Grundlagen der Statistik

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1 Grundlagen der Statistik Übung FernUniversität in Hagen Alle Rechte vorbehalten Fachbereich Wirtschaftswissenschaft

2 Übersicht über die mit den Übungsaufgaben geprüften Lehrzielgruppen Lehrzielgruppe 1: Grundbegriffe der Testtheorie Aufgaben: 1-4 Lehrzielgruppe : Spezielle Testverfahren Aufgaben: 5-8, 41-43

3 1 Aufgabe 1 In welchen der folgenden Fälle ist zur Überprüfung der Aussage eine zweiseitige Nullhypothese sinnvoll? (x aus 5) A ine neu entwickelte Maschine ist besser als das Vorgängermodell. er durchschnittliche Kraftstoffverbrauch eines Pkw ist vom Hersteller richtig angegeben worden. Maßnahmen der undesbank haben keinen influß auf die ntwicklung des ollarkurses. as mittlere Füllgewicht einer Abfüllanlage beträgt 500 g. Zwei gestellte Klausuren sind gleich schwer. Aufgabe Welche der folgenden Punkte sind zu beachten bei einer korrekten Aufstellung der Hypothesen eines Tests bzw. bei der Interpretation eines Testergebnisses? (x aus 5) A ie nachzuweisende ehauptung muß als Nullhypothese formuliert werden. ie Alternativhypothese ist stets das logische Gegenteil der Nullhypothese. ei einer ntscheidung für die Nullhypothese kann diese Hypothese als statistisch gesichert angesehen werden. In diesem Falle ist die Irrtumswahrscheinlichkeit nicht größer als das Signifikanzniveau α. ie Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kann in vielen Fällen sehr groß sein. ine Verringerung des Signifikanzniveaus hat keinen influß auf einen möglichen Fehler zweiter Art. Aufgabe 3 Welche Aussagen über einen statistischen Test einer Hypothese über den Parameter µ einer normalverteilten Grundgesamtheit sind richtig? (x aus 5) A as Signifikanzniveau α gibt die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung der Nullhypothese an. urch eine Nichtablehnung von H 0 ist die Alternativhypothese H 1 statistisch widerlegt. ei einem zweiseitigen Testproblem ist der Annahmebereich stets symmetrisch. er Fehler zweiter Art kann durch rhöhen des Stichprobenumfangs für alle µ der Alternative durch den Wert 0,5 beschränkt werden. Keine der Aussagen A - trifft zu.

4 Aufgabe 4 Gegeben seien die folgenden Werte: 4,5; 4; -0,5; 1; 3; ; 5. s handelt sich dabei um Realisationen von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen mit Varianz σ = 10. Getestet werden soll die Nullhypothese H 0 :µ 0 = 1 zum Signifikanzniveau α= 0, 05. (x aus 5) A s handelt sich um ein einseitiges Testproblem. er Annahmebereich ist [-0,97;,97]. ie Teststatistik X besitzt den Wert,71. a X in den Annahmebereich fällt, ist H 0 signifikant nachgewiesen. Keine der Aussagen A - ist richtig. Aufgabe 5 (x aus 5) A er Vorzeichentest dient zur Prüfung der Nullhypothese, dass zwei Grundgesamtheiten unterschiedliche Verteilungen besitzen. eim Vorzeichentest ist die Teststatistik binomial verteilt. er Vorzeichentest kann bei ordinalskalierten Merkmalen verwendet werden. er Vorzeichen-Rang-Test kann nur bei normalverteilten Merkmalen verwendet werden. ie Teststatistik des Vorzeichen-Rang-Tests ist unter H 0 hypergeometrisch verteilt.

