Beschreibende Statistik

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1 Beschreibende Statistik Daten zusammenfassen: Statistische Kennzahlen im Vergleich 8. April 009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn Grundlagen der Schulmathematik SoSe 009

2 Inhalt Lagemaße Arithmetisches Mittel Median Mittelwerte im Vergleich Streuungsmaße Spannweite und Quartile Varianz und Standardabweichung Boplot

3 Statistische Kennzahlen als Überblickshilfe bei Massendaten sollen spezifische Eigenschaften von Häufigkeits- i verteilungen kennzeichnen und deren Vergleich ermöglichen: Lagemaße geben Aufschluss über das Zentrum einer Häufigkeitsverteilung. Streuungsmaße geben an, wie breit die Daten um das Zentrum streuen. 3

4 Lagemaße Welcher Wert tritt am häufigsten auf? Modalwert Welcher Wert liegt im Zentrum? Zentralwert, Median Wo liegt der Durchschnitt? arithmetisches Mittel Bei diesem Notenspiegel (n=0) ist der Modalwert der Median,5 das arithmetische Mittel,9 4

5 Arithmetisches Mittel 5

6 Das arithmetische Mittel Das arithmetische Mittel der Daten der n - te Teil der Summe dieser Daten n n = = i n n i=,,...,, n ist kann nur bei quantitativen Merkmalen verwendet werden braucht nicht als Beobachtungswert aufzutreten z.b. die mittlere Augenzahl beim Würfeln ( ):6 = 3,5 lässt unterschiedliche anschauliche Deutungen zu - Ausgleichswert - Schwerpunktwert 6

7 als Ausgleichswert Alle Werte werden auf ein Mittelmaß zurechtgestutzt unter Erhaltung der Summe a b c d e n = n 5 4 im Beispiel = 5 a b c d e 7

8 als Ausgleichswert Müller und Wittmann: Das Zahlenbuch 4. Cornelsen 005, S. 08 8

9 als Schwerpunkt Das arithmetische ti h Mittel gibt den Schwerpunkt der Häufigkeitsverteilung eines Merkmals an. Ein Balken mit den Daten als Gewichte ist in der Waage Waage, wenn er im arithmetischen Mittel fiiert wird

10 Der Mittelwertabakus Wie viele Schüler wären bei möglichst gleichmäßiger Verteilung in jeder Klasse? (Spiegel in Mathematik lehren (985), S. 6f.) Klassengröße Klassengröße Klassengröße 7,5 0

11 Das arithmetische Mittel ist empfindlich gegen Ausreißer amittel ( ) = 7,5 Klassengröße amittel ( ) = 8 Klassengröße

12 Eigenschaften des arithmetischen Mittels g (Beweise werden an der Tafel geführt) S h kt i h ft Di S ll Ab i h. Schwerpunkteigenschaft: Die Summe aller Abweichungen der Daten i von ihrem arithmetischen Mittel ist 0. 0 ) ( ) ( ) (. Minimumseigenschaft: Die Summe der quadratischen Ab i h ll D t ih ith ti h 0 ) (... ) ( ) ( = n Abweichungen aller Daten von ihrem arithmetischen Mittel ist ein Minimum. c IR c c c n n + + < + +,, ) (... ) ( ) (... ) (

13 Näherungsweise Bestimmung des arithmetischen Mittels mit Hilfe des Klassenmittels bei gruppierten Daten Gehaltsstatistik t ti tik eines Betriebes Gehaltsstatistik t ti tik eines Betriebes Gehaltsklassen Anzahl der Mitarbeiter Gehaltsklassen Anzahl der Mitarbeiter [000 ; 400 ) 8 [400 ; 600 ) 0 [600 ; 800 ) 0 [800 ; 000 ) 0 [000 ; 400 ) 8 [400 ; 600 ) 0 [600 ; 800 ) 0 [800 ; 3000 ) [000 ; 3000 ) 40 ( ) ( ) 740 Vorsicht 3

14 Median 4

15 Median oder Zentralwert Median oder Zentralwert D M di d Z t l t i t d d h f t l t d Der Median oder Zentralwert ist dadurch festgelegt, dass er in der Mitte einer der Größe nach geordneten Datenreihe liegt: ( ) ( ) ( ) ( )... ~... n n ( ) ( ) ( ) ( ) + falls n ungerade n n n + = + falls n gerade g ~ n n n + g n n Höchstens die Hälfte der Daten ist kleiner (größer) als der Median. Z B stimm d s M di s d m t is h d di l sk li t 5 Zur Bestimmung des Medians werden metrisch oder ordinal-skalierte Merkmale benötigt.

