Europa-Universität Flensburg Zentrum für Methodenlehre Tutorium Statistik I

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1 Europa-Universität Flensburg Zentrum für Methodenlehre Tutorium Statistik I In einer sozialwissenschaftlichen Studie wurden Personen nach ihrem allgemeinen Schulabschluss (mögliche Optionen kein Schulabschluss, Hauptschule, mittlere Reife, Abitur ) gefragt. Dabei ergab sich folgendes: Keinen Schulabschluss: 3% Hauptschule: 35% Mittlere Reife: 38% Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Abitur als allgemeinen Schulabschluss angegeben hat? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person höchstens einen Hauptschulabschluss hat? Hier können relative Häufigkeiten in Wahrscheinlichkeiten übersetzt werden. Es ergibt sich für P(keinen Abschluss)=0,03; für P(Hauptschule)=0,35; für P(Mittlere Reife)=0,38 Die Häufigkeit von Abiturienten, bzw. die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen auszuwählen ist dann P(ABI) = 1-P(k.A.) - P(HS) - P(MR) = 1-0,03-0,35-0,38=0.24 Abitur zu verfügen. Jeder Person ist jeweils nur ein erreichter Schulabschluss zugeordnet, es handelt sich also um disjunkte Ereignisse. Es ergibt sich P(höchstens HS) = P(HS oder k.a) = P(HS) + P(k.A) = 0,35 + 0,03 = 0,38 Universität Flensburg Zentrum für Methodenlehre Tutorium Statistik I

2 Das Geschlecht eines Kindes sei immer zufällig bestimmt. Es wird ein Verhältnis von 51:49 (Jungen : Mädchen) angenommen. Das Geschlecht eines Geschwisters wirkt sich nicht auf die Wahrscheinlichkeit aus, das ein weiteres Geschwister ein bestimmtes Geschlecht hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei drei vorhandenen Geschwistern, von denen zwei Jungen sind und eines ein Mädchen ist, ein viertes Kind ein Mädchen würde? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei drei Geschwistern um drei Mädchen handelt? c) Wie viel wahrscheinlicher ist es, dass es sich bei drei Geschwistern um drei Jungen handelt als dass es drei Mädchen sind? Aus dem Verhältnis von 51:49 ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit der Geburt eines Mädchens 0,49 beträgt. Das Geschlecht eines Geschwisters beeinflusst nicht das Geschlecht eines weiteren, die Ereignisse sind also stochastisch unabhängig. Somit beträgt auch hier die Wahrscheinlichkeit 0,49. Das gemeinsame Auftreten von stochastisch unabhängigen Ereignissen ergibt sich aus ihrem Produkt: 0,49*0,49*0,49 = 0,118 c) Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um drei Mädchen handelt kann aus Aufgabe übernommen werden. Bei der Wahrscheinlichkeit von drei Jungen ergibt sich: 0,51*0,51*0,51 = 0,133 Der Unterschied beträgt also: 0,133 0,118 = 0,015 Die Wahrscheinlichkeit von drei Jungen ist um 1,5% höher. Universität Flensburg Zentrum für Methodenlehre Tutorium Statistik I

3 Die Statistik I - Klausur wurde von 100 Diplom-Erziehungswiss. (EW) Studierenden und 50 International Management (IM) Studierenden geschrieben. Von den IM Studierenden sind 8% und von den EW-Studierenden 14% durchgefallen. Eine nicht-bestandene Klausur wird ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Klausur eines/r IM-Studierenden handelt? Es wird aus allen Klausuren eine zufällig ausgewählt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Klausur eines EW-Studierenden handelt, der/die bestanden hat? Anzahl der durchgefallen aus EW: 100 0,14 = 14 Anzahl durchgefallen IM: 50 0,08 = 4 P( Klausur nicht bestanden ist IIM ) = 5/18 = 0,22 Die Wahrscheinlichkeit, aus allen nicht bestandenen Klausuren, die eines/einer IM- Studierenden zu ziehen beträgt 0,22 bzw. 22% Mit dem Baum der natürlichen Wahrscheinlichkeiten veranschaulicht: 150 Teilnehmer 100 EW 50 IM 86 EW best. 14 EW n.best 4 IM n.best. 46 IM best. (Anhand des Baumes): P(EW und best.) = 86/150= 0,573