5 Aufgabe 6 s soll überprüft werden, ob bei doppelverdienenden hepaaren der Verdienst des Mannes und der Frau die gleiche Verteilung besitzen. arum wurden n= 10 Paare ausgewählt und folgende aten ermittelt. Paar i Verdienst des Mannes X i Verdienst der Frau Y i 3 (x aus 5) A Vorzeichentest und Vorzeichen-Rang-Test sind beide geeignet. ie Voraussetzungen des Vorzeichen-Rang-Tests sind nicht erfüllt. er Vorzeichentest lehnt die Nullhypothese der Gleichheit der Verteilungen zum Niveau α= 0,05 ab. er Vorzeichen-Rang-Test lehnt die Nullhypothese der Gleichheit der Verteilungen zum Niveau α= 0, 05 ab. ie gegebene Problemstellung könnte auch durch einen Test auf Unabhängigkeit der Merkmale Verdienst und Geschlecht auf der asis von 0 eobachtungen untersucht werden. Aufgabe 7 in Spieler vermutet, dass von 3 Münzen, mit denen er spielt, mindestens eine gefälscht ist. Um zu überprüfen, ob ideale Münzen vorliegen, wirft er 160 mal die 3 Münzen und erhält folgende Verteilung für Zahl. Anzahl Zahl beobachtete Anzahl (x aus 5) A Wenn es sich um ideale Münzen handelt, liegt eine inomialverteilung vor. ie Fragestellung, ob es sich um ideale Münzen handelt, kann mittels des χ Unabhängigkeitstests überprüft werden. ei der Überprüfung der Fragestellung, ob es sich um ideale Münzen handelt, beträgt die α= 0,05. passende Prüfgröße 6,67 ( ) s handelt sich um gefälschte Münzen ( α= 0,05). Keine der Aussagen A sind richtig.

6 4 Aufgabe 8 Welche der folgenden Aussagen zur Testtheorie sind richtig? (x aus 5) A Ist der p-wert größer oder gleich dem vorher festgelegten Niveau, so wird die Nullhypothese abgelehnt. Wird die Nullhypothese verworfen, so ist die Alternative statistisch abgesichert. X1... X 10 seien stochastisch unabhängig standardnormalverteilte Zufallsvariablen. ie Zufallsvariable Y 10 = i i=1 X ist dann χ - verteilt mit 9 Freiheitsgraden. ei dem χ - Anpassungstest wird als Nullhypothese die Unabhängigkeit der Merkmale aufgestellt. Keine der Aussagen A sind richtig. Aufgabe 41 ei einer Lieferung von 800 Flaschen Milch soll aufgrund einer Zufallsstichprobe vom Umfang n = 36 die durchschnittliche Füllmenge von mindestens 1 Liter pro Flasche überprüft werden. ie Füllmenge sei annähernd normalverteilt mit σ = 0, 065 und x ist 0,98. Wird die Lieferung bei einem Signifikanzniveau von 5% angenommen oder nicht ( H 0 : µ 1)? estimmen Sie k = ( c u + 10) wenn die Lieferung angenommen wird und k = (10 - abgelehnt wird. c u ) wenn die Lieferung (numerisch) k = (3 Nachkommastellen)

7 Aufgabe 4 in Restaurantbesitzer möchte seinen Kartoffellieferanten wechseln. auer A und auer behaupten, dass ihre 50 kg Kartoffelsäcke die gewünschte Standardabweichung aufweisen. azu nimmt der Restaurantbesitzer jedem auer 41 Säcke Kartoffeln ab. s ergeben sich die Standardabweichungen S A = 1, 5 und S = 1,8. Stimmt die ehauptung, dass beide Standardabweichungen übereinstimmen ( H0 : δa = δ α = 0,0)? estimmen Sie k = (10 c0 c u ), wenn die Nullhypothese abgelehnt wird und k = (10 + c0+ c u ), wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird. 5 (numerisch) k = (3 Nachkommastellen) Aufgabe 43 in Losverkäufer behauptet, in seiner Lostrommel, die 1000 Lose enthält, sei mindestens jedes 5. Los ein Gewinn. Herr Müller kauft daraufhin 0 Lose und stellt 3 Gewinne fest. Ist damit die ehauptung des Losverkäufers statistisch widerlegt ( H0 : θ 0,, α = 0,1)? Lehnen Sie die Nullhypothese ab, so bestimmen Sie = ( 10 u ) k ( 10 c ) an. = + u k c. Kann H 0 nicht abgelehnt werden, so geben Sie (numerisch) k = (3 Nachkommastellen) Aufgabe 43 war die letzte Aufgabe