Übung zur Vorlesung Statistik II SoSe Übungsblatt 7

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1 Übung zur Vorlesung Statistik II SoSe 2014 Übungsblatt 7 2. Juni 2014 ufgabe 24 (4 Punkte): (1.5 Punkte) Berechnen Sie für die folgenden Wahrscheinlichkeiten die zugehörigen Odds: (a) 0.6 (b) 0.2 (c) 0.02 B (1.5 Punkte) Berechnen Sie für folgende Odds die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten: (a) 0.01 (b) 10 (c) 100 C (1 Punkt) Die Wahrscheinlichkeit für Gruppe 1 betrage 0.5. Das Odds Ratio zwischen Gruppe 1 und Gruppe 2 sei 2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für Gruppe 2? Lösung:

2 (a) > 0.6/0.4 [1] 1.5 (b) > 0.2/0.8 [1] 0.25 (c) > 0.02/0.98 [1] B (a) > 0.01/(1+0.01) [1] (b) > 10/(1+10) [1] (c) > 100/(1+100) [1] C Das Odds für Gruppe 1 ist 1. Daraus folgt, dass das Odds für Gruppe 2 gleich 1/2 sein muss. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für Gruppe 2 ist dann 1/3. ufgabe 25 (10 Punkte): (1 Punkt) Laden Sie die Daten aus der Datei Unfaelle.txt in einen R Datensatz Unfaelle. In diesem Datensatz wird für jede Person neben Beruf, lter (in Jahren), Fahrpraxis (Führerscheinbesitz in Jahren) und Geschlecht angegeben, ob sie jemals einen Verkehrsunfall verschuldet hat (Variable Unfall: 0=nein, 1=ja). B (1 Punkt) Formulieren Sie ein logistisches Regressionsmodell (Modellgleichung!) L mit abhängiger Variable Unfall und unabhängigen Variablen (Kovariaten) Geschlecht, Beruf, lter und Fahrpraxis. Führen Sie für die Variable Beruf geeignete Dummyvariablen ein (Referenzkategorie sei Biologe). C (1 Punkt) Berechnen Sie L in R. Hinweis: Verwenden Sie dazu die Funktion glm. Die ngabe der Modellgleichung erfolgt genauso wie bei der Funktion lm im linearen Fall. Für logistische Modelle muss zusätzlich noch die Option family= binomial spezifiziert werden.

3 D E F G H I J (1 Punkt) Wie groß schätzt L das Odds Ratio zwischen Zahnärzten und Biologen? (1 Punkt) Wie groß schätzt L das Odds Ratio (Chancenverhältnis) zwischen Physikern und Zahnärzten? (1 Punkt) uf welchen Wert schätzt das Modell L das Odds Ratio zwischen Männern und Frauen? Warum stimmt dieser Wert nicht mit dem aus dem Skript überein? (1 Punkt) Erstellen Sie mit der R Funktion table eine Kreuztabelle für die Variablen Unfall und Geschlecht. Berechnen Sie aus der Kreuztabelle das Odds Ratio zwischen Männern und Frauen für einen Unfall. (1 Punkt) Berechnen Sie in R ein logistisches Regressionsmodell Lw mit den unabhängigen Variablen Geschlecht, Beruf, lter, Fahrpraxis und der Wechselwirkung zwischen Geschlecht und Beruf. Die abhängige Variable sei weiterhin Unfall. Wie viele Parameter müssen für Lw geschätzt werden? (1 Punkt) Berechnen Sie aus dem Modellen L und Lw die Wahrscheinlichkeiten und die Chancen (Odds) für einen Unfall einer 25-jährigen Physikerin mit 7 Jahren Fahrpraxis. (1 Punkt) Für welche Individuen aus dem Datensatz sagen die Modelle L und Lw die höchste und die niedrigste Unfallwahrscheinlichkeit voraus? Wie hoch sind diese Wahrscheinlichkeiten? Hinweis: Sie können die Funktion predict benutzen. Lösung: B > Unfaelle <- read.table("unfaelle.txt", header=true) ( ) pi log = β 0 +β 1 X 1i +β 2 X 2i +β 3 X 3i +β 4 X 4i +β 5 X 5i, i = 1,..., p i