4 Ihnen liegen folgende Daten der Elternteile von Schülern vor. Der Anteil der Mütter mit abgeschlossener Ausbildung, die berufstätig sind wird auf 82% geschätzt. 95% der Väter haben eine Berufsausbildung und stehen im Berufsleben. Zusätzlich wird angenommen, dass es unabhängig voneinander ist, dass Mütter bzw. Väter eine abgeschlossene Ausbildung haben. Man wählt 20 Schüler zufällig aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass genau die Hälfte der Schüler zwei Elternteile mit abgeschlossener Ausbildung haben? Wie wahrscheinlich ist es, dass unter den 20 Schülern genau 16 sind, deren Mütter berufstätig sind? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Schüler berufstätige Väter haben? n 20 p k 0,1 0,15 0,2 0,25 0,78 0,82 0,85 0,87 0 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,2702 0,1368 0,0576 0,0211 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,2852 0,2293 0,1369 0,0669 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,1901 0,2428 0,2054 0,1339 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0898 0,1821 0,2182 0,1897 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0319 0,1028 0,1746 0,2023 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0089 0,0454 0,1091 0,1686 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0020 0,0160 0,0545 0,1124 0,0000 0,0000 0,0000 0, ,0004 0,0046 0,0222 0,0609 0,0002 0,0000 0,0000 0, ,0001 0,0011 0,0074 0,0271 0,0010 0,0002 0,0000 0, ,0000 0,0002 0,0020 0,0099 0,0041 0,0009 0,0002 0, ,0000 0,0000 0,0005 0,0030 0,0132 0,0038 0,0011 0, ,0000 0,0000 0,0001 0,0008 0,0351 0,0128 0,0046 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0765 0,0360 0,0160 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1356 0,0819 0,0454 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1923 0,1493 0,1028 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2131 0,2125 0,1821 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1777 0,2278 0,2428 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1050 0,1730 0,2293 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0392 0,0829 0,1368 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0069 0,0189 0,0388 0,0617 X: Anzahl der Schüler die 2 berufstätige Eltern haben Da die Ereignisse Mutter ist berufstätig und Vater ist berufstätig unabhängig voneinander sind, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass beide Elternteile berufstätig sind aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse: nteile mit Beruf)=0.82*0.95) X~B(20;0,78) A:{Schüler mit zwei berufstätigen Elternteilen} Der Wert für A kann aus der Tabelle abgelesen werden (Spalte für P=0,78, Zeile für K=10): P(A) = P(X=10) = 0,0041 Die Wahrscheinlichkeit, dass die genau die Hälfte der 20 Schüler zwei berufstätige Eltern haben beträgt 0,41% X: Anzahl der Schüler die berufstätige Mütter haben