16 Der Median ist unempfindlich gegen Ausreißer Klassengröße Median ( ) =75 7, Median ( ) = 7,5 Klassengröße 6

17 Minimumseigenschaft des Medians Die Summe der absoluten Abweichungen aller Daten vom Median ist ein Minimum: ~ ~ c c c IR c ~ n < n,, Warum gilt diese Eigenschaft? () () (3) (4) (5) (6) Median Bei einer Verschiebung der Marke c nach rechts werden die fünf Abstände zu (),, (5) um jeweils den gleichen Betrag kleiner, um den der Abstand zu () zunimmt. Wenn c sich zwischen (3) und (4) bewegt, dann bleibt die Summe der absoluten Abweichungen konstant. 7

18 Mittelwerte im Vergleich 8

19 Welches Lagemaß verwenden? Merkmal qualitativ ti qualitativ ti quantitativ Skala Nominalskala Ordinalskala Metrische Skala Mittelwert Modalwert Modalwert Modalwert Median Median Arithmetisches Mittel 9

20 Vergleich von Mittelwerten Beide Verteilungen haben das selbe arithmetische Mittel 3 jedoch unterschiedliche Mediane,5 und 3 Bei symmetrischen, eingipfligen (unimodalen) Verteilungen stimmen arithmetisches Mittel und Median überein. Bei schiefen Verteilungen ist der Median verschieden vom arithmetischen ti h Mittel. 0

21 Alter von HR Lehramtsstudierenden (Vorlesung im 6. Semester SoSe 008 in Ffm) Kollektion Stochastik SI 50 Histogramm ¼ Alter

22 Lagemaße bei schiefen Verteilungen Häufigkeitsverteilungen it t il können unterschiedliche h Formen haben: eingipflig (unimodal) oder mehrgipflig, symmetrisch, rechtsschief oder linksschief. < ~ < mod < ~ < mod Fasst man Datensätze durch Lagemaße zusammen, so verliert man Informationen über die Verteilungsform und die Streuung der Daten.

23 Beispiel: Durchschnittliches und Außergewöhnliches beim Wetter 3

24 Ermittlung von Tagesdurchschnittstemperaturen Die Mittelwerte werden aus den jeweiligen Wetterstationen ermittelt. Abgesehen von den Anfangsjahren der Messreihe wurde die Temperatur einheitlich in zwei Meter Höhe über Grund in der Englischen Hütte gemessen. Die Englische Hütte ist ein weiß angestrichener, in Messhöhe angebrachter Kasten, der mit Schlitzen zur Luftzirkulation versehen ist. Die Ermittlung der Tagesdurchschnittstemperatur war im Beobachtungszeitraum nicht immer einheitlich, basiert aber fast durchgängig auf der Berechnung mit den Mannheimer Stunden. Dazu wird zu den Beobachtungszeiten um 7, 4 und Uhr Ortszeit die Temperatur ermittelt. Diese Messwerte werden addiert, wobei der -Uhr-Wert doppelt in die Berechnung eingeht, und durch vier geteilt. Seit dem. April 00 wird die Tagesmitteltemperatur t aus 4- Stunden-Sätzen ermittelt. gewichtetes arithmetisches Mittel (Zugriff: ) 4

25 Mittlere Jahrestemperatur in Deutschland gleitende Mittelwerte in_deutschland (Zugriff: ) 5

26 Klimaänderung (Meteorologisches) Klima: Statistische Beschreibung der Wetterelemente über eine relativ lange Zeit. Diese Zeit hat die WMO willkürlich aber praktikabel auf mindestens 30 Jahre festgelegt. Lufttemperatur, Luftfeuchte, Sonnenschein, Bewölkung, Niederschlag und Wind Kern der statistischen Beschreibung ist die Häufigkeitsverteilung der Wetterelemente Sie wird durch den Mittelwert und die Streuung charakterisiert. Allerdings gibt es außer der gezeigten Normalverteilung noch kompliziertere (z.b. asymmetrische) Verteilungen, die beispielsweise auf den Niederschlag anzuwenden sind, Schönwiese: Globaler und regionaler Klimawandel. Eine aktuelle wissenschaftliche Übersicht. 6