4 Hier sind { 1 i-te Person ist männlich. X 1i = 2 i-te Person ist weiblich. { 1 i-te Person ist Physiker. X 2i = 0 sonst. { 1 i-te Person ist Zahnarzt. X 3i = 0 sonst. X 4i = lter der i-ten Person in Jahren. X 5i = Fahrpraxis der i-ten Person in Jahren. C > L <- glm(unfall ~ Geschlecht + Beruf + lter + Fahrpraxis, + data=unfaelle, family=binomial) > L Call: glm(formula = Unfall ~ Geschlecht + Beruf + lter + Fahrpraxis, family = binomial, data = Unfaelle) Coefficients: (Intercept) GeschlechtMann BerufPhysiker BerufZahnarzt lte Degrees of Freedom: 3499 Total (i.e. Null); Null Deviance: 1207 Residual Deviance: IC: Residual D > exp(coef(l)['berufzahnarzt']) BerufZahnarzt E > exp(coef(l)['berufphysiker'] - coef(l)['berufzahnarzt']) BerufPhysiker F > exp(coef(l)['geschlechtmann'])

5 GeschlechtMann Im Modell L befinden sind neben Geschlecht noch andere Variablen. In einem größeren Modell können die Schätzer von Parametern, die schon im kleineren Modell enthalten sind, (etwas) anders sein als im kleinen Modell. G > Ta <- table(unfaelle$geschlecht, Unfaelle$Unfall) > (35/1374)/(110/1981) [1] H > Lw <- glm(unfall ~ Geschlecht *Beruf + lter + Fahrpraxis, + data=unfaelle, family=binomial) > length(coef(lw)) [1] 8 I > K <- coef(l) > Odds <- exp(k[1] + K[3] + 25*K[5] + 7*K[6]) > p <- Odds/(Odds + 1) > Odds (Intercept) > p (Intercept) > Kw <- coef(lw) > Oddsw <- exp(kw[1] + Kw[3] + 27*Kw[5] + 7*Kw[6]) > pw <- Oddsw/(Oddsw + 1) > Oddsw (Intercept)

6 > pw (Intercept) J > P <- exp(predict(l,unfaelle))/(exp(predict(l,unfaelle))+1) > Pw <- exp(predict(lw,unfaelle))/(exp(predict(lw,unfaelle))+1) > # Höchste: > Unfaelle[which(P==max(P)),] Lnr Unfall Geschlecht Beruf lter Fahrpraxis Frau Zahnarzt 25 5 > Unfaelle[which(Pw==max(Pw)),] Lnr Unfall Geschlecht Beruf lter Fahrpraxis Frau Zahnarzt 25 5 > #Niedrigste: > Unfaelle[which(P==min(P)),] Lnr Unfall Geschlecht Beruf lter Fahrpraxis Mann Physiker > Unfaelle[which(Pw==min(Pw)),] Lnr Unfall Geschlecht Beruf lter Fahrpraxis Mann Physiker ufgabe 26 (3 Punkte): (2 Punkte) Geben Sie die Loglikelihood Funktionen l 1 und l 2 für die Stichproben: S 1 = {1, 2, 0, 3, 6, 7, 2} und poissonverteilter Daten an. S 2 = {1, 2, 0, 3, 6, 7, 2, 1, 2, 0, 3, 6, 7, 2, 3, 3}

7 B (1 Punkt) Plotten Sie l 1 und l 2 in einem gemeinsamen Diagramm. Die Maxima beider Funktionen sollen im Diagramm sichtbar sein. Lösung: B > S1 <- c(1,2,0,3,6,7,2) > n1 <- length(s1) > l1 <- function(lambda){ + -lambda*n1 + + log(lambda)*n1*mean(s1)-sum(lfactorial(s1)) + } > S2 <- c(1,2,0,3,6,7,2,1,2,0,3,6,7,2,3,3) > n2 <- length(s2) > l2 <- function(lambda){ + -lambda*n2 + + log(lambda)*n2*mean(s2)-sum(lfactorial(s2)) + } > x <- seq(2.5,3.5,1/100) > plot(x=x, y=l2(x),ylim=c(-40,-10), xlab=expression(lambda), ylab="", + col="red", type="l") > points(x, l1(x),type="l", col="blue") > legend("bottomright", col=c("blue","red"), lwd=1, legend=c("l1","l2"))

8 l1 l λ Schicken Sie Ihre Lösung bis spätestens Sonntag, den direkt an Ihren Tutor: (Ivo Soares Parchao). (Ben Hillmer) (Jakob Schulze)