5 X~B(20;0,82) A:{16 Schüler mit berufstätiger Mutter} P(A) = P(X=10) = 0,2125 Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 16 Schüler unter den 20 gezogenen eine berufstätige Mutter haben, beträgt 21,25%. c) X: Anzahl der Schüler die berufstätige Väter haben X~B(20;0,95) C:{mindestens die Hälfte der Schüler haben berufstätige Väter} Da unter den 20 gezogenen Schülern nicht gleichzeitig 10 und 11 und 12 mit berufstätigen Vätern sein können, sind die Ereignisse disjunkt, die einzelnen Wahrscheinlichkeiten werden addiert: P(C) = P(k=10) + P(k=11)+...P(k=20) P(C) = 0,0003+0,0022+0,0133+0,0596+0,1887+0,3774+0,3585 =1 Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens die Hälfte der Schüler berufstätige Väter haben beträgt 100%. Nehmen Sie an, dass 17% der Population Linkshänder sind. Man wählt 12 Personen zufällig aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass keiner Linkshänder ist? Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens die Hälfte Linkshänder sind? c) Wie wahrscheinlich ist es, dass genau 3 Linkshänder sind? n 12 p k 0,08 0,09 0,1 0,17 0,2 0,26 0,38 0,4 0,5 0 0,3677 0,3225 0,2824 0,1069 0,0687 0,0270 0,0032 0,0022 0, ,3837 0,3827 0,3766 0,2627 0,2062 0,1137 0,0237 0,0174 0, ,1835 0,2082 0,2301 0,2960 0,2835 0,2197 0,0800 0,0639 0, ,0532 0,0686 0,0852 0,2021 0,2362 0,2573 0,1634 0,1419 0, ,0104 0,0153 0,0213 0,0931 0,1329 0,2034 0,2254 0,2128 0, ,0014 0,0024 0,0038 0,0305 0,0532 0,1143 0,2210 0,2270 0, ,0001 0,0003 0,0005 0,0073 0,0155 0,0469 0,1580 0,1766 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0013 0,0033 0,0141 0,0830 0,1009 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0005 0,0031 0,0318 0,0420 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0087 0,0125 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0016 0,0025 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0003 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 X: Anzahl der Personen, die Linkshänder sind (von 12) X~ B(n; ) 17,0 X~B(12,0.17) A: {kein Linkshänder}

6 P(A) = P(k=0) = 0,1069 Die Wahrscheinlichkeit keinen Linkshänder auszuwählen beträgt 10,69%. B: {mindestens die Hälfte sind Linkshänder} P(B) = P(k >= 6) P(B) = P(k=6)+ P(k=7)+ P(k=8)+ P(k=9)+ P(k=10)+ P(k=11)+ P(k=12) P(B) = 0,0073+0,0013+0,0002 = 0,0088 Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 12 gezogenen Personen mindestens die Hälfte Linkshänder sind, beträgt 0,88%. c) C:{ genau drei Linkshänder} P(C) = P(k=3) = 0,2021 Die Wahrscheinlichkeit von genau drei Linkshändern beträgt 20,21%. 2. (2 P) In Deutschland sind von 100 Personen 30 Brillenträger. 60 Prozent der Brillenträger sind Studenten. Wenn jemand keine Brille trägt, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, Student zu sein, nur 10 Prozent. Sie treffen jemanden, der nicht studiert. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person keine Brille hat? 100 Personen 30 Brille 70 keine Brille 18 Stud. 12 kein Stud. 7 Stud. 63 kein Stud. ges: Anteil der Nicht-Studenten ohne Brille an allen Nicht-Studenten P( A B) = 63/(63+12) = 63/75 = 0.84 (2 Punkte) Laut einer Erhebung des Deutschen Schuhinstituts unter 3398 Frauen aus dem Jahre 2009 haben 22% der Befragten Schuhgröße 39. Sie treffen auf 9 dieser Frauen. Nehmen Sie an, dass ich bei keiner der Frauen die Schuhgröße geändert hat. Wie wahrscheinlich ist es, dass

7 genau 1 die Schuhgröße 39 hat? 1P weniger als die Hälfte die Schuhgröße 39 haben? 1P Binomialtabelle n= 9 p k 0,05 0,1 0,2 0,22 0,6 0,78 0,95 0 0,6302 0,3874 0,1342 0,1069 0,0003 0,0000 0, ,2985 0,3874 0,3020 0,2713 0,0035 0,0000 0, ,0629 0,1722 0,3020 0,3061 0,0212 0,0005 0, ,0077 0,0446 0,1762 0,2014 0,0743 0,0045 0, ,0006 0,0074 0,0661 0,0852 0,1672 0,0240 0, ,0000 0,0008 0,0165 0,0240 0,2508 0,0852 0, ,0000 0,0001 0,0028 0,0045 0,2508 0,2014 0, ,0000 0,0000 0,0003 0,0005 0,1612 0,3061 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0605 0,2713 0, ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0101 0,1069 0,6302 ablesen = 0,2713 = 27,13% ablesen Summe k = 0,1,2,3,4 oder 1 (0, , ,0005) = 0,971 = 97,1%