27 Streuungsmaße 7

28 Ein Mensch, der von Statistik hört, denkt dabei nur an Mittelwert. Er glaubt nicht dran und ist dagegen, ein Beispiel soll es gleich belegen: Ein Jäger auf der Entenjagd hat einen ersten Schuss gewagt. Der Schuss, zu hastig aus dem Rohr, lag eine gute Handbreit vor. Der zweite Schuss mit lautem Krach lag eine gute Handbreit nach. Der Jäger spricht ganz unbeschwert voll Glauben an den Mittelwert: Statistisch ist die Ente tot. Doch wär er klug und nähme Schrot - dies sei gesagt, ihn zu bekehren - es würde seine Chancen mehren: Der Schuss geht ab, die Ente stürzt, weil Streuung ihr das Leben kürzt. PH P.H. List zitiert nach Henze 008, S. 33 8

29 Streuung messen Unter Streuung in einer Datenreihe,,, n versteht man allgemein die Abweichungen der Daten untereinander oder vom jeweiligen Mittelwert. 9

30 Spannweite Die Spannweite wird id als Differenz zwischen dem größten und den kleinsten Merkmalswert in einer Datenreihe definiert. Spannweite = (ma) - (min) 30

31 Quartilsabstand Durch die Quartile (Viertelwerte) wird ein Intervall festgelegt, in dem die mittleren 50 % aller Daten liegen. Der Quartilsabstand ist definiert als Differenz aus dem oberen und unterem Quartil: Q 3/4 - Q /4. Q /4 Q 3/4 Quartilsabstand = Q 3/4 - Q /4 Mindestens 5% der Daten sind kleiner oder gleich Q /4 und mindestens 75% der Daten sind größer oder gleich Q /4 3

32 Streuungsmaße im Überblick. Spannweite = (ma) - (min). Quartilsabstand = Q 3/4 - Q /4 3. Mittlere quadratische Abweichung vom arithmetischen Mittel ( ) n ( n ) 4. Mittlere absolute Abweichung vom Median ~ n n ~ 3

33 Varianz und Standardabweichung Varianz der Datenreihe,..., s = n ( ) i n i= Standardabweichung der Datenreihe s = n ( i ) n i= n mit Mittelwert Durch das Quadieren werden positive und negative Abweichungen der Daten vom arithmetischen Mittel in gleicher Weise berücksichtigt. 33

34 Standardabweichung verschiedene Häufigkeitsverteilungen mit gleichem arith. Mittel s = n r i= H n a ( )( ) i a i s r 09,09 s g 79,79 34

35 Deutung der Standardabweichung s bei glockenförmigen Verteilungen Bei diesen beiden annähernd glockenförmigen Verteilungen liegen im Bereich [-s ;+s] rund 70% der Daten. Ineichen: Stochastik. Vandenhoeck & Ruprecht 984, S

36 Sigmaregel(n) g für die Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) f ( ) = ( ) s e π Ineichen: Stochastik. Vandenhoeck & Ruprecht 984, S. 0 36

37 Vergleich von Verteilungen mit dem Boplot 37

38 Einfacher Bo-Plot (Länge in km) Einteilung in vier Viertel Welche Information über die Länge der Schweizer Alpenpässe kann man aus dem Boplot entnehmen? Polasek: Eplorative Datenanalyse. Springer 994, S. 5 38

39 Name Höhe Länge Schweizer Alpenpassstraßen Umbrail Bernardino Sattelegg 90 7 Col lde la Forclaz 57 Albula 3 4 Flüela St. Gotthard 08 7 Brünig Col Pillon Furka Grimsel 65 3 Col des Mosses Oberalp Ofenpass Bernina Nufenen Lukmanier 94 4 Julier Klausenpass Susten 4 45 Maloja Simplon St. Bernard Daten aus Polasek (994), S

40 Punktierter Bo-Plot (nach Tukey),5*Quartilsabstand Die Antennen werden bis zum letzten Datenwert innerhalb der Zäune gezeichnet Quartilsabstand Polasek: Eplorative Datenanalyse. Springer 994, S

41 Boplot in einem Schulbuch der Sek I Neue Wege 7, Hessen. Schroedel 007, S. 9 4

42 4

43 Vergleich von Notenspiegeln verschiedener Klassen (Notendurchschnitt 3,0) , ,35 0, Häufigkeit rel. 0,5 0, 0,5 0, ,

44 Vergleich von Notenspiegeln mit dem Boplot Halbiert der 9 8 Median die Bo 7 und sind die 6 5 Antennen etwa 4 gleich lang, dann 3 beschreibt der Boplot eine Note_rot symmetrische Häufigkeitsverteilung Rechtsschiefe Verteilung Note_gelb 44

45 Vergleich von Notenspiegeln mit dem Boplot Gleicher Boplot trotz unterschiedlicher Verteilungsform Note_rot