerpunktsatz Damit ist gezeigt: m r S =F Der Der Schwerpunkt eines eines Systems Systems von von Massenpunkten bewegt bewegt sich sich so, so, als als ob ob die die gesamte gesamte Masse Masse in in ihm ihm vereinigt vereinigt wäre wäre und und alle alle äußeren äußeren Kräfte Kräfte an an ihm ihm angriffen. angriffen. Die Art der Bindungen spielt dabei keine Rolle: starre Bindungen Federn Gravitationskräfte zwischen den Massenpunkten Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

43 1.5 Schwerpunktsatz Dynamisches Gleichgewicht: Mit F T = m a S lautet der Schwerpunktsatz: F F T =0 Die d'alembertsche Trägheitskraft eines Systems von Massenpunkten wird mit der Beschleunigung des Schwerpunkts berechnet. Sie wird im Freischnitt am Schwerpunkt eingetragen. Später wird gezeigt: Wenn sich das System von Massenpunkten dreht, kann zusätzlich ein d'alembertsches Trägheitsmoment um den Schwerpunkt auftreten. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

44 1.5 Schwerpunktsatz Beispiel: m H m L A Aufgabenstellung: Der LKW der Masse m L zieht einen Anhänger der Masse m H. Der LKW fährt mit der konstanten Beschleunigung a 0 an. Wie groß ist die Kraft F A, die an den Antriebsrädern angreifen muss? Wie groß ist die Kraft F D in der Deichsel? Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

45 1.5 Schwerpunktsatz Zahlenwerte: m L = 20t, m H = 15t, a 0 = 2m/s 2 Antriebskraft: x F A Schwerpunktsatz: m H m L a 0 =F A Zahlenwert: F A = kg 2 m /s 2 =70 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

46 1.5 Schwerpunktsatz Deichselkraft: S H m H a 0 F D Dynamisches Gleichgewicht am Anhänger: x D F x =0 : m H a 0 F D =0 F D =m H a 0 Zahlenwert: F D =15000 kg 2 m/ s 2 =30 kn Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik

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